Real Mathematics – Life vs. Maths #2

Matches

For thousands of years people tried find a precise value for the number π (3,1415192…). At first this special number was thought to be seen only when there is a circle around. Within time π started to appear in places where scientist didn’t expect it to be. One of them was an 18th century scientist Georges Buffon.

Buffon came up with a probability problem named “Buffon’s needle problem” in 1777 when he came across with the number π. As I didn’t possess that many needles, I modified the problem as “Serkan’s matches problem”.

Buffon’s Needle Problem: Take a piece of paper and draw perpendicular lines on it with specific amount of space between them. Buffon wondered if one can calculate the probability of a needle that will land on one of the lines.

To start Serkan’s matches problem you need at least 100 matches, a piece of empty paper, a ruler, pen/pencil and a calculator.

First of all, draw perpendicular lines with 2 matches-length spaces between them.

Then just throw the matches on the paper randomly.

img_4648

Start collecting the matches which land on a line. At last you should use your calculator to divide the total number of matches to the number of matches landed on a line.

In my experiment out of 100 matches, 32 of them landed on a line. That gave me 3,125 which is close to the magical number π.

img_4651

In fact, 100 matches are not enough for this experiment. In my second try 34 matches landed on one of the lines which gave 100/34=2,9411… Obviously this is not close to π. More matches we use, closer we will get to π.

In an experiment back in 1980 2000 needles were used to analyze Buffon’s needle problem. Result was 3,1430… which is seriously close to the number π.

pi1000-e1536927416822

You could go to https://mste.illinois.edu/activity/buffon/ and use this simulator which uses 1000 needle. In my first try I got 3,1496… You should try and see the result yourself.

In the future I will be talking about why a needle (or a match) is connected to the number π.

One wonders…

Try to do your own experiment and repeat Buffon’s needle problem for five times. Take the arithmetic average of your solutions and see how close you are to π?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Hayat-Matematik İlişkisi #1

Çember-Kibrit İlişkisi (1)

Matematik doğada meydana gelen olayları açıklamak için kullandığımız bir dildir. Matematikçiler ise (iyi olanları tabi ki) bu dilin bir nevi ustalarıdır. Kimsenin görmediğini görmek, alakasız olduğu düşünülen olaylar arasında bağlantı bulmak ve bunu matematiğin evrensel diliyle tüm dünyaya anlatmak (iyi) matematikçilerin ortak özellikleri arasındadır.

Yani sanılanın aksine “matematikten anlamak” iyi hesap yapmak veya sayılarla arası iyi olmak demek değildir. Matematikçi ilişki gösterir, simetriyi işaret eder, örüntüyü açıklar… Hem de en olmayacak yerlerde!

Örneğin bir çember ile yüzlerce kibritin ortak bir noktası olduğunu ancak matematikle keşfedip açıklayabiliriz.

Çember

Önce çemberle başlayalım. Çemberin merkezinden geçen ve sınırlarına kadar uzanan düz çizgiye çap denir. Yarıçap ise merkezle çemberin sınırı arasındaki mesafedir.

Pergel yardımıyla bir çember çizerken pergelin açıklığı bize çemberin yarıçapını verir. Mesela pergeli 3 cm kadar açarsak, çizilen çemberin yarıçapı 3, çapı 6 cm olur.

Şekildeki çemberde çevre uzunluğu yaklaşık olarak 18,85 cm’dir. Gelin çap ile çemberin çevresi arasında nasıl bir ilişki olduğuna bakalım.

IMG_4642
18,85/6 = 3,1416666…

Şimdi de belirlediğimiz ölçüde bir çember oluşturalım. Bunun için kahve kupamı kullanacağım. Kupanın ağız kısmı yaklaşık 25,8 cm uzunluğunda bir çember şeklindedir.

Bu çemberin çapı ise yaklaşık 8,2 cm’dir. Çemberin çevresini çapına bölelim.

IMG_4639
25,8/8,2 = 3,14634146…

İki örnekte de bir çemberin çapına oranı 3,14 sayısına yakınsıyor. Bu sonuç tabi ki tesadüf değil. İnsanlığın çember ve çap arasındaki bu bağlantıyı fark etmesi en az 4000 yıllık bir olay.

Gizemli Sayının Kısa Bir Tarihçesi

M.Ö. 2000: En başta bu sayı 3 olarak düşünülmüş. Antik Mısır’dan günümüze kalan yaklaşık 4000 yaşındaki Rhind Papirüsü’ne göreyse sayı 3,16045 alınmış.

M.Ö. 250: Antik Yunan Arşimet’in hesabına göre sayının ortalama değeri 3,1418 idi.

M.S. 800: El Harezmi’nin hesabı ise günümüzde bilinen değere Arşimet’in bulduğundan daha yakındı: 3,1416.

İnsanoğlu zaman ilerledikçe bu sayının kesin değerini bulmak için uğraşmaya devam etmişti. 1874’e gelindiğinde İngiliz William Shanks bu sabit sayının ilk 707 basamağını hesaplamıştı. Ne yazık ki Shanks 528. basamakta bir hata yapmıştı. Yine de sayının ilk 527 basamağını doğru olarak hesaplamak harikulade bir işti ve Shanks’in tarihe geçmesine yetmişti.

1949’a gelindiğindeyse bu sayıyı hesaplama görevi bilgisayarlara geçmişti. Sayının ilk 2000 basamağı bulunmuştu.

pi2000
Bir Fenerli olarak denedim ve bu 2000 basamak içinde sadece 1907’nin bulunduğunu gördüm. Tesadüf değil!

18. yüzyılda, açık ara en çok sevdiğim matematik figürü olan Leonhard Euler bu sayıya sembolünü vermişti: π.

Pi sayısı olarak adlandırdığımız ve π sembolüyle gösterdiğimiz bu gizemli sayı 17-18. yüzyıl civarında çember dışında da bilim insanlarının karşısına çıkmaya başlamıştı. Bu ilişkilere daha sonraki yazılarda göz atacağız.

Deneyüstü π

1882 yılında Ferdinand von Lindemann ismindeki bir Alman, π sayısının transandantal yani deneyüstü bir sayı olduğunu ispatlamıştı.

Bir başka deyişle, π sayısı iki rasyonel sayının bölümü şeklinde gösterilemezdi.

Bir başka deyişe göreyse π sayısı sonsuza dek rastgele bir şekilde devam eden bir sayıydı.

Bir başka deyişle π sayısının içinde her şey bulunabilirdi… T.C. kimlik numaranızdan, doğum tarihinize, banka kartı şifrenizden, aklınızdan geçirdiğiniz herhangi bir sayıya dek her şey π sayının içindeydi.

Durmadan hesaplanmaya devam edildiği takdirde evrende var olmuş, olan ve olacak her sayı hali hazırda π sayısının içinde bulunabilir.

Kendi π Gününü Bul

Wolfram tarafından yapılan bu site doğum tarihinizin π’nin kaçıncı basamağında yer aldığını gösteriyor.

Ben de Leonhard Euler’in doğum tarihini denedim ve aşağıdaki sonuca ulaştım.

eulerpi
Euler’in doğum günü π’nin 1.435.697.ci basamağında ortaya çıktı.

Durmayın, deneyin ve kendi gözlerinizle görün. π sayısının içinde sizin de doğum tarihiniz var.

M. Serkan Kalaycıoğlu