eğitim

Amatör Matematikçi

Pierre de Fermat

Doğum: 1601, Fransa

Ölüm: 1665, Fransa

17. yüzyılın ilk yarısında matematiği ileri götüren kişilerden bahsederken iki isim diğerlerinden ön plana çıkar: Rene Descartes ve Pierre de Fermat. İşin garibi, bu iki isim de kendilerini matematikçi olarak görmemiştir.

1631’den ölümüne dek devlet için çalışan bir hukukçu olan Pierre de Fermat, birçokları tarafından insanlık tarihinin en önemli amatör matematikçisi olarak adlandırılır.

Matematik Dünyasına Giriş

Matematikle ilgili çalışmalarına 1620’lerin sonlarında başlayan Fermat’ın hayatı boyunca yapmayı en çok sevdiği şeylerden biri kendi yarattığı inanılmaz zorluktaki sayı teorimi problemlerinin çözümlerini ispatlamaktı.

Pierre de Fermat, 26 Nisan 1636’da Mersenne’e* yazdığı bir mektupla matematik dünyasında tanınır hale gelmişti. Mektubunda Galile’nin serbest düşme deneyi ve Apollonios’un konikleri gibi konulardan bahseden Fermat, kısa süre sonra birçok matematikçiyle yazışmaya başlamıştı. (*Mersenne’den bir başka yazıda bahsedeceğim. )

Matematiksel fizik üzerine düşünceleriyle ünlenen Fermat, hemen her mektubunda konuyu bir şekilde asıl ilgi duyduğu konu olan sayı teorisine getirmeye çalışıyordu. Mektuplarında yarattığı ve çözdüğü problemleri matematikçilerin de çözmesini isteyen Fermat’a matematikçiler çok ilgi göstermemişti. Birçoğuna göre Fermat’ın soruları bilinen tekniklerle çözülemeyecek kadar zordu. Bu sorular o kadar zordu ki, bazı matematikçiler ona sinir olmaya başlamıştı. Örneğin, Frenicle de Bessy bir mektubunda Fermat’a öfke kusmuş ve onun kendisiyle alay ettiğini iddia etmişti.

Son Teorem

Fermat’ın günümüzde en bilinen çalışması, Fermat’ın Son Teoremi ismiyle bilinen bir teoridir. Fermat, kendini bir matematikçi olarak görmediği için hiçbir yayım yapmamıştı. Hatta yaptığı çalışmaların bir kısmını, okuduğu kitapların kenarlarında kalan boşluklara yazarak sürdürmüştü.

Kitap kenarlarındaki boşluklarda yazanlardan biri de Fermat’ın Son Teoremi* idi.

* Fermat’ın Son Teoremi
“x, y ve z sıfırdan farklı tam sayı olsun.
xⁿ + yⁿ = zⁿ
denkleminin n’nin 2’den büyük olduğu durumlarda bir çözümü yoktur.”

Fermat, teoreminin yanına bir de not düşmüştü:

“Harikulade bir ispat buldum, ama bu boşlukta ispatı sığdıracak kadar yer yok.”

Fermat’ın son teoremi, 1994’te İngiliz bir matematikçi olan Andrew Wiles tarafından ispatlandı. Yani Fermat’ın ortaya atmasından yaklaşık 358 yıl sonra!

Dışlanış

Fermat, 1643 ile 1654 yılları arasında matematikçilerle bağlantısını kaybetmişti. Buna sebep olarak aynı yıllar arasında yaşanan veba salgını ve yaşadığı yerde meydana gelen iç savaş bir dizi yıkıcı olaydan bahsedilebilir. Ama, asıl nedenler arasında en önemlisi Descartes ile ters düşmesiydi.

Zamanın Fransa’sında Descartes’in bilim dünyasında büyük bir ağırlığı vardı. Fermat, onun en değer verdiği çalışması olan La Geometrie ile ilgili negatif bir yorum yaparak Descartes’i karşısına almıştı. Kısa süre sonra Fermat’ın (haksız bir şekilde) maksimum-minimum-teğet* çalışmalarında yanlışlar bulunduğu öne sürmüştü.

Fermat’ın çalışmasının doğru olduğu ortaya çıkmasına rağmen Descartes tartışmaya devam etmiş ve Fermat’ın matematik bilgisinin yetersiz olduğunu iddia etmişti.

* Maksimum-Minimum-Teğet

Üniversitede matematik dersi aldıysanız türev ve integral işlemlerini muhakkak duymuşsunuzdur. Bu iki işlemin ortaya çıkışında önemli rollerden biri 17.yüzyılda yaşayan bir Fransız hukukçuya aittir.

Basit bir örnek üzerinden Fermat’ın yöntemini size göstereceğim:

Diyelim ki, elimizde a uzunluğunda bir düz çizgi olsun:

Amacım, bu çizgi üzerinde bir nokta bulmak. Bu nokta çizgiyi öyle iki parçaya ayırmalı ki, parçaların uzunluklarının çarpımları en büyük (maksimum) olsun.

Diyelim ki parçaların uzunluklarından biri x olsun. O halde diğer parçanın uzunluğu a-x olur:

Cevap ise bu ikisinin çarpımıdır:

x . (a-x)

ax – x²

Peki bu x uzunluğunu nasıl bulabiliriz?

Bu noktada Fermat, harikulade bir yöntem keşfetmiştir. Fermat der ki, x uzunluğunu e kadar artıralım:

Fakat e, o kadar küçük olsun ki, biz onu sıfır olarak kabul edebilelim. Bir diğer deyişle e sayısı sonsuz küçüklükte olsun. Şimdi ax – x² ifadesinde x gördüğümüz yere artık x+e yazabiliriz:

a(x+e) – (x+e)²

İfadeyi açalım:

ax + ea – x² – 2xe – e²

Yani

ax – x² = ax + ea – x² – 2xe – e²

olur. Buradan da

ea = 2xe – e²

çıkar. Her ifadeyi e’ye bölersek geriye

a = 2x – e

sonucu kalır. Fermat bize en başta e’nin 0’a çok yakın olduğunu ve onu 0 kabul edebileceğimizi söylemişti. O halde

a = 2x

olur. Yani a çizgisi 2x uzunluktadır. O halde bu düz çizgi tam orta noktasından iki parçaya ayrılırsa, parçaların uzunlukları çarpımı maksimum olur.

Son Yılları

Descartes ile aralarında geçen olayın geride kalmasıyla birlikte Blaise Pascal ve Christiaan Huygens gibi önemli bilim insanlarıyla tekrar matematik yazışmalarına başlayan Fermat, bugün Pascal ile birlikte olasılık teorisinin kurucularından biri olarak anılır.

Fermat, sayı teorisinde zamanının çok ilerisindeydi. 17. yüzyılda neredeyse tek başına uğraş verdiği konular ölümünden çok sonra modern sayı teorisinde kendine yer bulmuştu. Tüm başarılarına rağmen bence Fermat’ı özetleyen unvan şudur: Tarihin en büyük amatör matematikçisi.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Yedi Bilgenin Matematikçisi

Thales

Doğum: M.Ö. 624 (tahmini), Milet (Aydın’ın Didim ilçesi)

Ölüm: M. Ö. 547 (tahmini), Milet

Thales teoremi: Yarım çember üzerinde alınan bir noktadan, çemberin çapı hipotenüs olacak şekilde çizilen bir üçgende çember üzerindeki noktanın açısı 90 derecedir.

Lisede geometriden aşina olduğunuz bu teorem ile bilinen Thales, bir teoreme sığamayacak kadar büyük bir bilim insanıydı. İşin garibi, Thales’in bu teoremi büyük ihtimalle bulmamış olmasıdır. Peki, bilmemiz gereken Thales kimdir?

Thales, Yunanistan’ın yedi bilgesinden biri olmakla birlikte tarihte bilinen ilk doğal filozoftur.

Yunanistan’ın yedi bilgesi: Thales, Pittacus, Bias, Solon, Cleobulus, Myson ve Chilan’dan oluşan gruptur.

Doğal filozoftan kastedilen Thales’in birden çok bilim dalıyla (matematik, mühendislik ve astronomi ile) ilgilenmiş olmasıdır. Thales’in günümüze kalan yazılı herhangi bir çalışması yoktur. Onun hakkında bildiklerimiz ölümünden çok sonraları başkaları tarafından yazılmıştır. Bu da Thales ile ilgili bir dolu efsanenin ortaya çıkmasına neden olmuştur.

Söylentilere göre Thales, gençliğinde Mısır’ı ziyaret etmişti. Zamanın Mısır’ında geometri başta olmak üzere matematik ve mühendislik bilinen dünyanın zirvesindeydi. İşte Thales burada kendini matematik ve mühendislikte geliştirmiş ve beraberinde Yunanistan’a yeni geometri bilgileri götürmüştü. Yine söylentilere göre Thales Mısır’da bulunduğu sırada harikulade zekâsını kullanarak Piramitlerin boyunu, onların gölgesine bakarak hesaplamıştı.

Güneş ışınlarının yere 45 derecelik açıyla geldiği durumlarda herhangi bir cismin boyu, gölgesinin boyuna eşit olur. Thales’in kullandığı yöntemlerden birinin de bu olduğu iddia edilir.

Bir başka efsaneye göre astronomi çalışmaları da yapan Thales M.Ö. 585’te Güneş tutulması olacağını “tahmin etmişti”. Thales’in zamanında Ay tutulmasının zamanını doğru tahmin eden kişilerin olduğu bilinen bir gerçek. Ama Ay tutulması her yerden görünebilirken Güneş tutulmasının Dünya üzerinde sadece belli yerleri etkiliyor olması, olayın gerçekleşeceği tarih hakkında bir hesap yapmayı o zamanın astronomi ve matematik bilgisiyle neredeyse imkansız kılıyordu. Bugün bu olayın kesinliği üzerinde hâlâ soru işaretleri bulunmakla birlikte Thales’in büyük ihtimalle sadece bir tahmin yürüttüğü düşünülür.

Thales’in Güneş tutulmasının ne zaman olacağını bilecek (ya da tahmin edecek) kadar olağanüstü bir zekâya sahip olması bazılarına göre normal karşılanıyor. Sonuçta Thales Yunanistan’ın yedi bilgesinden biri olarak biliniyordu. Hatta Sokrates’in belirttiği üzere Thales bu prestijli grupta bulunan tek doğal filozoftu.

Kimi araştırmacılara göre Thales herşeyin sudan geldiğini düşünüyordu. Ona göre Dünya düz bir disk şeklindeydi ve sonsuz bir okyanusun üzerinde duruyordu. Meydana gelen depremler Dünya’nın bu okyanus üzerindeki hareketlerinden kaynaklıydı. Thales’in bu düşünceleri çok önemliydi, çünkü tarihte ilk defa dünyamız ve evren için doğaüstü hikayeler değil rasyonel sayılabilecek bir fikir ortaya konmuştu.

Matematik Atölyesi – Geometri #13

Kurabiye Pişirmek

Canınız çikolata parçacıklı kurabiye istedi ve bolca pişirmesi için annenizi ikna etmeye çalışıyorsunuz. Sonunda bir anlaşmaya vardınız: Sadece bir tepsi kurabiye yapılacak fakat kurabiyeleri tepsiye siz dizeceksiniz. Kurabiyeler üst üste gelmemeli ve düzgün geometrik şekle sahip olmalı. Yani tüm kurabiyeler aynı şekle sahip olmalı ve her bir kurabiye tam olmalı. Yarım kurabiyeye yer yok!

Sonuçta ne kadar çok kurabiye dizerseniz yemek için o kadar çok kurabiyeniz olacak.

Fırın tepsisinin boyutları 46,5’e 37,5 cm. Bir kurabiyenin çapı ise 5 cm.

Soru: Bu tepsiye düzgün şekilde kaç tane kurabiye sığdırabilirsiniz?

Bal Peteği

Kurabiye sorusunun cevabına bakmadan önce biraz bal yapımından bahsetmeliyim. Bal arıları matematiği muhteşem bir şekilde kullanır. Bal petekleri de onların geometrik şaheseridir.

Peki bal arıları neden bal peteklerini tam olarak bu şekilde (yani altıgen şeklinde) inşa eder?

Bal arıları bal biriktirmek için ufak depolara ihtiyaç duyar. Bu depoları şimdilik iki boyutlu gibi düşünün. Böylece bal arılarının problemi düz bir kağıdın hangi geometrik şekille döşenmesi gerektiğine döner.

Arının Sorumluluğu: “Düz bir kağıdı tek bir düzgün geometrik şekille kaplayacağım fakat bunu yaparken en az çizgiyle en büyük alanı yaratmam gerekiyor.”

Üç Düzgün Şekil

Sadece üç düzgün geometrik şekil bir kağıdı boşluksuz döşeyebilir: Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen.

bad tessellates — Yedigen, sekizgen ve dokuzgen için durum böyledir. Diğer çokgenleri kontrol edebilirsiniz. Hiçbiri boşluksuz döşeme yapamayacaktır.

Biz kareden başlayalım. Diyelim ki bal arısı kağıdın tamamını bir kenarı 2 birim olan karelerle dolduracak. Böyle bir karenin alanı 4 birim kare iken çevresi 8 birimdir.

Aynı alana sahip eşkenar üçgenin bir kenarı 3 birimden biraz fazladır. Bu da üçgenin çevresinin 9 birimden fazla olduğu anlamına gelir. Yani bir kağıda kare döşemek üçgen döşemekten çok daha iyidir.

Sırada altıgen var. Alanı 4 birim kare olan düzgün altıgenin çevresi 7,45 birim yapar ki bu sonuç hem eşkenar üçgenin hem de karenin çevresinden daha küçüktür. Bu nedenle bal arısı düz kağıda döşeme işlemini düzgün altıgen ile yapar.

Çemberden Altıgene

Bilim insanları günümüzde hala bal peteğinin yapımını inceliyor. Bal arılarının bu muazzam yapıları oluştururken iki şekilden birini tercih ettiği düşünülüyor: Çember veya düzgün altıgen. Bir teoriye göre bal arıları çevre uzunluğu düzgün altıgenden çok daha az olan çemberi kullanıyor ve zamanla bu çemberler bizim gördüğümüz peteklerdeki düzgün altıgenlere dönüşüyor.

Çemberlerden düzgün altıgenlere aşağıdaki şekilde ulaşılabilir:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Kurabiye sorusunun çözümü çember-düzgün altıgen ilişkisinde saklıdır. Bu bilgi ışığında kaç tane kurabiye yapılabileceğini bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sayılar #9

Sihir

Matematiğin sayılar kısmında daha iyi olmak için kimine gereksiz görülen sorularla uğraşmak büyük fayda sağlar. Aslında bu tür soruların gereksiz diye tanımlanması kişinin sorudan korkmasından kaynaklanır.

Kişinin hissettiği şey bilmediğiniz bir sokak, cadde, şehir veya ülkede bulunmak gibidir. Konfor alanından uzaktır ve denemediği sürece kendi evi, sokağı, şehri, ülkesindeki kadar rahat hissedemeyecektir. Karşısına gelen bir soruyu gereksiz diye adlandırmak kişinin yaşadığı matematik korkusunun farklı bir şekilde dışa vurumudur.

O halde matematikte daha iyi olabilmek için şartlardan biri denemek/uğraşmaktır. Böylece kendi yönteminizi bulabilir, insanların şaşıracağı şeyleri başarabilirsiniz. Üzerinde durmam gereken bir nokta daha var: Eğer bir sihirbazın ne yaptığı çok açıksa o şovu bir daha kimse izlemek istemez. Sihir; başkaları yaptığınızı anlamadığında güzeldir.

Eşit Toplamlar

Elimizde 1 ile 50 arasında bulunan ve birbirinden farklı on sayı olsun. Bu sayıları beşerli öyle iki gruba ayıralım ki, grupların toplamı birbirine eşit olsun.

Örnek 1: Rastgele sayılarım: 2, 12, 23, 24, 30, 33, 39, 41, 44, 48.

Bu sayıları toplamları birbirine eşit olan iki gruba ayırmam lazım. Her grupta da beş sayı olmalı.

Kısa süre sonra bunu becerebildim. Evet bu rastgele sayılardan iki grup çıkardım ve bu grupların toplamları birbirine eşit oldu:

48+41+33+24+2 = 148 = 44+39+30+23+12

Belki de bu sayıları bilerek seçtiğimi düşündünüz. Bu yüzden arkadaşlarımdan 1-50 arasında on tane sayı seçip bana yazmalarını istedim.

Örnek 2: İlk arkadaşımdan gelen rastgele sayılar: 34, 21, 7, 42, 22, 33, 13, 27, 20, 19.

Bu sayıları da iki eşit gruba ayırabildim. Sonuç aşağıdaki gibi oldu:

34+33+13+20+19 = 119 = 21+22+27+42+7

Örnek 3: Bir başka arkadaşımdan şu sayıları aldım:

3, 9, 13, 19, 21, 27, 36, 33, 39, 45.

Örnek 4: Son örneğimi bir üniversite arkadaşımdan aldığım on sayı oluşturuyor:

7, 10, 11, 14, 21, 23, 30, 33, 43, 49.

Henüz ilk bakışta üçüncü ve dördüncü örnekteki istenilenin yapılamayacağını anladım. Yani bu sayılar toplamları birbirine eşit olan beşerli iki gruba ayrılamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İlk iki örneği nasıl yaptığımı bilerek açıklamadım. Sizce nasıl bir yöntem izlemiş olabilirim?
Peki ama nasıl oldu da üçüncü ve dördüncü örnekteki sayılarla ilgili sonucumu sadece saniyeler içerisinde verebildim?

İpucu: Sayıların kaç tanesinin tek veya çift olduğuna dikkat edin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #2

Bu Hangi Şekil?

Uzun süredir bu günü bekliyordum: Uzaylılar tarafından kaçırıldım! Evet, tarafından!

Neyse ki uzaylılar Türkçe biliyor. En sevdikleri içecek Rize çayı. İnce belli bardakta açık bir çay verdiler. Sakinleşmeye başladığımı gördüklerinde liderleri bana seslendi:

-Dünyalı! Üzerinde deneyler yapmak için seni kaçırdık ama sana karşı adil olmak istiyoruz. Çayını bitirdikten sonra gözlerini bağlayacağız ve seni rastgele bir gök cismine bırakacağız. Eğer üzerinde olacağın bu gök cisminin hangi şekilde olduğunu bilirsen seni evine geri götüreceğiz.

Kristof Kolomb Yöntemi

Gök cismine bırakıldım. Uzay gemisi üzerimde; beni izliyorlar. Düşün Serkan, düşüün! A, evet buldum galiba. Eğer Kolomb gibi yapıp sürekli aynı yöne doğru ilerlersem, yuvarlak bir gezegende isem, başladığım yere dönmem gerekir.

Uzaylılardan sprey istedim. Böylece yolumu işaretleyip başladığım yere varıp varmadığımı görebileceğim. Günler, haftalar geçti ve sonunda başladığım yere vardım!

Demek ki bu gezegen tıpkı evim Dünya gibi küreye veya topa benzer bir şekilde. Cevabımı hazırladım ve uzaylılarla konuşmaya gidiyorum. Fakat… Aklıma bir şüphe düştü. Ya bu gezegen bir simit şeklindeyse?! Sonuçta simit de yuvarlak bir şekle sahip.

Çünkü eğer simit şeklindeyse ve ben de simidin bir tarafında düz ilerledi isem, başladığım yere dönmem normal. İzlediğim yol yuvarlaklığı gösteriyor ama ya simit gibi ortası boş bir şeklin üzerinde isem?!

Ne yapacağım şimdi?

Topun mu üzerindeyim? Yoksa simidin mi?

Top şekli derken illa pürüzsüz yüzeyi olan harika bir şekilden bahsetmiyorum. Resimdeki gibi de olabilir.

Sizin İçin Yeni Bir Matematik

Aslında bu soru, topolojinin klasik sorularından biridir. Peki topoloji nedir?

Size şu ana dek Euler’in iki önemli buluşundan bahsettim: Euler’in çokyüzlüler formülü ve Euler’in Königsberg köprüsü problemi çözümü.

Euler’in Königsberg çözümü, 150 yıl sonra çizge teorisi isminde yeni bir matematik alanının ortaya çıkmasına neden olmuştu. Euler’in çokyüzlüler formülü ise çizge teorisinin alt dalı olduğu topoloji isimli matematik branşının çıkışına önemli bir etkide bulunmuştu.

Topoloji:

Yunanca’dan türetilmiştir. Topos (Yer/Yüzey/Uzay) + Lopos (Bilim).
Lastik levha geometrisi olarak bilinir.

Öklid Geometrisi vs. Topoloji

Öklid geometrisinde objeleri döndürebilir ve ters çevirebiliriz. Fakat germek, uzatmak veya bükmek gibi şeyleri yapamayız. Bunları yaptığımız anda uğraştığımız objenin özellikleri değişir.
Topolojide ise bir obje gerilip büküldüğünde objenin özelliklerinde bir değişme olmaz. Fakat kesmek, delmek veya ekleme yapmak topolojide objelerin özelliklerini değiştirir.
Öklid geometrisinde uzunluk ve açılar önemlidir.
Topolojideyse bunların bir önemi yoktur.
Bu yüzden Öklid geometrisinde bir kare ile bir üçgen farklı özelliklere sahipken, topolojide her iki şekil de aynı kabul edilir.

En Popüler Örnek

Uzunluk ve açıların önemli olmaması ilk başta anlamsız gelebilir. Halbuki günlük yaşamımızda önemli yer kaplayan bir örnek topolojiyi zaten hepimizin bilip kullandığını gösteriyor.

Toplu taşıma araçlarında, özellikle metro ve tramvaylarda durakları gösteren haritalar bulunur. Bu haritalara bakarken duraklar arasındaki mesafeleri veya hangi durağın daha büyük olduğunu bilemeyiz. Çünkü tüm duraklar noktalarla gösterilip birbirlerine çizgilerle bağlanmıştır.

İstanbul’da Taksim metro durağındasınız ve Levent yönüne doğru vagona bindiniz. Kaç durak sonra ineceğinizi öğrenmek için kapının üzerine doğru baktınız:

Görüldüğü üzere tüm durak isimleri noktalarla gösterilirken duraklar arası mesafeler de aynı bırakılmış. Gerçekteyse örneğin Taksim-Osmanbey arasıyla Levent-4.Levent arası mesafe aynı değildir.

İpucu: Bu Hangi Şekil?

Fark etmiş olmalısınız: Soru aslında gezegenin topolojik özelliğiyle ilgili. O halde oyun hamuru gibi bir materyal ile soruyu çözebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #9

Pi’yi Bulmak

İnsanlar yaklaşık 4000 yıl önce herhangi bir çember ile çemberin içinden geçen en uzun doğru parça (ya da nam-ı diğer çap) arasında bir bağlantı olduğunu keşfetmişti. Pi sayısı ismini verdiğimiz bu bağlantı ilk keşfedildiği andan itibaren matematik ve mühendislikle uğraşan herkesi etkisi altına almıştı.

Bu bağlantının tam olarak hangi sayı olduğunu, en azından yakın değerini bulmaya çalışanlar arasında aşina olduğumuz önemli tarihi figürler de yer alıyordu. Bunlardan biri antik Yunan Arşimet idi.

Arşimet öncesi pi sayısıyla ilgili değer bulma çalışmaları hep tek düzeydi: Belli bir çemberin alanını veya çevresini ona benzer bir çokgen ile karşılaştır. Buna gösterilen en popüler örneğe bir göz atalım:

Bir çember çizin ve onu 12 eşit parçaya ayırın.

Parçalardan birini ortadan ikiye bölün ve tüm parçaları kesip yan yana dizin.

Karşılaşılan şekil bir dikdörtgene benzer. O halde bu dikdörtgenle başta çizdiğimiz çember aynı kabul edilebilir.

Çemberin çevresi yarıçap ile pi’nin iki katı alınarak bulunur. Çizilen dikdörtgende çevre alt ve üst kenarların toplamıdır. Buradan pi sayısı için aşağıdaki yakınsak sonuç bulunur.

Aynı işlemi farklı çapı olan çemberle deneyince aşağıdaki sonucu buldum.

Bulduğum sonuçların ortalamasını alırsam pi için kendi yakınsak değerimi bulmuş olurum.

Arşimet’in Yakınsak Değeri

Kendisinden önceki yöntemlerle mühendislik harikaları yapılmasına rağmen bulunan değerlerden memnun olmayan Arşimet kendi yöntemini bulmuştu. Bu tekrarlayan bir yöntemdi. Arşimet bir çemberin içine ve dışına bir çokgen yerleştirip zamanla çokgenin kenar sayısını arttırarak çembere en yakın şekli bulmaya çalışmıştı.

Yani Arşimet’in gördüğü ilk çokgeni yakınsak değer bulmak için kullanmamıştı. O, en doğru çokgeni bulana dek sürekli denemişti. Arşimet’in bu yöntemine “tüketme metodu” denir. Tüketme metodu kalkülüsün bilinen en eski örneğidir.

Arşimet’in yöntemini denemek isterseniz başlangıç noktanız bu olabilir. Birim çemberin içine ve dışına birer kare yerleştirin. Pi’nin değeri 2,8 ile 4 arasında bir yerde olacak. Arşimet’in yakınsak değerinin bir başka özelliği de buydu: Pi için tek bir değer değil de, hangi değerler arasında olduğunu bulmuştu.

Onun orijinal yöntemi altıgen ile başlamış, 96-kenarlı ile bitmişti. Bir çemberin içine ve dışına yerleştirdiği 96-genler sayesinde Arşimet şu harikulade sonuca ulaşmıştı:

Küçükken okulda pi için kullandığınız 22/7 değeri aslında Arşimet’in bulduğu pi değerinin üst sınırıdır.

Bu aralığın ortası 3,14185 eder ki bu değer pi’ye %99,9’u kadar yakındır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #8

Noktalı X-O-X

İki oyuncu karşılıklı x-o-x oyununun biraz farklı bir versiyonunu oynar.

Kurallar:

Oyuncular sırayla zar atar.
Boşluklara atılan zarda gelen sayı kadar nokta konulur.
Her boşluğun kapasitesi 9’dur.
Konulacak nokta sayısı kapasiteyi aşamaz. Bu durumda başka bir kareye oynanmalıdır.
Amaç yukarıdan aşağı, sağdan sola veya diyagonal bir şekilde üç kareyi doldurmaktır.

Oyunun güzelliği karşınızdaki oyunucunun hem rakibiniz hem de yardımcınız olmasıdır.

Örnek Oyun

Sırasıyla ilk üç zardan 5, 6 ve 3 geliyor:

Dördüncü zar 1 geliyor ve ilk kare tamamen dolduruluyor.

Daha sonra sırayla 5-5-6-4 zarları geliyor ve ikinci kare de dolduruluyor.

Oyunun devamı aşağıdaki gibi gelişiyor ve kazanan belirleniyor.

İkili X-O-X

Oyunun bu versiyonunda zar yerine madeni para kullanılır. Oyuncular sırayla parayı atar.

Tura: 1

Yazı: 0

Kurallar:

Oyunun isminde geçen “ikili” kelimesi oyunun iki tabanlı sayı sisteminde oynandığını gösterir.
Bir kutuya ya tura & yazı (yazı & tura da aynı şeydir) ya da yazı & yazı sığar. Çünkü tura & tura 1+1=2 demektir ve iki tabancı sistemine göre kutularda 0 ya da 1 sayısı olabilir.
Oyun sonsuza dek sürmesin diye her kutu iki sonuç alacak kapasitededir.
Oyunun bu versiyonu bir nevi x-o-x oyununun 1-0-1’e çevrilmiş halidir. En önemli fark oyuncuların 1 ya da 0’ı seçmemesi.
1 ya da 0’lar ile sağdan sola, yukarıdan aşağıya ya da diyagonal üçlü yapılması oyunu kazandırır.

İlkinde olduğu gibi bu oyunda da rakip ile işbirliği yapılır.

Örnek Oyun

Sırasıyla ilk iki atışta da tura geliyor. Bir kareye iki tura sığamayacağı için oyuncular aşağıdaki şekilde oyuna başlıyor:

Oyunun devamı da gösterildiği gibi gidiyor ve galip belirleniyor.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #3

Kirene’li Teodorus

Günümüzün Libya’sında kalan antik Kirene kenti MÖ. 5. yüzyıl civarında Yunanların kontrolü altındaydı. Burada doğan Teodorus (MÖ 465 – MÖ 398) hakkında bildiklerimiz Platon’un hocası olduğuyla Sokrates ile tanışıp bir süre için Atina’ya gitmiş olduğundan ibaret.

Platon’a göre Teodorus irrasyonel sayılarla önemli harikulade çalışmalar yapmıştı. Daha önce antik Yunan bilim insanlarının sayıları uzunluk olarak düşünmüş olduğundan bahsetmiştim. Pisagorcular tüm sayıların rasyonel (mantıklı/iki tam sayının birbirine bölümü) olduğunu iddia etmişti. Fakat ne ilginçtir ki Pisagor teoremi diye adlandırdığımız geometrik bilgi, Pisagorcuların iddiasını çürütmüş ve rasyonel olmayan sayıların da var olduğunu göstermişti.

Teodorus da bir Pisagorcu idi ve doğal olarak sayı teoremi ile ilgilenmişti. Yine Platon sayesinde biliyoruz ki Teodorus 2, 3, 5, … gibi sayıların kare köklerinin rasyonel olmadığını ispat etmişti.

Bu yazının konusu Teodorus’un Spirali diye bilinen ve içinde inanılmaz bilgiler barındıran basit ama bir o kadar da gizemli bir geometrik şekildir.

Teodorus’un Spirali

Aynı zamanda “Einstein Spirali”, “Pi Spirali”, “Kare Kök Spirali” isimleriyle bilinen spiral, Pisagor teoremini bilen herkes tarafından oluşturulabilir.

Öncelikle dik kenarları 1’er birim uzunlukta olan bir ikizkenar dik üçgen çizin. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun Pisagor teoremi sayesinde √2 birim olduğunu biliyoruz.

Daha sonra bir önceki üçgenin hipotenüsü olan √2 birimlik kenara dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilerek yeni bir dik üçgen oluşturulur. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu (yine Pisagor teoreminden) √3 birim olur.

Bu sefer √3 birim uzunluğuna dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilir ve yeni bir dik üçgen daha yaratılmış olur. Bu dik üçgenin hipotenüsü √4 birimdir.

Teodorus bu yöntemi √17 birim uzunluğunda bir doğru parçası bulana dek devam ettirmiştir. Oluşan şekil görüldüğü üzere bir spiraldir.

Teodorus’un neden √17’de durduğunu kesin olarak bilemiyoruz. Oluşan şeklin √17’den sonra üst üste bindiğini gördüğü için durmuş olması en kuvvetli ihtimal.

Spiral Gibisi Yok

Peki Teodorus’un spiralinin ne özelliği var?

Hipotenüs uzunluklarına bakıldığında tam kare olanlar hariç kalan uzunlukların tamamı irrasyoneldir. Tam kare olanlar √1, √4, √16, √25 … diye devam eder.
Spiral sonsuza dek uzatıldığında dahi (yani sürekli yeni üçgenler eklendiğinde) herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.
Çok yakın olanlar varsa da herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.
Yeni üçgenler ekleyip spiral büyütüldüğünde, spiral kolları arasındaki boşluğun uzunluğu π sayısına yakınsar.
30 tane üçgenle 3,1 cm’ye geldim. Eğer sabırla üçgen eklemeye devam etseydim π’ye daha da yakın olurdum.
Peşi sıra gelen iki tam kare uzunluklu hipotenüs arasındaki açı 360/π dereceye yakınsar. 360/π = 114,591559026… yapar. Benim çizimim henüz ilk üç tam kare sayıdayken bile gerçekten bu değere çok yakın çıktı. Şanslıydım.

Katil Eğri

Sıra Teodorus’un spiraliyle ilgili en sevdiğim özelliğe geldi. Spirali oluşturan üçgenleri kesip çıkaralım ve koordinat düzleminde yan yana dizelim.

Üçgenlerin uç noktalarını birleştirince karşımıza y=√x eğrisi çıkar. Eğer irrasyonel sayılara katil sayılar diyorsam, bu eğriye de katil eğri demem gerekir.

Bir de GeoGebra isimli programla çizmeyi denedim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İlk üçgeni şekildeki gibi alıp Teodorus’un yöntemini aynen uygulayın.

Teodorus’un spiraline göre neler daha farklı? Ne gibi yenilikler görüyorsunuz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Oyun #2

Problem çözme becerisini (benim her ne kadar hoşuma gitseler de) yaş-havuz-işçi vb. problemlerle kazandırmaya çalışıyoruz. Bu anlayış maalesef öğrencilerin sadece sonuca odaklanmasına ve neredeyse hiç düşünmeden hareket etmesine yol açıyor. Bunu vurgulamaya devam edeceğim: Matematik öğrenmek için düşünmek farzdır.

Karşılaştığı 100 yaş probleminin tamamını çözen bir öğrenciyle ilgili kesin olarak bilinen iki şey vardır; bu öğrenci harikulade bir taklit refleksine ve aritmetik yapma kabiliyetine sahiptir.

Taklit etmek bir noktaya kadar büyük yarar sağlasa da, orijinal bir problemle karşılaşıldığında çözüm yolu üretmenize yardımcı olamaz.

Boşluk Yarışı

Strateji geliştirmek; problem çözme yetisini doğrudan olumlu bir şekilde etkiler. Bunun için en başta aritmetiği bir kenara bırakıp düşünmeyi ve strateji geliştirmeyi ön plana çıkaran sorularla uğraşmak gerekir.

Bu tür oyunların&soruların matematikle bir alakası yokmuş gibi görünse de aslında ilişki tahmin edemeyeceğiniz kadar yakındır. Bir matematik sorusunun cevabı gayet tabii ki bir paragraf olabilir.

İki kişilik bu oyun için kağıt ve kalemden başka bir şeye ihtiyacınız yok. Oyuncular en son iki kutu boş kalana dek sırayla X işareti koyar. İlk oyuncu sona kalan kareler yan yanaysa oyunu kazanır, değilse oyunu ikinci oyuncu kazanmış olur.

Oyunla ilgili düşünülecek çok şey var:

İlk başlayan olmak avantaj sağlar mı?
Kare sayısı önemli mi?
Sırayla bir yerine ikişer X koymak oyunu nasıl etkiler?
İlk oyuncunun kazanma şansını artırmak için izleyebileceği bir strateji var mıdır?
İkinci oyuncunun kazanma şansını artırmak için izleyebileceği bir strateji var mıdır?
Belli hamle sayısından sonra oyunu kimin kazanacağını tahmin etmek mümkün müdür?

Örnek

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Oyun #1

Sayı Çemberi

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Dünyanın birçok ülkesinde basamak sistemi, ya da diğer deyişle on tabanlı sayı sistemi, yukarıdaki sembollerle gösterilir. Bu, o kadar harika bir sistemdir ki, semboller değişse bile on rakamdan oluşan sayı sistemi dünyanın her yerinde aynıdır. Yani sistem uluslararasıdır.

On tabanlı sayı sisteminde sayıları yazmayı, onlarla işlem yapmayı bilmek her insanın vazifesidir. Çünkü sayıları ve onların ne ifade ettiğini anlamadan modern hayatta bir günü tamamlamak imkansızdır.

2125555555 size ne çağrıştırıyor?

Peki ya 212 555 55 55?

Aynı şeyi yazarken sadece araya boşluklar koymak dahi bize çok başka bir anlam ifade ediyor. 2125555555 herhangi bir sayı olabilecekken, hemen herkes 212 555 55 55’i ilk görüşte bir telefon numarasına benzetir.

Hayatımız için bu kadar önemli bir yer teşkil eden sayıları daha iyi anlayabilmeleri için çocuklara bazı oyunlar oynatılabilir.

Sayı çemberi oyunu da bu amaçla yaratılmış bir oyundur. Bu oyunda gereken tek şey boş bir kağıt ve kalemdir.

Oyunun birçok farklı versiyonu yapılabilir.

Sayı Çemberi 1.0.0

Bir kağıda çember çizilir.
Çemberin üzerine 4 adet kutu yerleştirilir.
Bu kutuların içine 0, 1, 2, 3 rakamlarından biri oyuncu tarafından sırayla yazılır.
Amaç komşu olan kutulardaki rakamların farkının tek sayı olmasıdır.

Örnek

Sayı Çemberi 1.0.1

Bir çember üzerine yine 4 adet kutu çizilir.
Bu sefer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kutulara yazılacaktır.
Oyuncuya zorluk çıkarmak için başlangıçta rakamlardan ikisi kutulara yazılır.
Rakamların hepsini yazmak için toplam 10 adet kutuya ihtiyaç olduğundan, oyuncu ihtiyaç duyduğu yerde çembere yeni bir kutu ekleyebilir.
Amaç yine komşu kutuların farkının tek olmasıdır.

Örnek

4 ve 7 rakamları şekildeki gibi yerleştirilsin.

Oyuncu bu durumda boş kutulara ne yazılırsa yazılsın kuralın bozulacağını fark eder. Eğer alttaki kutuya 5 rakamını yazsa, 5-4=1 tek olmasına rağmen 7-5=2 çift çıkar. Bunu engellemek için oyuncu kutu/kutular eklemek zorundadır. Oyuncunun stratejisi adım adım aşağıda gösterildiği şekilde ilerleyebilir.

Sayı Çemberi 2.0.0

Çember üzerinde 5 kutu varken 1, 3, 5, 8, 9 rakamları ile çember oluşturulabilir mi?

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Sayı çemberi oyununun farklı versiyonlarına Sayı Çemberi 1.0.0, Sayı Çemberi 1.0.1 ve Sayı Çemberi 2.0.0 isimlerini vermiştim. Bu sayılar neyi ifade ediyor? Sayı Çemberi 2.0.1 nasıl olabilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu