Sayılar #12

Subitizing/altlandırma: Küçük bir gruptaki obje sayısını saymadan bilme yeteneğidir.

(Subitizing: Türkçe karşılığı “ani” olan Latince’deki “subitus” kelimesinden türetilmiştir.)

Gündelik hayatta altlandırmayı kullandığımız birçok durum vardır. 6’lı pakette soda aldığımızı farz edelim. Soda şişelerini buzdolabına nasıl dizersek dizelim şişe sayısının 6 olduğunu biliriz. Aslında bu bilgiye soda şişelerini saymamıza gerek kalmadan ulaşırız. Eğer soğuyan sodalardan birini içmeye karar verirsek, geriye 5 adet soda kaldığını bilgisine de yine sodaları saymadan ulaşabiliriz.

Hangi zarın kaç olduğunu üzerindeki noktaları saymadan biliyorsunuz.

Altlandırma için bir başka örneği tavla oyunundan verebiliriz. Diyelim ki attığımız zarlar 2 ile 5 geldi. Bu bilgiye ulaşırken harcadığımız süre neredeyse saniyenin onda birleri kadardır. Hatta, gelen zarların kaç olduğuna karar verirken harcanan süre tavla oyununu oynadıkça kısalabilir. Yani altlandırma, zamanla ve üzerine çalışıldığında gelişebilen bir yetenektir.

Kimi bilim insanlarının araştırmalarına göre 6 aylık bebekler 1, 2 ve hatta 3 kavramına görsel(3 defa zıplayan top) ve işitsel(3 defa alkışlamak) olarak sahiptir. Bir diğer deyişle insan doğduktan sonra sayı kavramını hızla geliştirmeye başlar.

Kebab Truck ve Altlandırma

Kebab Truck oyununda altlandırma; gelen müşteri gruplarının sayısında gizlenmiştir. Oyun oynandıkça daha yüksek skorlara ulaşılır. Bunun nedeni zamanla altlandırmanın gelişiyor olmasıdır.

Kebab Truck’ta müşterilerin aşağıdaki gibi geldiğini düşünelim:

Oyunda tecrübe kazandıkça bu durumda yapacağınız hamle, oyuna acemi iken yapacağınız hamlelerden çok daha farklı olur. Bunun en önemli nedeni, zamanla altlandırma yeteneğinizin gelişmiş olmasıdır.

Kebab Truck oyununun geliştirdiği bir başka yetenek ise basit aritmetik becerileridir. Bu beceriler sadece müşteri sayılarını toplama ve çıkarma ile sınır değildir. Skor sisteminin nasıl formüle edildiği çözülünce (gelen müşteri gruplarından maksimum skoru elde edebilmek için) çarpma işleminin de oyunun bir parçası olduğu anlaşılır.

Matematik Atölyesi – Şans #8

Fanatik Taraftar

Kupa finali bu sene şehrin en önemli iki futbol takımı arasında; hem derbi hem de final. Bu yüzden iki takımın taraftarı da son derece heyecanlı. Ahmet’in ise maçla pek bir ilgisi yok. Tuttuğu takım yarı finalde elendiği için Ahmet rahat.

Ahmet’in yakın arkadaşlarından ikisi olan Samet ve Tarık, iki haftadır durmadan tartışıyor. Samet, FC Çatladıkkapıspor’un, Tarık ise AC Milan’ın maçı kazanacağını iddia ederken Ahmet akşam ne yiyeceğini düşünüyor.

Samet

“Senelerdir yenilmiyoruz adamlara. %90 maç bizim. Ama futbol bu; her şey olabilir. O da %10 ihtimal işte. Evet, çok eminim. Gel iddiaya girelim istersen?!”

Tarık

“Bu senenin en formda takımıyız. Forvetimiz bu sene 27 maçta 69 gol attı. Maçı %75 biz kazanırız. Ama bunlara şansımız tutmuyor. Hadi %25 de onlara şans veriyim. Senle hemen iddiaya girebilirim Ahmet!”

Fırsatçı Ahmet

Final maçı olduğu için beraberlik şansı yok. Yani iki takımdan biri mutlaka maçı kazanacak.

Arkadaşlarının neredeyse birbirine zıt düşüncelerinde yararlanmak isteyen Ahmet her ikisiyle de öyle bir iddiaya girmek istiyor ki, sonuç ne olursa olsun kar etsin.

Ahmet’in yerinde olsaydınız ne yapardınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #17

Kafamızdaki Topoloji

Sürekli olaylara bakış açımızı değiştirmekten bahsediyorum. Örneğin bir bebekle karşılaştığınızda aklınıza öncelikle bebeği sevmek ve onu güldürmeye çalışmak gelir. Halbuki bebeğin saçlarına dikkat ederseniz, burada çok önemli bir matematik bilgisinin saklı olduğunu görebilirsiniz:

Her bebeğin kafasında yukarıdaki gibi bir nokta vardır. Görüldüğü üzere bu noktanın dışında kalan saçlar, bebeğin kafasının hemen her yönüne doğru uzuyor. Peki noktanın bulunduğu yerde çıkan saçların yönü neresidir?

Bunun açıklaması topolojide saçlı top teoremi ile yapılmıştır.

Saçlı Top Teoremi

Saçlı top teoremine göre tüylü (veya bulabilirseniz saçlı) bir topu herhangi bir yöne doğru taramaya çalışın. Topun en az bir noktasında bulunan bir tüyün (veya saçın) istenilen yöne doğru taranması mümkün değildir.

Bunu yapmaya çalıştığınızda en az bir tüy (veya saç) taranmak istenen yönde olmaz. Bu tüyün bulunduğu noktada bir tür tekillik bulunur; tüy istenilen tarafa yatmayıp dik durmakta ısrar eder.

Bebeğin kafası da bir nevi saçlı top teoremi örneğidir. (Bir nevi dememin sebebi, saçlı top teoremine göre topun yüzeyinin tamamının tüyle kaplı olmasıdır. Halbuki bir insanın kafasının her yeri saçla kaplı değildir.) Bu sebeple yukarıdaki resimde gösterdiğimiz noktada bir tekillik vardır; o noktada saç dik kalır. O saç bir türlü tarakla yatırılamaz.

Torus

İçi boş (bir diğer deyişle; delikli) bir cisim olan torusta saçlı top teoremi işlemez. Yani tüylü bir torusun tamamını tek bir yöne taramak mümkündür.

Hiç Rüzgar Yok

Saçlı top teoreminin kullanım alanlarından biri meteorolojidir. Teoreme göre herhangi bir anda dünyanın herhangi bir noktasında hiç rüzgar yoktur.

Bunu ispatlamak için tüylü topu tarama yöntemini düşünmeniz yeterli. Diyelim ki dünyanın her yerinde doğudan batıya doğru rüzgar esiyor olsun.

Bu durumda kuzey ve güney kutup noktalarında rüzgar olmaz. Yani saçlı top teoremi haklıdır.

Haritadayım

Saçlı top teoremi Brouwer’in sabit nokta teoreminin bir başka türüdür. Hatta bu teorem de L.E.J. Brouwer tarafından 1912 yılında ispat edilmiştir.

Sabit nokta teoremi için verilebilecek örneklerden biri de haritalarla ilgilidir. Örneğin bulunduğunuz ülkenin haritasının çıktısını alın ve sınıf içerisinde yere koyun:

Daha küçük bir harita da olur.

Harita üzerinde öyle bir nokta vardır ki, haritanın bulunduğu coğrafi konumla aynıdır.

Avm veya otobüs duraklarındaki “buradasın” haritaları buna örnek olarak gösterilebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdakilerin tüylü olduğunu varsayın. Hangisi /hangileri aynı yöne doğru taranabilir? Neden?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #16

Yürüyüş

  • Sınıfın içerisinde iki nokta belirlenir.
  • Bu iki nokta arasına bir çizgi (örneğin bir ip serilerek) çizilir.
  • Noktalardan birine öğrencilerden biri gönderilir.
  • Öğrenci harekete başladıktan 10 saniye sonra ipin diğer ucuna varmak zorundadır.
  • Öğrenciye yardımcı olmak için harekete başladıktan sonra hep bir ağızdan 10’a kadar sayılır.
  • Öğrenciden yürüyüşü iki defa yapması istenir ve her iki seferin de videosu çekilir.

Deneyin Amacı

Deney sonunda şu sorunun cevaplanması istenilir:

“Bu iki yürüyüşte öğrencinin ip üzerinde aynı zamanda bulunduğu bir nokta var mıdır?”

Özetle; öğrenci aynı yolu farklı hızlarda ama aynı sürede tamamlamaktadır. Öğrenilmek istenen şeyse yürüyüşler sırasında öğrencinin aynı konumda olduğu bir an olup olmadığıdır.

Öncelikle öğrencilere soru üzerinde düşünmesi ve akıl yürütmesi için zaman verilir. Daha sonra bu sorunun cevabı videoların yardımıyla verilir.

En önemli soru ise sona saklanır: Neden?

Yine bir neden sorusu… Gel de ayıkla pirincin taşını!

Ayıkla Pirincin Taşını

Küçüklüğümde bana verilenler işler arasında bir tepsi üzerine dökülmüş pirinç dağı içindeki taşları ayıklama işi gelirdi. Aslında bunu yaparken keyif alırdım. Çünkü pirinç taneleriyle garip şekiller yapmayı seviyordum.

Yıllar sonra matematik okurken öğrendiğim bir teorem bana taş ayıkladığım zamanları düşündürttü. Bu teoreme göre ayıklama işi bittiğinde en az bir pirinç tanesi, ayıklama işlemi başlamadan önce bulunduğu konumda olurdu. (Pirinç tanelerinin tepsinin yüzeyini komple kapladığını varsaydığımız durumda.) Bir diğer deyişle pirinç tanelerini ne kadar karıştırırsam karıştırayım, en az bir pirinç tanesi karıştırmadan önce neredeyse yine o noktada olurdu.

Bu inanması güç durumu açıklayan kişi Hollandalı matematikçi L.E.J. Brouwer’di. Brouwer’in sabit nokta teoremi topoloji ile alakalıdır ve matematiğin en önemli teoremleri arasında gelir.

Yürüyüşün Cevabı

Yürüyüş deneyi de bir tür Brouwer’in sabit nokta teoremi örneği olduğu için cevap “evet”tir: Öğrencinin yürüyüşleri nasıl olursa olsun yürüyüşler sırasında öyle bir an vardır ki, tam o anda öğrenci her iki yürüyüşte de aynı noktadadır.

Brouwer’in sabit noktasından bahsetmeye bir sonraki yazıda devam edeceğim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir adam sabah 08:00’da evinden yola çıkıyor ve 14:00’te başka bir şehirde yaşayan arkadaşını ziyaret ediyor. Ertesi sabah yine saat 08:00’de yola çıkıyor ve 14:00’te evine varıyor.

Koşullar

  • Değişmeyen şeyler başlangıç ve bitiş noktalarıyla yolculuğun süresidir.
  • Yani adam yolculukları süresince aynı ve/veya farklı hızlarda hareket ediyor olabilir.

Adam bu iki gün içerisinde aynı saatte yolun aynı noktasında olma ihtimali var mıdır?

İpucu: Mesafenin 600 km olduğu ve öğrencinin bu mesafeyi 6 saatte alacak şekilde hızlarda gittiği varsayılabilir. Örneğin gidişte saatte 100 km sabit hızı varken dönüşte ilk 2 saat 80 km/sa, sonraki 2 saat 100 km/sa ve son 2 saat 120 km/sa hızla yol aldığı düşünülebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #20

Alcatraz’dan Kaçış

Bir sınıf içerisinde bir duvardan diğerine uzaklık 5 metredir. Bu iki duvar arasına 6 metrelik bir ip bağlanır. İp yerden 2 cm yükseklikte olacak şekilde gerildikten sonra fazla gelen 1 metrelik kısmı bir uçtan sarkar durumda bırakılır.

Amaç; ipe değmeden altından geçip sınıftan kaçmaktır.

Kurallar

  • Kaçış iki duvarın orta noktasından yapılmalıdır.
  • İpi genişletmek için fazla kısım kullanılmalıdır.
  • İpe değmemeniz için bir kişi sıradaki öğrenci yerine ipi germe işini yapar.
  • Kaçış denemesi için herkesin tek bir hakkı vardır.

Kazanma Şartı: En az uzunlukta ip kullanarak ipin altından geçmek.

Futbol Sahası

Bir futbol sahasında iki kale arasında kalan mesafe 90 ile 120 metre arasındadır. Diyelim ki uzunluğun 100 metre olduğu bir sahadaki kalelerin orta noktaları arasına bir ip gerdik. Bu ip 100 metre uzunluğundadır ve saha yüzeyinin tam üstündedir. (Yani ip yere yapışık şekilde duruyor.)

İpin tam ortası, başlangıç noktası diye adlandırılmış olan noktaya denk gelir. Burası sahanın orta noktasıdır.

İpe 1 metre daha ekleyelim. İp, iki kale arasındaki mesafeden daha uzun olacağı için artık gergin değildir.

Soru: Son durumda sahanın başlangıç noktasından ipi kaç metre havaya kaldırabiliriz?

Çözüm

Soru bir bakıma şu anlama da gelir:

“Birbirine 100 metre mesafede bulunan iki nokta arasına biri 100, diğeri 101 metre olan iki ip bağlanmıştır. 101 metre uzunluğundaki ip tam orta noktasında yukarı doğru çekildiğinde, iki ipin orta noktaları arasında mesafe (diğer bir deyişle ikinci ipin yerden yüksekliği) kaç metredir?”

Yukarıdaki çizim incelendiğinde aslında iki tane birbirine eş dik üçgen olduğu görülür:

Dik üçgenlerin birinde Pisagor teoremi uygulanarak h kenarı, dolayısıyla aradığımız cevap bulunabilir:

Pisagor teoremi der ki: “Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.”

O halde:

(50,5)2 = 502 + h2

h ≈ 7,089 m olur.

Sonuç

100 metrelik ipe sadece 1 metre eklemek, ipin orta noktasının yerden 7 metre yükseğe çıkabilmesini sağlar. Yani sadece 1 metre ekleyerek ipin ortasında bir tır geçirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Şans #7

Ne Kadar Yakın?

Oyun: Bir topluluk içerisinde herkesten 0 ile 100 arasında bir sayı seçmesi isteniyor. Oyunda aynı sayıyı birden fazla kişinin seçmesi mümkün olsa da oyuna katılanların seçimlerini yaparken birbirleriyle konuşması yasaktır.

Kazanan: Seçilen sayıların ortalamasının 3’te 2’sine en yakın olan kişi oyunu kazanmış olur. (Ortalama: Seçilen sayıların toplamının seçen kişi sayısına bölümüdür.)

Soru: Kazanan olmak için izlenilebilecek bir yol var mıdır?

İlk başta bu basit oyunda 0 ile 100 arasında hangi sayının seçildiğinin bir önemi olmadığı düşünülebilir. Çünkü kazanan değer diğerlerinin seçimlerine bağlıdır. Fakat ihtimaller hesabına kafa yormayı seven birisi, bilinçli bir seçimle oyunu kazanma şansını artırabilir.

Adım #1

12 kişilik bir grupta herkesin 100 sayısını seçtiğini varsayalım. O halde ortalama:

(12*100)/12 = 100

olur. Sonuç ortalamanın 3’te 2’sidir. Yani kazanan sayı 100*2/3 = 66,666…’ya en yakın olandır.

Grupta bulunan herkes seçebileceği en yüksek sayıyı seçtiğine göre kazanan değer en fazla 66,666…’dır. Eğer bunun farkındaysanız sayınızı 0-100 arasında değil; 0-66 arasında seçersiniz.

0-66

Tabi ki 66’dan yüksek bir sayıyı seçen kişinin oyunu kazanma şansı vardır. Fakat kazanan sayının 66’dan yüksek olmayacağını bildiğiniz bir durumda (örneğin) 70 sayısını seçmeniz mantıksızdır.

Ya Herkes Her Şeyin Farkındaysa?!

Diyelim ki bu gerçeğin farkına vardınız. Diğerleri 0-100 arasında bir sayı seçecekken siz 0-66 arasında bir sayı seçeceksiniz. Bu sayede kazanma şansınızı bir hayli arttırdığınızı düşünüyorsunuz. Fakat bir anda aklınıza başka bir şey geldi: Ya herkes bu durumun farkındaysa?

Adım #2

Eğer 12 kişinin tamamı kazanan sayının en fazla 66,666… olduğunu fark ettiyse, o halde grupta hiç kimse 66’dan büyük bir sayıyı seçmez. Yani herkes 0 ile 66 arasında bir sayıyı tercih eder.

Bu durumda çıkabilecek en yüksek sonuç herkesin 66’yı tercih etmesidir:

(66*12)/12 = 66 ortalama.

66*2/3 = 44 kazanabilecek en yüksek sonuç.

0-44

Yani, herkes 66’dan küçük bir sayı seçerse kazanan sayı 44’den büyük olamaz. Öyleyse neden 44’den büyük bir sayı tercih edersiniz ki?

Adım #3

Gruptaki herkes sayısını seçmeden önce bu gerçeklerin farkındaysa kimse 44’ü geçmez. Bu, önceki iki senaryoda olduğu gibi yeni bir ihtimal hesabına yol açar: Herkes kazanan sayının 0 ile 44 arasında olacağını bildiği için kazanan sonuç en fazla:

(44*12)/12 = 44 (ortalama)

44*2/3 = 29,333… olur.

Bu da kazanan sonucun en fazla 29 olabileceğini söyler. O halde 29’dan fazla bir sayı seçmenin manası yoktur.

0-29

Bu mantıkla ilerlendiğinde kazanan sonuç 11 adım sonunda 0 (sıfır) çıkar. Bu yüzden oyun için en mantıklı hamle herkesin sıfırı seçmesidir. Olasılık bilgisini kullanan herkes eninde sonunda kendisi için en uygun sayının 0 olduğunu fark eder.

Sonuç

Matematik bilgisi sayesinde bir topluluk birbiriyle iletişimde olmadığı halde herkesin çıkarına olan ortak bir karar verebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

12 kişilik grupta bir kişinin matematikle hiç alakası olmadığını biliyorsunuz. Bu durumda nasıl bir mantık geliştirmeniz gerekir? Cevabınızı olasılık hesapları çerçevesinde verin.

Not: Kendinize bir örneklem yaratmak için buradan rastgele sayılar seçebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #15

İnsan Düğümü Oyunu

Sınıftaki öğrenciler en az 5’erli gruplara ayrılır. Her grup ayakta çember şeklinde durur ve aşağıdaki talimatları izler:

  1. Gruptaki öğrencilerin sayısı çift ise:
    20190812_153400.jpg
    -Her öğrenci sağ eliyle komşusu olmayan birinin sağ elini tutar.
    20190812_153408.jpg
    -Öğrenci aynı şeyi sol elleri için yapar.
    20190812_153415.jpg
  2. Gruptaki öğrencilerin sayısı tek ise:
    20190812_153325.jpg
    -Biri hariç her öğrenci sağ eliyle komşusu olmayan (yani yanında olmayan) birinin sağ elini tutar.
    20190812_153338.jpg
    -Boşta kalan öğrenci sağ eliyle kendisine komşu olmayan birinin sol elini tutar.
    20190812_153345.jpg
    -Sol eli boşta kalan öğrenciler boşta kalan elleriyle birbirlerine komşu olmayanların sol elini tutar.
    20190812_153353.jpg

Talimatlar sonucunda öğrenciler düğümlenmiş olur.

The-Human-Knot-Game-e1447920419118-663x375

Öğrencilerin amacı ellerini bırakmadan düğümü çözmektir. Bunu yaparken öğrenciler Reidemeister hamlelerini kullanabilir.

Reidemeister Hamleleri

1926’da Kurt Reidemeister düğüm teorisi için harikulade bir şey keşfetmişti. Ona göre herhangi bir düğüm üzerinde Riedemeister hamleleri olarak adlandırdığımız üç hamle yapılabilirdi. Bu hamleler sayesinde bir düğümün farklı gösterimleri ve/veya herhangi düğümün birbiriyle aynı olup olmadığı bulunabilirdi.

Örneğin bir düğümün kesişimsiz düğüm (unknot) olup olmadığını, diğer bir deyişle bir düğümün çözülüp çözülemeyeceğini Reidemeister hamleleri kullanarak anlayabiliriz.

Peki bu hamleler nelerdir?

  1. Kıvırmak

    Reidemeister hamlelerinden biri kıvırma hareketidir. Bir düğüm üzerinde kıvırma hareketi yapmak serbesttir.

  2. Dürtmek

    İkinci hamle dürtmektir. Bir düğüm üzerinde dürtme hareketi yapmak serbesttir.
  3. Kaydırmak


    Son Reidemeister hamlesi kaydırma hareketidir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İnsan düğümünü çözerken hangi hamlede hangi Reidemeister hamlesini kullandınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Bulmaca #4

Haylaz Öğrenciler

Arkadaşlıklar arasında sıra arkadaşlığının diğerlerine kıyasla bambaşka bir yeri vardır. Sınıf içerisinde her öğrencinin öyle bir eşi vardır ki bu ikisi birbirine yakın oturduğunda (yan yana, önlü-arkalı veya diyagonal) rahat durmaları neredeyse imkansızdır. Bunun farkında olan öğretmenler sene içerisinde deneme yanılma yaparak en ideal oturma düzenini sağlamaya çalışır.

Steve Hocanın Problemi

Steve hoca ders verdiği sınıflardan birinde birbirlerine yakın olduğunda (birbirine yakın olmaya bundan sonra komşuluk diyeceğim) haylazlık yapmadan duramayan 8 öğrenciyi fark etmişti.

Koşullar

  • Komşu öğrenciler: Birbirleriyle yan yana, önlü-arkalı veya diyagonal olarak oturan iki öğrenciye denir.
  • Eğer iki öğrenci haylazlık yapıyorsa aralarında <–> bulunur.
  • Steve’in sınıfındaki 8 öğrencinin birbirleriyle ilişkileri şöyleydi:
  • Deniz <–> Ali <–> Kirk <–> Jane <–> Poseidon <–> Rebecca <–> Lucreita <–> Bran
  • Bu 8 öğrencinin oturma düzeni aşağıdaki gibidir:

sekiz.jpg

Sınıfın geri kalanının düzenini bozmak istemeyen Steve hocanın problemi şuydu:

“Bu 8 öğrenciyi çiftler birbirine komşu olmayacak şekilde nasıl oturtabilirim?”

İpucu: Öğrencilere sayı atayın.

Cevap bir sonraki yazıda.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #14

Kulaklıklar Artık Düğüm Olmasın

12-13 yaşlarındayken kasetçalarım olmadan dışarı çıkmazdım. Kasetçalarımla ilgili iki büyük düğümlenme sorunum vardı. Bunlardan ilki kasetin bandının düğümlenmesiydi. Şanslıysam kalem yardımıyla bu düğümü kolayca çözebilirdim. Şansımın yaver gitmediği durumlarda ise kaset çöpe giderdi.

person holding black cassette tape

Diğer düğüm problemi kulaklığımla alakalıydı. Kimi zamanlar kulaklığım öyle düğümlenirdi ki düğümü çözene kadar muhakkak bir arkadaşıma denk gelirdim. Bu da karışık kasedimi bir sonraki güne kadar dinleyemeyeceğim demekti.

20190730_143315.jpg

İşin komik tarafı yaşadığım sinir harbi nedeniyle kulaklığı çantama rastgele fırlatarak aynı sorunu ertesi gün de yaşayacağımı garantiye alıyordum.

Çantada birbirine dolanan kulaklık olayının bir benzeri vücudumuzu oluşturan hücrelerde her an yaşanmaktadır.

DNA, tüm organizmalar ve bazı virüslerin canlılık işlevleri ve biyolojik gelişmeleri için gerekli olan genetik talimatları taşıyan bir nükleik asittir. DNA’nın başlıca rolü bilginin uzun süreli saklanmasıdır.

dna_main_001

DNA, “helix” adıyla bilinen bir sarmal eğri şeklindedir. Bir hücrenin içinde bulunan DNA sarmalının uzunluğu 2 metreyi bulur. Boyutlar arasındaki ilişkiyi tamamen anlamanız için bir örnek vereceğim: Eğer bir hücrenin çekirdeği basketbol topu büyüklüğünde olsaydı, o hücrede bulunan DNA 200 km uzunluğunda olurdu.

Bir metrelik kulaklığı kocaman bir çantaya atınca neler olduğunu biliyorsunuz. Bir basketbol topunun içine 200 km uzunluğunda sarmal eğri sığdırmaya çalışmak mı?! Tanrım; her yer düğüm!

Düğüm Teorisi

İşte bu keşmekeş matematikçilerin düğümlerle ilgilenmesine neden olmuştu. Fakat matematik ile düğümün ilişkisi DNA çalışmalarından çok daha eskiye dayanıyor. 19. yüzyılda İskoç bilim insanı William Thomson (nam-ı diğer Lord Kelvin) atomların farklı düğümler şeklinde olduğunu öne sürmüştü. Kısa süre içinde Lord Kelvin’in fikri matematikçileri düğümleri incelemeye itse de Lord Kelvin’in yanıldığının ortaya çıkması düğüm teoresini neredeyse 100 yıl boyunca kendi haline bırakmıştı. (20. yüzyılın başlarında Kurt Reidermeister’ın çalışmaları neredeyse 1980’lere dek tekti. Reidermeister’dan bir sonraki yazıda bahsedeceğim.)

Peki matematiksel düğümün diğer düğümlerden farkı var mı?

maxresdefault (4)

Örneğin ayakkabı bağcıklarını bağlarken atılan düğüm, matematikte düğüm olarak karşılık görmez. Çünkü bağcığın iki ucu açıktır. Halbuki matematikte bir düğümün iki ucu birbirine bağlı olmalıdır.

180px-Example_of_Knots.svg

Soldaki düğüm olsa da matematikte düğüm ifade etmez. Sağdaki ise matematiksel bir düğümdür.

Unknot* ve Trefoil*

Düğüm teorisinde düğümlere farklı isimler verilir. Bu yapılırken düğümün en sade halinin sahip olduğu kesişim sayısı dikkate alınır. Hiç kesişimi olmayan bir düğüm (unknot veya kesişimsiz düğüm) aslında bir çemberdir:

20190730_135245.jpg
Lastik bant bir kesişimsiz düğümü ifade eder. (unknot)

Aşağıdaki iki düğüme bir göz atın:

 

 

Bu düğümler birbirlerinden farklı görünüyor değil mi? Soldakinde 1, sağdakindeyse 2 kesişim vardır.

lanaa.jpg

Fakat bu düğümlerden birini kesip-biçmeden, yalnızca iple oynayarak (bir tarafa yatırmak ve/veya ters çevirmek gibi) diğerine benzetebiliriz!

Yani aslında bu iki düğüm birbirinin aynısıdır. Hatta bu iki düğüm, yukarıda gösterilmiş olan kesişimsiz düğümün ta kendisidir. Örneğin soldaki düğümün sol kısmı yukarı itilirse kesişimsiz düğüme dönülür:

 

 

1 kesişimi olan ama kesişimsiz düğüme döndürülemeyen bir düğüm var mıdır?

Hemen yanıtı veriyorum: 1, ve hatta 2, kesişimi olup da kesişimsiz düğüme döndürülemeyecek bir düğüm yoktur.

Peki ya 3 kesişim?

3 kesişimi olup, kesişimsiz düğüme çevrilemeyen düğüme trefoil denilir.

Blue_Trefoil_Knot.png
Trefoil düğüm.

Trefoil, ilk bakışta kesişimsiz düğüme çevrilebilecekmiş gibi görünse de düğüm teorisi kuralları çerçevesinde (yani kesip-biçmeden) bunu yapmak imkansızdır. Trefoil özel bir düğümdür, çünkü (unknot dışında) kesişim sayısı en düşük (3) olan düğümdür. Bu yüzden de trefoil düğüm teorisi için temel kabul edilir.

trefoilandmirror.jpg

Trefoil düğümün önemli özelliklerinden biri ayna simetrisiyle alakalıdır: Birbirinin simetrisi olan a ve b trefoilleri birbirinden farklıdır! Yani birinden diğerini elde etmek düğüm teorisi kuralları içinde mümkün değildir.

Möbius Şeridi ve Trefoil

Daha önce Möbius şeridi ve özelliklerinden bahsetmiştim. Kısaca hatırlatmak gerekirse bir kağıt şeridinin iki ucu birbirine bağlanırsa çember elde edilirken, uçlardan biri 180 derece çevrilip uçlar bağlanırsa karşınıza Möbius şeridi çıkar.

Gelin Möbius şeridini yaparken uçlardan birini üç defa 180 derece çevirelim:

 

 

Daha sonra oluşan şekli ortasından (boyuna paralel olarak) keselim:

20190730_131333.jpg

Karşımıza aşağıdaki gibi bir şekil çıkar:

20190730_134158-1.jpg

Şekli bir kurcaladığımızda aslında bir trefoil düğümü elde ettiğimizi görürüz:

 

 

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kağıt şeridinden trefoil düğümü yaparken şeridin ucunu 3 defa 180 derece döndürüyoruz. Bu döndürmeyi içe veya dışa yapmanın bir farkı var mıdır? Neyle karşılaştınız?
  2. Şeridin ucunu 3 değil de 5 defa döndürürseniz ne olur? (Cevabı bir sonraki yazıda.)

M. Serkan Kalaycıoğlu