Matematik Atölyesi – Şans #8

Fanatik Taraftar

Kupa finali bu sene şehrin en önemli iki futbol takımı arasında; hem derbi hem de final. Bu yüzden iki takımın taraftarı da son derece heyecanlı. Ahmet’in ise maçla pek bir ilgisi yok. Tuttuğu takım yarı finalde elendiği için Ahmet rahat.

Ahmet’in yakın arkadaşlarından ikisi olan Samet ve Tarık, iki haftadır durmadan tartışıyor. Samet, FC Çatladıkkapıspor’un, Tarık ise AC Milan’ın maçı kazanacağını iddia ederken Ahmet akşam ne yiyeceğini düşünüyor.

Samet

“Senelerdir yenilmiyoruz adamlara. %90 maç bizim. Ama futbol bu; her şey olabilir. O da %10 ihtimal işte. Evet, çok eminim. Gel iddiaya girelim istersen?!”

Tarık

“Bu senenin en formda takımıyız. Forvetimiz bu sene 27 maçta 69 gol attı. Maçı %75 biz kazanırız. Ama bunlara şansımız tutmuyor. Hadi %25 de onlara şans veriyim. Senle hemen iddiaya girebilirim Ahmet!”

Fırsatçı Ahmet

Final maçı olduğu için beraberlik şansı yok. Yani iki takımdan biri mutlaka maçı kazanacak.

Arkadaşlarının neredeyse birbirine zıt düşüncelerinde yararlanmak isteyen Ahmet her ikisiyle de öyle bir iddiaya girmek istiyor ki, sonuç ne olursa olsun kar etsin.

Ahmet’in yerinde olsaydınız ne yapardınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #13

Köprüyü Geçmek

Mezopotamya’nın en güzel şelalelerinin yanı başında bulunan Togan, bulunduğu bölgenin en verimli topraklarına sahipti. Sadece birkaç yüz kişinin yaşadığı bu köyde bir kişi hariç herkes tarımla uğraşıyordu: Berkut.

Hayatının sonbaharında olan Berkut’un tamamen beyazlamış uzun saçları ve hipster sakalı vardı. Berkut’un hikayesi Toganlılar arasında bir nevi efsaneye dönüşmüştü. Anlatılanlara göre, evinin sınırlarına giren herkes ortadan kayboluyordu. Bu yüzden Togan’ı ikiye ayıran derenin diğer tarafında bulunan tek ev Berkut’unkiydi.

Berkut

Onu sadece bahçesine çıktığı zamanlar derenin öbür tarafında izleyebilen çocuklar için Berkut büyük bir bilinmezdi.

Berkut’un evi.

Toganlılar henüz çocuk yaşlarda tanıştığı hayatlarının büyük kısmını tarlalarda geçirirdi. Ali de son bir senedir arkadaşları gibi ailesine yardım ediyor, neredeyse güneşin doğuşundan batışına dek tarlada çalışıyordu. Fakat Berkut’un durumu Ali ve arkadaşlarının ilgisini çekiyordu. Bir gece yine Berkut hakkında konuşan dörtlü sonunda bir karar vermişti: Ertesi gün öğleden sonra işten kaytarıp derenin karşısına geçeceklerdi.

Ertesi gün gelip çattığında bahçesinde sandalyesine kurulan Berkut, Ali ve arkadaşlarının dere üzerinde bulunan köprüyü kullanarak karşıya geçişini izledi. Çocuklar kendilerini gizlemeye çalışarak onun evine doğru yaklaşıyordu. Berkut, çocukların evine doğru geldiğini anladı ve içeri girdi.

Çocuklar çalıların arasına saklanarak Berkut’un evinin önüne varmıştı. Evin dereye bakan bahçesine gizlice giren çocuklar, verandada bulunan sehpada bir tabak kurabiye ve dumanı tüten bir çaydanlık görmüştü. Şaşkın halde sehpanın üzerindekilere bakan çocuklar Berkut’un dışarı çıktığını görünce çığlık atıp hızla bahçeden farklı yönlere doğru kaçıştı.

Ali ve arkadaşları ancak hava kararınca birbirlerini bulmuştu. Artık karanlıkta derenin karşısına geçmek zorundaydılar. Fakat köprü aynı anda sadece ikisini taşıyacak güçteydi ve ellerinde sadece bir lamba vardı.

Berkut’un kendilerini kovaladığını düşünen çocuklar, en kısa sürede karşıya geçmek istiyordu.

Karşıya geçiş süreleri:

Aslı: 1 dakika

Ali: 2 dakika

Necdet: 6 dakika

Selin: 10 dakika

Herhangi ikili köprüyü, yavaş olanın hızında geçer. (Örneğin Ali ile Necdet beraber köprüyü 6 dakikada geçer.)

Bu durumda dört çocuk köprüyü en az kaç dakikada geçebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Bulmaca #4

Haylaz Öğrenciler

Arkadaşlıklar arasında sıra arkadaşlığının diğerlerine kıyasla bambaşka bir yeri vardır. Sınıf içerisinde her öğrencinin öyle bir eşi vardır ki bu ikisi birbirine yakın oturduğunda (yan yana, önlü-arkalı veya diyagonal) rahat durmaları neredeyse imkansızdır. Bunun farkında olan öğretmenler sene içerisinde deneme yanılma yaparak en ideal oturma düzenini sağlamaya çalışır.

Steve Hocanın Problemi

Steve hoca ders verdiği sınıflardan birinde birbirlerine yakın olduğunda (birbirine yakın olmaya bundan sonra komşuluk diyeceğim) haylazlık yapmadan duramayan 8 öğrenciyi fark etmişti.

Koşullar

  • Komşu öğrenciler: Birbirleriyle yan yana, önlü-arkalı veya diyagonal olarak oturan iki öğrenciye denir.
  • Eğer iki öğrenci haylazlık yapıyorsa aralarında <–> bulunur.
  • Steve’in sınıfındaki 8 öğrencinin birbirleriyle ilişkileri şöyleydi:
  • Deniz <–> Ali <–> Kirk <–> Jane <–> Poseidon <–> Rebecca <–> Lucreita <–> Bran
  • Bu 8 öğrencinin oturma düzeni aşağıdaki gibidir:

sekiz.jpg

Sınıfın geri kalanının düzenini bozmak istemeyen Steve hocanın problemi şuydu:

“Bu 8 öğrenciyi çiftler birbirine komşu olmayacak şekilde nasıl oturtabilirim?”

İpucu: Öğrencilere sayı atayın.

Cevap bir sonraki yazıda.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #8

Yargıç Tahterevalli 2.0.1

Önceki yazının sonunda 12. kutunun ağırlığı bilinmiyor iken bu kutunun en fazla üç denemede nasıl bulunabileceğini sormuştum.

Çözüme yine 12 kutuyu 4’erli üç gruba ayırarak başlamamız gerekir. Fakat bu sefer hem gruplara hem de kutulara isim vermeliyiz:

20190304_155612

İlk denemede A ve B gruplarını tahterevallinin uçlarına bırakalım. İki ihtimal vardır:

İhtimal 1: Tahterevalli dengededir.

20190304_155726

Bu ihtimal A ve B’de aynı kutuların bulunduğunu gösterir.

O halde aradığımız kutu C’deki dört kutudan biridir.

İkinci denemede C’de kutuların üçüyle A’daki üç kutuyu tahterevallinin iki ucuna bırakalım. (Neden A’daki üç kutu? Aslında A ve B aynı kutulara sahip olduğu için hangi üç kutunun alınacağı önemsizdir. Ben sorunun çözümünü gösterirken kolaylık olsun diye A’den üç kutu seçtim. Yoksa hepsi B’den veya ikisi A’dan biri B’den de pek tabi seçilebilir.)

İkinci denemeden sonra yine iki ihtimalle karşı karşıya kalırız:

a. Tahterevalli dengededir.

20190304_155805
Aradığımız kutu: C4

Yani C’deki üç kutu, A’deki kutularla özdeştir. Bu da ikinci denemede seçmediğim C kutusunun aradığımız kutu olduğu anlamına gelir.

b. Tahterevalli dengede değildir. Bu ihtimalde aradığımız kutunun C’den seçtiğim üçlü arasında olduğunu anlarız. Ayrıca tahterevalli ya C ya da A tarafına doğru eğiktir. Bu sayede C’deki kutunun diğer kutulardan daha ağır olup olmadığını da öğreniriz.

Yani soru artık şuna dönmüştür: Üç kutunun iki tanesi aynı ağırlıktadır. Üçüncü kutunun diğerlerinden daha ağır ya da hafif olduğu biliniyorsa, üçüncü kutuyu nasıl buluruz?

Bunu herhangi iki kutuyu tahterevallinin iki ucuna koyarak tek seferde bulabiliriz.

Tahterevalli dengede ise aranılan kutu tahterevallide olmayandır:

20190304_160019
Cevap: C

Tahterevallide denge yoksa aranılan kutunun ağırlığı bilindiği için kutu bulunabilir. (Daha ağırsa ağır olan taraf, hafifse hafif olan taraftadır.)

İhtimal 2: Tahterevalli dengede değildir.

O halde aradığımız kutu A ya da B grupları içindedir. İşin zor kısmı burası; çünkü sekiz kutu içinden hangisinin farklı olduğunu sadece iki denemede bulmamız gerekiyor.

Bu ihtimalde ilk deneme sonucunda öğrendiğimiz bir başka şey ise A ya da B gruplarından birinin diğerinden daha ağır olduğudur. Çözümün geri kalanı için A’nın B’den daha ağır olduğunu farz edeceğim. (Bunu yazı-tura atarak belirledim. Yani B’nin daha ağır olduğunu seçsem bir şey değişmezdi.)

20190304_160109.jpg
A grubu B’den daha ağırken.

İkinci denemeyi yapmadan önce A ile B arasında bir kutuyu, B ile C arasında da 3 kutuyu yer değiştireceğim. Bu deneme sonucunda tahterevalli üç şekilde durabilir:

a. Tahterevalli dengede:

20190304_160141.jpg
Kutumuz B2, B3, B4’den biridir.

Tahterevallinin üzerindeki kutular birbirinin aynısıdır. O halde aradığımız kutu ilk denemeden sonra çıkardığımız üç B’nin içindedir. Ayrıca tahterevalli dengeye geldiği için aradığımız kutunun diğerlerinden daha hafif olduğunu da anlamış oluruz.

Üç kutudan ikisi aynı ağırlıkta, biri onlardan daha hafif. Tek denemede hafif kutuyu bulabiliriz ki bu da toplamda üç denemede kutuyu bulduk demektir.

b. Tahterevalli ilk denemedeki gibi duruyor:

20190304_160130.jpg
Kutumuz A1, A2, A3’den biridir.

O halde aradığımız kutu A’daki üçlüden biridir. Ayrıca kutunun diğerlerinden daha ağır olduğu da anlaşılmıştır.

Yani ikisi aynı ağırlıkta, biri onlardan daha ağır üç kutudan ağır olanı bulmamız gerekir. Bunu tek denemede yapmamız mümkündür. Böylece toplamda üç denemede kutuyu bulmuş oluruz.

c. Tahterevalli ilk denemedeki durumun tersi şeklinde duruyor:

20190304_160207.jpg
Kutumuz A4 veya B1’den biridir.

O halde aradığımız kutu A ile B arasında değiştirilenlerden biridir. Fakat hangisinin daha ağır olduğunu bilemeyiz.

Bu durumda iki kutudan birini seçip, diğer 10 kutudan biriyle tahterevalliye koymalıyız. Eğer tahterevalli dengede ise aradığımız kutu seçmediğimiz kutudur. Eğer tahterevallide denge yoksa aradığımız kutu seçtiğimiz kutudur.

Aradığımız kutu A4 olsun:

20190304_160240

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #7

Yargıç Tahterevalli

Masanın üzerinde 12 tane hediye paketi var. Paketlerin tamamı aynı büyüklükte ve aynı hediye kağıdıyla kaplanmış.

rectangular white and red gift box

Bu paketlerin 11’i aynı ağırlıkta iken 12. paketin ağırlığı diğerlerinden farklı.

Amaç: Farklı ağırlıktaki paketi bulan kişi olmak.

Ödül: 50.000.000 eski Türk lirası değerinde Oreo. (Çünkü Oreo dünyadaki en güzel şeydir.)

Araç: En fazla üç deneme hakkı ve ölçüm yapmak için kullanılabilecek bir tahterevalli.

istockphoto-684156036-612x612

Yargıç Tahterevalli 1.0.1

Oyunun bu versiyonunda ek olarak farklı kutunun diğerlerinden daha ağır veya hafif olup olmadığı bilgisi veriliyor.

Bu noktada kendinize biraz süre verin ve farklı kutunun daha ağır olduğu durum üzerine düşünün.

***

Düşünmeniz bittiyse buyurun cevaba:

Diyelim ki farklı kutu diğerlerinden daha ağır. O halde önce 12 kutu 4’erli gruplara ayrılır.

Birinci denemede herhangi iki grup tahterevallinin uçlarına bırakılır. Bu noktada iki ihtimal vardır:

a. Tahterevalli dengededir.

tahte
Eğer ağır kutu bu sekiz kutunun içinde olsaydı tahterevalli dengede duramazdı.

Gruplar birbirine eşittir. Bu da aranılan paketin üçüncü gruptaki dörtlüden biri olduğu anlamına gelir.

 

İkinci denemede bu dörtlü ikişerli olarak tahterevalliye koyulur.

tahte3
Ağır olan kutu soldakilerden birisidir.

Tahterevalli daha ağır olan tarafa doğru eğilir. 12. paket ağır taraftaki ikiliden biridir.

Üçüncü denemede bu ikili tahterevallinin uçlarına bırakılır.

tahte4
Soldaki kutu ağır olandır.

Tahterevalli yine eğilir. Burada ağır olan paket 12. pakettir.

b. Tahterevalli dengede değildir.

tahte2
Tahterevalli ağır kutunun bulunduğu tarafa doğru eğilir.

Bu da aranılan paketin ağır olan taraftaki dörtlünün içinde olduğu anlamına gelir. Çözümün geri kalanı a şıkkındaki gibidir. Ağır olan paket üç denemede bulunmuş olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Yargıç Tahterevalli 2.0.1

Bu versiyonda 12. paketin diğerlerine kıyasla daha ağır ya da hafif olup olmadığı bilinmiyor.

Ufak bir değişiklik gibi görünse de oyun bir önceki versiyona göre çok zor bir hale geldi.

O yüzden soruyu çözmeniz için size biraz süre tanıyorum. Cevabı bir sonraki yazıda paylaşacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #2

Bu Hangi Şekil?

Uzun süredir bu günü bekliyordum: Uzaylılar tarafından kaçırıldım! Evet, tarafından!

Neyse ki uzaylılar Türkçe biliyor. En sevdikleri içecek Rize çayı. İnce belli bardakta açık bir çay verdiler. Sakinleşmeye başladığımı gördüklerinde liderleri bana seslendi:

-Dünyalı! Üzerinde deneyler yapmak için seni kaçırdık ama sana karşı adil olmak istiyoruz. Çayını bitirdikten sonra gözlerini bağlayacağız ve seni rastgele bir gök cismine bırakacağız. Eğer üzerinde olacağın bu gök cisminin hangi şekilde olduğunu bilirsen seni evine geri götüreceğiz.

maxresdefault

Kristof Kolomb Yöntemi

Gök cismine bırakıldım. Uzay gemisi üzerimde; beni izliyorlar. Düşün Serkan, düşüün! A, evet buldum galiba. Eğer Kolomb gibi yapıp sürekli aynı yöne doğru ilerlersem, yuvarlak bir gezegende isem, başladığım yere dönmem gerekir.

Uzaylılardan sprey istedim. Böylece yolumu işaretleyip başladığım yere varıp varmadığımı görebileceğim. Günler, haftalar geçti ve sonunda başladığım yere vardım!

Demek ki bu gezegen tıpkı evim Dünya gibi küreye veya topa benzer bir şekilde. Cevabımı hazırladım ve uzaylılarla konuşmaya gidiyorum. Fakat… Aklıma bir şüphe düştü. Ya bu gezegen bir simit şeklindeyse?! Sonuçta simit de yuvarlak bir şekle sahip.

Çünkü eğer simit şeklindeyse ve ben de simidin bir tarafında düz ilerledi isem, başladığım yere dönmem normal. İzlediğim yol yuvarlaklığı gösteriyor ama ya simit gibi ortası boş bir şeklin üzerinde isem?!

Ne yapacağım şimdi?

Topun mu üzerindeyim? Yoksa simidin mi?

IMG_5900
Top şekli derken illa pürüzsüz yüzeyi olan harika bir şekilden bahsetmiyorum. Resimdeki gibi de olabilir.

Sizin İçin Yeni Bir Matematik

Aslında bu soru, topolojinin klasik sorularından biridir. Peki topoloji nedir?

Size şu ana dek Euler’in iki önemli buluşundan bahsettim: Euler’in çokyüzlüler formülü ve Euler’in Königsberg köprüsü problemi çözümü.

Euler’in Königsberg çözümü, 150 yıl sonra çizge teorisi isminde yeni bir matematik alanının ortaya çıkmasına neden olmuştu. Euler’in çokyüzlüler formülü ise çizge teorisinin alt dalı olduğu topoloji isimli matematik branşının çıkışına önemli bir etkide bulunmuştu.

Topoloji:

  • Yunanca’dan türetilmiştir. Topos (Yer/Yüzey/Uzay) + Lopos (Bilim).
  • Lastik levha geometrisi olarak bilinir.

Öklid Geometrisi vs. Topoloji

  • Öklid geometrisinde objeleri döndürebilir ve ters çevirebiliriz. Fakat germek, uzatmak veya bükmek gibi şeyleri yapamayız. Bunları yaptığımız anda uğraştığımız objenin özellikleri değişir.
  • Topolojide ise bir obje gerilip büküldüğünde objenin özelliklerinde bir değişme olmaz. Fakat kesmek, delmek veya ekleme yapmak topolojide objelerin özelliklerini değiştirir.
  • Öklid geometrisinde uzunluk ve açılar önemlidir.
  • Topolojideyse bunların bir önemi yoktur.
  • Bu yüzden Öklid geometrisinde bir kare ile bir üçgen farklı özelliklere sahipken, topolojide her iki şekil de aynı kabul edilir.

En Popüler Örnek

Uzunluk ve açıların önemli olmaması ilk başta anlamsız gelebilir. Halbuki günlük yaşamımızda önemli yer kaplayan bir örnek topolojiyi zaten hepimizin bilip kullandığını gösteriyor.

Toplu taşıma araçlarında, özellikle metro ve tramvaylarda durakları gösteren haritalar bulunur. Bu haritalara bakarken duraklar arasındaki mesafeleri veya hangi durağın daha büyük olduğunu bilemeyiz. Çünkü tüm duraklar noktalarla gösterilip birbirlerine çizgilerle bağlanmıştır.

İstanbul’da Taksim metro durağındasınız ve Levent yönüne doğru vagona bindiniz. Kaç durak sonra ineceğinizi öğrenmek için kapının üzerine doğru baktınız:

M2_Hattı

Görüldüğü üzere tüm durak isimleri noktalarla gösterilirken duraklar arası mesafeler de aynı bırakılmış. Gerçekteyse örneğin Taksim-Osmanbey arasıyla Levent-4.Levent arası mesafe aynı değildir.

İpucu: Bu Hangi Şekil?

Fark etmiş olmalısınız: Soru aslında gezegenin topolojik özelliğiyle ilgili. O halde oyun hamuru gibi bir materyal ile soruyu çözebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Bulmaca #3

Sihirli Baklavanın Hikayesi

Ekskalibur ismini çoğunuz duymuştur. Britanya kralı Arthur’un ünlü kılıcı olan Ekskalibur büyülü bir kılıçtı. Öyle ki onu kullan kişi insanüstü özelliklere sahip oluyordu. Ekskalibur bir mitoloji hikayesi olarak görülebilir.

7043641

Bu yazıda da tahminen daha önce hiç duymadığınız bir mitolojik hikayeden bahsedeceğim: Matematikçi Serkan’ın sihirli baklavasından!

Şanssız Baba

“Serkan” ismi görece yeni bir isimdir. Bu yüzden Serkan’ın Sihirli Baklavası hikayesinin 2700 yıllık bir tarihinin olması sizi şaşırtabilir.

Medeniyetin beşiği Mardin’de dünyaya gelen Serkan’ın babası zamanının en ünlü baklava ustasıydı. Fakat Serkan’ın doğumundan hemen sonra büyük bir badire atlatmıştı: Yaptığı baklavadan sekiz kişinin zehirlenmesi, Serkan’ın babasının büyük bir travma yaşamasına neden olmuştu. Olaydan sonra sürekli zehirlenen insanları kabuslarında gören Serkan’ın babası, bir daha baklava yapmamaya yemin etmişti.

247505
MS. 2018 – Baklava ustası Nadir Güllü

Sihirli Baklavanın Doğuşu

Yıllar bu yeminle geçmişti. Kunduracılık yaparak ailesine yardımcı olan Serkan bir yandan da üniversite giriş sınavına hazırlanıyordu. Sınavdan bir hafta önce okuldaki rehber öğretmeni sınavda zihin açıklığı versin diye herkese olips şeker dağıtmıştı. Fakat Serkan çok sevdiği portakallı olips yerine naneli olips alabilmişti.

indir (4)

Portakallı olips alamamanın üzüntüsüyle eve dönen Serkan’a moral vermek isteyen babası ona bir sürpriz hazırlamıştı:

“Oğlum! Bir defaya mahsus yeminimi bozdum ve senin için sihirli bir baklava yaptım. Bu baklavayı yedikten sonra karşında hiç bir soru dayanamayacak ve Boğaziçi senin, Odtü benim, hangi üniversiteyi istersen ona gidebileceksin.

IMG_5708
Sihirli Baklava

Fakat sihirli baklavayı hak ettiğini bana ispat etmen gerekiyor. Bunun için sana bir bulmaca hazırladım.

  • Baklava dört kutunun birinde.
    madobak
  • Sınav gününe dek her gün kutulardan sadece birini seçme şansın var.
  • Her gün baklavayı başka bir kutuya koyacağım.
  • Baklavayı sadece bir önceki gün bulunduğu kutuya komşu kutulardan birine koyabilirim. Yani örneğin baklava 1 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu tek kutu olan 2 numaraya geçebilir. Eğer 2 numaralı kutudaysa ertesi gün komşu olduğu 1 ya da 3 numaralı kutudan birine geçebilir.”
    maddo

Mitolojide bulunan en gerçekçi hikaye olan Serkan’ın sihirli baklavası, 2700 yıl sonra bile kulaktan kulağa aktarılmaya devam ediyor.

Sorular

  • Serkan’ın sihirli baklavasını nasıl bulabilirsiniz?
  • Baklavayı kesin olarak bulmak için bir yöntem üretebilir misiniz?
  • Bu yöntem kutu sayısı 5 olduğunda işe yarar mı? Peki ya n tane kutu olduğunda?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Graf #2

Yazıyı okumadan önce Bulmaca I başlıklı yazıyı okumanız gerekir. Yine de kısaca hatırlatmamızı yapalım: Yanınızda keçi, kurt ve lahana ile evinize dönerken karşınıza büyük bir nehir çıkıyor. Şansınıza nehirde terk edilmiş bir sal görüyorsunuz. Salın kapasitesi çok küçük ve karşıya her seferinde keçi, kurt ve lahanadan birini geçirebiliyorsunuz.

Fakat burada bir sorun var çünkü keçiyi kurt ile yalnız bırakmak istemezsiniz. Siz lahanayı bırakıp gelene dek keçiden geriye pek bir şey kalmayabilir. Aynı şekilde keçi ile lahanayı da yalnız bırakmamak gerekir, çünkü lahana keçinin en sevdiği yemeklerden biridir. Üçlü arasında sadece kurt ile lahanayı yalnız bırakabiliyorsunuz.

Peki herkesi nehrin karşısına nasıl geçireceksiniz?

Graf Kullanarak Bulmaca Çözmek

Bu basit görünümlü bulmacayı graf haline getirip çözümü bulabiliriz. Bunun için nehrin sol tarafı 1, sağ tarafı ise 2 rakamı ile gösterilsin. İlk durumda herkes nehrin sol, yani 1 numaralı tarafındadır. Bunu 111 (Kurt-Keçi-Lahana) ile gösterebiliriz.

O halde bu üçlü için sekiz farklı konum vardır: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 ve 222. Örneğin 112 demek kurt ve keçi nehrin solunda, lahana ise nehrin sağında demektir. Nihai amaç ise 222 konumuna gelmektir.

Grafı Çizmek

Biz bu sekiz konumun her birinin bir nokta ifade ettiğini varsayalım. Noktalar arasında geçişler ise çizgilerle gösterilsin. Noktalarımız ve bu noktalar arasında geçişi gösteren çizgilerimiz var. O halde şimdi helva yapabiliriz! Pardon, graf çizebiliriz demek istemiştim.

Başlangıç noktamız olan 111’den hareket edilebilecek üç nokta vardır: 112, 121, 211. (Örneğin 211’e gitmek demek kurdu sağa götürüp, keçi ve lahanayı solda yalnız bırak demektir.) Grafa döküldüğünde tüm ilişkiler şu şekilde gösterilir:

111

Eğer bu bağlantıların hepsini istediğimiz gibi kullanabilseydik, 111’den 222’ye ulaşmak çok basit olurdu. Fakat bulmaca bize iki kural vermiş ve bunlara göre bazı noktalar arasındaki bağlantılar (ya da çizgiler) kullanılamaz.

Çözüm

Yapılacak ilk hareket, çözümün kalanını belirler. Biliyoruz ki keçi ile lahana, kurt ile de keçi yalnız bırakılamaz. Bu yüzdendir ki ilk hamlede kurt ya da lahana karşı tarafa götürülemez. Grafikte bunun karşılığı şudur: İlk hareket 211 ve 112 yolundan yapılmamalıdır.

IMG_5358

O halde 111’den gidilebilecek tek yol kalır: 121 yolu. Bu da keçinin karşıya taşınması anlamına gelir. Böylece nehrin 1 tarafında kurt ve lahana yalnız kalır ki bulmacaya göre bu bir sorun teşkil etmez.

IMG_5359

İkinci harekete 121’den başlanacağına göre gidilebilecek üç nokta vardır: 111, 122 ya da 221. Zaten 111’den geldiğimiz için buraya geri dönmenin bir anlamı yoktur. Bu yüzden 122 ya da 221 noktalarından biri seçilmek zorundadır. Yani kurt ya da lahanadan birini nehrin 2 tarafına taşımalıyız.

122 yönünden gidersek:

Eğer 122 noktasına gidersek (ki bu lahanayı nehrin 2 tarafına götürmek demektir) keçi ile lahana yan yana kalmış olur. 122 noktasından sonra yine üç noktaya gitme şansımız vardır: 222, 121, 112.

  • 121: Bu noktadan geldiğimiz için geri dönmemizin bir anlamı olmaz. Yani 121’ye doğru gidilmez.
  • 222: En doğru seçim bu gibi görünür. Zaten amacımız herkesi nehrin 2 numaralı tarafında geçirmektir. Fakat 122’den 222’ye geçmek demek, lahanayı keçi ile yalnız bırakıp kurdu almak için nehrin 1 numaralı tarafına gitmek demektir. Bunu yaparsak biz kurdu alana dek keçi lahanayı hunharca katleder. Yani 122’den direk 222’ye gidemeyiz.
  • 112: O halde 122 noktasından gidebileceğimiz tek yer burasıdır. Bir diğer deyişle lahanayı karşıya bırakıp keçiyi geri götürmek.

112 noktasından gidilebilecek üç nokta vardır: 122, 212, 111. 111’e gitmek hem sorunun başına dönmek hem de keçiyi kurda teslim etmektir. 122 noktası ise bir önceki noktadır: Geri dönmenin bir anlamı olmadığını söylemiştik. O halde 112’den gidilebilecek tek yer 212 noktasıdır. Bu da keçiyi nehrin 2 numaralı kısmına geçirmek anlamına gelir.

212 noktasından direk 222 noktasına gidebiliriz. Çünkü 212 durumunda kurt ile lahana yalnız bırakılabilir. Böylece nehrin diğer kısmına gidip keçi alınabilir.

221 yönünden gidersek:

121 noktasından hareket edebileceğimiz iki farklı yön vardı. Bunlardan 221 yönünü seçseydik bulmacanın çözümüne ulaşabilir miydik?

221’den gidilebilecek noktalar 222, 211 ve 121’dir. Geri dönmek yok; bu yüzden 121 seçeneği devre dışı kalır. 221’den 222’ye direk geçip bulmacayı çözmüş olurduk ama bunu yapmak demek kurt ile keçiyi yalnız bırakıp lahanayı almaya gitmek demektir. O halde 221’den sonra gidilmesi gereken tek yön vardır: 211.

211’den gidilebilecek noktalar: 111, 221 ve 212’dir. 111 ve 221 noktalarına gitmek, geri dönmek manasına geleceği için buradan gidilmesi gereken nokta 212’dir. 212’den sonra 222, 211, 212 noktalarından birine doğru hareket edilmelidir. 212 noktasının anlamı şudur: Kurt ve lahana nehrin 2 numaralı tarafında, keçi ise 1 numaralı tarafta. Kurt ve lahana yalnız bırakılabileceği için keçiyi almaya gidebiliriz. Bu yüzden 212’den 222’ye geçip bulmacayı çözmüş oluruz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu üçlü arasına yeni hayvan ve bitkiler koyun. Kendi kendinize kurallar yaratın ve bu kurallara göre graf çizmeye çalışın. Sonucun olup olmadığını ve neden/nasıl sorularını graf ile açıklayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Graf #1

Bulmaca ve matematiğin ilişkisi sanıldığından daha derindir. Matematik tarihi incelendiğinde önemsiz olduğu düşünülen bazı bulmacaların matematiği değiştirdiği, hatta yeni alanlara yol açtığı görülür. Şüphesiz bunlardan en ünlüsü Königsberg’in yedi köprüsüdür (1736).

18. yüzyılın en önemli matematikçilerinden biri olan Leonhard Euler’in “… bu sorunun matematikle bir ilişkisi olduğunu düşünmüyorum.” dediği Königsberg bulmacası çözüldükten yaklaşık 150 yıl sonra iki önemli matematik dalının ortaya çıkmasına yardımcı olmuştu: Topoloji ve çizge teorisi (nam-ı diğer graf teorisi).

Görsel 1
Leonhard Euler

Königsberg’in Yedi Köprüsü

Herhangi bir çizge teorisi kitabını açıp ve ilk bölümün ilk sayfasına baktığınızda karşınıza Euler’in çözdüğü Königsberg problemi çıkar. Soru şudur:

indir (1)

 

Königsberg şehrinin ortasında geçen nehrin üzerinde yedi adet köprü vardır. Bu köprülerin her biri bir ama sadece bir defa kullanılarak şehrin tamamı gezilebilir mi?

Bu soruyla ilk defa karşılaştığımda sorunun basitliği sebebiyle cevaba kendi kendime ulaşacağımı düşünmüştüm. Fakat saatler süren uğraşlarım boşa gitmiş, sonuca bir türlü ulaşamamıştım.

Aslında çözümün olmadığını anlamıştım. Örneğin köprülerden birini kaldırınca soru çözülüyordu. Ama bunun nedenini açıklayacak bilgim yoktu. Zaten kısa bir süre sonra bu sorunun neden çizge teorisi anlatılırken gösterilen ilk şey olduğunu anlamıştım. Sorunun çözümü yepyeni bir matematik branşının temelini oluşturuyordu.

Euler’in Yaptığı

Euler soruyu ele alırken köprü ve kara parçalarını iki ayrı gruba ayırmıştı. Euler’in zihninde köprüler 1’den 7’ye numaralandırılmış çizgiler, kara parçaları ise A-B-C-D harfleriyle isimlendirilmiş noktalardı. Bunları çizdiğimizde karşıya çıkan şekle graf denilir.

Euler çözümünü açıklamak için en baştan başlamış ve önce tanımlar yapmıştı. Ona göre Königsberg sorusunda yer alan köprülerin ve kara parçalarının fiziksel özellikleri sorunun çözümü için önem teşkil etmiyordu. Böylece soru grafa indirgendiğinde karşısında sadece gerekli bilgiler yer alıyordu. Königsberg sorusunda hangi kara parçaları arasında kaç tane köprü olduğu dışında önemli hiçbir bilgi yoktu.

Tanım: Bir noktaya bağlı olan çizgi sayısı, o noktanın derecesidir.

Euler’e göre bir grafta istenilen türde tur atılabilmesi için iki şart gerekir:

  1. Tüm grafta tam olarak iki tane noktanın derecesi tek ise. Bu iki noktadan biri turun başladığı yer, diğeri ise bittiği yer olur.
  2. Grafta bulunan tüm noktaların dereceleri çift ise. Böylece grafta turun atılabilmesi için istenilen noktadan başlanılabilir.

Neden?

Bir nokta başlangıç ya da bitiş noktası değilse, o noktaya gelen çizgi varsa noktadan çıkan çizgi de olmalıdır ki nokta son veya ilk duran olmasın. (Eğer bir çizgi gelen noktadan başka bir çizgi çıkmıyorsa, o nokta turun sonlandığı yerdir. Eğer bir çizgi çıkan bir noktaya tekrar bir çizgi gelmiyorsa, o halde o nokta turun başladığı yerdir.) Bu yüzden de noktanın derecesi çifttir. Fakat tek dereceli bir noktadan bahsediyorsak, o noktaya gelen çizgi varsa derecenin tek kalması için noktadan çıkan başka bir çizginin olmaması gerekir. Bu da tek dereceli noktaların ya başlangıç ya da bitiş olduğunu gösterir.

Bir grafta tek dereceli nokta yoksa, o grafta başlangıç ve bitiş noktası aynı nokta olabilir.

Euler Yolu: Bir graftaki tüm noktalar, grafta bulunan kenarlar bir ama sadece bir defa kullanılarak gezilebiliyorsa, bu grafta atılan tura Euler Yolu denir.

Basit Örnekler

  1. Tek Köprü: İki kara parçası arasında tek köprü olursa, graf aşağıdaki gibi olur.
    köpr
  2. İki Köprü: İki kara parçası arasında iki köprü olursa.
    Görsel 8
  3. Üç Kara Parçası: Eğer bir önceki duruma C kara parçası ve B-C arasına bir tane köprü eklenirse, graf aşağıdaki gibi olur.
    Görsel 7
    Bu durumda iki tane tek sayıda derecesi olan (B ve C) nokta vardır. Yani çözüm mümkündür ama başlangıç ve bitiş noktaları B-C noktaları olmalıdır. Kendiniz deneyerek görebilirsiniz.

Königsberg Çözümü

Euler’e göre Königsberg problemi aşağıdaki gibi graf haline getirilip çözülür.

Noktaların dereceleri sırayla 5, 3, 3, 3’tür. Yani Königsberg probleminde ikiden fazla tek sayıda dereceye sahip olan nokta vardır. Bu yüzden de problemin çözümü yoktur.

Topoloji: En basit haliyle deforme edildiğinde (kıvırmak, uzatmak, çekiştirmek gibi) özellikleri değişmeyen cisimlerin geometrik şekillerini inceleyen matematik dalıdır. (Bir cismin topolojik özelliği o cisim yırtılır ve/veya delinirse bozulur.) Örneğin bir çember ile bir elips topolojide aynı şeydir.

IMG_5281
Bir simit ile bir kahve kupası topolojide aynı şeyi ifade eder.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki resimde bulunan objelerden hangileri topolojide aynı şeyi ifade eder?

IMG_5282

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Şans #1

Stanford Üniversitesi’nden Thomas M. Cover’in 1987’de yayımladığı bir makale, imkansız denilen bir sonucu gösteriyordu. Cover’in sorusu şöyleydi:

İki oyuncu: A oyuncusu ve B oyuncusu.

A: İki kağıda 0 ile 10100 arasında birbirinden farklı iki sayı yazıyor ve masanın üzerine kağıtlardaki sayılar görünmeyecek şekilde koyuyor.

B: Kağıtlardan birini seçip onu ters çeviriyor. Yazan sayıyı göz önünde bulundurarak hangi kağıtta daha büyük sayı olduğunu tahmin etmeye çalışıyor.

B’nin şansı doğal olarak %50’dir. Hatta kağıdın birini seçip sonra hangisinin daha büyük olduğuna karar vermesine gerek bile yoktur. Seçtiği kağıt diğerinden ya daha büyüktür ya da daha küçüktür… mü acaba?

Matematiğin Büyüsü

B’nin oyunu kazanma ihtimalinin %50’den daha fazla olduğu bir strateji var mıdır?

İnanılmaz ama gerçekten B’nin %50’den daha fazla şansının olabileceği bir strateji vardır.

Strateji: B oyuncusu aklından bir T sayısı tutar. Her seferinde T’yi göz önünde bulundurarak seçimini yapar.

  • Seçilen T’den büyükse, büyük sayı olarak seçilen kağıdı göster.
  • Seçilen T’den küçükse, büyük sayı olarak diğer kağıdı göster.

Teorik

Kağıtlarda X ve Y sayıları yazıyor olsun ve X sayısı Y’den büyük olsun. Seçilen T sayısı için üç durum vardır.

  1. T sayısı X ve Y’den küçüktür. Bu durumda çekilen kağıt hep T’den büyük olur ve oyuncu çektiğinin büyük olduğunu iddia eder. O halde oyuncunun kazanması için en başta X’i seçmesi gerekir. Bu ihtimal de tam olarak %50’dir.
    kucuk
  2. T sayısı X ve Y’den büyüktür. Bu durumda çekilen kağıt hep T’den küçük olur ve oyuncu diğer kağıdın büyük olduğunu iddia eder. O halde oyuncunun kazanması için en başta Y’yi seçmesi gerekir. Bu ihtimal yine tam olarak %50’dir.
    BUYUK
  3. T sayısı X ile Y’nin arasındadır. O halde oyuncu X’i seçerse X T’den büyük olduğu için X’i, Y’yi seçerse T Y’den büyük olduğu için yine X’i seçer. Yani oyuncunun büyük olan X’i bulma ihtimali %100’dür!
    orta

Pratik

Kafanız karışmış olabilir. Pratik sayesinde ne zaman B’nin kazanma şansının arttığını daha kolay görebilirsiniz.

B oyuncusu aklından 80 sayısını tutsun. (Yani T=80) A oyuncusuysa;

  1. 120 ve 287,
  2. 1 ve 2,
  3. 64 ve 15000

sayılarını yazmış olsun. (Yani X-Y ikilileri yukarıda gösterilenlerdir.)

Çözümler:

  1. B oyuncusu ya 120 ya da 287’yi seçer. Her iki sayı da 80’den büyük olduğu için B oyuncusu seçtiği kağıdın büyük olduğunu iddia eder. Burada 287’yi seçme ihtimali %50’dir.
  2. B oyuncusu ya 1 ya da 2’yi seçer. Her iki sayı da 80’den küçük olduğu için B sayısı seçmediği kağıdın küçük olduğunu iddia eder. Burada 2’yi seçme ihtimali yine %50’dir.
  3. B oyuncusu ya 64’ü ya da 15000’i seçer. B’nin aklından tuttuğu sayı kağıttaki sayılardan birinden büyük, diğerinden küçüktür.
    Eğer B oyuncusu 64’ü seçerse, seçilen 80’den küçük olduğu için oyuncu diğer kağıdın (yani 15000’in) daha büyük olduğunu iddia eder.
    Eğer B oyuncusu 15000’i seçerse, bu sayı 80’den büyük olduğu için oyuncu seçtiği kağıdın (yani 15000’in) daha büyük olduğunu iddia eder.
    Her iki durumda da B oyuncusu doğruyu bulmuştur. Yani bu durumda B’nin oyunu kazanma ihtimali %100′dür.

M. Serkan Kalaycıoğlu