Real Mathematics – Special Numbers #2

Sieve of Eratosthenes

Eratosthenes (whenever I write his name, I can’t stop thinking about a nice and crusty toast) was not only a one-job man: He did not only measure the circumference of Earth, he also contributed to various fields, mathematics in particular. Ancient Greek philosophers dealt with geometry a lot which led to a misunderstanding as if they didn’t work for other branches of mathematics. Reality shows us that lots of Greek philosophers worked for mathematics in a broader aspect. Eratosthenes was one of them and he discovered an ingenious method for finding prime numbers.

Today that method is known as the Sieve of Eratosthenes. This method is really easy to learn and very affective for finding prime numbers in a list. But method is rather slow and takes too much time in larger number lists.

Let me show you how Eratosthenes’ method works between numbers 2 and 100. (I am skipping 1. I’ll be talking about 1 and why it is not considered as prime in another article.)

Thus we start with the number 2, which is the smallest prime number. Here is how the method goes:

• Move in the list until you find a prime number.
• When you find your prime, stop there and square it.
• Go to the square of the prime in the list, and eliminate all the numbers that are multiples of the prime.
• When you finish eliminating, go to your prime in the list and move until you find your next prime number.
• Repeat the same process until there are only primes left in the list.

Example: Let’s do it for 2-100.

2 is prime. Square it: 4. Start eliminating all numbers that are multiples of 2.

Go back to 2. Move to the next number, which is 3. It is prime. Square it: 9. Go to 9 and start eliminating all the numbers that are multiples of 3.

Go back to 3. Move to the next number; 4. It had been eliminated already, thus move to 5 which is a prime number. Square it: 25. Start from 25 and eliminate all the numbers that are multiples of 5.

Go back to 5. Move to the next available number which is 7 and it is a prime number. Square it: 49. Start from 49 and eliminate all the numbers that are multiples of 7.

Go back to 7 and move to the next available number which is 11. It is prime, thus square it: 121. 121 is out of our list. This means every available in our list is a prime number.

New In the Olympics: Walking the Square

Game 1:

• Draw a circle and place eight dots on it.
• You will walk around the circle from the dot that is on top. You’ll take 1 step each time you move, that means you will be moving to the neighbor dot.
• You’d visit every dot with this method until you finish your walk.

Game 2:

• Again start with the same circle and eight dots on it.
• This time you will take 2 steps in each time. That means always move to the second dot.
• When you finish your walk, you’ll see that you visited only half of the dots.

Game 3-4-5-6-7:

Try walking with 3, 4, 5, 6 and 7 steps.

One wonders…

In which steps you would visit all the dots? Do you see anything special about those numbers of steps?

Can you find a general conclusion from this game?

What would you see if you play the same game for 9, 10 and 11 dots?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #2

Eratosthenes Kalburu

Eratosthenes (kabul etmeliyim ki ismini her andığımda “tost” yapmak istiyorum) Dünya’nın çevresini ölçerken bir yandan da matematikle uğraşmıştı. Aslında antik Yunan bilim insanları matematiğin en köklü dalı olan sayı teorisiyle tahmin edildiğinden daha fazla uğraşmıştı. Örneğin geometri konularında sürekli adını zikrettiğim Öklid’in yazdığı Elementler aslında içerisinde sayı teorisiyle ilgili çok önemli bilgiler barındırır.

Eratosthenes, sanki yaptıkları yetmezmiş gibi, asal sayıları belirlemek için bir yöntem icat etmişti. Eratosthenes Kalburu ismi verilen bu yöntemi öğrenmek çok basittir. Fakat yöntem biraz ağır ilerler ve uygulaması sabır gerektirir.

2’den 100’e kadar olan sayılardan hangilerinin asal olduğunu Eratosthenes’in yöntemiyle gösterelim. (Neden 1’i hesaba katmadığımız başka bir yazının konusu.)

Sayı listesinin en başından başlanır. 2, en küçük asal sayıdır. Yöntem şöyle ilerler:

1. Bir asal sayı bulana dek listede ilerle.
2. Bir asal sayıyla karşılaşınca dur ve onun karesini al.
3. Listede asal sayının karesine git ve oradan itibaren asal sayının katı olan sayıları listeden ele.

2’den sonra gelen sayılardan 2’nin karesi 4 yapar. 4 sayısından başlayarak listede 2’nin katı olan tüm sayıları eliyorum. Geriye kalan liste şudur:

Şimdi sıradaki sayı 3. Bu da bir asal sayıdır. O halde 3’ün karesi olan 9’dan itibaren 3’ün katı olan diğer tüm sayılar listeden elenir.

Bir sonraki sayı olan 4 elenmiştir. (2’nin katı olduğu için) 4 atlanır ve elenmeyen sayılardan ilk gelene bakılır: 5. 5’in karesi 25’den itibaren 5’in katları listeden elenir.

Sonraki asal 7’dir. 7*7=49. O halde 49’dan itibaren 7’nin katları listeden elenir.

Bir sonraki asal sayı 11’dir. 11’in karesi 121 yapar ki bu sayı listenin dışında kalır. O halde listede elenmemiş olan sayıların hepsi asaldır.

Olimpiyatlarda Yeni Bir Oyun: Çemberde Yürüyüş

Oyun 1:

• Bir çember çizin ve çemberin üzerine eşit aralıklarla 8 tane nokta koyun.
• Tepeden başlayarak noktalar arasında adım atacaksınız. Önce bir noktalık adımlarla başlayın. Yani her adımınız sizi komşu noktaya götürsün.
• Bu yöntemle tüm noktalara uğramış oldunuz.

Oyun 2:

• Çemberin üzerinde yine 8 nokta ile başlayın.
• Bu sefer başlangıçtan itibaren birer nokta atlayarak yürüyün. Yanı adım büyüklüğünüz 2 olsun.
• Bu yöntemle noktaların sadece yarısına ulaşılabildiğini görebilirsiniz.

Oyun 3-4-5-6-7:

Aynı çemberde adım sayısını sırayla 3, 4, 5, 6 ve 7 yapın.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

1. Kaç adımlık yürüyüşlerde tüm noktaları gezmiş oldunuz? Bu adım sayıları neye benziyor?
2. Buradan genel bir kanıya varabilir misiniz?
3. Nokta sayısını 9, 10, 11 yapınca karşınıza ne çıkıyor?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Strange Worlds #4

Orange Season

I like using oranges for mathematics because I think they taste awesome. Also, its shape is close to Earth’s shape which I believe is a cool resemblance. Even though I’d love to, I can’t take credit for using orange with examples about Earth. It belongs to a deep and important dispute in the history of science.

17th century is known as the century when the modern science was born. Giovanni Cassini, an Italian astronomer was born in this century along with so many other important figures. He is famous with discovering Saturn’s rings and its four big moons. In addition, he went into a big dispute with Isaac Newton, who is known as the father of modern physics. I’ll save Newton’s introduction for another article.

Dispute began with Cassini’s measurements which he did with his son. Those measurements led him to a wrong conclusion. He resulted that Earth is elongated at the poles, like a lemon. On the other hand, Newton had explained that Earth is flattened at the poles, like an orange. This was a result Newton reached after his gravitational laws. Unfortunately for Newton, Cassini openly rejected Newton’s gravitation laws which made him adopt his stance even harder after the measurements he had for determining the shape of Earth.

This dispute continued for almost forty years until French Geodesy Mission (1736-1744) was completed. Measurements and calculations had proven Newton right: Earth was shaped like an orange.

Finding Circumference

Stick two equal-sized straws on an orange.

Direct a flash lamp to one of the straws so that it doesn’t have a shadow.

If the distance between those straws is given, is it possible to calculate the circumference of the orange?

Second-Best of Everything

Eratosthenes was born in the ancient city of Cyrene, at around 3rd century BC. He is known as the person who discovered (or invented) geography. There is an interesting take from Thomas Hearth (1861-1940) who was an important historian of mathematics specifically on ancient Greek mathematics: “Eratosthenes was great on every subject of science, but he was never ‘the best’ in one area. You may imagine him like an athlete who competes in every branch of Olympics but comes second in those competitions.”

Even though he founded an important science branch like geography, Eratosthenes is known with calculating the circumference of the Earth almost 2200 years ago. And he did it with a surprising accuracy. But how did he manage it?

Eratosthenes realized on a summer day that he had no shadow at noon in Cyrene. Although at the same time when he tried it in Alexandria he saw a shadow. Eratosthenes believed that Earth was round and Sun is too far away from Earth. He also thought of light rays travel as parallel lines which is why he made an experiment that took place in Cyrene and Alexandria. He observed a tall tower’s shadow in Alexandria when there is no shadow in Cyrene. Eratosthenes measured that the shadow of the tower makes a 7,2-degree angle with its bottom. He also had the distance between two cities measured that enabled him to calculate the circumference of the Earth.

A as Cyrene and B as Alexandria.

Eratosthenes used an ancient Greek measurement called “stadium” in his calculation. Since a stadium means something between 154- 215 meters, we are not 100% sure what his calculation was. In the end, his solution and method was good enough to put him into the highlights of the history of science.

Circumference of the Orange

Now that you know Eratosthenes’ method, could you find the circumference of the orange?

Hint: The angle straw makes is 12 degrees and distance between straws is exactly 1 cm.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #4

Portakal Mevsimi

Yine portakal kullanarak bir deney yapacağız. Portakal, şekil olarak Dünya’nın şekline yakın olmasının yanı sıra tadı sayesinde kanımca en güzel meyvedir. Ama portakal ile Dünya’nın ilişkilendirilmesi bana özgü değil.

Modern bilimin başladığı zaman dilimi olarak bilinen 17. yüzyılda dünyaya gelen İtalyan astronom Giovanni Cassini, yaptığı gözlemlerle bilim tarihinde kendine önemli bir yer elde etmişti. Satürn’ün halkalarını ve dört büyük uydusunu keşfeden kişi olan Cassini, modern fiziğin babası olarak görülen İngiliz Isaac Newton ile Dünya’nın şekli hakkında 40 yılı aşkın bir tartışmaya girmişti.

Cassini 1700’de oğlu ile yaptığı ölçümler sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplara doğru uzun ve ince olduğu gibi yanlış bir izlenim edinmişti. Newton ise kendisine büyük bir ün kazandıran yer çekimi kanunu sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplardan hafif basık olduğunu söylemişti. Cassini, ölçümünü yapmadan önce de Newton’un yer çekimi kanununu reddettiği için bulduğu sonucun doğruluğunu şiddetle savunmuştu.

Tartışmayı sonlandıran olay 1736-1744 yılları arasında yapılan ünlü Fransız Jeodezi Görevi’nin raporuydu. Bu görevde elde edilen sonuçlar Newton’u doğrulamıştı. Portakal seçimini yaparken aklıma hep bu olayı getiririm.

Çevre Bulmak

Bir portakalın üzerine kısa bir aralıkla iki tane kule dikin.

El feneri veya lamba kullanarak kulelerden birinin üzerine dik gelecek şekilde ışık tutun.

Kuleler arasındaki mesafe bilinirse, portakalın çevresi hesap edilebilir mi?

En İyi İkinci

Milattan önce 3. yüzyılda antik Kirene şehrinde doğmuş olan Eratosthenes, coğrafya bilimini başlatan bilim insanı olarak bilinir. Antik Yunan matematiğiyle ilgili çalışmaları bulunan Thomas Heath (1861-1940) Eratosthenes için ilginç bir betimleme yapar: “Eratosthenes birden çok bilim alanında usta sayılan biri olmasına rağmen, hiç bir alanda ‘en iyi’ olmamıştı. Onu tüm olimpiyat yarışmalarına katılan ama hepsini ikinci bitiren bir atlet olarak düşünebilirsiniz.”

Coğrafya gibi çok önemli bir bilim dalını başlatmış olmasına rağmen Eratosthenes’in asıl ünü günümüzden 2200 yıl önce Dünya’nın çevresini hesaplamasından gelir. Eratosthenes’in Dünya’nın çevresi için bulduğu sonuç, bugün bilinen sonuca şaşırtıcı derecede yakındır. Peki bunu nasıl başarmıştı?

Eratosthenes yaşadığı şehir olan Kirene’deyken yaz aylarında belli bir günde hiç gölgesinin olmadığını fark etmişti. Fakat aynı gün aynı saatte İskenderiye kentinde gölgesinin olduğunu gözlemlemişti.

A harfi Kirene’yi, B harfi ise İskenderiye’yi göstersin.

Eratosthenes Güneş’in Dünya’dan çok uzakta olduğunu ve Güneş ışınlarının paralel olarak yol aldığını düşünüyordu. Ayrıca Dünya’nın yuvarlak olduğu fikrine sahip olan Eratosthenes bu yüzden bir yaz gündönümünde Kirene’de gölge sıfırken İskenderiye’de uzun bir kulenin gölgesinin boyutlarını incelemişti

İskenderiye’deki gölgenin kuleye göre 7,2 derecelik bir açı yaptığını ölçen Eratosthenes, İskenderiye ile Kirene arasındaki mesafeyi (5000 stadyum) de bildiği için Dünya’nın çevresini hesaplamıştı.

Eratosthenes’in hesabında kullandığı ölçü birimlerinden tam olarak emin olamasak da, yaptığı hesap ve kullandığı yöntem zamanının ötesindeydi. Bu yüzden binlerce yıl sonra dahi hala yaptığı ölçümden bahsediyoruz.

Portakalın Çevresi

Eratosthenes’in yöntemini bildiğinize göre artık portakalın çevresini bulabilirsiniz.

İpucu: Portakala diktiğim gölgesi olan pipetin yaptığı açı 12 derecedir ve iki pipet arasında tam olarak 1 cm mesafe vardır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Geometri #6

Antik Yunanlardan önce matematik insanlar için hayatiydi. Bu yüzden matematikle ilgili gelişmeler hep gündelik hayatta karşılaşılan problemlere yanıt bulmak içindi. Antik Yunanlar ise matematiği zevk için yapıyordu. Onlar için ortaya attıkları soruların illa gündelik hayatta bir karşılığı olması gerekmiyordu.

Bu sorulardan biri, en zeki antik Yunan bilim insanlarını dahi çaresiz bırakmıştı. Bugün Delos Problemi, veya Küpün Hacmini İki Katına Çıkarmak diye bilinen problemin başlangıcı için iki farklı hikaye vardır. Hangisini daha çok seviyorum diye aralarında bir seçim yapamadığım için her iki hikayeyi de kısaca anlatacağım.

Vebadan Kurtuluş

Bu hikaye İzmirli Theon’a göre Eratosthenes‘in kaybolan bir eserinde yer alıyordu.

Tahmini olarak milattan önce 430 yılında Atina’da bir veba salgını baş göstermişti. Şehri yönetenler büyük bir paniğe yol açan salgını durdurma konusunda çaresiz kalmıştı. Tam bu durum içindeyken Tanrı bir kahin üzerinden vebayı sona erdirmek için insanlara bir görev verir. Söylentiye göre Tanrı şehirde bulunan bir altarın iki katı büyüklüğünde yeni bir altar yapılmasını, ancak bu inşaatın yapılmasıyla veba salgınının son bulacağını emretmişti. (Altar: Adak adanan ve kurban kesilen alan.)

Atinalı bilim insanları en başta kolay görülen bu işi bir türlü becerememişti. Antik Yunanlar geometri konusunda çok başarılıydı ve sadece pergel ile ölçüsüz cetvel kullanarak her şeyi yapabileceklerini düşünüyordu. Fakat uğraşlar sonuç vermiyor, altarın hacminin iki katı olan yeni bir altarın boyutları bulunamıyordu. Sonunda zamanın ünlü ismi Plato’ya danışılmıştı. Plato’ya göre Tanrının bu soruyu göndermesinin nedeni altarın inşa edilmesi değil, Yunanların aslında geometri konusunda ne kadar cahil olduğunu göstermek istemesiydi.

Glafkos’un Mezarı

Bu hikayeyse Arşimet’in kitaplarından birinde yer alır. Buna göre Eratosthenes Yunan kralına bir mektup yazmış ve aşağıdaki durumdan bahsetmişti.

Hikayenin baş kahramanları Zeus ile Europa’nın oğlu olan Minos ve onun oğlu Glafkos’tur. Anlatılana göre Minos, çocuk yaşta kaybettiği oğlu için bir mezar yapılmasını emretmiş, fakat inşa edilen mezarın bir soyluya yakışmayacak derecede küçük olduğunu düşünmüştü. Küp şeklinde yapılan mezarın iki katı büyüklüğe çıkarılmasını isteyen Minos, bunun için her bir kenarın uzunluğunun iki katına getirilmesini emretmişti.

Buradaki sorunu bir küpün hacmini bulmayı bilen herkes kolaylıkla görebilir. Eğer bir küpün her kenarı iki katına çıkarılırsa, küpün hacmi iki değil sekiz katına çıkar. Hikayeye göre ne Minos, ne de emrindeki adamlar sorunu çözememişti.

Çözülemeyen Üç Soru

Herhangi bir küpün hacmini iki katına çıkarma problemi sadece pergel ve cetvel kullanarak çözülemeyen üç problemden biridir. (Diğer iki probleme daha sonra değineceğim.) Bunu ilk ortaya atan Gauss olsa da iddiasını destekleyen bir ispat sunmamıştı. İlk ispat 1837’de Pierre Wantzel’den gelmişti. Yani problemin ortaya çıkışından en az 2250 yıl önce!

Gelin soruyu modern matematik sembolleriyle bir de biz çözmeye çalışalım.

Her bir kenarı 1 birim uzunlukta olan bir küpü ele alalım. Küpün hacmi;

1x1x1 = 1 br3

olur. Bu küpün hacminin iki katı 2 br3‘tür. O halde elde edilmesi gereken şey, hacmi 2 brolan bir küpü çizmektir. Böyle bir küpün bir kenarının uzunluğu;

a= 2

a = 3√2 olur. Yani soruyu çözdük… mü acaba?

Antik Yunanların problemi ellerinde ölçüsüz bir cetvel ve pergelden başka bir şey olmamasıydı. Çünkü sadece bu ikisini kullanarak 3√2 boyutunu belirlemek imkansızdır. Her ne kadar onlar bunun imkansız olduğunu ispatlayamamış olsa da, gerçeğin farkındaydılar.

Nasıl Çözülür?

Bir küpün hacminin iki katı hacme sahip başka bir küp çizmek için Neusis Çizimi ismi verilen bir yöntem kullanılır.

Fakat ben origami sanatının gücünü kullanarak bunun nasıl başarılabileceğini göstereceğim.

Önce bir kenarı 9 cm olan bir kare şeklinde kağıt parçasını origami yöntemleri kullanarak 3 eşit parçaya böldüm.

Daha sonra karenin sağ kenarında bulunan B noktasını, sol kenarda bulunan C noktasının hizasına getirdim. Bunu yaparken A noktasının karenin sol kenarına denk gelmesine de özen gösterdim.

A’nın karenin sol kenarına dokunduğu yere D noktası dedim. İşte D ile F noktaları arasında kalan mesafe, D ile E noktaları arasındaki mesafenin  3√2 katıdır.

Peter Messer’in çözümünde kullandığı çizimler aşağıdaki gibidir. CB arası 1 birim ise, AC arasındaki mesafe  3√2 olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

2000 yıldan uzun bir süre insanları meşgul eden bir soru, origamiyle nasıl oluyor da bir dakikanın altında bir sürede çözülebiliyor? Cetvel&pergel yönteminin origamiden eksiği nedir?

M. Serkan Kalaycıoğlu