Real Mathematics – Geometry #17

Why do we have round wheels in cars and bicycles?

Square Wheels

Let’s construct a square wheel like the following and test if it can be used as an efficient wheel:

20190130_231840

After turning the squared-wheel 45 degrees the square will look like the one on the right:

At this position it is clear even to the naked eye that the height of the wheel is taller comparing to its original state. If we continue turning the wheel for another 45 degrees it goes back to its original position.

Squared-wheel has big disadvantages. A car or a bicycle with squared-wheels will be doomed as height of the vehicle constantly changes.

Triangle Wheels

Among the triangles equilateral is the best one for constructing a wheel as all of its sides have equal length:

20190130_231914

After turning the triangular-wheel 60 degrees to the left, it will have the same height:

Although let’s go 30 degrees back and examine the height of the wheel:

20190130_231751

Here height of the wheel is clearly taller than the height of the original state. This proves that it is not appropriate to construct a triangular-wheel on a vehicle. Otherwise you might have problems with your spine.

Power of the Circle

The reason why circle is the most powerful and convenient shape for our vehicles is that neither of its height nor width changes while rotating. This separates circle from all the other polygons and makes it the best shape for wheels.

çembeee

Nonetheless, one wonders if circle is the only possible shape for wheels.

Reuleaux Triangle

Leonardo da Vinci is one of those names that appear in your mind when someone mentions Renaissance. The relationship between this magnificent figure and Reuleaux triangle comes from a world map that was found inside his pupil Francesco Melzi’s notes:

289294-1338211643

This is known as one of the very first maps that included America. It is believe that this 1514-dated drawing was due to Leonardo da Vinci. If this is true, then it is safe to assume that da Vinci was the first person ever who used the Reuleaux triangle.

It was Leonhard Euler whom discovered the shape and explained it mathematically almost 200 years after da Vinci’s map. You probably realized this from my articles: “It is either Euler or Gauss.”

How come it is called Reuleaux? Because a century after Euler, a German engineer named Franz Reuleaux discovered a machine using Reuleaux triangle. In 1861 Franz Reuleaux wrote a book that made him famous and today he is known as the father of kinematics.

How to Construct Reuleaux Triangle?

I will show you my favorite method for its construction using three identical circles. First draw a circle that has radius r:

20190130_232053

Then pick a point on that circle as a center and draw a second circle again with radius r:

20190130_232030

At last, pick one of the crossings of the circles as center and draw a third circle with radius r:

20190130_232017

The central area of these three circles is a Reuleaux triangle:

When a Reuleaux triangle is rotating, it will have the same height at all times just like the circle:

18mlevdqtxdsbjpg
A bike that has a Reuleaux-triangled wheel.

One wonders…

  1. Using Euclid’s tools (a compass and an unmarked ruler) draw an equilateral triangle.
  2. Try to construct Reuleaux triangle with on the equilateral triangle.
  3. Can you contruct Reuleaux polygon(s) other than the triangle?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

20190130_231840

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

20190130_231741

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

20190130_231751

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

çembeee

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

289294-1338211643

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

20190130_232053

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

20190130_232030

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

20190130_232017

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

18mlevdqtxdsbjpg
Reuleaux üçgeni şeklinde tekeri olan bir bisiklet.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
  2. Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
  3. Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu