Matematik Atölyesi – Sayılar #9

Sihir

Matematiğin sayılar kısmında daha iyi olmak için kimine gereksiz görülen sorularla uğraşmak büyük fayda sağlar. Aslında bu tür soruların gereksiz diye tanımlanması kişinin sorudan korkmasından kaynaklanır.

Kişinin hissettiği şey bilmediğiniz bir sokak, cadde, şehir veya ülkede bulunmak gibidir. Konfor alanından uzaktır ve denemediği sürece kendi evi, sokağı, şehri, ülkesindeki kadar rahat hissedemeyecektir. Karşısına gelen bir soruyu gereksiz diye adlandırmak kişinin yaşadığı matematik korkusunun farklı bir şekilde dışa vurumudur.

O halde matematikte daha iyi olabilmek için şartlardan biri denemek/uğraşmaktır. Böylece kendi yönteminizi bulabilir, insanların şaşıracağı şeyleri başarabilirsiniz. Üzerinde durmam gereken bir nokta daha var: Eğer bir sihirbazın ne yaptığı çok açıksa o şovu bir daha kimse izlemek istemez. Sihir; başkaları yaptığınızı anlamadığında güzeldir.

Eşit Toplamlar

Elimizde 1 ile 50 arasında bulunan ve birbirinden farklı on sayı olsun. Bu sayıları beşerli öyle iki gruba ayıralım ki, grupların toplamı birbirine eşit olsun.

Örnek 1: Rastgele sayılarım: 2, 12, 23, 24, 30, 33, 39, 41, 44, 48.

Bu sayıları toplamları birbirine eşit olan iki gruba ayırmam lazım. Her grupta da beş sayı olmalı.

Kısa süre sonra bunu becerebildim. Evet bu rastgele sayılardan iki grup çıkardım ve bu grupların toplamları birbirine eşit oldu:

48+41+33+24+2 = 148 = 44+39+30+23+12

Belki de bu sayıları bilerek seçtiğimi düşündünüz. Bu yüzden arkadaşlarımdan 1-50 arasında on tane sayı seçip bana yazmalarını istedim.

Örnek 2: İlk arkadaşımdan gelen rastgele sayılar: 34, 21, 7, 42, 22, 33, 13, 27, 20, 19.

IMG_6607

Bu sayıları da iki eşit gruba ayırabildim. Sonuç aşağıdaki gibi oldu:

34+33+13+20+19 = 119 = 21+22+27+42+7

Örnek 3: Bir başka arkadaşımdan şu sayıları aldım:

3, 9, 13, 19, 21, 27, 36, 33, 39, 45.

IMG_6609

Örnek 4: Son örneğimi bir üniversite arkadaşımdan aldığım on sayı oluşturuyor:

7, 10, 11, 14, 21, 23, 30, 33, 43, 49.

IMG_6608

Henüz ilk bakışta üçüncü ve dördüncü örnekteki istenilenin yapılamayacağını anladım. Yani bu sayılar toplamları birbirine eşit olan beşerli iki gruba ayrılamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. İlk iki örneği nasıl yaptığımı bilerek açıklamadım. Sizce nasıl bir yöntem izlemiş olabilirim?
  2. Peki ama nasıl oldu da üçüncü ve dördüncü örnekteki sayılarla ilgili sonucumu sadece saniyeler içerisinde verebildim?

İpucu: Sayıların kaç tanesinin tek veya çift olduğuna dikkat edin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #3

Kağıt Oyunları

Küçüklüğümde matematik notlarım bana büyük bir sorumluluk vermişti. Haftada ortalama bir gün aile ziyaretlerinde babalar hoşkin isimli kağıt oyununu oynardı. Maalesef matematiğimin iyi olduğu yönündeki iddialar yüzünden dünyanın en garip puanlama sistemine sahip olan bu kağıt oyununda puanları tutma görevi bana düşerdi: “300 yaz, 4200 bize, 640 yaz, 20 yazdın mı bize?”

maxresdefault (1)

Üniversitede kampüs hayatı yaşayanlar çok iyi bilir: Yurt hem büyük sefalet hem de inanılmaz eğlence demekti. Şahsen yurtta en çok eğlendiğim zamanlar dört kişi masaya kurulup saatlerce batak ve/veya king oynadığım zamanlardı. Küçüklüğümde zerre hazzetmediğimi kağıt oyunlarına dört yıl sonunda bağımlı olmuştum.

Dolaylı olsa da kağıt oyunlarında rekabet etmek dışında beni en çok çeken şey kullanılan algoritmalardır. Her oyuncunun kafasında oluşturduğu bir algoritması vardır ve birbirini tanıyan oyuncular algoritmalarında ufak değişiklikler yaparak oyunda avantaj sağlamaya çalışır.

Pico

Algoritma kurup onu uygulamak için yaratılan bir Alman oyunu olan Pico, matematikle kağıt oyunları arasındaki ilişkiyi gösteren en güzel örnektir. Pico’nun özelliği çok basit kurallara sahip olmasına rağmen oyunun arkasında harikulade matematik bilgileri barındırmasından gelir.

pic1144912

  • İki oyunculu olan Pico’da üzerinde 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 ve 16 sayıları yazan on bir tane kağıt vardır.
    pic170001
  • Oyunculardan biri kağıtları karıştırır ve her oyuncuya beşer tane kağıt verilir.
  • Kalan tek kağıt açık şekilde ortaya konur. Böylece oyuncular birbirlerinde hangi kağıtların olduğunu bilir.
  • Oyunda her el oyuncuların ortaya attığı birer kağıtla devam eder.
  • Elin kazananı büyük kağıda sahip olandır.
  • Fakat büyük kağıttaki sayı küçük kağıttakinin iki katından fazlaysa, kazanan küçük kağıt olur.
  • Eli kazanan kağıt kazanan oyuncunun önüne açık şekilde konur. Kağıtta yazan sayı kazanılan puandır.
  • Kaybeden kağıt sahibine geri döner.
  • Oyun herhangi bir oyuncunun elinde tek kağıt kalana dek devam eder.

    pic1873967
    13 yerine K, 16 yerineyse Joker(J) kullanarak evde bulduğunuz herhangi bir desteyle Pico’yu oynayabilirsiniz.

Seko

Pico’dan feyiz alıp Seko adını verdiğim bir oyun yazdım:

  • Oyuncular 2-50 arasındaki sayılardan sırayla altışar tane seçer. Seçime ilk başlayanı belirlemek için havaya para atılır.
    IMG_6628
  • Bu sayılar boş bir kağıdın üzerinde sıralanır.
  • Oyuncular teker teker sayıları seçer. Yine seçime ilk başlayanı belirlemek için para kullanılır.
  • Her oyuncu altışar sayıya sahipken oyun başlar. Her elde oyuncular birer sayı seçer.
  • Sayılar arasındaki fark tek ise büyük sayıyı seçen, çift ise eğer fark 20’den az ise küçük sayıyı seçen eli kazanır.
    IMG_6632
  • Eli kazanan sayı puan olarak kazananın hanesine yazılır, kaybeden sayı sahibine geri döner.
  • Oyun oyunculardan birinde tek bir sayı kalana dek devam eder.
  • Oyunun bitiminde en çok sayıya sahip olan oyunu kazanır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Seko’da farklarını almak yerine sayıları toplayın. Eğer toplam tek ise büyük sayı, çift ise toplam 50’dan küçük olduğu takdirde küçük sayı kazansın.

Seko oyunlarında her zaman uygulayabileceğiniz bir algoritma bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #4

Son Kalan Bisküvi

Küçük bir çocukken avcı&toplayıcı atalarımdan kalan genleri kullanmayı öğrenmiştim. Eğer benim gibi kalabalık bir ailede yer alıp, bunun üzerine bir de abur-cubur düşkünü bir çocukluk geçirdiyseniz çoğunlukla hızlı ve güçlü olanın yiyeceği kaptığını çok iyi biliyorsunuzdur. Üstelik kalabalık boş bir kalabalık değildi; yani rekabet de had safhadaydı.

İyi bir avcı sayılırdım. Sülalenin en küçüklerinden biri olmam nedeniyle yaşadığım fiziksel dezavantajları kurnazlık ve/veya çabuklukla telafi edebiliyordum.

Şimdi dönüp geriye bakınca keşke kurnazlığımı daha çok kullanabileceğim durumlar olsaydı diyorum.

püsküü
Püskevit de değil!

Çay Partisi

Çay demlendi, pötibörler de hazır. Bileğimi ısıtıyorum ki çaya banarken kırılma noktası gelmeden hızla pötibörü bardaktan çıkarabileyim… ve fakat… misafir geldi…

Elde kakaolu ve normal pötibör var. Siz de, misafir gelen arkadaşınız da kakaolu pötiböre kavuşmak için sabırsızsınız. Hepi topu dört tane kakaolu pötibör kalmış, bu yüzden paylaşmanın gereksiz olduğunu konusunda hemfikirsiniz. Pötibörler konusundaki kararı oynanacak oyunun galibi verecek.

IMG_5786

Kurallar:

  • Bisküviler sırayla alınacak.
  • Sırası gelen oyuncu ya sadece bir taraftan istediği kadar, ya da her iki taraftan aynı sayıda olmak şartıyla istediği kadar bisküvi alabilir.
  • En son bisküvileri alan oyunun galibidir.

Örnek: Ev sahibi vs. Misafir

Altı normal, dört tane de kakaolu pötibör var.

İlk misafir başladı ve kakaolu kısımdan bir tane aldı.

Sıra ev sahibinde. O da normal kısımdan bir tane almayı tercih ederken misafir her cins pötibörden de birer tane aldı.

Sırada olan ev sahibi normal pötibörden üç tane aldı.

IMG_5792

Misafir bir tane kakaolu aldı.

IMG_5793

Sıra ev sahibine geçince ortada her cinsten de birer tane bisküvi kaldığı görülüyor. Böylece ev sahibi her iki bisküviyi de alarak oyunu kazandı.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Verilen örnekte ilk başlayan olup olmamak kazanmayı etkiliyor mu?
  2. Örnekte hangi durumda misafirin oyunu kaybettiği anlaşılıyor? Bu noktada misafirin yapacağı hamlenin önemi var mı?
  3. Farklı sayılarla bisküvileri kullanarak her seferinde kazanmanızı sağlayan bir yöntem bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Bulmaca #3

Sihirli Baklavanın Hikayesi

Ekskalibur ismini çoğunuz duymuştur. Britanya kralı Arthur’un ünlü kılıcı olan Ekskalibur büyülü bir kılıçtı. Öyle ki onu kullan kişi insanüstü özelliklere sahip oluyordu. Ekskalibur bir mitoloji hikayesi olarak görülebilir.

7043641

Bu yazıda da tahminen daha önce hiç duymadığınız bir mitolojik hikayeden bahsedeceğim: Matematikçi Serkan’ın sihirli baklavasından!

Şanssız Baba

“Serkan” ismi görece yeni bir isimdir. Bu yüzden Serkan’ın Sihirli Baklavası hikayesinin 2700 yıllık bir tarihinin olması sizi şaşırtabilir.

Medeniyetin beşiği Mardin’de dünyaya gelen Serkan’ın babası zamanının en ünlü baklava ustasıydı. Fakat Serkan’ın doğumundan hemen sonra büyük bir badire atlatmıştı: Yaptığı baklavadan sekiz kişinin zehirlenmesi, Serkan’ın babasının büyük bir travma yaşamasına neden olmuştu. Olaydan sonra sürekli zehirlenen insanları kabuslarında gören Serkan’ın babası, bir daha baklava yapmamaya yemin etmişti.

247505
MS. 2018 – Baklava ustası Nadir Güllü

Sihirli Baklavanın Doğuşu

Yıllar bu yeminle geçmişti. Kunduracılık yaparak ailesine yardımcı olan Serkan bir yandan da üniversite giriş sınavına hazırlanıyordu. Sınavdan bir hafta önce okuldaki rehber öğretmeni sınavda zihin açıklığı versin diye herkese olips şeker dağıtmıştı. Fakat Serkan çok sevdiği portakallı olips yerine naneli olips alabilmişti.

indir (4)

Portakallı olips alamamanın üzüntüsüyle eve dönen Serkan’a moral vermek isteyen babası ona bir sürpriz hazırlamıştı:

“Oğlum! Bir defaya mahsus yeminimi bozdum ve senin için sihirli bir baklava yaptım. Bu baklavayı yedikten sonra karşında hiç bir soru dayanamayacak ve Boğaziçi senin, Odtü benim, hangi üniversiteyi istersen ona gidebileceksin.

IMG_5708
Sihirli Baklava

Fakat sihirli baklavayı hak ettiğini bana ispat etmen gerekiyor. Bunun için sana bir bulmaca hazırladım.

  • Baklava dört kutunun birinde.
    madobak
  • Sınav gününe dek her gün kutulardan sadece birini seçme şansın var.
  • Her gün baklavayı başka bir kutuya koyacağım.
  • Baklavayı sadece bir önceki gün bulunduğu kutuya komşu kutulardan birine koyabilirim. Yani örneğin baklava 1 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu tek kutu olan 2 numaraya geçebilir. Eğer 2 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu 1 ya da 3 numaralı kutudan birine geçebilir.”
    maddo

Mitolojide bulunan en gerçekçi hikaye olan Serkan’ın sihirli baklavası, 2700 yıl sonra bile kulaktan kulağa aktarılmaya devam ediyor.

Sorular

  • Serkan’ın sihirli baklavasını nasıl bulabilirsiniz?
  • Baklavayı kesin olarak bulmak için bir yöntem üretebilir misiniz?
  • Bu yöntem kutu sayısı 5 olduğunda işe yarar mı? Peki ya n tane kutu olduğunda?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Oyun #2

Problem çözme becerisini (benim her ne kadar hoşuma gitseler de) yaş-havuz-işçi vb. problemlerle kazandırmaya çalışıyoruz. Bu anlayış maalesef öğrencilerin sadece sonuca odaklanmasına ve neredeyse hiç düşünmeden hareket etmesine yol açıyor. Bunu vurgulamaya devam edeceğim: Matematik öğrenmek için düşünmek farzdır.

Karşılaştığı 100 yaş probleminin tamamını çözen bir öğrenciyle ilgili kesin olarak bilinen iki şey vardır; bu öğrenci harikulade bir taklit refleksine ve aritmetik yapma kabiliyetine sahiptir.

Taklit etmek bir noktaya kadar büyük yarar sağlasa da, orijinal bir problemle karşılaşıldığında çözüm yolu üretmenize yardımcı olamaz.

Boşluk Yarışı

Strateji geliştirmek; problem çözme yetisini doğrudan olumlu bir şekilde etkiler. Bunun için en başta aritmetiği bir kenara bırakıp düşünmeyi ve strateji geliştirmeyi ön plana çıkaran sorularla uğraşmak gerekir.

Bu tür oyunların&soruların matematikle bir alakası yokmuş gibi görünse de aslında ilişki tahmin edemeyeceğiniz kadar yakındır. Bir matematik sorusunun cevabı gayet tabii ki bir paragraf olabilir.

Boşluk yarışı

İki kişilik bu oyun için kağıt ve kalemden başka bir şeye ihtiyacınız yok. Oyuncular en son iki kutu boş kalana dek sırayla X işareti koyar. İlk oyuncu sona kalan kareler yan yanaysa oyunu kazanır, değilse oyunu ikinci oyuncu kazanmış olur.

Oyunla ilgili düşünülecek çok şey var:

  • İlk başlayan olmak avantaj sağlar mı?
  • Kare sayısı önemli mi?
  • Sırayla bir yerine ikişer X koymak oyunu nasıl etkiler?
  • İlk oyuncunun kazanma şansını artırmak için izleyebileceği bir strateji var mıdır?
  • İkinci oyuncunun kazanma şansını artırmak için izleyebileceği bir strateji var mıdır?
  • Belli hamle sayısından sonra oyunu kimin kazanacağını tahmin etmek mümkün müdür?

Örnek

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Bulmaca #2

Küçüklüğümde izlediğim filmlerden bir “en iyi 10” listesi yapsam Zor Ölüm (Die Hard) üçlemesindeki (dörtleme olduğunu biliyorum. Hatıralarımın bozulmasından korktuğum için 2007’de çıkan son filmi izlemedim.) filmlerin tamamı listeye girerdi.

Serinin üçüncü ve son (evet inat ediyorum) filminde çılgın Alman teröristimiz Simon Gruber, ana karakterlerimiz John McClane ve Zeus Carver’a bir bulmaca bırakmıştı. Film boyunca sosyopat teröristimiz Simon, McClane&Carver ikilisine acı çektirmeyi başarmıştı. İkilinin en zorda kaldığı anlardan biri olan bu bulmaca, tüm seride en sevdiğim sahnedir.

die-hard-vengeance-laptop

İlgili sahne için tıklayın… ya da önce soruyu kendiniz çözmeye çalışın, video bir yere kaçmıyor.

Simon diyor ki…

“Çantanın içinde zaman ayarlı bir bomba var. Bombayı durdurmak için tek şansınız 5 ve 3 litrelik su şişelerini kullanarak 4 litre su elde etmeniz. Eğer doldurduğunuz su tam 4 litre gelmezse çantadaki terazi bunu fark edecek ve geri sayım durmayacak.”

dayhard

Eğik Bilardo Masası

Bir önceki yazıda nokta ve çizgilerin bulmaca çözerken nasıl yardımcı olduğundan bahsetmiştim. Çok ilginç ama bu bulmacada da grafik çizerek hızlı bir şekilde sonuca ulaşılabiliyor. Önce uygulayacağımız yöntem için bazı kurallar koymamız gerekiyor.

Kurallar

  • Noktalar şişelerdeki su miktarını (litre bazında), çizgiler ise kazanılan&kaybedilen su miktarını göstersin.
  • Noktaları gösterirken sayı ikilileri kullanalım. İlk sayı 5 litrelik şişedeki miktarı, ikinci sayı 3 litrelik şişedeki miktarı ifade etsin.
  • Örneğin elimizdeki şişelerde hiç su olmaması (0,0) noktasıyla ifade edilir.
  • (1,2) noktası 5 litrelik şişede 1 litre, 3 litrelik şişede 2 litre su var anlamına gelir.

O halde grafiğimiz şu şekilde olur.

dayhard1

Sorunun Çözümü

Çizdiğim bu grafiğe eğik bilardo masası dememin bir nedeni var: Noktalar arası hareket tıpkı bir bilardo topunun masada yaptığı hareket gibidir. Bir yön seçeriz ve topu oraya doğru göndeririz. Doğal olarak top ancak masanın bir kenarına ulaştığında tam yansıma yaparak yoluna devam eder.

Örneğin (0,0) noktasından gidilebilecek iki yön vardır; (0,3) ya da (5,0). Biz topu (0,3) yönüne gönderirsek aradaki (0,1) ve (0,2) noktalarını geçmiş oluruz. Yansıma, doğrultu üzerindeki son nokta olan (0,3)’te gerçekleşir gelince ve top (3,3)’e doğru devam eder.

Çözüme başlarken önce 5 litrelik (bundan sonra büyük şişe diyelim) şişeyi dolduralım. Bu, (5,0) noktasından başlamak anlamına gelir. Büyük şişedeki suyun 3 litresini diğer şişeye dolduralım dersek, bu da topu (5,0) noktasından (2,3) noktası doğrultusuna doğru vurmak anlamına gelir.

dayhard2

Buradan itibaren top tam yansımayla (2,0) noktasına doğru gider.

(2,0) noktasına gelen top, (0,2)’ye doğru yansır. Oradan da (5,2) noktasına ilerler.

(5,2)’den yansıyan top, (4,3)’e doğru gider. Artık durabiliriz çünkü (4,3) noktası büyük şişede 4 litre su olduğunu ifade eder.

dayhard7

 

Yanda görülen yol, 4 litre suya ulaşmak için yapılması gerekenleri tek tek anlatır:

  • Büyük şişeyi doldur.
  • 3 litresini diğer şişeye boşalt.
  • Küçük şişeyi boşalt.
  • Büyük şişede kalan 2 litre suyu diğer şişeye dök.
  • 5 litrelik şişeyi doldur ve ondan küçük şişede kalan 1 litrelik boşluğa su dök.
  • Böylece büyük şişede 4, diğerinde 3 litre su kalmış olur.

 

Eğer John McClane ve Zeus Carver grafik çizmeyi bilseydi, bulmacayı çok daha kısa sürede çözerlerdi. Oturduğum yerden Zor Ölüm’deki ikiliyi eleştirmek kolay tabi ki. Çok iyi biliyorum ki gerçek bir bomba ile karşı karşıya kalan ben olsaydım, öbür dünyaya erken yaşta göç etmiştim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Simon diyor ki…

  1. “4 litreyi elde etmek için ikinci bir yol daha var mı?”
  2. “1 dakika içinde bu iki şişeyle 1 litre su elde etmenin iki farklı yolunu bulun.”
  3. “6 ve 15 litrelik şişelerle 5 litre su elde etmek mümkün müdür? Her iki ihtimali de ispatla.”

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

 

Matematik Atölyesi: Sayılar #5

İngilizce’de “fraction” kesir demektir. Kelimenin kökeni Latince’de kırmak anlamına gelen “fractio”dur. Gelin kesirli sayılarla işlem yapmaya başlarken kırmak yerine katlamak fiilini kullanalım.

Kağıtla Kesirler

Kesirli sayılarla dört işlem, sadece A4 kağıdı kullanılarak gösterilebilir.

Boş bir A4 kağıdını ikiye katlayıp katlama çizgisinden keselim. Eğer kağıdın tamamına 1 dersek, katlanmış hali bize iki tane 1/2 verir. Sonra parçalardan birini tekrar ikiye katlayıp keselim. Tekrar aynı işlemi yapalım. Sonuçta elimizde olan parçalarla çıkarımlar yapmaya çalışalım.

Toplama

b’deki (1/2)+(1/2) ile c’deki (1/2)+(1/4+1/4)’ün birbirine eşit olduğu ve toplamlarının 1 yaptığı fotoğraflarda görülüyor. Buradan b’deki ikinci 1/2’nin (1/4)+(1/4)’e eşit olduğu çıkarımı yapılabilir. Yani elimizde

1/2=(1/4)+(1/4)

var. Bu eşitliğin sağ tarafını b’deki 1/2’lerin yerine yazdığımız takdirdeyse

1=(1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4)

sonucuna ulaşılır.

Çıkarma

Eğer 1/2=(1/4)+(1/4) eşitliğinin her iki tarafından da 1/4 çıkarılırsa elde;

(1/2)-(1/4)=(1/4)+(1/4)-(1/4)

(1/2)-(1/4)=(1/4)

olur.

Çarpma

Yine bir A4 kağıdını 1 olarak kabul edelim. Bu sefer kağıdı sadece katlayıp, katlanılan yerlerin bıraktığı izleri kullanacağız.

Diyelim ki (1/2) x (3/4) işleminin sonucunu bulacağız.

IMG_4514

 

O halde kağıdı önce ilk kesre bakarak ikiye katlayalım.

 

IMG_4515

 

Daha sonra katlanmış kağıdı ikinci kesre bakarak dörde katlayalım.

 

IMG_4519

 

İkinci kesir 3/4 olduğu için 3 parçayı işaretleyelim ve kağıdı tamamen açalım.

 

 

IMG_4520

 

Eldeki kağıtta 8 parçanın 3’ü işaretlenmiştir. O halde (1/2)x(3/4)=3/8 olur.

 

 

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kağıt yöntemini kullanarak 1/8 ve 1/32 sayıları arasındaki bağlantıyı gösteren eşitlikleri bulun.
  2. (1/8) – (1/32) işleminin cevabını bulun.

Oyun

Hiç bir kaybınızın olmayacağı bir şans oyunu hayal edin. Bu oyuna başlarken size 128.000 lira ve üçer kırmızı ve siyah renkte oyun kağıtları veriliyor. Oyunun kurallarına göre her kart çekildiğinde elinizdeki paranın yarısını yatırmak zorundasınız. Ayrıca kırmızı kart çekmek yatırdığınız paranın iki katını verirken siyah kart çekmekse yatırdığınız parayı kaybettiriyor.

Kartları çektikten sonra elinizdeki para 128.000 liranın üzerindeyse, kar sizin oluyor.

Soru ise şu: Kartları hangi sırayla dizmek gerekir?

Cevabınızı neden belirterek verin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Algoritma #2

Algoritma kelimesi 9. yüzyılın ortalarına dek yaşamış olan İran asıllı bilim insanı El Harezmi’nin isminin Latince’deki karşılığıdır. Fakat matematikte algoritmanın (ya da yöntemin) bilinen en eski örneklerinden biri Harezmi’den yaklaşık 1300 önce yazılmış bir eserde bulunur.

Neredeyse her yazıda bahsettiğim Öklid’in Elementleri tarihin en önemli geometri eserlerinden biri olarak bilinir. Fakat Elementler bir geometri eseri olarak adlandırılamayacak kadar geniş kapsamlı 13 kitaptan oluşur. Bu kitapların içinde yedinci kitabın ikinci önermesi ilkokuldan itibaren aşina olduğumuz bir soru tipinden bahseder.

Ortak Bölen

Elementler’in yedinci kitabının ikinci önermesine bugün Öklid’in Algoritması denilir. Algoritma kitapta “Aralarında asal olmayan iki sayı verildiğinde, bunların en büyük ortak ölçüsünü bulmanın yolu.” olarak tanımlanmıştır. Gelin bir örnek üzerinden Öklid’in ne demek istediğine bakalım. (Aralarında asal olmayan iki sayı: Kabaca aynı sayıya bölünemeyen sayılardır.)

Örnek: 10 ve 6 sayılarının en büyük ortak ölçüsünü Öklid’in yöntemiyle bulmak.

Hatırlatmakta yarar var, Öklid sayı yerine uzunluk kullanıyordu. O yüzden algoritması da uzunluklarla işlem yapmayı içerir. En basit haliyle Öklid’in algoritması şu şekilde ilerler: Kalan iki sayı birbirinin eşiti olana dek büyük olandan küçüğü çıkar.

Adım 1 => Büyük sayıdan küçüğü çıkar.

öa1

 

AB uzunluğu 10, CD uzunluğuysa 6 birimdir. Büyük uzunluktan küçüğü çıkarırsak geriye 4 birimlik başka bir uzunluk kalır.

 

 

Adım 2 => Kalan ile CD uzunluklarından hangisi büyükse, ondan küçük olanı çıkar.

öa2

 

CD 6, kalan uzunluk olan EF ise 4 birimdir. Birbirlerinin farkı 2 birimdir.

 

Adım 3 => Yeni kalan ile EF uzunluklarından hangisi büyükse, ondan küçük olanı çıkar.öa3

EF 4, kalan uzunluk olan GH ise 2 birimdir. Birbirlerinin farkı yine 2 birim yapar.

 

Adım 4 => Yeni kalan ile GH uzunluklarından hangisi büyükse, ondan küçük olanı çıkar.

öa4GH ile IJ uzunlukları birbirine eşittir. O halde sonuç 2 birimdir.

 

Yani 10 birimlik bir uzunlukla 6 birimlik bir uzunluğun en büyük ortak ölçüsü 2 birimdir.

EBOB

İlkokuldan beri “en büyük ortak bölen” (kısaca EBOB) kavramı bir çok defa karşınıza çıkmıştır. Belki de yüzlerce adet soru çözdüğünüz bu konunun tarihi aslında milattan önce 400’lere dek uzanır. Okulda iki sayının EBOB’unu bulurken sayıları asal çarpanlarına ayırmak en çok kullanılan yöntemdir. Sayıların sahip olduğu asal çarpanlardan ortak olanlar en büyük ortan böleni verir. Aynı soruyu bir de bu yöntemle çözelim.

10=2.5 ve 6=2.3 olur. Bu yüzden cevap 2‘dir.

Karşılaştırma: 60 ve 40 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?

  • Öklid’in Algoritması:
    60-40=20
    40-20=20
    20-20=0
    Cevap 20.
  • Çarpanlara Ayırmak:
    60=2.2.3.5
    40=2.2.2.5
    Ortak olanlar => 2.2.5=20.

Taş Ustasının Problemi

En büyük ortak bölen bulmak için bir yöntem daha var: Yer döşemek.

Antik zamanlarda Ege’de yaşayan bir döşeme ustası yapılacak yeni tapınağın inşaatında çalışmak üzere tutulur. Ustadan tapınağın girişinde 40 metreye 60 metrelik bir dikdörtgen alanı kare şeklinde taşlarla döşemesi istenir. Bu işi yaparken ustanın en az kaç adet taşa ihtiyacı vardır? (Aslında bu soru ile “40 ile 60 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?” sorusu aynıdır.)

kare1

Usta, Öklid’den haberdardır. Onun algoritmasını temel mantık olarak düşünerek yeni bir yöntem yaratır. Taş ustası dikdörtgen şeklindeki alan tamamen dolana dek içine dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğuna sahip kareler çizer. En son çizilen karelerin bir kenarı cevabı verir.

 

Adım 1 => Dikdörtgenin içini kısa kenarın boyutlarına sahip karelerle doldur.

kare2

 

 

Kısa kenar 40 metre uzunluğundadır. Bu yüzden dikdörtgenin içine kenarları 40 metre olan karelerden sadece bir tane sığar.

 

 

Adım 2 => Şimdi elinizde 40’a 20’lik bir dikdörtgen vardır. Aynı şeye devam edilir; kısa kenarın boyutlarına sahip kareler çizilir.

kare3

 

 

Kısa kenar 20 metre olduğu için, çizilen kareler 20’ye 20’liktir. Büyük dikdörtgen tamamen dolunca cevabı en son karenin boyutları verir: 20.

 

India_Goa_Cathedral_Floor
Kötü usta…

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Algoritma #1

Materyal: Kağıt ve kalem.

Matematik dersinde bir öğrenci seçilir.

Öğrenci robottur. Sadece komutlar doğrultusunda hareket eder.

Amaç öğrencinin bir sıra üzerinde bulunan kutuyu sınıfın dışına taşımasını sağlamak.

Öğrencilerin komutları kesin ve kısa olmalı.

  • Kesinlik: Robotun gözünde ölçü birimlerini gösteren bir alet olmadığı için “1 metre ilerle” demenin bir anlamı yoktur. Onun yerine “sağ, dur, ilerle, dur” veya “3 fayans kadar ileri” şeklinde komutlar verilmeli. Ayrıca “kutuyu al” diye bir komut da yetersizdir. “Eğil, sol kol ileri, aşağı, geri” şeklinde komutlar kullanılması mecburdur.
  • Kısalık: Komutlar mümkün oldukça cümle şeklinde verilmemeli. Robotun sağa dönmesi isteniyorsa “sağ” komutu, yeterince döndüğü düşünüldüğünde de “dur” komutu verilmesi gibi.

Öğrencilerin kağıda yazdığı komutlar bir algoritma örneğidir.

Algoritma Nedir?

Son zamanlarda neredeyse tamamen bilişim teknolojisinde kullanılan algoritma kelimesinin Türkçe’de karşılığı yöntemdir. Yani hayatın hangi alanında yöntem içeren bir iş varsa, orada algoritma vardır. Evden işe giderken kullandığımız yoldan, oyun kağıdı karıştırma şeklimize, hatta PlayStation’da Fifa oynarken kullandığımız tuşlara dek hep bir algoritma kullanıyoruz.

Peki algoritma kelimesinin kökeni nedir?

Yöntem Bey

8. ile 13. yüzyıl arasında kalan zaman dilimi İslam’ın Altın Çağı olarak adlandırılır. Müslümanlar 500 yıl boyunca hayatın her alanında yaşanan gelişmeleri kontrol etmişti. Doğal olarak bilimde de sürükleyici güç Müslümanlardı.

Altın Çağın başlangıcı başkenti Bağdat olan Abbasi Devleti’ne dayanıyordu. 8. yüzyılın sonuna doğru Müslümanlar (özellikle Araplar) bilim ve sanat konusunda diğer milletlerden geride kalmıştı. Bu durumu değiştirmek isteyen Halife Harun Reşid ve oğlu Halife Memun işe bilimle ilgili yazılmış ne kadar önemli eser varsa hepsinin Arapça’ya çevrilmesini sağlayarak başlamıştı. Bu döneme dek en önemli bilimsel çalışmaları Yunanlar yazmıştı. Bu yüzden Abbasi Halifeleri öncelikle bulunabilen tüm Yunan eserlerin çevrilmesini emretmişti. Bu uğurda Beyt’ül Hikmet isimli bir kütüphane kuran El Memun, elinin altındaki tüm tercümanları etraf ülkelere göndermişti(Beyt’ül Hikmet daha sonra kütüphaneden çok bir bilim merkezi gibi işlev görmüştü).

Memun’un bu çabası sayesinde Sokrates, Aristoteles, Öklid, Diyofantus ve daha nice Yunan bilim insanının eserleri günümüze dek ulaşmıştır. Çünkü günümüzde eski Yunan eserlerinin en eski versiyonları sadece Arapça olarak bulunmaktadır. Antik Yunan eserlerin Arapça’ya tercüme edilmesi, Müslümanların Yunanların etkisinde kalmasına yol açmıştı. Öyle ki, Aristotelesçi düşünce Müslümanları derinden etkilemiş, hatta bir çok İslam düşünürü için kutsal sayılan bir felsefe olarak görülmüştü.

Müslüman matematikçiler de antik Yunan çalışmalarından büyük ölçüde etkilenmişti. Bunlardan biri İran kökenli El Harezmi idi. Harezmi sadece Yunan matematiğiyle yetinmemiş, Hint matematiğini de öğrenmişti. İlk olarak Hindistan’da ortaya çıkan on tabanlı basamak sistemini Hindistan’ın dışına taşıyan kişinin El Harezmi olduğu bilinir. Harezmi dünyaya sayı sistemi dışında çok önemli bir armağan daha vermişti. Yazdığı “Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap” bugün matematiğin en eski ve en geniş alanlarından birine ismini vermişti: Cebir.

contribution_of_al-khwarizmi_02
Özbekistan’da bulunan El Harezmi heykeli. (Foto: Alain Juhel)

El Harezmi’nin eserleri 12. yüzyılda Latince’ye çevrilirken, ismi “Algoritma” olarak tercüme edilmişti. Yani algoritma kelimesi bir Müslüman matematikçinin ismidir. Bu, El Harezmi’nin yazdığı Cebir kitabının içeriğinden kaynaklıdır. Harezmi’den önce matematikte yöntem yok denecek kadar azdı çünkü problemler çoğu zaman sadece özel durumlar için çözülürdü. Cebir’de ise matematik problemlerinin genel çözümlerinin nasıl (yani hangi yöntemle) yapılacağı gösterilmişti ki bu başlı başına bir devrim niteliğindeydi.

Harezmi’nin Algoritması

El Harezmi matematik problemlerinin çözümünü sembol kullanmadan sadece kelimelerle yapmıştı. Ayrıca çözümlerinde geometriden de yardım almıştı. Bunun bir nedeni, onun yaşadığı dönemde bilinmeyene bugün atadığımız gibi bir harfin atanmıyor olmasıydı. Bir problemde bilinmeyene x demeye başlamamız Harezmi’den yüzlerce yıl sonraydı.

Harezmi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin genel çözümü için algoritmalar kurmuştu. Bu tür denklemleri günümüzde a,b ve c sayı, x değişken olmak üzere;

ax2 + bx + c = 0

şeklinde gösteriyoruz. Harezmi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin genel çözümü için şöyle bir yöntem geliştirmişti:

xkare
Bir kenar uzunluğu x olan karenin alanı = x2
kareartıx
Bir kenar uzunluğu x olan kare ile kenar uzunlukları x ve 2 olan dikdörtgenin alanları toplamı=x2+2x

Sonuç

Bugün algoritma bir bilgisayar programının arka planında bulunan kod anlamında düşünülüyor. Algoritmalar yazılımın her yerindedir ve bilgisayarlara bir problemi nasıl çözmesi gerektiğini gösterir. Bilgisayar teknolojisinin günlük hayatımızın içine iyice girmesi yüzünden algoritmanın matematiksel anlamı unutulmuş ya da geri plana atılmıştır. Fakat algoritma kelimesi ilk olarak 800 yıl önce El Harezmi’nin Cebir’iyle tanışan Avrupalılar tarafından matematiksel yöntem anlamında kullanılmıştı. Bu yüzden çocuklara yazılım dersleri verirken matematiği bir kenara atmamak, her iki şeyin de aslında birbiriyle iç içe olduğunu göstermek gerekir.

Ek Soru: Harezmi’nin geometrik yöntemini kullanarak

2x2 + 10x = 30x – 2x2

denklemini çözünüz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Taklit #1

(TDK’ya göre taklit “Bir örneğe benzemeye veya benzetmeye çalışma” anlamına gelir. )

Quanta Magazine’de okuduğum bir yazı bana göre tüm eğitim felsefesinin hangi yönde olması gerektiğini anlatıyor. Kevin Hartnett’in 18 Ekim 2017 tarihinde yayınladığı yazının konusu Doğu Asya’da binlerce yıldır oynanan Go oyunuyla ilgili.

AlphaGo isimli, Go oyununu kendi başına oynayabilen bir bilgisayar programı yapan mühendisler, programın versiyonlarında iki farklı yöntem kullanmıştı. İlk yöntemde  programa 100.000 amatör Go müsabakasını yükleyen mühendisler, programın bu müsabakaları tek tek incelemesini sağlamıştı. Böylece oyuncuların stratejilerini çözerek oyunu öğrenen program en iyi Go oyuncusu unvanını almıştı. İkinci yöntemde ise programa sadece oyunun kuralları verilmişti. Böylece program kendi başına Go’yu öğrenip, oyunu oynarken kullanacağı stratejileri yine kendi bulabilecekti. 2017’de çıkarılan AlphaGo Zero isimli versiyon, sadece ikinci yöntemi kullanıyordu. AlphaGo Zero önce boş bir Go tahtasına rastgele şekilde taşları diziyor, sonra zamanla nasıl hamleler yapabileceğini anlamaya çalışıyordu.

indir
Go tahtası ve taşları.

AlphaGo Zero’nun çalıştırılmasından kısa bir süre sonra mühendisler inanılmaz bir sonuçla karşılaşmıştı. Program oyunu kendi kendine öğrenmekle kalmamış, sadece 3 günde yaptığı 4,9 milyon tane antrenmandan sonra binlerce yıldır insanların geliştiremediği stratejiler geliştirmişti. AlphaGo Zero ile programın bir önceki versiyonunu karşı karşıya getiren mühendisler, yeni programın 100 maçın tamamını kazandığını görmüştü. AlphaGo Zero, yapay zekanın ne denli güçlü olduğunu gösteren örneklerden sadece biri. Öyle ki AlphaGo’nun yaratıcılarına göre program maddelerin farklı özelliklerini oluşturan atomik kombinasyonları anlamamıza yardımcı olabilir.

Yeni programın anlattığı başka bir şey daha var. İnsanların stratejilerinden öğrenen, yani taklit eden program dünyanın en iyi Go oyuncusu olmuştu. Kendi kendine oyunu öğrenen, yani taklit etmeyen yeni program ise insanlardan öğrenen programı darmaduman ederek daha iyi olduğunu kanıtlamıştı. AlphaGo’nun bu gelişimi bize eğitimin işleyişi için harika bir örnek veriyor. Gücünün sınırlarını tarif bile edemediğimiz yapay zeka ilk yöntemde olduğu gibi taklit etmeye zorlandığında değil, düşünmesine ve kendi başına sonuç bulmasına izin verilen ikinci yöntem sayesinde potansiyelini daha açık bir şekilde ortaya koyuyor.

Matematik eğitiminde de en kolay yol, taklit etmekten geçer. Düşünmeden, sadece belli yöntemler izlenerek matematik soruları çözülebilir. Fakat bunun kimseye faydası olmaz, çünkü öğrenciler taklit yöntemi yüzünden kendi başlarına düşünmeyi öğrenemez. Bu şekilde matematik öğrenen öğrencilerin büyük kısmı yorum gerektiren problemlerde sıkıntı yaşar. Hatta bazı durumlarda problemdeki en ufak değişimde bile kitlenme yaşandığı görülür.

Bugün dünyanın geri kalanıyla mücadele edebilmek ve gelişmiş bir ülkede yaşayabilmek için mühendislere, yaratıcı insanlara, bilimle uğraşanlara çok ihtiyacımız var. Bir sonraki yazıda matematikte taklit ile özgür düşünce arasındaki farkı örneklerle açıklayacağım.

Go’nun ne olduğu hakkında bilgi edinmek için tıklayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu