Matematik Atölyesi – Graf #7

Serkan Hocanın Sistemi

Serkan hoca öğrencilerine her hafta belli sayıda soru verir. Bu sorulardan bir veya daha fazlasını çözen öğrenciler, çözdükleri soruların karşılığında bir ödül alır. Ödülü belirlemek için her dönem başında Serkan hoca ile sınıfları arasında bir anlaşma yapılır. Bu dönem için yapılan anlaşmaya göre ödül olarak oreo dağıtılacaktır:

10 soru verilirse:

  • 10, 9 ve 8’ini yapanlar 10 oreo,
  • 7, 6 ve 5’ini yapanlar 5 oreo,
  • 4, 3 ve 2’sinin yapanlar 2 oreo,
  • 1’ini yapanlar 1 oreo,
  • Hiç soru yapmayanlar ise oreo almayacaktır.

Dikkat edenler Serkan hocanın oreo ödüllerinin bir mantığı olduğunu anlamıştır: 10, 5, 2 ve 1.

Bunlar, soru sayısını (yani 10’u) kalansız bölen doğal sayılardır.

Ödül Dağıtım Makinesi (Ö.D.M.)

1 ay sonra…

Ödül sistemi başlayalı 4 hafta geçmişken Serkan hoca önemli bir sorunla karşı karşıya kalmıştı. Toplam 10 sınıfı olan Serkan hoca, her hafta birkaç saatini ödül dağıtmakla geçirmişti.

Neredeyse okuldaki tüm boş vaktini oreo dağıtmakla geçiren Serkan hoca, ödül dağıtımını kolayca halletmek için bir makine tasarlamayı düşünür:

  • Ö.D.M. 4 hazneden oluşacak. (10, 5, 2, ve 1’den dolayı.)
  • Haznelerin sırasıyla 10, 5, 2 ve 1 oreoluk kapasitesi olacak.
  • Makineye oreo girişi 10’luk hazneden olacak. Kurulan bağlantılarla diğer haznelere buradan oreo aktarılacak.
  • Altın Kural: Herhangi iki hazne arasında bağlantı olması için bu iki haznenin kapasiteleri birbirine kalansız bölünebiliyor olmalı.

10 soru için Ö.D.M. bağlantıları:

  • 10’luk hazne ile 5, 2 ve 1’likler arasında.
  • 5’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 2’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 1’lik hazne ile 10, 5 ve 2’likler arasında.

O halde Ö.D.M.’nin krokisi aşağıdaki gibi olur:

Yine mi graf?!

Graf teorisiyle tanışıklığınız varsa (veya blogda yer alan graf yazılarını okuduysanız), Serkan hocanın yarattığı sistemin aslında bir tür düzlemsel graf olduğunu fark etmişsinizdir:

10 soruluk Ö.D.M.’nin graf olarak gösterimi.

Birbirine kalansız bölünebilen sayılar (yani noktalar) arasında düzlemselliği bozmayacak şekilde (yani birbirini kesmeyecek şekilde) bağlantılar (yani çizgiler) çekilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Serkan hoca soru sayısını değiştirip 12 yaparsa ne olur?

12 soru için ödüller 12’yi kalansız bölen doğal sayılardır: 12, 6, 4, 3, 2 ve 1.

Bu durumda Serkan hoca makinesini kurabilir mi? Bir diğer değişle 12’lik Ö.D.M. için bağlantılar (birbirini kesmeyecek şekilde) yerleştirilebilir mi?

Örnek dizilim.

İpucu: Önce hangi noktalar arasında çizgi çekilmeli ona bakın. Ayrıca noktalar istenilen şekilde dizilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu