Matematik Atölyesi – Graf #6

Miras Problemi

Kral Serkan I ölüm döşeğindeyken sahip olduğu arsaları çocuklarına dağıtmaya karar verir. Doğal olarak Serkan I’in bazı koşulları vardır:

  • Her çocuk en az bir arsa alacak.
  • Birbirine komşu arsalar aynı çocuğun olmayacak.
  • Yukarıdaki koşullar sağlanmadığı takdirde mirasın tamamı “Fener Ol” kampanyası vasıtasıyla Frey’in bonservisine harcanacak.

Problem: Serkan I’in en az kaç çocuğu olmalı ki herhangi bir arsa paylaşımında sorun yaşanmasın?

Harita #1

Basit bir haritadan başlayalım:

20190423_000256.jpg

Bu durumda Serkan I’in iki çocuğunun olması yeterlidir:

20190423_000310.jpg

Bir önceki yazıdan hatırlayacağınız üzere harita ile graf birbirlerine dönüşebilir. Eğer arsalar noktaları ve iki arsanın komşu olması bu iki noktanın arasında çizgi olduğunu ifade ederse, haritamız aşağıdaki gibi graf olarak gösterilebilir:

20190423_000334.jpg

Bu haritaya bir arsa daha ekleyelim:

20190423_000402.jpg

Eklenen arsa graf için yeni nokta ve çizgi(ler) anlamına gelir:

20190423_000507.jpg

Harita #2

Yeni haritada üç arsa bulunsun:

20190423_000523.jpg

Bu haritayı graf haline getirelim:

20190423_000537.jpg

Grafta da görüldüğü üzere mirasın dağıtılabilmesi için Serkan I’in üç çocuğu olmalıdır:

20190423_000553.jpg

Harita #3

Üçüncü harita aşağıdaki gibidir:

20190423_000627.jpg

Bu dört arsanın kurallara uygun dağıtılması için miras dört çocuğa dağıtılmalıdır:

20190423_000642.jpg

Harita #3’teki durum graf olarak aşağıdaki gibidir:

20190423_000728.jpg

Harita #4

Serkan I’in bıraktığı arsaların aslında ABD haritasıyla aynı olduğunu varsayalım:

480271690e1e0485f71988e273730559

Bu haritayı paylaştırmak için Serkan I’in sadece dört çocuğunun olması yeterlidir:

amarikaaa

Ne Oluyor?

Dikkat ederseniz harita #2’nin grafından harita #3’ün grafına tek bir hareketle (yeni bir nokta koyarak) geçmek mümkündür. Hatta harita #1’den harita #2’ye geçiş de graf üzerine yeni bir nokta eklenip (3 numaralı olan) diğer iki noktaya bağlanarak gerçekleşmiştir:

O halde bir haritaya yeni bir mirasçı eklemek demek grafa yeni bir nokta eklemek demektir.

Peki en az beş çocuğun gerektiği bir harita yaratılabilir mi?

Bu soru aslında grafa (hiçbir çizgiyle kesişmeden) tüm noktalarla bağlantısı olan beşinci bir nokta eklenip eklenemeyeceği anlamına da gelir.

Yani tek yapmamız gereken dört noktalı grafa beşincisini ekleyip bu yeni noktayı diğerleriyle birleştirmektir. Fakat deneyince bunun mümkün olmadığı görülür. Örneğin beşinci noktayı en dışarı koyarsak:

1 ile 5’in arasında diğerleriyle kesişmeyen bir çizgi çizmek mümkün değildir. Ne yaparsak yapalım aynı sonuçta karşılaşırız:

Dört Renk Teoremi

Yaklaşık 160 yıl önce Francis Guthrie harita boyamak üzerine düşünüyordu:

“Düzlemde çizilmiş olan herhangi bir haritayı komşu ülkeler farklı renkte olacak şekilde boyamak için kaç renk yeterlidir?”

İnanılmaz bir şekilde cevap sadece dörttür.

Matematikle ilgili olan/olmayan hemen herkesin anlayabileceği basitlikteki bu soru ilk defa 1852’de Francis Guthrie tarafından ortaya atılmıştı. Ancak 120 yıl sonra (1976’da) dört rengin yeterli olduğu bilgisayarda 1936 farklı senaryo incelenerek ispatlanmıştı. Bu ispat çok önemlidir çünkü tarihte ilk kez bir matematik teoremi bilgisayar kullanılarak ispat edilmişti.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

20190423_003916.jpg

Yukarıdaki grafa dördüncü noktayı ekleyin ve diğerlerine çizgilerle bağlayın. (Bunu yaparken dördüncü noktayı istediğiniz yere koymakta serbestsiniz.)

Şimdi elinizdeki grafa bakın: Dört noktadan herhangi biri çizgilerin içinde kalmış değil mi?

Bunu engellemenin yolu var mı?

Neden var/yok?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Graf #5

Zalim Trafik Işığı

Hemen her gün aynı dört yol ağzından geçiyorum. Tabii olarak en uzun süre kırmızı yanan ışığın bulunduğu tarafı kullanmak zorundayım. Bir bakıma beklemek iyi geliyor: Hayatla ilgili bazı şeyleri düşünmeme olanak sağlıyor. Fakat düşüncelere matematik eğitiminin girmesi çok fazla zaman almıyor.

Bu kısa düşünce seanslarında aklıma takılanlardan biri matematiğin trafik ışıklarıyla ne tür bir ilgisi olabileceğiydi. Kısa bir araştırmadan sonra karşıma matematiğin en sevdiğim kısımlarından biri olan çizge teorisi çıktı.

Işık #1

Tek yön araç akışı olan ve yayaların karşıdan karşıya geçebildiği bir yol düşünün.Araçlar için olan ışığa A, yaya için olanaysa B diyelim:

20190419_014641.jpg

Bu durumda kaza olmaması için A’da yeşil renk yanarken B’de kırmızı, B’de yeşil yanarken ise A’da kırmızı yanmalı. Her iki ışığın da kırmızı yanması kaza yok demekse de anlamsızdır; çünkü öyle bir durumda kimse yerinden kıpırdayamamış olur:

20190419_014707.jpg

Bu durumu çizge teorisinde nokta ve çizgi olarak da gösterebiliriz. A ve B noktalar olurken, aralarında çizgi bulunması noktaların farklı renklerde olduğunu gösterir:

20190419_014721.jpg

Aynı şeyi alan boyama ile de göstermek mümkündür: A ile B komşu iki ülke gibi düşünülebilir. Komşu ülkeler birbirleriyle karışmasın diye farklı renklerde boyanır:

20190419_014817.jpg

Işık #2

İkinci örnekte gidiş-geliş bir yol ve yayalar için konan trafik ışıkları olsun. Araçlar için olan trafik ışıkları A ve B, yayalar için olansa C harfiyle gösterilsin:

20190419_014838.jpg

Bu yolda C kırmızıyken A ile B’nin her ikisi veya herhangi biri yeşil yanabilir. C yeşilken ise A ile B’nin her ikisi de kırmızı olmalıdır:

20190419_014858.jpg

Hepsinin kırmızı olduğunda kaza olmayacaksa da kimse bir yere gidemediği için bu durumu es geçeriz.

İkinci trafik ışığını çizge teorisinde ve harita boyamayla aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

20190419_014930.jpg

Kurallar belirlendikten sonra çizge teorisinin trafik ışıklarının yanış şeklini ne kadar daha sade açıkladığını görebiliyoruz.

Işık #3

İki yönlü bir yolda sağa dönüş ve yayalar için iki ışık koyulmuş bir durumu ele alalım:

20190419_014947.jpg

Bu sefer öncekilere kıyasla görünürde çok daha karmaşık bir durumla karşı karşıyayız:

20190419_015005.jpg

Fakat çizge teorisi ve harita boyamayla karmaşa çözülür:

Kaç Renk Yeter

İki nokta arasında bir çizgi varsa bu noktaların farklı renkte olması gerektiğini düşünerek aşağıdaki grafleri boyayalım.

Kromatik Sayı: Herhangi bir grafte renklendirme/boyama yaparken amaç en az sayıda renk kullanmaktır. İşte bu sayıya bir grafin kromatik sayısı denir.

Burada en az 3 renk gerekir. Yani grafin kromatik sayısı 3’tür. Grafe bir nokta ve çizgi daha ekleyelim:

Nokta ve çizgi sayısı artmasına rağmen kromatik sayı 2’ye düşer. Bir nokta ve çizgi daha eklersek:

Kromatik sayı yine 3 olur. Son bir defa daha nokta ve çizgi ekleyelim:

Kromatik sayı tekrar 2’ye düştü.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Burada gerçekleşen şey ne? Ne fark ettiniz? Neden öyle oluyor?

Kromatik sayıyı nasıl artırabilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #4

2014 yılının Kasım ayında Rusya’nın St. Petersburg şehrinde bulunan dünyaca ünlü Hermitage müzesini ziyaret etmiştim. İçinde 1057 tane oda olan Hermitage’ı baştan sona yürüyen biri 22 km mesafe kat etmiş olur. Müzede bulunan eserlerin tamamına bakmak istiyorsanız, her esere sadece 1 dakika ayırsanız bile bu işi 11 yıldan önce bitirmenin mümkün olmadığını bilmeniz gerekir.

hermitage-map-st-petersburg
Hermitage’ın planı.

Bu yüzden Hermitage’ı sadece birkaç saatliğine ziyaret etmeye çalıştığımda nerede ne kadar süre geçirmem gerektiğini iyi ayarlamalıydım. Çünkü devasa müzeyi kısa sürede gezmem, ama bunu yaparken ilgimi çeken eserleri görmem gerekiyordu.

Aslında bu, çok orijinal bir problem değil. Hemen herkes günlük yaşamında bu tür problemlerle karşılaşır: “Ev-iş arasında hangi saatte hangi yolu kullanmalı?” gibi.

Postacının Yolu

St. Petersburg’da bu problemle karşılaşmam çok hoş bir tesadüftü. Çünkü Petersburg 18. yüzyılda ünlü matematikçi Leonhard Euler’e ev sahipliği yapmıştı. İlk graf yazısından hatırlayacağınız üzere Euler Königsberg’in yedi köprüsü problemiyle birlikte çizge teorisinin ortaya çıkmasına önayak olmuştu.

Königsberg probleminden 230 yıl sonra 1960’da Çinli bir matematikçi olan Mei-Ko Kwan soruyu biraz daha farklı şekilde ele almıştı:

Bir postacı rotasındaki evlere elindeki mektupları dağıtmak üzere posta ofisinden ayrılır. Postacının en kısa sürede tüm evlere uğrayıp tekrar posta ofisine dönmesi için nasıl bir rota izlemesi gerekir?

indir
Mei-Ko Kwan

Kwan’a ithafen Çinli Postacı Problemi olarak bilinen bu problemde önemli olan detaylar şunlardır:

  • Postacı rotası üzerindeki tüm sokakları kullanmalıdır. Fakat her sokak sadece ama sadece bir defa kullanılmalıdır.
  • Postacının rotasında başlangıç ve bitiş posta ofisinde olmalıdır.
  • Postacının amacı en kısa sürede yukarıdaki iki şartı yerine getirmektir.

Çizge Teorisinin Gücü

Mei-Ko Kwan Çinli Postacı Probleminin çözümünde Euler’in Königsberg’in yedi köprüsü için ortaya keşfettiklerinden yararlanmıştı. Kwan’a göre problem Euler’in yaptığı gibi graf haline getirebilirdi. Postacının gitmesi gereken mahalleler noktalarla, mahalleler arasındaki mesafeler (yani sokaklar) ise çizgilerle gösterilebilir.

Örnek Graf:

20190324_210039
A, B, C, D ve E harfleri mahalleri, aralarındaki çizgiler yolları gösteriyor. Çizgilerin üzerindeki sayılarsa postacının bir mahalleden diğerine ne kadar sürede gittiğini ifade ediyor.

Hatırlatma

Euler döngüsü nedir?

Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa o grafta bulunan tüm çizgiler bir ama sadece bir defa kullanılarak tam bir tur atılabilir demektir. Ayrıca Euler döngüsünde başlangıç ve bitiş aynı noktadadır.

Euler döngüsü ne zaman vardır?

Bir graftaki bir noktanın sahip olduğu çizgi sayısı, o noktanın derecesini verir. Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa, o graftaki tüm noktalar çift derecelidir.

Çözüm

Anlaşıldığı üzere Çinli Postacı Probleminin çözümü için postacının rotasında Euler döngüsü olmalıdır. Örneğin postacının güzergahı aşağıdaki gibi olsun:

20190325_123338.jpg
Çizgilerin üzerindeki sayılar harfler mesafeleri (km cinsinden olsun) gösteriyor.

İlk yapılması gereken şey tüm noktaların (harflerin) sahip olduğu çizgi sayısını bulmak:

20190325_123326.jpg

Yukarı görüldüğü üzere graftaki tüm noktalar çift derecelidir. Bu sayede hiç denememize bile gerek kalmadan bu rotada Euler döngüsü olduğunu söyleyebiliriz. O halde postacının en kısa sürede görevini tamamlaması için graftaki yolları kullanması yeterlidir:

20190325_123311.jpg
En kısa güzergah 11 km sürer.

Tek dereceli noktalar varsa grafa yeni çizgiler eklenerek (yani postacı yeni yollar üretmek zorundadır) tüm noktalar çift dereceye çevrilmelidir. Peki bu nasıl yapılır?

  1. Tek dereceli noktaları bul.
  2. Bu noktaları ikili gruplara ayır.
  3. İkili gruplar arası mesafeleri bul. En düşük mesafeliler eklenmesi gereken çizgileri belirtir.
  4. Çizgileri grafa ekle.

Yukarıda verdiğim mahalle örneği üzerinden giderek açıklamaya çalışalım. Sorun postacının A mahallesinden başlayıp yine A’da bitecek gününü en kısa sürede tamamlamak istemesidir.

Önce her mahallenin (yani noktanın) sahip olduğu yol sayısına (yani çizgi sayısına) bakalım:

20190324_210039
A ve D’nin 3’er, B, C ve E’nin 2’şer çizgisi vardır.

Her nokta çift sayıda çizgiye sahip olsaydı burada bir Euler yolu olurdu ve postacının en kısa turu direk mesafelerin toplanmasıyla bulunabilirdi. Fakat A ve D noktalarının tek sayıda çizgiye sahip olması bunu engelliyor:

20190324_210102

Bu durumda yapılması gereken şey, tek çizgiye sahip noktalar arasında yeni yol veya yollar yapmaktır. A ve D mahalleri arasında üç farklı yol vardır. Bunlardan en kısasını bulup grafa eklersek sorumuz çözülmüş olur:

20190324_210157

A-D mahalleri arasındaki yollar yukarıdaki gibidir. Görüldüğü üzere en kısa süre direk A-D arasındaki yoldadır. O halde A-D arasına yeni bir yol eklersek postacının sorunu çözülmüş olur:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki rotada A’dan başlayıp A’ya dönmesi gereken postacının en kısa yolu ne kadar süre alır? Bunu yapabilmek için kullanması gereken rota nedir?

20190324_210225

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Graf #2

Yazıyı okumadan önce Bulmaca I başlıklı yazıyı okumanız gerekir. Yine de kısaca hatırlatmamızı yapalım: Yanınızda keçi, kurt ve lahana ile evinize dönerken karşınıza büyük bir nehir çıkıyor. Şansınıza nehirde terk edilmiş bir sal görüyorsunuz. Salın kapasitesi çok küçük ve karşıya her seferinde keçi, kurt ve lahanadan birini geçirebiliyorsunuz.

Fakat burada bir sorun var çünkü keçiyi kurt ile yalnız bırakmak istemezsiniz. Siz lahanayı bırakıp gelene dek keçiden geriye pek bir şey kalmayabilir. Aynı şekilde keçi ile lahanayı da yalnız bırakmamak gerekir, çünkü lahana keçinin en sevdiği yemeklerden biridir. Üçlü arasında sadece kurt ile lahanayı yalnız bırakabiliyorsunuz.

Peki herkesi nehrin karşısına nasıl geçireceksiniz?

Graf Kullanarak Bulmaca Çözmek

Bu basit görünümlü bulmacayı graf haline getirip çözümü bulabiliriz. Bunun için nehrin sol tarafı 1, sağ tarafı ise 2 rakamı ile gösterilsin. İlk durumda herkes nehrin sol, yani 1 numaralı tarafındadır. Bunu 111 (Kurt-Keçi-Lahana) ile gösterebiliriz.

O halde bu üçlü için sekiz farklı konum vardır: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 ve 222. Örneğin 112 demek kurt ve keçi nehrin solunda, lahana ise nehrin sağında demektir. Nihai amaç ise 222 konumuna gelmektir.

Grafı Çizmek

Biz bu sekiz konumun her birinin bir nokta ifade ettiğini varsayalım. Noktalar arasında geçişler ise çizgilerle gösterilsin. Noktalarımız ve bu noktalar arasında geçişi gösteren çizgilerimiz var. O halde şimdi helva yapabiliriz! Pardon, graf çizebiliriz demek istemiştim.

Başlangıç noktamız olan 111’den hareket edilebilecek üç nokta vardır: 112, 121, 211. (Örneğin 211’e gitmek demek kurdu sağa götürüp, keçi ve lahanayı solda yalnız bırak demektir.) Grafa döküldüğünde tüm ilişkiler şu şekilde gösterilir:

111

Eğer bu bağlantıların hepsini istediğimiz gibi kullanabilseydik, 111’den 222’ye ulaşmak çok basit olurdu. Fakat bulmaca bize iki kural vermiş ve bunlara göre bazı noktalar arasındaki bağlantılar (ya da çizgiler) kullanılamaz.

Çözüm

Yapılacak ilk hareket, çözümün kalanını belirler. Biliyoruz ki keçi ile lahana, kurt ile de keçi yalnız bırakılamaz. Bu yüzdendir ki ilk hamlede kurt ya da lahana karşı tarafa götürülemez. Grafikte bunun karşılığı şudur: İlk hareket 211 ve 112 yolundan yapılmamalıdır.

IMG_5358

O halde 111’den gidilebilecek tek yol kalır: 121 yolu. Bu da keçinin karşıya taşınması anlamına gelir. Böylece nehrin 1 tarafında kurt ve lahana yalnız kalır ki bulmacaya göre bu bir sorun teşkil etmez.

IMG_5359

İkinci harekete 121’den başlanacağına göre gidilebilecek üç nokta vardır: 111, 122 ya da 221. Zaten 111’den geldiğimiz için buraya geri dönmenin bir anlamı yoktur. Bu yüzden 122 ya da 221 noktalarından biri seçilmek zorundadır. Yani kurt ya da lahanadan birini nehrin 2 tarafına taşımalıyız.

122 yönünden gidersek:

Eğer 122 noktasına gidersek (ki bu lahanayı nehrin 2 tarafına götürmek demektir) keçi ile lahana yan yana kalmış olur. 122 noktasından sonra yine üç noktaya gitme şansımız vardır: 222, 121, 112.

  • 121: Bu noktadan geldiğimiz için geri dönmemizin bir anlamı olmaz. Yani 121’ye doğru gidilmez.
  • 222: En doğru seçim bu gibi görünür. Zaten amacımız herkesi nehrin 2 numaralı tarafında geçirmektir. Fakat 122’den 222’ye geçmek demek, lahanayı keçi ile yalnız bırakıp kurdu almak için nehrin 1 numaralı tarafına gitmek demektir. Bunu yaparsak biz kurdu alana dek keçi lahanayı hunharca katleder. Yani 122’den direk 222’ye gidemeyiz.
  • 112: O halde 122 noktasından gidebileceğimiz tek yer burasıdır. Bir diğer deyişle lahanayı karşıya bırakıp keçiyi geri götürmek.

112 noktasından gidilebilecek üç nokta vardır: 122, 212, 111. 111’e gitmek hem sorunun başına dönmek hem de keçiyi kurda teslim etmektir. 122 noktası ise bir önceki noktadır: Geri dönmenin bir anlamı olmadığını söylemiştik. O halde 112’den gidilebilecek tek yer 212 noktasıdır. Bu da keçiyi nehrin 2 numaralı kısmına geçirmek anlamına gelir.

212 noktasından direk 222 noktasına gidebiliriz. Çünkü 212 durumunda kurt ile lahana yalnız bırakılabilir. Böylece nehrin diğer kısmına gidip keçi alınabilir.

221 yönünden gidersek:

121 noktasından hareket edebileceğimiz iki farklı yön vardı. Bunlardan 221 yönünü seçseydik bulmacanın çözümüne ulaşabilir miydik?

221’den gidilebilecek noktalar 222, 211 ve 121’dir. Geri dönmek yok; bu yüzden 121 seçeneği devre dışı kalır. 221’den 222’ye direk geçip bulmacayı çözmüş olurduk ama bunu yapmak demek kurt ile keçiyi yalnız bırakıp lahanayı almaya gitmek demektir. O halde 221’den sonra gidilmesi gereken tek yön vardır: 211.

211’den gidilebilecek noktalar: 111, 221 ve 212’dir. 111 ve 221 noktalarına gitmek, geri dönmek manasına geleceği için buradan gidilmesi gereken nokta 212’dir. 212’den sonra 222, 211, 212 noktalarından birine doğru hareket edilmelidir. 212 noktasının anlamı şudur: Kurt ve lahana nehrin 2 numaralı tarafında, keçi ise 1 numaralı tarafta. Kurt ve lahana yalnız bırakılabileceği için keçiyi almaya gidebiliriz. Bu yüzden 212’den 222’ye geçip bulmacayı çözmüş oluruz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu üçlü arasına yeni hayvan ve bitkiler koyun. Kendi kendinize kurallar yaratın ve bu kurallara göre graf çizmeye çalışın. Sonucun olup olmadığını ve neden/nasıl sorularını graf ile açıklayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Bulmaca #2

Küçüklüğümde izlediğim filmlerden bir “en iyi 10” listesi yapsam Zor Ölüm (Die Hard) üçlemesindeki (dörtleme olduğunu biliyorum. Hatıralarımın bozulmasından korktuğum için 2007’de çıkan son filmi izlemedim.) filmlerin tamamı listeye girerdi.

Serinin üçüncü ve son (evet inat ediyorum) filminde çılgın Alman teröristimiz Simon Gruber, ana karakterlerimiz John McClane ve Zeus Carver’a bir bulmaca bırakmıştı. Film boyunca sosyopat teröristimiz Simon, McClane&Carver ikilisine acı çektirmeyi başarmıştı. İkilinin en zorda kaldığı anlardan biri olan bu bulmaca, tüm seride en sevdiğim sahnedir.

die-hard-vengeance-laptop

İlgili sahne için tıklayın… ya da önce soruyu kendiniz çözmeye çalışın, video bir yere kaçmıyor.

Simon diyor ki…

“Çantanın içinde zaman ayarlı bir bomba var. Bombayı durdurmak için tek şansınız 5 ve 3 litrelik su şişelerini kullanarak 4 litre su elde etmeniz. Eğer doldurduğunuz su tam 4 litre gelmezse çantadaki terazi bunu fark edecek ve geri sayım durmayacak.”

dayhard

Eğik Bilardo Masası

Bir önceki yazıda nokta ve çizgilerin bulmaca çözerken nasıl yardımcı olduğundan bahsetmiştim. Çok ilginç ama bu bulmacada da grafik çizerek hızlı bir şekilde sonuca ulaşılabiliyor. Önce uygulayacağımız yöntem için bazı kurallar koymamız gerekiyor.

Kurallar

  • Noktalar şişelerdeki su miktarını (litre bazında), çizgiler ise kazanılan&kaybedilen su miktarını göstersin.
  • Noktaları gösterirken sayı ikilileri kullanalım. İlk sayı 5 litrelik şişedeki miktarı, ikinci sayı 3 litrelik şişedeki miktarı ifade etsin.
  • Örneğin elimizdeki şişelerde hiç su olmaması (0,0) noktasıyla ifade edilir.
  • (1,2) noktası 5 litrelik şişede 1 litre, 3 litrelik şişede 2 litre su var anlamına gelir.

O halde grafiğimiz şu şekilde olur.

dayhard1

Sorunun Çözümü

Çizdiğim bu grafiğe eğik bilardo masası dememin bir nedeni var: Noktalar arası hareket tıpkı bir bilardo topunun masada yaptığı hareket gibidir. Bir yön seçeriz ve topu oraya doğru göndeririz. Doğal olarak top ancak masanın bir kenarına ulaştığında tam yansıma yaparak yoluna devam eder.

Örneğin (0,0) noktasından gidilebilecek iki yön vardır; (0,3) ya da (5,0). Biz topu (0,3) yönüne gönderirsek aradaki (0,1) ve (0,2) noktalarını geçmiş oluruz. Yansıma, doğrultu üzerindeki son nokta olan (0,3)’te gerçekleşir gelince ve top (3,3)’e doğru devam eder.

Çözüme başlarken önce 5 litrelik (bundan sonra büyük şişe diyelim) şişeyi dolduralım. Bu, (5,0) noktasından başlamak anlamına gelir. Büyük şişedeki suyun 3 litresini diğer şişeye dolduralım dersek, bu da topu (5,0) noktasından (2,3) noktası doğrultusuna doğru vurmak anlamına gelir.

dayhard2

Buradan itibaren top tam yansımayla (2,0) noktasına doğru gider.

(2,0) noktasına gelen top, (0,2)’ye doğru yansır. Oradan da (5,2) noktasına ilerler.

(5,2)’den yansıyan top, (4,3)’e doğru gider. Artık durabiliriz çünkü (4,3) noktası büyük şişede 4 litre su olduğunu ifade eder.

dayhard7

 

Yanda görülen yol, 4 litre suya ulaşmak için yapılması gerekenleri tek tek anlatır:

  • Büyük şişeyi doldur.
  • 3 litresini diğer şişeye boşalt.
  • Küçük şişeyi boşalt.
  • Büyük şişede kalan 2 litre suyu diğer şişeye dök.
  • 5 litrelik şişeyi doldur ve ondan küçük şişede kalan 1 litrelik boşluğa su dök.
  • Böylece büyük şişede 4, diğerinde 3 litre su kalmış olur.

 

Eğer John McClane ve Zeus Carver grafik çizmeyi bilseydi, bulmacayı çok daha kısa sürede çözerlerdi. Oturduğum yerden Zor Ölüm’deki ikiliyi eleştirmek kolay tabi ki. Çok iyi biliyorum ki gerçek bir bomba ile karşı karşıya kalan ben olsaydım, öbür dünyaya erken yaşta göç etmiştim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Simon diyor ki…

  1. “4 litreyi elde etmek için ikinci bir yol daha var mı?”
  2. “1 dakika içinde bu iki şişeyle 1 litre su elde etmenin iki farklı yolunu bulun.”
  3. “6 ve 15 litrelik şişelerle 5 litre su elde etmek mümkün müdür? Her iki ihtimali de ispatla.”

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

 

Matematik Atölyesi: Geometri #3

“Sizin için bile olsa, krallara özgü bir geometri öğrenme yolu yoktur.” – Kendisine geometriyi kolay yoldan öğretmesini isteyen krala Öklid’in verdiği söylenen cevap.

Şu ana dek Öklid’den ve onun yazdığı Elementler’den bir kaç defa bahsettim. 13 kitaptan oluşan bu eser binlerce yıl boyunca geometrinin tek kaynağı olarak görülmüştü. Hatta uzun bir süre boyunca (Newton, Leibniz, Ömer Hayyam vb. dahil olmak üzere) tüm bilim insanları, matematiği Öklid’in Elementler’inden öğrenmişti.

Elementler’in birinci kitabı ilk bakışta çok basit görünen 23 adet tanımla başlar. Bunlardan bir kaçı aşağıdaki gibidir.

Elementler Kitap 1

Tanım 1: Nokta, büyüklüğü olmayandır.

Tanım 2: Çizgi, eni olmayan uzunluktur.

Tanım 3: Bir çizginin uçları noktalardır.

Tanım 4: Doğru, üzerindeki noktalara göre eşit olarak yatan çizgidir.

Tanım 8: Düzlem açısı, aynı doğru üzerinde olmayan ve birbirine dokunan çizgilerin birbirine göre eğimidir.

Tanım 15: İçindeki bir noktadan, üzerindeki her noktaya çizilen doğruların birbirine eşit olduğu düzlem şekline çember denir.

Bu tanımlar için bazı sorularım var.

Birinci tanıma göre nokta, büyüklüğü olmayandır. Peki bir noktayı nasıl göstermemiz gerekir?

Büyüklüğü olmayan bir şey gösterilebilir mi?

Noktayı hangisi gösterir? Sağdaki daha küçük diye daha makul olan mıdır? Tabi ki her ikisi de nokta belirtir ve her ikisi de gerçek nokta değildir.

Bu bağlamda ikinci tanımın da birinciden pek farkı yok. Eni olmayan bir uzunluk çizmemiz mümkün müdür?

çizgi
A’dan B’ye çizilen çizginin eni olmamalı. Yani kalınlığı olmaması gerekir. Bu da maalesef mümkün değil.

Sekizinci tanım, açıdan bahseder. Bir açıyı gösterebilmek için çizgilere, çizgiler için doğruya, bu ikisini gösterebilmek için de noktalara ihtiyacımız var. O halde bir açıyı göstermek mümkün müdür?

açı
Çizilecek açı için gereken nokta ve doğru parçaları tanıma uygun değildir. Yani bir açıyı göstermek de imkan dahilinde değil.

Bir mimar olduğunuzu varsayın. Evin planını çizerken noktalar, çizgiler, doğru parçaları ve açılar kullanmanız kaçınılmaz değil mi? Ama biraz önce verdiğimiz tanımlara göre bu kavramları çizerek göstermemiz imkansız.

Matematiğin soyut ve somut kısımları olduğu söylenir. Özellikle öğretmenlerden istenen somut örneklerdir. Ne zaman bir konuda zorlanılsa, hemen işin kolayını gösteren bir yol istenilir. Halbuki matematiğin en basit kavramlarını dahi tam olarak göstermek mümkün değildir.

Elementler’deki Sihir

Öklid’in Elementler’inde ilk kitabın birinci önermesi şunu söyler: Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar üçgen çizmenin yolu.

Yani Öklid bize, rastgele bir doğru parçası verildiğinde bir kenarı o parçanın uzunluğunda olan bir eşkenar üçgeni sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizebileceğimizi gösteriyor.

Yazının devamına bakmadan önce kendinize biraz süre verin ve bunu nasıl yapabileceğinizi düşünün. Unutmayın, Öklid’in kullanabileceği herhangi bir uzunluk aygıtı (açı ölçer ve ölçülü cetvel gibi) yoktu.

  1. Uzunluğumuz A noktasında B noktasına çizilen bir doğru parçası olsun.
    çem
  2. A noktası merkez olmak üzere, AB uzunluğunda yarıçapa sahip olan bir çember çizilsin.
    çem1
  3. B noktası merkez olmak üzere, BA uzunluğunda yarıçapa sahip bir çember çizilsin.
    çem2
  4. İki çemberin kesiştiği noktalardan biri C noktası olsun.
    çem3
  5. A merkezli çemberde AB ve AC doğruları yarıçap olur. Yani AB ile AC aynı uzunluktadır.
    çem4
  6. B merkezli çemberde BA ile BC yarıçap olur. Yani BA ile BC uzunlukları birbirine eşittir.
    çem5
  7. AB ile AC, BA ile de BC eşittir. AB ile BA aynı doğru parçası olduğu için AC ile BC de birbirine eşittir. Yani AB, AC ve BC doğruları birbirine eşittir.
    çem6
  8. Bu üç doğru bir eşkenar üçgeni oluşturur. Böylece verilen rastgele bir AB doğrusunun üzerine eşkenar üçgeni çizmiş oluruz.
    çem7

Oturduğumuz Yerden

Eşkenar üçgeni elde etmek için kullandığım adımların tamamı Öklid’in direktifleridir. Yapılan işin en güzel tarafı ise şu: Biz bir noktayı dahi göstermekten aciz olmamıza rağmen hayal gücümüz bugün matematik dilinin gücünü kullanarak uzaya uydular fırlatıyor ve hatta evrenin sırlarını ortaya çıkarmaya çalışıyor. Hem de oturduğumuz yerden!

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rastgele verilmiş bir doğrunun eşitini sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizersiniz? İpucu: Öklid’in Elementleri, Kitap 1’deki ikinci önermeyi inceleyin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Geometri #2

Rakamsız Matematik

Yaklaşık 2700 yıl önce antik Yunanlar bilimin hemen her alanında öncülüğü ele geçirmişti. Yüzyıllar boyunca Thales, Pisagor, Eudoxus ve Öklid gibi sadece matematik değil insanlık tarihine geçmiş olan ünlü isimler matematiğin gelişiminde lokomotif rolündeydi. Fakat Yunan matematikçiler diğer milletlerden meslektaşlarının aksine sayıları çok önemsememişti. Onlara göre matematiğin temeli geometri idi ve sayılar matematikteki her şey gibi geometriyle ortaya çıkmıştı.

Peki ne rakam sembollerini ne de sayı sistemlerini umursayan antik Yunanlar nasıl oldu da tarihin en önemli matematik eserlerinden bazılarını yazmıştı?

Cetvel, Pergel ve Birim

Antik Yunanistan’da sayı yerine büyüklük kullanılmıştı. Büyüklük belirtmek içinse doğru parçaları çiziliyordu. Yani Yunan matematikçiler bir sayı yazmak yerine, o sayıyı ifade eden bir uzunluk çiziyordu. Bu yapılırken de sadece ölçüsüz cetvel, pergel ve belirlenmiş bir birim uzunluk kullanmıştı. (Antik Yunan matematikçilerin bu üçünü kullanarak neler becerdiklerini sonraki günlerde detaylarıyla açıklayacağım.)

Gelelim asıl meselemize: Yunanlar çizgilerle matematik yapmayı nasıl becermişti?

a ve b birer pozitif tam sayı olsun.

  • Toplama

Elimizdeki sayıların toplamı a+b olur. Uzunluk kullanarak a+b şu şekilde gösterilir:

a+b

  • Çıkarma

Sayılardan a, b’den büyük olsun. O halde çıkarmamız a-b olur. Uzunluk kullanarak a-b şu şekilde gösterilir:

a-b

  • Çarpma

Sayıların çarpımı a.b olur. Bu noktada üçgende benzerlik kullanılması gerekir. Bir üçgeni büyütür ya da küçültür isek (tıpkı akıllı telefonlarda bir resmi büyütüp küçülttüğümüz gibi) o üçgenin benzerini yaratmış oluruz. O halde elimizdeki üçgenlerden küçük olanının iki kenarı sırasıyla 1 birim ve a birim olsun. Bu üçgenin büyütülmüş halinde 1 birimlik kenar b birime denk gelirse, a birimlik kenar a.b birim olur.

  • Bölme

Sayıların bölümü a/b olur. Aynı çarpmada olduğu gibi benzerlik kullanılır. Bu sefer büyük üçgenin iki kenarı b ve a olsun. Uzunluğu b olan kenar 1 birime küçültülürse, a birimlik kenar a/b birim olur.

  • Karekök Alma

a sayısının karekökünü almak için a+1 uzunluğu çizilsin. Uzunluğun kendisi, bir çemberin çapı kabul edilsin ve alt taraftan yarım çember çizilsin. a’nın bittiği yerden çembere çizilen dik çizgi a’nın kareköküdür.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Yunan matematikçilerin sayı kullanmadan işlem yapabilmesi, geometri dışındaki matematik branşlarına girdikleri anlamına gelir mi? (İpucu: Diyofantus ismini Google’da araştırın.)

M. Serkan Kalaycıoğlu