Matematik Atölyesi – Geometri #19

Ne Kadar Çikolata?

Karnım acıktı. Gecenin bir yarısı evde yiyecek bir şeyler bulma umudundayım. Mutfakta hiç açmadığım bir çikolata buldum:

20190701_131610

Derhal kendime kahve yaptım. Kahvenin yanında götürmek için çikolatadan ufak bir parça kopardım:

20190701_131715

Parçayı hunharca katlettikten sonra pişmanlık çöktü: Acaba çok mu çikolata yedim?

Kalan parçayı kareli defter üzerine koydum. Böylece çikolatanın hem ilk hem de son halinin kareli defterde (veya koordinat düzleminde) hangi noktalarda kaldığını bulmuş oldum:

çiko1

Kopardığım parça bir basit çokgen şeklindedir. Amacım bu parçanın alanını bulmak. Bir basit çokgen alanı bulunurken birçok yolu deneyebilirim. Aklıma ilk gelen yol “Gauss’un ayakkabı bağcığı” ismiyle bilinen bir teoremdir.

Gauss’un Ayakkabı Bağcığı Teoremi

Koordinat düzleminde bulunan bir basit çokgenin alanını bulmak için kullanılan ayakkabı bağcığı teoremini uygulamak için çokgenin köşelerinin koordinat düzlemindeki yerlerini belirlemek gerekir:

çiko2

Bu noktalar için teorem tıpkı ayakkabı bağcığı gibi ilerler. Yönteme geçmeden önce alanı bulunması gereken parçada bulunan tüm köşeleri sırala:

çiko3

lak1

İlk noktayı listenin sonuna tekrar ekleyin.

Daha sonra listedeki sayılar çapraz olarak çarpılır. Soldan sağa olanların toplamı sağdan sola olanların toplamından çıkarılır:

This slideshow requires JavaScript.

{(0*0) + (5*1) + (4*3) + (5*3) + (0*0)} – {(0*5) + (0*4) + (1*5) + (3*0) + (3*0)}

{32} – {5}

27

Çokgenin alanı; çıkan sayının yarısıdır:

27/2

13,5

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

20190130_231840

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

20190130_231741

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

20190130_231751

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

çembeee

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

289294-1338211643

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

20190130_232053

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

20190130_232030

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

20190130_232017

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

18mlevdqtxdsbjpg
Reuleaux üçgeni şeklinde tekeri olan bir bisiklet.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
  2. Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
  3. Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #13

Kurabiye Pişirmek

Canınız çikolata parçacıklı kurabiye istedi ve bolca pişirmesi için annenizi ikna etmeye çalışıyorsunuz. Sonunda bir anlaşmaya vardınız: Sadece bir tepsi kurabiye yapılacak fakat kurabiyeleri tepsiye siz dizeceksiniz. Kurabiyeler üst üste gelmemeli ve düzgün geometrik şekle sahip olmalı. Yani tüm kurabiyeler aynı şekle sahip olmalı ve her bir kurabiye tam olmalı. Yarım kurabiyeye yer yok!

Sonuçta ne kadar çok kurabiye dizerseniz yemek için o kadar çok kurabiyeniz olacak.

Fırın tepsisinin boyutları 46,5’e 37,5 cm. Bir kurabiyenin çapı ise 5 cm.

51rixjatvel._sx450_

Soru: Bu tepsiye düzgün şekilde kaç tane kurabiye sığdırabilirsiniz?

Bal Peteği

Kurabiye sorusunun cevabına bakmadan önce biraz bal yapımından bahsetmeliyim. Bal arıları matematiği muhteşem bir şekilde kullanır. Bal petekleri de onların geometrik şaheseridir.

shutterstock_113350987

Peki bal arıları neden bal peteklerini tam olarak bu şekilde (yani altıgen şeklinde) inşa eder?

Bal arıları bal biriktirmek için ufak depolara ihtiyaç duyar. Bu depoları şimdilik iki boyutlu gibi düşünün. Böylece bal arılarının problemi düz bir kağıdın hangi geometrik şekille döşenmesi gerektiğine döner.

Arının Sorumluluğu: “Düz bir kağıdı tek bir düzgün geometrik şekille kaplayacağım fakat bunu yaparken en az çizgiyle en büyük alanı yaratmam gerekiyor.”

Üç Düzgün Şekil

Sadece üç düzgün geometrik şekil bir kağıdı boşluksuz döşeyebilir: Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen.

bad tessellates
Yedigen, sekizgen ve dokuzgen için durum böyledir. Diğer çokgenleri kontrol edebilirsiniz. Hiçbiri boşluksuz döşeme yapamayacaktır.

Biz kareden başlayalım. Diyelim ki bal arısı kağıdın tamamını bir kenarı 2 birim olan karelerle dolduracak. Böyle bir karenin alanı 4 birim kare iken çevresi 8 birimdir.

Aynı alana sahip eşkenar üçgenin bir kenarı 3 birimden biraz fazladır. Bu da üçgenin çevresinin 9 birimden fazla olduğu anlamına gelir. Yani bir kağıda kare döşemek üçgen döşemekten çok daha iyidir.

Sırada altıgen var. Alanı 4 birim kare olan düzgün altıgenin çevresi 7,45 birim yapar ki bu sonuç hem eşkenar üçgenin hem de karenin çevresinden daha küçüktür. Bu nedenle bal arısı düz kağıda döşeme işlemini düzgün altıgen ile yapar.

Çemberden Altıgene

Bilim insanları günümüzde hala bal peteğinin yapımını inceliyor. Bal arılarının bu muazzam yapıları oluştururken iki şekilden birini tercih ettiği düşünülüyor: Çember veya düzgün altıgen. Bir teoriye göre bal arıları çevre uzunluğu düzgün altıgenden çok daha az olan çemberi kullanıyor ve zamanla bu çemberler bizim gördüğümüz peteklerdeki düzgün altıgenlere dönüşüyor.

Çemberlerden düzgün altıgenlere aşağıdaki şekilde ulaşılabilir:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Kurabiye sorusunun çözümü çember-düzgün altıgen ilişkisinde saklıdır. Bu bilgi ışığında kaç tane kurabiye yapılabileceğini bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #10&11

Soru: Kaç tane düzgün çokgen vardır?

Öklid’in yöntemleriyle (yani sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak) nasıl eşkenar üçgen çizilebileceğini göstermiştim. Eşkenar üçgen tüm kenarları ve iç açıları eşit olan bir düzgün çokgendir. Hatta eşkenar üçgene en az kenarlı düzgün çokgen de denilebilir.

O halde buradan başlayalım: Üç kenarlı düzgün çokgen yapılabilir ki buna eşkenar üçgen denir. Kenar sayısını bir artıralım. Dört kenarlı düzgün çokgen, yani dört kenarı ve dört iç açısı da birbirinin aynısı olan şekil… Hmmm… Kare!

Beş kenarlı düzgün çokgen: Beşgen.

Altı kenarlı düzgün çokgen: Altıgen.

regular-polygons-6-638-e1544543687840.jpg
Düzgün çokgenlerin bir kısmı.

Elli kenarlı düzgün çokgen: Elligen. (Pentacontagon diye bilinir.)

Düzgün çokgenlerin kenar sayısının limiti yoktur. Fakat belli bir kenar sayısından sonra kenar uzunlukları o kadar küçük olur ki çokgeni çemberden ayırt etmek neredeyse imkansızlaşır.

50-gen (solda) ve 50-gen ile 200-gen’in karşılaştırılması (sağda).

Düzgün çokgenler iki boyutlu geometride var olan şekillerdir. Peki olayı üç boyuta taşırsak ne olur?

Soru: Kaç tane farklı düzgün katı cisim vardır?

Üç boyutlu olan düzgün katı cisimlerin iki belirgin özelliği vardır: Tüm yüzleri düzgün çokgenlerden oluşur ve her köşesi eşit sayıda düzgün çokgene bağlıdır.

Cevabı hemen verelim: Tamı tamına beş farklı düzgün katı cisim vardır. Ne bir fazla, ne de bir az.

Düzgün çokgen sayısı sonsuz taneyken düzgün katıların sayısının sadece beş tane olması ilk başta inanılmaz gibi gelir. Bunu ispatlamadan önce düzgün katılardan biraz bahsetmem gerekir.

Geniş Omuzlunun Okulu

Milattan önce 427’de Atina’da dünyaya gelen Aristocles geniş omuzlara sahip olduğu için Yunanca’da geniş anlamına gelen “Platon” lakabını almıştı. (Bu iddia C.J. Rowe’un 1984’de yazdığı kitapta geçer.)

plato
Platon (MÖ 427-MÖ 347)

Çoğu kişi matematikle herhangi bir ilişkisi olduğunu düşünmese de Platon matematiğe çok önemli katkılarda bulunmuştu. Özellikle ispat, açıklama ve hipotezlerin en açık şekilde yazılması gerektiğinde ısrar etmesi matematiğin gelişimi için hayatiydi. Platon’un sadece matematik değil tüm bilim dalları için yaptığı en büyük iş ise kurucusu olduğu okuldu.

Milattan önce 387’de Atina’da bir okul kurmak isteyen Platon arazisini bulmuştu. Okulun inşa edildiği arsanın sahibi Academas olduğu için okulun ismi “Akademi” olarak kaldı. 900 yıl boyunca en önemli bilim insanları hayatlarının bir kısmını Platon’un Akademisinde geçirmişti. (Bir karşılaştırma yapalım: Avrupa’daki en eski üniversite olarak bilinen Bologna Üniversitesi Platon’un Akademi’sinden yaklaşık 1400 yıl sonra kurulmuştu.)

geometri-bilmeyen-giremez
Akademi’nin girişinde asılı olan yazı: “Geometri Bilmeyen Giremez”

Platonik Cisimler

Düzgün katı cisimlere Platonik cisimler de denir, çünkü onların sadece beş adet olduğunu kağıda döken ilk kişinin Platon olduğuna inanılır.

  1. Dört Yüzlü – Tetrahedron: Dört tane eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  2. Altı Yüzlü – Küp: Altı adet karenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  3. Sekiz Yüzlü – Octahedron: Sekiz adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  4. On iki Yüzlü – Dodecahedron: On iki adet beşgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  5. Yirmi Yüzlü – Icosahedron: Yirmi adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
platonic_solids
Platonik Cisimler

Neden Sadece Beş Adet?

Düzgün katı cisimlerin bazı özellikleri var ki bu özellikler neden beş tane düzgün katı olduğunu hem açıklar hem de ispatlar.

Düzgün katı cisimler üç boyutlu olduğu için bir köşesinde en az üç tane yüz (yani en az üç tane düzgün çokgen) olmalıdır. Gelin en az sayıda yüzü olan düzgün katı cisim olan dört yüzlüyü inceleyelim.

Dört yüzlü düzgün katı cismin herhangi bir köşesinde hep üç tane eşkenar üçgen bulunur. (Bunu bir noktanın etrafına çizilmiş üç eşkenar üçgen gibi düşünebilirsiniz.) Bu üçgenleri iki boyuta indirgediğimizde karşımıza şu şekil çıkar:

IMG_6348

Eşkenar üçgenlerin buluştuğu noktanın etrafının 360 derece olduğunu biliyoruz. Eşkenar üçgende bir iç açı da 60 derecedir. O halde noktanın etrafında

360 – (60+60+60) = 180

derecelik boşluk vardır. Bu boşluk sayesinde kağıt kıvrılıp düzgün katı cisim oluşturulabilir.

Eğer 360 derece ve üstü tam olarak kaplanmış ise, kıvrılmak için yer olmayacağı için şekil iki boyutlu kağıt üzerinde kalır.

O halde düzgün katı cisim yapmak için gerekenleri bulmuş olduk:

  • Bir kağıdın üzerine nokta koy.
  • Noktaya bağlı olacak şekilde üç tane düzgün çokgen çiz.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 dereceyi tamamlamadıysa şekil üç boyuta çevrilebilir. Böylece düzgün katı cisim elde edilmiş olur.
  • Kalan kısma aynı çokgenden eklenmeye 360 dereceye ulaşılana dek devam edilir.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 derece ve üzerinde yer kaplıyorsa şekil üç boyuta çevrilemez demektir. Bu durumda çizilen çokgenlerden düzgün katı cisim yapılamaz sonucuna varılır.

Örnek 1: Dört Yüzlü

Nokta koyulur ve noktanın ortak olduğu üç adet eşkenar üçgen çizilir. Bu eşkenar üçgenlerin iç açıları toplamı 360’dan küçük olduğu için katlanıp düzgün katı cisim oluşturabilirler: Dört yüzlü.

Örnek 2: Dört Yüzlü + 1 Eşkenar Üçgen

Eğer dört yüzlüyü oluşturan eşkenar üçgenlere bir yenisi daha eklenirse seçtiğimiz nokta üzerinde iç açıların toplamı 240 derece olur ki bu 360’dan küçüktür. Üçgenlerle aşağıdaki gibi sekiz yüzlünün üst kısmı yapılabilir.

Örnek 3: Dört Yüzlü + 2 Eşkenar Üçgen

Bu sefer eşkenar üçgen sayısını beşe çıkaralım. Nokta üzerindeki iç açıların toplamı 300 yapar ki bu da 360 derecenin altındadır. O halde bu beş üçgenle bir Platonik cisim yapılabilir. (On iki yüzlü)

Örnek 4: Dört Yüzlü + 3 Eşkenar Üçgen

Eşkenar üçgen sayısı altı olunca iç açıların toplamı 360 derece yapar. Bu da elimizdekilerle Platonik bir cismin oluşturulamayacağı anlamına gelir.

Örnek 5: Küp ve Küp + 1 Kare

Küp şeklinde herhangi bir köşeye üç adet kare bağlıdır. Bu köşe ve kare aşağıdaki gibi iki boyuta indirgenebilir:

Noktanın etrafında üç karenin iç açısı kullanılmıştır: 90*3=270 derece. Eğer şekle bir kare daha eklenirse noktanın etrafında 270+90=360 derecelik alan dolmuş olur. Bu, dört kare ile bir düzgün katı cisim yapılamaz demektir.

Örnek 6: On iki yüzlü + 1 Düzgün beşgen

Düzgün beşgenlerden oluşan on iki yüzlünün bir köşesine bağlı olan üç tane düzgün beşgen vardır. Yani bir noktanın etrafında bir iç açısı 108 derece olan beşgenden üç tane var: 108*3=324 derece, 360 dereceden az olduğu için bu düzgün katı cisim oluşturulabiliyor.

Noktanın etrafına dördüncü bir düzgün beşgen eklendiğinde, beşgenler birbirinin üzerine biner. Bu şekilden bir düzgün katı cisim oluşturulması mümkün değildir.

IMG_6366

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Düzgün altıgenlerle bir düzgün katı cisim yapılabilir mi? Nedeninizi belirtin.

M. Serkan Kalaycıoğlu