Matematik Atölyesi – Şans #7

Ne Kadar Yakın?

Oyun: Bir topluluk içerisinde herkesten 0 ile 100 arasında bir sayı seçmesi isteniyor. Oyunda aynı sayıyı birden fazla kişinin seçmesi mümkün olsa da oyuna katılanların seçimlerini yaparken birbirleriyle konuşması yasaktır.

Kazanan: Seçilen sayıların ortalamasının 3’te 2’sine en yakın olan kişi oyunu kazanmış olur. (Ortalama: Seçilen sayıların toplamının seçen kişi sayısına bölümüdür.)

Soru: Kazanan olmak için izlenilebilecek bir yol var mıdır?

İlk başta bu basit oyunda 0 ile 100 arasında hangi sayının seçildiğinin bir önemi olmadığı düşünülebilir. Çünkü kazanan değer diğerlerinin seçimlerine bağlıdır. Fakat ihtimaller hesabına kafa yormayı seven birisi, bilinçli bir seçimle oyunu kazanma şansını artırabilir.

Adım #1

12 kişilik bir grupta herkesin 100 sayısını seçtiğini varsayalım. O halde ortalama:

(12*100)/12 = 100

olur. Sonuç ortalamanın 3’te 2’sidir. Yani kazanan sayı 100*2/3 = 66,666…’ya en yakın olandır.

Grupta bulunan herkes seçebileceği en yüksek sayıyı seçtiğine göre kazanan değer en fazla 66,666…’dır. Eğer bunun farkındaysanız sayınızı 0-100 arasında değil; 0-66 arasında seçersiniz.

0-66

Tabi ki 66’dan yüksek bir sayıyı seçen kişinin oyunu kazanma şansı vardır. Fakat kazanan sayının 66’dan yüksek olmayacağını bildiğiniz bir durumda (örneğin) 70 sayısını seçmeniz mantıksızdır.

Ya Herkes Her Şeyin Farkındaysa?!

Diyelim ki bu gerçeğin farkına vardınız. Diğerleri 0-100 arasında bir sayı seçecekken siz 0-66 arasında bir sayı seçeceksiniz. Bu sayede kazanma şansınızı bir hayli arttırdığınızı düşünüyorsunuz. Fakat bir anda aklınıza başka bir şey geldi: Ya herkes bu durumun farkındaysa?

Adım #2

Eğer 12 kişinin tamamı kazanan sayının en fazla 66,666… olduğunu fark ettiyse, o halde grupta hiç kimse 66’dan büyük bir sayıyı seçmez. Yani herkes 0 ile 66 arasında bir sayıyı tercih eder.

Bu durumda çıkabilecek en yüksek sonuç herkesin 66’yı tercih etmesidir:

(66*12)/12 = 66 ortalama.

66*2/3 = 44 kazanabilecek en yüksek sonuç.

0-44

Yani, herkes 66’dan küçük bir sayı seçerse kazanan sayı 44’den büyük olamaz. Öyleyse neden 44’den büyük bir sayı tercih edersiniz ki?

Adım #3

Gruptaki herkes sayısını seçmeden önce bu gerçeklerin farkındaysa kimse 44’ü geçmez. Bu, önceki iki senaryoda olduğu gibi yeni bir ihtimal hesabına yol açar: Herkes kazanan sayının 0 ile 44 arasında olacağını bildiği için kazanan sonuç en fazla:

(44*12)/12 = 44 (ortalama)

44*2/3 = 29,333… olur.

Bu da kazanan sonucun en fazla 29 olabileceğini söyler. O halde 29’dan fazla bir sayı seçmenin manası yoktur.

0-29

Bu mantıkla ilerlendiğinde kazanan sonuç 11 adım sonunda 0 (sıfır) çıkar. Bu yüzden oyun için en mantıklı hamle herkesin sıfırı seçmesidir. Olasılık bilgisini kullanan herkes eninde sonunda kendisi için en uygun sayının 0 olduğunu fark eder.

Sonuç

Matematik bilgisi sayesinde bir topluluk birbiriyle iletişimde olmadığı halde herkesin çıkarına olan ortak bir karar verebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

12 kişilik grupta bir kişinin matematikle hiç alakası olmadığını biliyorsunuz. Bu durumda nasıl bir mantık geliştirmeniz gerekir? Cevabınızı olasılık hesapları çerçevesinde verin.

Not: Kendinize bir örneklem yaratmak için buradan rastgele sayılar seçebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #12

Üçgen İstilası

İki kişilik bir oyun olan üçgen istilasını oynamak için öncelikle bir üçgen çizin ve bu üçgenin köşelerine farklı isimler verin (1-2-3 gibi):

20190530_145646.jpg

Daha sonra büyük üçgenin içine aşağıdaki gibi küçük üçgenler çizin:

20190531_125538.jpg

(Küçük üçgen sayısı istenildiği kadar artırılabilir.)

Üçgende köşeleri aşağıdaki kurallara uyarak adlandırın:

a. 1-2 kenarında bulunan köşeler 1 veya 2 olabilir.

b. 1-3 kenarında bulunan köşeler 1 veya 3 olabilir.

c. 2-3 kenarında bulunan köşeler 2 veya 3 olabilir.

d. Büyük üçgenin içerisinde kalan köşeler 1, 2 veya 3’ten herhangi biri olabilir.

Oyunun İşleyişi

  • Yukarı kuralları izleyerek sırayla köşeler adlandırılır.
  • Oyuncular son köşesini adlandırdıkları üçgenleri istila etmiş sayılır.
  • Amaç 1-2-3 üçgeni yapmamaktır. En az 1-2-3 üçgeni istila etmiş olan kişi oyunu kazanır.

Sperner’in Üçgeni

Üçgen istilası oyunu aslen Sperner üçgeninden gelir. Emanuel Sperner’in bulduğu Sperner üçgeni, çok basit kuralları olmasına rağmen şaşırtıcı bir sonucu içerisinde barındırır. Sperner üçgeni aynı üçgen istilasında olduğu gibi büyük bir üçgenin içine küçüklerinin çizilmesi ve bunların köşelerinin adlandırılmasıyla elde edilir.

Kurallara göre köşeler etiketlendiğinde muhakkak köşeleri 1-2-3 olan bir üçgen bulunur:

20190531_125917.jpg
Örnekte üç tane 1-2-3 üçgeni vardır.

Hatta Sperner bu kurallar çerçevesinde her zaman tek sayıda 1-2-3 üçgenleri olacağını söyler.

Bu yüzden de üçgen istilası hiçbir zaman beraber bitmez.

Çıkmaz Sokak

Sperner üçgeninde 1 ve 2 arasında kalan kenarlar kapı, kalan tüm kenarlar ise duvar olsun. Bir 1-2 kapısından başlanan yürüyüşte karşılaşılan tüm kapılar kullanılmak zorundadır:

Bu durumda üçgenin dışından başlayan bir yürüyüş iki şekilde bitebilir:

  1. Büyük üçgenin içinde bulunan bir 1-2-3 üçgeninde:

    Sol kenarda üç tane 1-2 kapısından başlanan yürüyüşlerin hepsi 1-2-3 üçgenlerinde bitmiştir.

  2. Büyük üçgenin dışında:

    Sol üstteki kapıdan başlayan yürüyüş üçgenin dışında bitmiştir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #7

H&G Oyunu

Bu ismi çoğunuzun küçükken öğrendiği Hansel ve Gretel’in hikayesinden esinlenerek koydum. (Eğer hikayeyi bilmiyorsanız lütfen okuyun.)

H&G’de amaç iki yer arasındaki en kısa yolu bulmaktır. Fakat oyun oturulan yerden değil, bizzat deneyimlenerek ilerler. Sonuca yaşanılan deneyimlerden çıkarım yaparak ulaşılır.

Şimdiden belirtmem gerekiyor: Bu oyunu böceklerden, özellikle karıncalardan öğrendik. Yazının devamında buna değineceğim.

Peki H&G nasıl oynanır?

  • Oyuncular belirtilen iki yer arasında yürüyüş yapar.
  • Her oyuncunun başlangıç ve bitiş yerleri aynıdır.
  • Yürüyüş için birden fazla yol vardır.
  • Amaç bu iki yoldan hangisinin daha kısa olduğunu bulmaktır.
  • Oyun sırasında kalem dışında hiçbir aletin kullanımına izin verilmez. (Saat, telefon vs. dahil.)
  • Oyuncular başlangıç ve bitişe vardığı her sefer için kalemle bir çizgi çizer.
  • Oyuncuların hızlarının aynı (ya da en azından benzer) olması için koşmaları yasaktır.

Oyun #1

H&G için hazırlanan iki yol aşağıdaki gibi olsun:

20190425_134042.jpg

Bu iki yol üzerindeki ilk yürüyüş başlarken hem A hem de B’de oyuncular bir süre aynı yolu gider, fakat yürüyüş devam ettikçe A’dekiler B yolundaki oyunculardan çok daha önce bitişe varır:

20190425_134109.jpg

B’de yürüyen oyuncular bitişe ulaştığında diğer yoldakilerin ilk çizgiyi koyduğunu görür. Bu da A yolunun B’den daha kısa olduğunu belirtir. Oyuncuların bir kısmı B’ye hala inanıp geri dönüşü yaptığında, bitişe ulaştıklarında A’dakilerin ikinci çizgiyi çektiğini görür.

Böylece B’nin daha uzun olduğunu (gerçekten inatçı olanlar hariç) herkes görmüş olur. Oyun devam ettiği sürece A’dakiler B’dekilere fark atacağı anlaşılmıştır.

Oyun #2

İlk oyunda herkes A yoluna geçmişken A üzerine aşağıdaki gibi bir engel koyalım:

20190425_134136.jpg

Oyunculardan en az biri B’yi denemeye karar verir. Bir kaç tur sonra çizgi sayılarında B’nin A’ya yaklaştığını fark eden oyuncular B yoluna geçmeye başlar:

20190425_134159.jpg
Yavaş da olsa B’deki oyuncular A ile farkı kapatır.

Zamanla oyuncuların hepsi B’nin daha kısa yol olduğunu kabul eder.

Oyun #3

İkinci oyun devam ederken C ismi verilmiş olan üçüncü bir yol açılsın:

20190425_134223.jpg

Yine oyunculardan en az biri C’yi denemeye karar verir. Aynı bir önceki oyun gibi oyunculardan dikkatli olanlar çizgi sayılarına bakarak hangi yolun daha kısa olduğuna karar verir.

En İyi H&G Oyuncuları: Karıncalar

Yazının başında karıncaların bize en kısa yolu bulmayı öğrettiğini söylemiştim. 1992’de Marco Dorigo ismindeki bir bilim insanı karıncaların yemek arayışlarıyla ilgili bir araştırma yapmıştı. Dorigo araştırması sonucunda karıncaların yuvalarıyla besin kaynakları arasındaki yolu nasıl gittiklerini açıklamıştı.

Karınca yuvası ve besin kaynağı aşağıdaki gibi olsun:

20190425_134508.jpg

Karınca besin kaynağını yuvasına aşağıdaki gibi bir yol izleyerek taşısın:

20190425_134535.jpg

Feromon: Aynı türün üyeleri arasındaki sosyal ilişkileri düzenleyen kimyasal madde.

Karıncalar yürürken arkalarında feromon, yani bir tür kimyasal madde bırakır:

20190425_134548.jpg

İşte karıncaların en kısa yolu bulmalarını sağlayan şey de bu maddedir. Bir yoldan ne kadar çok karınca geçerse o yolda o kadar çok feromon vardır. Aynı bizim kalemle çizgi çizmemiz gibi.

Gelin karıncaların yoluna bir engel koyalım:

20190425_134602.jpg

Karıncaların bir kısmı engelin aşağısından, diğer kısmıysa yukarısından yoluna devam eder:

20190425_134620.jpg

I numaralı yol daha kısa olduğu için karıncalar bu yolun üzerinde daha çok tur atarlar. Yani daha çok feronom bırakırlar:

20190425_134631.jpg

Zamanla diğer yoldaki karıncalar daha çok feronom olan yolu tercih eder.

Karınca Kolonileri Algoritması (KKA)

Gündelik hayatta her işimizi en hızlı ve en kısa yoldan halletmeye çalışıyoruz. İşte bunu yaparken bize yardımı olan algoritmalardan birinin adı Karınca Kolonileri Algoritması’dır. Bu algoritmanın mantığı karıncaların en kısa yolu bulma yönteminden gelir.

Quicktron-Alibaba-warehouse
Alibaba’nın içinde sadece robot çalışan deposu.

Örneğin KKA robotların hareketlerini belirlemesinde büyük önem teşkil eder. Bir alanda birden çok robotun birbirine çarpmadan hareket edebilmesi için KKA kullanılır.

M. Serkan Kalaycıoğlu