Yedi Bilgenin Matematikçisi

Thales

Doğum: M.Ö. 624 (tahmini), Milet (Aydın’ın Didim ilçesi)

Ölüm: M. Ö. 547 (tahmini), Milet

Thales teoremi: Yarım çember üzerinde alınan bir noktadan, çemberin çapı hipotenüs olacak şekilde çizilen bir üçgende çember üzerindeki noktanın açısı 90 derecedir.

Lisede geometriden aşina olduğunuz bu teorem ile bilinen Thales, bir teoreme sığamayacak kadar büyük bir bilim insanıydı. İşin garibi, Thales’in bu teoremi büyük ihtimalle bulmamış olmasıdır. Peki, bilmemiz gereken Thales kimdir?

Thales, Yunanistan’ın yedi bilgesinden biri olmakla birlikte tarihte bilinen ilk doğal filozoftur.

Yunanistan’ın yedi bilgesi: Thales, Pittacus, Bias, Solon, Cleobulus, Myson ve Chilan’dan oluşan gruptur.

Doğal filozoftan kastedilen Thales’in birden çok bilim dalıyla (matematik, mühendislik ve astronomi ile) ilgilenmiş olmasıdır. Thales’in günümüze kalan yazılı herhangi bir çalışması yoktur. Onun hakkında bildiklerimiz ölümünden çok sonraları başkaları tarafından yazılmıştır. Bu da Thales ile ilgili bir dolu efsanenin ortaya çıkmasına neden olmuştur.

Söylentilere göre Thales, gençliğinde Mısır’ı ziyaret etmişti. Zamanın Mısır’ında geometri başta olmak üzere matematik ve mühendislik bilinen dünyanın zirvesindeydi. İşte Thales burada kendini matematik ve mühendislikte geliştirmiş ve beraberinde Yunanistan’a yeni geometri bilgileri götürmüştü. Yine söylentilere göre Thales Mısır’da bulunduğu sırada harikulade zekâsını kullanarak Piramitlerin boyunu, onların gölgesine bakarak hesaplamıştı.

Güneş ışınlarının yere 45 derecelik açıyla geldiği durumlarda herhangi bir cismin boyu, gölgesinin boyuna eşit olur. Thales’in kullandığı yöntemlerden birinin de bu olduğu iddia edilir.

Bir başka efsaneye göre astronomi çalışmaları da yapan Thales M.Ö. 585’te Güneş tutulması olacağını “tahmin etmişti”. Thales’in zamanında Ay tutulmasının zamanını doğru tahmin eden kişilerin olduğu bilinen bir gerçek. Ama Ay tutulması her yerden görünebilirken Güneş tutulmasının Dünya üzerinde sadece belli yerleri etkiliyor olması, olayın gerçekleşeceği tarih hakkında bir hesap yapmayı o zamanın astronomi ve matematik bilgisiyle neredeyse imkansız kılıyordu. Bugün bu olayın kesinliği üzerinde hâlâ soru işaretleri bulunmakla birlikte Thales’in büyük ihtimalle sadece bir tahmin yürüttüğü düşünülür.

Thales’in Güneş tutulmasının ne zaman olacağını bilecek (ya da tahmin edecek) kadar olağanüstü bir zekâya sahip olması bazılarına göre normal karşılanıyor. Sonuçta Thales Yunanistan’ın yedi bilgesinden biri olarak biliniyordu. Hatta Sokrates’in belirttiği üzere Thales bu prestijli grupta bulunan tek doğal filozoftu.

Kimi araştırmacılara göre Thales herşeyin sudan geldiğini düşünüyordu. Ona göre Dünya düz bir disk şeklindeydi ve sonsuz bir okyanusun üzerinde duruyordu. Meydana gelen depremler Dünya’nın bu okyanus üzerindeki hareketlerinden kaynaklıydı. Thales’in bu düşünceleri çok önemliydi, çünkü tarihte ilk defa dünyamız ve evren için doğaüstü hikayeler değil rasyonel sayılabilecek bir fikir ortaya konmuştu.

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #6

Sokrates’in Dersi

Tarihin en önemli filozoflarından biri olarak görülen Platon’un matematiğe yaptığı katkılardan önceki yazılarda bahsetmiştim. Bu yazıda Platon’un MÖ 380’de yazdığı kitap olan Menon’u inceleyip irrasyonel sayıların varlığını başka bir yöntemle göstereceğim.

philosophydiscourse-cropped-425x259

Kitap, Menon’un Sokrates’e erdemin öğretilebilir olup olmadığını sormasıyla başlar ve sonuna dek bu ikisi arasındaki diyalogdan oluşur. Platon bu kitapta herhangi bir konuyu felsefi olarak nasıl ele almamız gerektiğini Sokrates’in ağzından anlatmaya çalışmış.

Bunu yaparken önemli bir matematik probleminden de bahsedilmiş. Şahsen kitabın özellikle bu bölümünün sadece öğrenciler değil, öğretmenlerce de okunması gerektiğini düşünüyorum.

Problem

Kitabın ortalarına doğru Sokrates Menon’un öğrencilerinden (öğrenciyi çocuk diye adlandıracağım) birine bazı sorular yöneltir. Sorular kare şeklinin neye benzediği, ne gibi özellikleri olduğu ve alanının nasıl bulunduğu üzerine başladıktan sonra sıra Sokrates’in asıl sormak istediğine gelir: Bir karenin alanının iki katı alana sahip karenin bir kenarının uzunluğu nedir?

Kareyi karelemek diye bilinen bu sorudan daha önce de bahsetmiştim. Sokrates sorusunda karenin bir kenar uzunluğunu 2 birim olarak belirler ve karenin alanının 4 olduğunu çocuğa buldurtur. Sonra bu karenin alanının iki katı alana sahip bir karenin var olup olmadığını sorar. Çocuk Sokrates’e böyle bir karenin var olduğunu ve alanının 8 birim kare olduğunu söyler.

Sokrates bu karenin bir kenar uzunluğunu sorduğundaysa çocuk alan hesabında olduğu gibi ilk karenin bir kenarı uzunluğunun iki katını alır ve 4 cevabını verir. Fakat Sokrates 4 birimlik bir karenin alanını sorduğunda çocuk 16 birim kare der ve yanlışını fark eder.

Klasik Yunan Matematiği

Sokrates 8 birim karelik alanı olan bir kareyi çizdirmek için çocuğa sorularına devam eder. Bunu yaparken soruları çocuğa bir şekil çizdirtir. Problemin başındaki 2 birimlik kareden önce bir tane çizdiren Sokrates, sonra bu karenin sağına ve altına aynı kareden koydurur. Şekildeki sağ alt kısmı da doldurtan Sokrates bu dört karenin her birinin 4 birim karelik alana sahip olduğunu çocuğa buldurtur.

Sokrates’in bir sonraki sorusu şudur: “Bir karede çapraz köşeleri birleştirmek, karenin alanını iki eşit parçaya bölmek demek değil midir?”

Çocuğun evet cevabından sonra şekildeki dört karenin de köşegenlerini çizdiren Sokrates, bulunan şeklin alanının kaç olduğunu sorar:

8 birim kare cevabını veren çocuk, 4 birim karelik karenin iki katı alana sahip kareyi elde etmiş olur.

Pisagor teoremine göre bu karenin bir uzunluğu aşağıdaki gibi irrasyoneldir:

karepis

Sonuç

Sokrates çocuğa irrasyonel bir uzunluğu çizdirmesine rağmen uzunluğun ne kadar olduğunu dert etmez. Çünkü antik Yunanistan’da sayılar uzunluklarla gösterilirdi ve uzunluk bilindiği sürece onun ne anlama geldiği önemsenmezdi. Bu sonuç klasik Yunan matematiğine verilebilecek en güzel örneklerden biridir.

Pisagor ve onun öğrencileri tüm sayıların rasyonel olduğunu iddia ederken Sokrates gibi Yunan filozoflar irrasyonel sayıların varlığını bu tip yollarla gösteriyordu.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #10&11

Soru: Kaç tane düzgün çokgen vardır?

Öklid’in yöntemleriyle (yani sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak) nasıl eşkenar üçgen çizilebileceğini göstermiştim. Eşkenar üçgen tüm kenarları ve iç açıları eşit olan bir düzgün çokgendir. Hatta eşkenar üçgene en az kenarlı düzgün çokgen de denilebilir.

O halde buradan başlayalım: Üç kenarlı düzgün çokgen yapılabilir ki buna eşkenar üçgen denir. Kenar sayısını bir artıralım. Dört kenarlı düzgün çokgen, yani dört kenarı ve dört iç açısı da birbirinin aynısı olan şekil… Hmmm… Kare!

Beş kenarlı düzgün çokgen: Beşgen.

Altı kenarlı düzgün çokgen: Altıgen.

regular-polygons-6-638-e1544543687840.jpg
Düzgün çokgenlerin bir kısmı.

Elli kenarlı düzgün çokgen: Elligen. (Pentacontagon diye bilinir.)

Düzgün çokgenlerin kenar sayısının limiti yoktur. Fakat belli bir kenar sayısından sonra kenar uzunlukları o kadar küçük olur ki çokgeni çemberden ayırt etmek neredeyse imkansızlaşır.

50-gen (solda) ve 50-gen ile 200-gen’in karşılaştırılması (sağda).

Düzgün çokgenler iki boyutlu geometride var olan şekillerdir. Peki olayı üç boyuta taşırsak ne olur?

Soru: Kaç tane farklı düzgün katı cisim vardır?

Üç boyutlu olan düzgün katı cisimlerin iki belirgin özelliği vardır: Tüm yüzleri düzgün çokgenlerden oluşur ve her köşesi eşit sayıda düzgün çokgene bağlıdır.

Cevabı hemen verelim: Tamı tamına beş farklı düzgün katı cisim vardır. Ne bir fazla, ne de bir az.

Düzgün çokgen sayısı sonsuz taneyken düzgün katıların sayısının sadece beş tane olması ilk başta inanılmaz gibi gelir. Bunu ispatlamadan önce düzgün katılardan biraz bahsetmem gerekir.

Geniş Omuzlunun Okulu

Milattan önce 427’de Atina’da dünyaya gelen Aristocles geniş omuzlara sahip olduğu için Yunanca’da geniş anlamına gelen “Platon” lakabını almıştı. (Bu iddia C.J. Rowe’un 1984’de yazdığı kitapta geçer.)

plato
Platon (MÖ 427-MÖ 347)

Çoğu kişi matematikle herhangi bir ilişkisi olduğunu düşünmese de Platon matematiğe çok önemli katkılarda bulunmuştu. Özellikle ispat, açıklama ve hipotezlerin en açık şekilde yazılması gerektiğinde ısrar etmesi matematiğin gelişimi için hayatiydi. Platon’un sadece matematik değil tüm bilim dalları için yaptığı en büyük iş ise kurucusu olduğu okuldu.

Milattan önce 387’de Atina’da bir okul kurmak isteyen Platon arazisini bulmuştu. Okulun inşa edildiği arsanın sahibi Academas olduğu için okulun ismi “Akademi” olarak kaldı. 900 yıl boyunca en önemli bilim insanları hayatlarının bir kısmını Platon’un Akademisinde geçirmişti. (Bir karşılaştırma yapalım: Avrupa’daki en eski üniversite olarak bilinen Bologna Üniversitesi Platon’un Akademi’sinden yaklaşık 1400 yıl sonra kurulmuştu.)

geometri-bilmeyen-giremez
Akademi’nin girişinde asılı olan yazı: “Geometri Bilmeyen Giremez”

Platonik Cisimler

Düzgün katı cisimlere Platonik cisimler de denir, çünkü onların sadece beş adet olduğunu kağıda döken ilk kişinin Platon olduğuna inanılır.

  1. Dört Yüzlü – Tetrahedron: Dört tane eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  2. Altı Yüzlü – Küp: Altı adet karenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  3. Sekiz Yüzlü – Octahedron: Sekiz adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  4. On iki Yüzlü – Dodecahedron: On iki adet beşgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  5. Yirmi Yüzlü – Icosahedron: Yirmi adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.

platonic_solids
Platonik Cisimler

Neden Sadece Beş Adet?

Düzgün katı cisimlerin bazı özellikleri var ki bu özellikler neden beş tane düzgün katı olduğunu hem açıklar hem de ispatlar.

Düzgün katı cisimler üç boyutlu olduğu için bir köşesinde en az üç tane yüz (yani en az üç tane düzgün çokgen) olmalıdır. Gelin en az sayıda yüzü olan düzgün katı cisim olan dört yüzlüyü inceleyelim.

Dört yüzlü düzgün katı cismin herhangi bir köşesinde hep üç tane eşkenar üçgen bulunur. (Bunu bir noktanın etrafına çizilmiş üç eşkenar üçgen gibi düşünebilirsiniz.) Bu üçgenleri iki boyuta indirgediğimizde karşımıza şu şekil çıkar:

IMG_6348

Eşkenar üçgenlerin buluştuğu noktanın etrafının 360 derece olduğunu biliyoruz. Eşkenar üçgende bir iç açı da 60 derecedir. O halde noktanın etrafında

360 – (60+60+60) = 180

derecelik boşluk vardır. Bu boşluk sayesinde kağıt kıvrılıp düzgün katı cisim oluşturulabilir.

Eğer 360 derece ve üstü tam olarak kaplanmış ise, kıvrılmak için yer olmayacağı için şekil iki boyutlu kağıt üzerinde kalır.

O halde düzgün katı cisim yapmak için gerekenleri bulmuş olduk:

  • Bir kağıdın üzerine nokta koy.
  • Noktaya bağlı olacak şekilde üç tane düzgün çokgen çiz.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 dereceyi tamamlamadıysa şekil üç boyuta çevrilebilir. Böylece düzgün katı cisim elde edilmiş olur.
  • Kalan kısma aynı çokgenden eklenmeye 360 dereceye ulaşılana dek devam edilir.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 derece ve üzerinde yer kaplıyorsa şekil üç boyuta çevrilemez demektir. Bu durumda çizilen çokgenlerden düzgün katı cisim yapılamaz sonucuna varılır.

Örnek 1: Dört Yüzlü

Nokta koyulur ve noktanın ortak olduğu üç adet eşkenar üçgen çizilir. Bu eşkenar üçgenlerin iç açıları toplamı 360’dan küçük olduğu için katlanıp düzgün katı cisim oluşturabilirler: Dört yüzlü.

Örnek 2: Dört Yüzlü + 1 Eşkenar Üçgen

Eğer dört yüzlüyü oluşturan eşkenar üçgenlere bir yenisi daha eklenirse seçtiğimiz nokta üzerinde iç açıların toplamı 240 derece olur ki bu 360’dan küçüktür. Üçgenlerle aşağıdaki gibi sekiz yüzlünün üst kısmı yapılabilir.

Örnek 3: Dört Yüzlü + 2 Eşkenar Üçgen

Bu sefer eşkenar üçgen sayısını beşe çıkaralım. Nokta üzerindeki iç açıların toplamı 300 yapar ki bu da 360 derecenin altındadır. O halde bu beş üçgenle bir Platonik cisim yapılabilir. (On iki yüzlü)

Örnek 4: Dört Yüzlü + 3 Eşkenar Üçgen

Eşkenar üçgen sayısı altı olunca iç açıların toplamı 360 derece yapar. Bu da elimizdekilerle Platonik bir cismin oluşturulamayacağı anlamına gelir.

Örnek 5: Küp ve Küp + 1 Kare

Küp şeklinde herhangi bir köşeye üç adet kare bağlıdır. Bu köşe ve kare aşağıdaki gibi iki boyuta indirgenebilir:

Noktanın etrafında üç karenin iç açısı kullanılmıştır: 90*3=270 derece. Eğer şekle bir kare daha eklenirse noktanın etrafında 270+90=360 derecelik alan dolmuş olur. Bu, dört kare ile bir düzgün katı cisim yapılamaz demektir.

Örnek 6: On iki yüzlü + 1 Düzgün beşgen

Düzgün beşgenlerden oluşan on iki yüzlünün bir köşesine bağlı olan üç tane düzgün beşgen vardır. Yani bir noktanın etrafında bir iç açısı 108 derece olan beşgenden üç tane var: 108*3=324 derece, 360 dereceden az olduğu için bu düzgün katı cisim oluşturulabiliyor.

Noktanın etrafına dördüncü bir düzgün beşgen eklendiğinde, beşgenler birbirinin üzerine biner. Bu şekilden bir düzgün katı cisim oluşturulması mümkün değildir.

IMG_6366

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Düzgün altıgenlerle bir düzgün katı cisim yapılabilir mi? Nedeninizi belirtin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Geometri #9

Pi’yi Bulmak

İnsanlar yaklaşık 4000 yıl önce herhangi bir çember ile çemberin içinden geçen en uzun doğru parça (ya da nam-ı diğer çap) arasında bir bağlantı olduğunu keşfetmişti. Pi sayısı ismini verdiğimiz bu bağlantı ilk keşfedildiği andan itibaren matematik ve mühendislikle uğraşan herkesi etkisi altına almıştı.

Bu bağlantının tam olarak hangi sayı olduğunu, en azından yakın değerini bulmaya çalışanlar arasında aşina olduğumuz önemli tarihi figürler de yer alıyordu. Bunlardan biri antik Yunan Arşimet idi.

Arşimet öncesi pi sayısıyla ilgili değer bulma çalışmaları hep tek düzeydi: Belli bir çemberin alanını veya çevresini ona benzer bir çokgen ile karşılaştır. Buna gösterilen en popüler örneğe bir göz atalım:

Bir çember çizin ve onu 12 eşit parçaya ayırın.

Parçalardan birini ortadan ikiye bölün ve tüm parçaları kesip yan yana dizin.

Karşılaşılan şekil bir dikdörtgene benzer. O halde bu dikdörtgenle başta çizdiğimiz çember aynı kabul edilebilir.

IMG_5838

Çemberin çevresi yarıçap ile pi’nin iki katı alınarak bulunur. Çizilen dikdörtgende çevre alt ve üst kenarların toplamıdır. Buradan pi sayısı için aşağıdaki yakınsak sonuç bulunur.

Aynı işlemi farklı çapı olan çemberle deneyince aşağıdaki sonucu buldum.

IMG_5841

Bulduğum sonuçların ortalamasını alırsam pi için kendi yakınsak değerimi bulmuş olurum.

IMG_5842

Arşimet’in Yakınsak Değeri

Kendisinden önceki yöntemlerle mühendislik harikaları yapılmasına rağmen bulunan değerlerden memnun olmayan Arşimet kendi yöntemini bulmuştu. Bu tekrarlayan bir yöntemdi. Arşimet bir çemberin içine ve dışına bir çokgen yerleştirip zamanla çokgenin kenar sayısını arttırarak çembere en yakın şekli bulmaya çalışmıştı.

Yani Arşimet’in gördüğü ilk çokgeni yakınsak değer bulmak için kullanmamıştı. O, en doğru çokgeni bulana dek sürekli denemişti. Arşimet’in bu yöntemine “tüketme metodu” denir. Tüketme metodu kalkülüsün bilinen en eski örneğidir.IMG_5843

Arşimet’in yöntemini denemek isterseniz başlangıç noktanız bu olabilir. Birim çemberin içine ve dışına birer kare yerleştirin. Pi’nin değeri 2,8 ile 4 arasında bir yerde olacak. Arşimet’in yakınsak değerinin bir başka özelliği de buydu: Pi için tek bir değer değil de, hangi değerler arasında olduğunu bulmuştu.

Onun orijinal yöntemi altıgen ile başlamış, 96-kenarlı ile bitmişti. Bir çemberin içine ve dışına yerleştirdiği 96-genler sayesinde Arşimet şu harikulade sonuca ulaşmıştı:

d27014a4f9d58cfc4bfaefca7e93f8bf

Küçükken okulda pi için kullandığınız 22/7 değeri aslında Arşimet’in bulduğu pi değerinin üst sınırıdır.

Bu aralığın ortası 3,14185 eder ki bu değer pi’ye %99,9’u kadar yakındır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #3

Kirene’li Teodorus

Günümüzün Libya’sında kalan antik Kirene kenti MÖ. 5. yüzyıl civarında Yunanların kontrolü altındaydı. Burada doğan Teodorus (MÖ 465 – MÖ 398) hakkında bildiklerimiz Platon’un hocası olduğuyla Sokrates ile tanışıp bir süre için Atina’ya gitmiş olduğundan ibaret.

Platon’a göre Teodorus irrasyonel sayılarla önemli harikulade çalışmalar yapmıştı. Daha önce antik Yunan bilim insanlarının sayıları uzunluk olarak düşünmüş olduğundan bahsetmiştim. Pisagorcular tüm sayıların rasyonel (mantıklı/iki tam sayının birbirine bölümü) olduğunu iddia etmişti. Fakat ne ilginçtir ki Pisagor teoremi diye adlandırdığımız geometrik bilgi, Pisagorcuların iddiasını çürütmüş ve rasyonel olmayan sayıların da var olduğunu göstermişti.

indir (3)
Platon

Teodorus da bir Pisagorcu idi ve doğal olarak sayı teoremi ile ilgilenmişti. Yine Platon sayesinde biliyoruz ki Teodorus 2, 3, 5, … gibi sayıların kare köklerinin rasyonel olmadığını ispat etmişti.

Bu yazının konusu Teodorus’un Spirali diye bilinen ve içinde inanılmaz bilgiler barındıran basit ama bir o kadar da gizemli bir geometrik şekildir.

Teodorus’un Spirali

Aynı zamanda “Einstein Spirali”, “Pi Spirali”, “Kare Kök Spirali” isimleriyle bilinen spiral, Pisagor teoremini bilen herkes tarafından oluşturulabilir.

Öncelikle dik kenarları 1’er birim uzunlukta olan bir ikizkenar dik üçgen çizin. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun Pisagor teoremi sayesinde √2 birim olduğunu biliyoruz.

IMG_5384

Daha sonra bir önceki üçgenin hipotenüsü olan √2 birimlik kenara dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilerek yeni bir dik üçgen oluşturulur. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu (yine Pisagor teoreminden) √3 birim olur.

Bu sefer √3 birim uzunluğuna dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilir ve yeni bir dik üçgen daha yaratılmış olur. Bu dik üçgenin hipotenüsü √4 birimdir.

Teodorus bu yöntemi √17 birim uzunluğunda bir doğru parçası bulana dek devam ettirmiştir. Oluşan şekil görüldüğü üzere bir spiraldir.

IMG_5379

Teodorus’un neden √17’de durduğunu kesin olarak bilemiyoruz. Oluşan şeklin √17’den sonra üst üste bindiğini gördüğü için durmuş olması en kuvvetli ihtimal.

Spiral Gibisi Yok

Peki Teodorus’un spiralinin ne özelliği var?

  • Hipotenüs uzunluklarına bakıldığında tam kare olanlar hariç kalan uzunlukların tamamı irrasyoneldir. Tam kare olanlar √1, √4, √16, √25 … diye devam eder.
  • Spiral sonsuza dek uzatıldığında dahi (yani sürekli yeni üçgenler eklendiğinde) herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.

    IMG_5380
    Çok yakın olanlar varsa da herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.
  • Yeni üçgenler ekleyip spiral büyütüldüğünde, spiral kolları arasındaki boşluğun uzunluğu π sayısına yakınsar.

    IMG_5383
    30 tane üçgenle 3,1 cm’ye geldim. Eğer sabırla üçgen eklemeye devam etseydim π’ye daha da yakın olurdum.
  • Peşi sıra gelen iki tam kare uzunluklu hipotenüs arasındaki açı 360/π dereceye yakınsar. 360/π = 114,591559026… yapar. Benim çizimim henüz ilk üç tam kare sayıdayken bile gerçekten bu değere çok yakın çıktı. Şanslıydım.

Katil Eğri

Sıra Teodorus’un spiraliyle ilgili en sevdiğim özelliğe geldi. Spirali oluşturan üçgenleri kesip çıkaralım ve koordinat düzleminde yan yana dizelim.

Üçgenlerin uç noktalarını birleştirince karşımıza y=√x eğrisi çıkar. Eğer irrasyonel sayılara katil sayılar diyorsam, bu eğriye de katil eğri demem gerekir.

Bir de GeoGebra isimli programla çizmeyi denedim.

teodorusgeo

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İlk üçgeni şekildeki gibi alıp Teodorus’un yöntemini aynen uygulayın.

IMG_5394

Teodorus’un spiraline göre neler daha farklı? Ne gibi yenilikler görüyorsunuz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Geometri #7

Bir önceki yazıda antik Yunan bilim insanlarının sadece pergel ve cetvel ile çözemediği üç problem olduğundan bahsetmiştim. Bu yazıda Öklid’inkinden daha basit yöntemler olduğundan bahsedeceğim.

Öklid’in Elementler’inde gösterilen yöntemler sayesinde pergel ve cetvel ile rastgele verilen bir doğruyu ve bir açıyı iki eşit parçaya bölmeyi biliyoruz. Peki Öklid’e göre bir doğruyu üç eşit parçaya nasıl böleriz? (Unutmayın; cetvellerde ölçü olmadığını farz ediyoruz.)

Doğruyu Eşit Parçalara Bölmek

Önce bir doğru parçasını üç eşit parçaya ayırmaktan başlayalım. Öklid’in Elementler’inde altıncı kitabın dokuzuncu önermesi bunun nasıl yapılacağını gösterir.

AB doğru parçası üç eşit parçaya bölünecek olsun. Rastgele bir C noktası seç ve AC doğrusunu çiz.

AC üzerinde üç tane eş çember çiz. Bu sayede AC doğrusu üzerinde üç eşit parçaya ulaşmış oluruz.

IMG_5069

F noktasını B noktasıyla birleştir. D ve E noktalarından DF’ye paralel doğrular çiz.

AB doğru parçası üç eşit parçaya ayrılmış oldu. Hatta bu yöntemi kullanarak AB doğru parçasını istenilen sayıda eşit parçaya bölebiliriz.

IMG_5074

Yöntemin içinde bazı şeyleri nasıl yapacağımız Elementler’de saklı. Öklid’in yöntemi için verilen bir doğruya paralel bir başka doğru çizmeyi (Elementler Kitap I, Önerme 31), onu yapabilmek için de verilen bir açıya eşit bir açı çizmeyi (Elementler Kitap I, Önerme 23) bilmek gerekir. İşin fenası eşit açı çizebilmek için eşit üçgen çizmeyi, yani birinci kitaptaki 22. önermeyi bilmek gerekir.

Müslüman Etkisi

2400 yıldan fazla bir süre önce yazılmış olan Elementler günümüze dek kalmışsa, bunu büyük ölçüde Müslüman bilim insanlarına borçluyuz.

Elementler’i okuyup yorumlayan ilk matematikçilerden biri Al-Nayrizi (865-922) idi. Günümüze kadar kalan yorumunu amazon.com’da (hem de 200 doların üzerinde bir fiyatla) bulabilirsiniz.

Al-Nayrizi verilen rastgele bir doğru parçasını istenilen sayıda eşit parçaya bölmek için harika bir yöntem bulmuştu.

AB doğru parçasının A ve B noktalarına birer dik çizin.

Eğer AB n tane eşit parçaya ayrılmak isteniyorsa, bu dik doğrular üzerinde (n-1)’er tane eşit parçalar işaretleyelim. Bunu yaparken istediğiniz yarıçap uzunluğuna sahip bir çemberden yan yana çizmeniz yeterli. (Bir başka deyişle pergelinizi kullanabilirsiniz.)

IMG_5078

Dik doğrular üzerindeki noktaları şekildeki gibi birleştirelim.

Bu doğruların AB’yi kestiği yerler, AB’yi eşit parçalara ayırmış olur.

IMG_5084

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Geometri #6

Antik Yunanlardan önce matematik insanlar için hayatiydi. Bu yüzden matematikle ilgili gelişmeler hep gündelik hayatta karşılaşılan problemlere yanıt bulmak içindi. Antik Yunanlar ise matematiği zevk için yapıyordu. Onlar için ortaya attıkları soruların illa gündelik hayatta bir karşılığı olması gerekmiyordu.

Bu sorulardan biri, en zeki antik Yunan bilim insanlarını dahi çaresiz bırakmıştı. Bugün Delos Problemi, veya Küpün Hacmini İki Katına Çıkarmak diye bilinen problemin başlangıcı için iki farklı hikaye vardır. Hangisini daha çok seviyorum diye aralarında bir seçim yapamadığım için her iki hikayeyi de kısaca anlatacağım.

Vebadan Kurtuluş

Bu hikaye İzmirli Theon’a göre Eratosthenes‘in kaybolan bir eserinde yer alıyordu.

Eratosthenes-1-259x300

Tahmini olarak milattan önce 430 yılında Atina’da bir veba salgını baş göstermişti. Şehri yönetenler büyük bir paniğe yol açan salgını durdurma konusunda çaresiz kalmıştı. Tam bu durum içindeyken Tanrı bir kahin üzerinden vebayı sona erdirmek için insanlara bir görev verir. Söylentiye göre Tanrı şehirde bulunan bir altarın iki katı büyüklüğünde yeni bir altar yapılmasını, ancak bu inşaatın yapılmasıyla veba salgınının son bulacağını emretmişti. (Altar: Adak adanan ve kurban kesilen alan.)

Atinalı bilim insanları en başta kolay görülen bu işi bir türlü becerememişti. Antik Yunanlar geometri konusunda çok başarılıydı ve sadece pergel ile ölçüsüz cetvel kullanarak her şeyi yapabileceklerini düşünüyordu. Fakat uğraşlar sonuç vermiyor, altarın hacminin iki katı olan yeni bir altarın boyutları bulunamıyordu. Sonunda zamanın ünlü ismi Plato’ya danışılmıştı. Plato’ya göre Tanrının bu soruyu göndermesinin nedeni altarın inşa edilmesi değil, Yunanların aslında geometri konusunda ne kadar cahil olduğunu göstermek istemesiydi.

plague-of-athens
MÖ 430-426 arasında Atina’da yaşanan veba salgınını anlatan bir tablo.

Glafkos’un Mezarı

Bu hikayeyse Arşimet’in kitaplarından birinde yer alır. Buna göre Eratosthenes Yunan kralına bir mektup yazmış ve aşağıdaki durumdan bahsetmişti.

Hikayenin baş kahramanları Zeus ile Europa’nın oğlu olan Minos ve onun oğlu Glafkos’tur. Anlatılana göre Minos, çocuk yaşta kaybettiği oğlu için bir mezar yapılmasını emretmiş, fakat inşa edilen mezarın bir soyluya yakışmayacak derecede küçük olduğunu düşünmüştü. Küp şeklinde yapılan mezarın iki katı büyüklüğe çıkarılmasını isteyen Minos, bunun için her bir kenarın uzunluğunun iki katına getirilmesini emretmişti.

Minos
Minos

Buradaki sorunu bir küpün hacmini bulmayı bilen herkes kolaylıkla görebilir. Eğer bir küpün her kenarı iki katına çıkarılırsa, küpün hacmi iki değil sekiz katına çıkar. Hikayeye göre ne Minos, ne de emrindeki adamlar sorunu çözememişti.

kc3bcp2.jpg
a küpünün hacmi 1 iken, bir kenar uzunluğu iki katına çıkarılarak oluşturulan b küpünün hacmi 8 olur.

Çözülemeyen Üç Soru

Herhangi bir küpün hacmini iki katına çıkarma problemi sadece pergel ve cetvel kullanarak çözülemeyen üç problemden biridir. (Diğer iki probleme daha sonra değineceğim.) Bunu ilk ortaya atan Gauss olsa da iddiasını destekleyen bir ispat sunmamıştı. İlk ispat 1837’de Pierre Wantzel’den gelmişti. Yani problemin ortaya çıkışından en az 2250 yıl önce!

Gelin soruyu modern matematik sembolleriyle bir de biz çözmeye çalışalım.

Her bir kenarı 1 birim uzunlukta olan bir küpü ele alalım. Küpün hacmi;

1x1x1 = 1 br3

olur. Bu küpün hacminin iki katı 2 br3‘tür. O halde elde edilmesi gereken şey, hacmi 2 brolan bir küpü çizmektir. Böyle bir küpün bir kenarının uzunluğu;

a= 2

a = 3√2 olur. Yani soruyu çözdük… mü acaba?

Antik Yunanların problemi ellerinde ölçüsüz bir cetvel ve pergelden başka bir şey olmamasıydı. Çünkü sadece bu ikisini kullanarak 3√2 boyutunu belirlemek imkansızdır. Her ne kadar onlar bunun imkansız olduğunu ispatlayamamış olsa da, gerçeğin farkındaydılar.

Nasıl Çözülür?

Bir küpün hacminin iki katı hacme sahip başka bir küp çizmek için Neusis Çizimi ismi verilen bir yöntem kullanılır.

Fakat ben origami sanatının gücünü kullanarak bunun nasıl başarılabileceğini göstereceğim.

Önce bir kenarı 9 cm olan bir kare şeklinde kağıt parçasını origami yöntemleri kullanarak 3 eşit parçaya böldüm.

Daha sonra karenin sağ kenarında bulunan B noktasını, sol kenarda bulunan C noktasının hizasına getirdim. Bunu yaparken A noktasının karenin sol kenarına denk gelmesine de özen gösterdim.

A’nın karenin sol kenarına dokunduğu yere D noktası dedim. İşte D ile F noktaları arasında kalan mesafe, D ile E noktaları arasındaki mesafenin  3√2 katıdır.

Peter Messer’in çözümünde kullandığı çizimler aşağıdaki gibidir. CB arası 1 birim ise, AC arasındaki mesafe  3√2 olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

2000 yıldan uzun bir süre insanları meşgul eden bir soru, origamiyle nasıl oluyor da bir dakikanın altında bir sürede çözülebiliyor? Cetvel&pergel yönteminin origamiden eksiği nedir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Geometri #5

En çok bilinen antik Yunan isimlerden bir liste yapılsa, Pisagor muhakkak ilk 10’da kendine yer bulurdu. (Ünlü Pisagor ve onun tarikatından bahsettiğim yazı için tıklayın.) Pisagor’un ünü ismiyle anılan bir geometri özelliğinden gelir. İşin garibi bugün bu özelliğin ondan en az 1000 yıl önce kullanılmış olduğu bilinmesine rağmen hala özelliğe Pisagor’un adını veriyoruz.

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, dikliğin karşısında bulunan uzun kenarın karesine eşittir.

Peki bunun ispatı nedir?

Pisagor teoreminin 367 tane farklı ispatı olduğu söylenir. Fakat bunlardan bazıları birbirine o kadar benzer ki, bir matematikçi dahi ispatlar arasındaki fark/farkları görmekte zorlanır.

Gelin bunlardan birkaçına göz atalım.

İspat 1

Elisha Loomis “The Pythagorean Proposition” isimli kitabının 49-50. sayfalarında bir lise öğrencisi olan Maurice Laisnez’in bulduğu ispattan bahseder.

Bu ispatı kontrol ederken çizim yapmak yerine kağıtları kesmeyi seçtim.

Öncelikle ihtiyacımız olan dört tane dik üçgen ve bir kenar uzunluğu bu üçgenlerden birinin dik kenarlarının toplamı kadar olan bir karedir.

Üçgenleri fotoğraftaki gibi yerleştirince karşımıza bir kenar uzunluğu dik üçgenlerin uzun kenarı kadar olan bir kare çıkıyor.

pissa2
Ortada kalan beyaz alan bir karedir.

Bu karenin bir kenarı c olsun. O halde alanı cyapar.

Şimdi üçgenleri büyük karenin içinde fotoğraftaki gibi dizelim.

pissa3
1 ve 2 ile işaretlenen alanlar birer karedir ve toplamda bir önceki fotoğrafta ortada kalan kare kadar alanları vardır.

Karşımıza bu sefer iki kare çıktı. Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla üçgenin dik kenarları olan a ve b’dir.

Karelerin alanları a2 ve b2 olur. Toplamları ise bir önceki şekilde gördüğümüz üzere c2 olmalıdır. Yani sonuç

a2+b2=c2

olur.

İspat 2

İkinci ispat için antik Çin’e gideceğim.

Zhoubi Suanjing tahminen 2500-2200 yıl önce antik Çin’de yazılmış bir kitaptır. Loomis’in kitabında 253. ispat da bu kitaptan alınmıştır.

Şekil 3
Suanjing’de bulunan Pisagor teoremi ispatı.

İspatı yaparken yine kağıt parçalarından yararlanacağım.

Öncelikle dik kenarları sırasıyla 3 ve 4 birim uzunluğunda olan dik üçgenlere ihtiyacım var.

pisasaads

Bu dik üçgenleri fotoğraftaki gibi dizdiğimde karşıma içinde ufak bir kare boşluk olan bir kare çıkıyor.

pisasa

Ortada kalan ufak kareye A diyelim. A’nın bir kenar uzunluğu 1 birimdir. Bu yüzden de A alanı 1 br2 olur.

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı alınarak bulunur. O halde üçgenlerden biri (3×4)/2 = 6 br2 olur. Toplam 4 üçgen 4×6=24 br2 yapar. Ortadaki A karesiyle toplanınca tüm şeklin alanı 25 br2 eder.

Tüm şekil bir kareyi ifade eder. Alanı 25 yapan karenin bir kenar uzunluğu ise 5 birimdir. Yani üçgenin uzun kenarının uzunluğunu bulmuş olduk:

pasdpfsdf

Böylece antik Çin’de hem 3-4-5 dik üçgeninin hem de Pisagor teoreminin bilindiğini öğrenmiş olduk.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Emekliliğe ayrılmak isteyen çiftçi bir baba, evininin arazisine bitişik olan üç tarlasını iki oğluna eşit olarak paylaştırmak istiyor. Tarlaları bozmak istemeyen baba, nasıl bir yöntem izlemelidir?

pppp

Geometrik şekillere bağımlılığı olan baba, evini bir dik üçgen şeklinde arsaya yaparken üç tarlayı da kareler olacak şekilde ayarlamıştı.

Adil bir dağıtım olması için çocuklar tarlaları hangi şekilde almalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Geometri #2

Rakamsız Matematik

Yaklaşık 2700 yıl önce antik Yunanlar bilimin hemen her alanında öncülüğü ele geçirmişti. Yüzyıllar boyunca Thales, Pisagor, Eudoxus ve Öklid gibi sadece matematik değil insanlık tarihine geçmiş olan ünlü isimler matematiğin gelişiminde lokomotif rolündeydi. Fakat Yunan matematikçiler diğer milletlerden meslektaşlarının aksine sayıları çok önemsememişti. Onlara göre matematiğin temeli geometri idi ve sayılar matematikteki her şey gibi geometriyle ortaya çıkmıştı.

Peki ne rakam sembollerini ne de sayı sistemlerini umursayan antik Yunanlar nasıl oldu da tarihin en önemli matematik eserlerinden bazılarını yazmıştı?

Cetvel, Pergel ve Birim

Antik Yunanistan’da sayı yerine büyüklük kullanılmıştı. Büyüklük belirtmek içinse doğru parçaları çiziliyordu. Yani Yunan matematikçiler bir sayı yazmak yerine, o sayıyı ifade eden bir uzunluk çiziyordu. Bu yapılırken de sadece ölçüsüz cetvel, pergel ve belirlenmiş bir birim uzunluk kullanmıştı. (Antik Yunan matematikçilerin bu üçünü kullanarak neler becerdiklerini sonraki günlerde detaylarıyla açıklayacağım.)

Gelelim asıl meselemize: Yunanlar çizgilerle matematik yapmayı nasıl becermişti?

a ve b birer pozitif tam sayı olsun.

  • Toplama

Elimizdeki sayıların toplamı a+b olur. Uzunluk kullanarak a+b şu şekilde gösterilir:

a+b

  • Çıkarma

Sayılardan a, b’den büyük olsun. O halde çıkarmamız a-b olur. Uzunluk kullanarak a-b şu şekilde gösterilir:

a-b

  • Çarpma

Sayıların çarpımı a.b olur. Bu noktada üçgende benzerlik kullanılması gerekir. Bir üçgeni büyütür ya da küçültür isek (tıpkı akıllı telefonlarda bir resmi büyütüp küçülttüğümüz gibi) o üçgenin benzerini yaratmış oluruz. O halde elimizdeki üçgenlerden küçük olanının iki kenarı sırasıyla 1 birim ve a birim olsun. Bu üçgenin büyütülmüş halinde 1 birimlik kenar b birime denk gelirse, a birimlik kenar a.b birim olur.

  • Bölme

Sayıların bölümü a/b olur. Aynı çarpmada olduğu gibi benzerlik kullanılır. Bu sefer büyük üçgenin iki kenarı b ve a olsun. Uzunluğu b olan kenar 1 birime küçültülürse, a birimlik kenar a/b birim olur.

  • Karekök Alma

a sayısının karekökünü almak için a+1 uzunluğu çizilsin. Uzunluğun kendisi, bir çemberin çapı kabul edilsin ve alt taraftan yarım çember çizilsin. a’nın bittiği yerden çembere çizilen dik çizgi a’nın kareköküdür.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Yunan matematikçilerin sayı kullanmadan işlem yapabilmesi, geometri dışındaki matematik branşlarına girdikleri anlamına gelir mi? (İpucu: Diyofantus ismini Google’da araştırın.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Algoritma #1

Materyal: Kağıt ve kalem.

Matematik dersinde bir öğrenci seçilir.

Öğrenci robottur. Sadece komutlar doğrultusunda hareket eder.

Amaç öğrencinin bir sıra üzerinde bulunan kutuyu sınıfın dışına taşımasını sağlamak.

Öğrencilerin komutları kesin ve kısa olmalı.

  • Kesinlik: Robotun gözünde ölçü birimlerini gösteren bir alet olmadığı için “1 metre ilerle” demenin bir anlamı yoktur. Onun yerine “sağ, dur, ilerle, dur” veya “3 fayans kadar ileri” şeklinde komutlar verilmeli. Ayrıca “kutuyu al” diye bir komut da yetersizdir. “Eğil, sol kol ileri, aşağı, geri” şeklinde komutlar kullanılması mecburdur.
  • Kısalık: Komutlar mümkün oldukça cümle şeklinde verilmemeli. Robotun sağa dönmesi isteniyorsa “sağ” komutu, yeterince döndüğü düşünüldüğünde de “dur” komutu verilmesi gibi.

Öğrencilerin kağıda yazdığı komutlar bir algoritma örneğidir.

Algoritma Nedir?

Son zamanlarda neredeyse tamamen bilişim teknolojisinde kullanılan algoritma kelimesinin Türkçe’de karşılığı yöntemdir. Yani hayatın hangi alanında yöntem içeren bir iş varsa, orada algoritma vardır. Evden işe giderken kullandığımız yoldan, oyun kağıdı karıştırma şeklimize, hatta PlayStation’da Fifa oynarken kullandığımız tuşlara dek hep bir algoritma kullanıyoruz.

Peki algoritma kelimesinin kökeni nedir?

Yöntem Bey

8. ile 13. yüzyıl arasında kalan zaman dilimi İslam’ın Altın Çağı olarak adlandırılır. Müslümanlar 500 yıl boyunca hayatın her alanında yaşanan gelişmeleri kontrol etmişti. Doğal olarak bilimde de sürükleyici güç Müslümanlardı.

Altın Çağın başlangıcı başkenti Bağdat olan Abbasi Devleti’ne dayanıyordu. 8. yüzyılın sonuna doğru Müslümanlar (özellikle Araplar) bilim ve sanat konusunda diğer milletlerden geride kalmıştı. Bu durumu değiştirmek isteyen Halife Harun Reşid ve oğlu Halife Memun işe bilimle ilgili yazılmış ne kadar önemli eser varsa hepsinin Arapça’ya çevrilmesini sağlayarak başlamıştı. Bu döneme dek en önemli bilimsel çalışmaları Yunanlar yazmıştı. Bu yüzden Abbasi Halifeleri öncelikle bulunabilen tüm Yunan eserlerin çevrilmesini emretmişti. Bu uğurda Beyt’ül Hikmet isimli bir kütüphane kuran El Memun, elinin altındaki tüm tercümanları etraf ülkelere göndermişti(Beyt’ül Hikmet daha sonra kütüphaneden çok bir bilim merkezi gibi işlev görmüştü).

Memun’un bu çabası sayesinde Sokrates, Aristoteles, Öklid, Diyofantus ve daha nice Yunan bilim insanının eserleri günümüze dek ulaşmıştır. Çünkü günümüzde eski Yunan eserlerinin en eski versiyonları sadece Arapça olarak bulunmaktadır. Antik Yunan eserlerin Arapça’ya tercüme edilmesi, Müslümanların Yunanların etkisinde kalmasına yol açmıştı. Öyle ki, Aristotelesçi düşünce Müslümanları derinden etkilemiş, hatta bir çok İslam düşünürü için kutsal sayılan bir felsefe olarak görülmüştü.

Müslüman matematikçiler de antik Yunan çalışmalarından büyük ölçüde etkilenmişti. Bunlardan biri İran kökenli El Harezmi idi. Harezmi sadece Yunan matematiğiyle yetinmemiş, Hint matematiğini de öğrenmişti. İlk olarak Hindistan’da ortaya çıkan on tabanlı basamak sistemini Hindistan’ın dışına taşıyan kişinin El Harezmi olduğu bilinir. Harezmi dünyaya sayı sistemi dışında çok önemli bir armağan daha vermişti. Yazdığı “Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap” bugün matematiğin en eski ve en geniş alanlarından birine ismini vermişti: Cebir.

contribution_of_al-khwarizmi_02
Özbekistan’da bulunan El Harezmi heykeli. (Foto: Alain Juhel)

El Harezmi’nin eserleri 12. yüzyılda Latince’ye çevrilirken, ismi “Algoritma” olarak tercüme edilmişti. Yani algoritma kelimesi bir Müslüman matematikçinin ismidir. Bu, El Harezmi’nin yazdığı Cebir kitabının içeriğinden kaynaklıdır. Harezmi’den önce matematikte yöntem yok denecek kadar azdı çünkü problemler çoğu zaman sadece özel durumlar için çözülürdü. Cebir’de ise matematik problemlerinin genel çözümlerinin nasıl (yani hangi yöntemle) yapılacağı gösterilmişti ki bu başlı başına bir devrim niteliğindeydi.

Harezmi’nin Algoritması

El Harezmi matematik problemlerinin çözümünü sembol kullanmadan sadece kelimelerle yapmıştı. Ayrıca çözümlerinde geometriden de yardım almıştı. Bunun bir nedeni, onun yaşadığı dönemde bilinmeyene bugün atadığımız gibi bir harfin atanmıyor olmasıydı. Bir problemde bilinmeyene x demeye başlamamız Harezmi’den yüzlerce yıl sonraydı.

Harezmi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin genel çözümü için algoritmalar kurmuştu. Bu tür denklemleri günümüzde a,b ve c sayı, x değişken olmak üzere;

ax2 + bx + c = 0

şeklinde gösteriyoruz. Harezmi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin genel çözümü için şöyle bir yöntem geliştirmişti:

xkare
Bir kenar uzunluğu x olan karenin alanı = x2

kareartıx
Bir kenar uzunluğu x olan kare ile kenar uzunlukları x ve 2 olan dikdörtgenin alanları toplamı=x2+2x

Sonuç

Bugün algoritma bir bilgisayar programının arka planında bulunan kod anlamında düşünülüyor. Algoritmalar yazılımın her yerindedir ve bilgisayarlara bir problemi nasıl çözmesi gerektiğini gösterir. Bilgisayar teknolojisinin günlük hayatımızın içine iyice girmesi yüzünden algoritmanın matematiksel anlamı unutulmuş ya da geri plana atılmıştır. Fakat algoritma kelimesi ilk olarak 800 yıl önce El Harezmi’nin Cebir’iyle tanışan Avrupalılar tarafından matematiksel yöntem anlamında kullanılmıştı. Bu yüzden çocuklara yazılım dersleri verirken matematiği bir kenara atmamak, her iki şeyin de aslında birbiriyle iç içe olduğunu göstermek gerekir.

Ek Soru: Harezmi’nin geometrik yöntemini kullanarak

2x2 + 10x = 30x – 2x2

denklemini çözünüz.

M. Serkan Kalaycıoğlu