Matematik Atölyesi – Geometri #16

Pasta Kokusu Alıyorum

İçeriden harika kokular geliyor. Hemen mutfağa kendinizi ışınlayıp tezgahın üzerindeki pastayı fark ettiniz. Tam yumulmak üzereyken pastanın hem yaratıcısı hem de koruyucusu annenize yakalandınız.

Anne artık tecrübeli; duygu sömürüsü bir işe yaramıyor. Fakat yine de bir şans beliriyor. Eğer pastadan üç eşit parça çıkarabilirseniz parçalardan biri sizin olacak.

Annenin şartları:

  • Pastayı nereden keseceğinizi belirlemek için ölçü aletleri arasından sadece pergeli kullanabilirsiniz.
  • Amaç pastadan üç eşit alanlı parça çıkarmak. Pastanın ne kadarını (yani tamamını mı yoksa bir kısmını mı) üçe böleceğiniz sizin maharetinize kalmış.
  • Kesim yaparken ufak tefek (örneğin bir parça alan 3,04 iken diğerinin 3,09 olması gibi) fazlalıklar anne tarafından göz ardı edilecek. Fakat yöntem teoride tam alanı vermeli.
  • En önemlisi bu madde: Kesilecek parçalar halka şeklinde olmalı.
  • Kesme denemesi için tek hakkınız var. Bıçak vurulduktan sonra dönüş yok.

Pasta Kesme Sanatı

Annenin istediğini yerine getirmeden önce kağıt üzerinde sadece pergel kullanarak sonuca ulaşmaya çalışalım.

Merkezi O noktası olan rastgele bir çember çizelim:

20190129_223507

Çemberin yarıçapı kadar uzunlukta bir kiriş yapalım:

20190129_223524

Kirişi çemberin muhtelif yerlerine koyalım ve kirişin orta noktasının bulunduğu yeri işaretleyelim:

İşaretlenen noktalardan herhangi birini seçip O merkezinden pergel yardımıyla yeni bir çember çizelim:

20190129_223719

Yeni çemberin içinde kirişi tekrar gezdirip bir başka çember daha çizelim:

Aynı işlemleri üçüncü defa tekrarlayalım:

Renkli kalemle işaretlediğim alanlar birbirine eşittir:

 

 

20190129_224139
Büyük çemberin yarıçapı=5 cm.
İkinci çemberin yarıçapı=4,34 cm.
Üçüncü çemberin yarıçapı= 3,56 cm.
Dördüncü (en içteki) çemberi yarıçapı=2,55 cm.

Merak edenler çemberlerin alanlarını hesaplayarak halkaların yaklaşık değerlerini bulabilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

O halde annenin istekleri doğrultusunda pastanın içinden eşit halkalar çıkarmak mümkündür.

Peki en fazla pasta parçasını alabilmek için kirişin uzunluğu kaç olmalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #15

Kare Çizmek

Geometriyle uğraşırken kendimi hep bir antik Yunan gibi düşünüyorum: Kocaman sütunların arasında bir mermerin üzerinde geometrik şekiller çiziyorum. Bunu yaparken sadece pergel ve ölçüsüz cetvelim var.

Önce A noktası merkez olacak şekilde r yarıçaplı bir çember çiziyorum:

çember1

Sonra B noktası merkez olacak şekilde yine r yarıçaplı bir çember daha çiziyorum:

çember2

A ve B noktaları arasında kalan AB doğru parçasının her iki ucundan da E ve F noktalarına birer dik doğru parçası çiziyorum:

çember3

E ve F noktalarını da birleştiriyorum. Böylece karşıma bir kenar uzunluğu r olan ABEF karesi çıkıyor:

Bu karenin içine çizilebilecek en büyük çemberin çapı r uzunluğunda olur:

çember6

Alan

Karenin alanını bulmak için bir kenarının karesini almak yeterlidir. O halde ABEF karesinin alanı rolur.

Çemberin alanıysa yarıçapın karesinin π ile çarpılmasıyla bulunur. Yani G merkezli çemberin alanı πr2/4 olur.

Çemberin alanının karenin alanına oranı π/4’tür.

Ağırlık

Hassas terazi kullanarak kare şeklindeki bir kartonun ağırlığını buldum:

20190126_133600

Sonra bu karenin içine karenin bir kenarı uzunluğunda çapı olan bir çember çizdim. Daha sonra kartonun içinden çemberi kesip çıkardım ve bunu hassas terazide tarttım:

20190126_133759

Çemberin ağırlının karenin ağırlığına oranı bize çemberle karenin alanları oranını verir. Buradan π sayısının yakınsak bir değeri bulunabilir:

0,76/0,97 = π/4

3,134… = π

Yakınsak değer bulmamızın nedenlerinden biri kullandığım kartonun tam olarak homojen olmaması olabilir. Yani karton her yerinde aynı ağırlıkta olmayabilir. Miligramlık bir sapma dahi yakınsak değer yol açar.

Ayrıca çember tam olarak kesememek de yakınsak değer bulunmasına neden olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir çember çizin ve bu çemberin içine çizilebilecek en büyük kareyi inşa edin. Daha sonra çember ve karenin alanları oranını, ağırları oranlarına eşitleyin. Bakalım karşınıza ne çıkacak?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #8

Pastayı Kesmenin Doğru Yolu

Bir pasta diliminden bahsederken hemen herkesin aklına tek bir şekil gelir:

Halbuki bir pastayı kesmenin doğru yolu bu değildir. 20 Aralık 1906 tarihinde yayınlanan Nature dergisinin 173. sayfasında ünlü İngiliz bilim insanı Francis Galton’un gönderdiği kısa bir bilgi yer alır. Galton’a göre yuvarlak bir pastanın bayatlamasını engellemek için pastayı “doğru bilimsel yöntemlere” başvurarak kesmek gerekir.

keks
Francis Galton’un yazısı.

Bir yaş pastayı geleneksel şekilde kesince, kesilen kısımlar açıkta kalır ve anında bayatlamaya başlar. Bunu engellemek isteyen İngiliz bilim insanı, doğru kesim yöntemini geometrik olarak açıklamıştı.

Bay Galton’a göre yuvarlak pastayı kesmek için (tabi ki bıçak dışında) bir tek elastik banda ihtiyacımız vardır.

IMG_5755

İlk Kan: İlk bıçak darbeleri, pastanın çapına aynı uzaklıkta bulunan, çapa ve dolayısıyla birbirlerine paralel olan iki hayali doğruya vurulur.

Uzun parça yenilmek üzere pastadan çıkarılırken, kalan parçalar elle birleştirilir. Kesilen kısımlar birbirlerine olabildiğince bağlı olsun diye pastanın etrafına bir lastik bant takılır.

İkinci Kesik: İlk kesiğe dik bir şekilde atılır. Kalan pasta dört parçadan oluşur. Parçalar el yardımıyla birleştirilir ve ayrılmaması için yine etrafına lastik bant takılır. Böylece pasta sürekli taze tutulmuş olur.

Galton’un yaptığını denemek için illa pasta kullanmanıza gerek yok. Kağıda çizeceğiniz bir çemberle de yöntem gösterilebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Arkadaşlarınızla bir Pazar kahvaltısında berabersiniz. Masaya kişi sayısının bir fazlası kadar gözleme geldiğini fark ettiniz. Son gözlemeye herkes talip olunca oy birliğiyle bir oyun oynamaya karar verildi.

Önündeki gözlemeyi üç düz çizgi halinde bıçak darbesiyle en çok parçaya ayıran kişi, son gözlemeye sahip olacak. (Gözlemenin parçalarını hareket ettirmeniz yasaktır.)

Kazanmak için nasıl bir strateji izlemeniz gerekir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Örüntü #1

Genellikle matematikte örüntüden bahsedilirken en başta sayı örüntüleri ele alınır. Fakat Öklid’in Elementler kitabındaki yöntemleri kullanarak geometri üzerinden de örüntüye giriş yapmak mümkündür. Böylece çocuklar hem kendi şekillerini yaratabilir, hem de gördükleri örüntü şekillerinin nasıl oluşturulduğunu anlayabilirler.

Örüntü: Olay veya nesnelerin düzenli bir biçimde birbirini takip ederek gelişmesidir.

Elementler’den şu ana dek öğrendiklerimiz arasında bir doğru parçası çizmek, bunu iki eşit parçaya ayırmak ve doğruya bir dik indirmek vardı. Örüntü şekilleri yapmaya başlamadan önce bir çemberin içine 6-gen çizmeyi de Elementler’i kılavuz kabul ederek öğrenelim.

6-gen Yapmak

Elementler 4. kitap, 15. önerme der ki:

Birbirlerinin merkezlerinden geçen iki eş çember çizin.

Çemberlerin kesiştiği iki noktayı seçin. Noktalardan başlayarak çemberlerden birinin merkezinden geçen doğru parçaları çizin.

Temizlik yaptıktan sonra (umarım siz daha iyi bir silgi kullanırsınız) çember üzerinde bulunan noktaları birleştirin. Karşınıza bir düzgün 6-gen çıkacak.

Artık örüntü yapmak için önümüzde bir engel kalmadı. O halde birini yapmayı deneyelim.

İlk Örnek

DD018FAC-7D36-413D-931D-5267C53D5C05
İlk ulaşmamız gereken örüntü.

Önce bir çember ve bu çemberin etrafına kare çizelim. (Benimki gibi ufak tefek yamukluklar sorun değil. Her seferde daha düzgün çizmeye başlayacaksınız.)

Çemberi şekildeki gibi sekiz parçaya ayıralım ve doğruların çemberi kestiği noktaları işaretleyelim.

IMG_4754

Noktalar arasında şekildeki gibi doğru parçaları çizelim.

 

Daha sonra yukarıdan aşağı.

Bu noktada durup ulaşmak istediğim şekli çizebilirim.

Silgiyle temizlersek (umarım ki daha düzgün bir silgiyle) aşağıdaki sonuca ulaşırız.

IMG_4762

Yıldız Çizmek

IMG_4784
Yıldız çizmeye çalışalım.

Bu yıldıza ulaşabilmek için önce bir düzgün 12-gen çizmemiz gerekiyor. Çünkü yıldızın sivri noktaları 6-genin kenarlarının tam ortasında.

12-gene 6-gen üzerinden ulaşılır. Bunu yaptıktan sonra 6-genin kenarlarını çizince karşıya çıkan şekilde 6-genin her kenarının 3’er noktada kesildiği görülür.

img_4776.jpg

Şimdi oluşturulan şekilde sol ve sağ karşılıklı kenarlar seçilsin. Bu kenarların üzerinde bulunan noktalar çapraz olarak birleştirilsin.

Aşağıdaki gibi doğru parçaları eklendikçe örüntü yavaştan belirmeye başlıyor.

Artık kalın kalemle izleri takip edebilir ve yıldıza ulaşabiliriz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki fotoğrafta bulunan örüntüyü öğrettiğim yöntemlerle ortaya çıkarabilir misiniz? (İpucu: 12-gen çizerek başlayın.)

img_4664.jpg

M. Serkan Kalaycıoğlu