Matematik Atölyesi – Geometri #10&11

Soru: Kaç tane düzgün çokgen vardır?

Öklid’in yöntemleriyle (yani sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak) nasıl eşkenar üçgen çizilebileceğini göstermiştim. Eşkenar üçgen tüm kenarları ve iç açıları eşit olan bir düzgün çokgendir. Hatta eşkenar üçgene en az kenarlı düzgün çokgen de denilebilir.

O halde buradan başlayalım: Üç kenarlı düzgün çokgen yapılabilir ki buna eşkenar üçgen denir. Kenar sayısını bir artıralım. Dört kenarlı düzgün çokgen, yani dört kenarı ve dört iç açısı da birbirinin aynısı olan şekil… Hmmm… Kare!

Beş kenarlı düzgün çokgen: Beşgen.

Altı kenarlı düzgün çokgen: Altıgen.

regular-polygons-6-638-e1544543687840.jpg
Düzgün çokgenlerin bir kısmı.

Elli kenarlı düzgün çokgen: Elligen. (Pentacontagon diye bilinir.)

Düzgün çokgenlerin kenar sayısının limiti yoktur. Fakat belli bir kenar sayısından sonra kenar uzunlukları o kadar küçük olur ki çokgeni çemberden ayırt etmek neredeyse imkansızlaşır.

50-gen (solda) ve 50-gen ile 200-gen’in karşılaştırılması (sağda).

Düzgün çokgenler iki boyutlu geometride var olan şekillerdir. Peki olayı üç boyuta taşırsak ne olur?

Soru: Kaç tane farklı düzgün katı cisim vardır?

Üç boyutlu olan düzgün katı cisimlerin iki belirgin özelliği vardır: Tüm yüzleri düzgün çokgenlerden oluşur ve her köşesi eşit sayıda düzgün çokgene bağlıdır.

Cevabı hemen verelim: Tamı tamına beş farklı düzgün katı cisim vardır. Ne bir fazla, ne de bir az.

Düzgün çokgen sayısı sonsuz taneyken düzgün katıların sayısının sadece beş tane olması ilk başta inanılmaz gibi gelir. Bunu ispatlamadan önce düzgün katılardan biraz bahsetmem gerekir.

Geniş Omuzlunun Okulu

Milattan önce 427’de Atina’da dünyaya gelen Aristocles geniş omuzlara sahip olduğu için Yunanca’da geniş anlamına gelen “Platon” lakabını almıştı. (Bu iddia C.J. Rowe’un 1984’de yazdığı kitapta geçer.)

plato
Platon (MÖ 427-MÖ 347)

Çoğu kişi matematikle herhangi bir ilişkisi olduğunu düşünmese de Platon matematiğe çok önemli katkılarda bulunmuştu. Özellikle ispat, açıklama ve hipotezlerin en açık şekilde yazılması gerektiğinde ısrar etmesi matematiğin gelişimi için hayatiydi. Platon’un sadece matematik değil tüm bilim dalları için yaptığı en büyük iş ise kurucusu olduğu okuldu.

Milattan önce 387’de Atina’da bir okul kurmak isteyen Platon arazisini bulmuştu. Okulun inşa edildiği arsanın sahibi Academas olduğu için okulun ismi “Akademi” olarak kaldı. 900 yıl boyunca en önemli bilim insanları hayatlarının bir kısmını Platon’un Akademisinde geçirmişti. (Bir karşılaştırma yapalım: Avrupa’daki en eski üniversite olarak bilinen Bologna Üniversitesi Platon’un Akademi’sinden yaklaşık 1400 yıl sonra kurulmuştu.)

geometri-bilmeyen-giremez
Akademi’nin girişinde asılı olan yazı: “Geometri Bilmeyen Giremez”

Platonik Cisimler

Düzgün katı cisimlere Platonik cisimler de denir, çünkü onların sadece beş adet olduğunu kağıda döken ilk kişinin Platon olduğuna inanılır.

  1. Dört Yüzlü – Tetrahedron: Dört tane eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  2. Altı Yüzlü – Küp: Altı adet karenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  3. Sekiz Yüzlü – Octahedron: Sekiz adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  4. On iki Yüzlü – Dodecahedron: On iki adet beşgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
  5. Yirmi Yüzlü – Icosahedron: Yirmi adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
platonic_solids
Platonik Cisimler

Neden Sadece Beş Adet?

Düzgün katı cisimlerin bazı özellikleri var ki bu özellikler neden beş tane düzgün katı olduğunu hem açıklar hem de ispatlar.

Düzgün katı cisimler üç boyutlu olduğu için bir köşesinde en az üç tane yüz (yani en az üç tane düzgün çokgen) olmalıdır. Gelin en az sayıda yüzü olan düzgün katı cisim olan dört yüzlüyü inceleyelim.

Dört yüzlü düzgün katı cismin herhangi bir köşesinde hep üç tane eşkenar üçgen bulunur. (Bunu bir noktanın etrafına çizilmiş üç eşkenar üçgen gibi düşünebilirsiniz.) Bu üçgenleri iki boyuta indirgediğimizde karşımıza şu şekil çıkar:

IMG_6348

Eşkenar üçgenlerin buluştuğu noktanın etrafının 360 derece olduğunu biliyoruz. Eşkenar üçgende bir iç açı da 60 derecedir. O halde noktanın etrafında

360 – (60+60+60) = 180

derecelik boşluk vardır. Bu boşluk sayesinde kağıt kıvrılıp düzgün katı cisim oluşturulabilir.

Eğer 360 derece ve üstü tam olarak kaplanmış ise, kıvrılmak için yer olmayacağı için şekil iki boyutlu kağıt üzerinde kalır.

O halde düzgün katı cisim yapmak için gerekenleri bulmuş olduk:

  • Bir kağıdın üzerine nokta koy.
  • Noktaya bağlı olacak şekilde üç tane düzgün çokgen çiz.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 dereceyi tamamlamadıysa şekil üç boyuta çevrilebilir. Böylece düzgün katı cisim elde edilmiş olur.
  • Kalan kısma aynı çokgenden eklenmeye 360 dereceye ulaşılana dek devam edilir.
  • Eğer düzgün çokgenler 360 derece ve üzerinde yer kaplıyorsa şekil üç boyuta çevrilemez demektir. Bu durumda çizilen çokgenlerden düzgün katı cisim yapılamaz sonucuna varılır.

Örnek 1: Dört Yüzlü

Nokta koyulur ve noktanın ortak olduğu üç adet eşkenar üçgen çizilir. Bu eşkenar üçgenlerin iç açıları toplamı 360’dan küçük olduğu için katlanıp düzgün katı cisim oluşturabilirler: Dört yüzlü.

Örnek 2: Dört Yüzlü + 1 Eşkenar Üçgen

Eğer dört yüzlüyü oluşturan eşkenar üçgenlere bir yenisi daha eklenirse seçtiğimiz nokta üzerinde iç açıların toplamı 240 derece olur ki bu 360’dan küçüktür. Üçgenlerle aşağıdaki gibi sekiz yüzlünün üst kısmı yapılabilir.

Örnek 3: Dört Yüzlü + 2 Eşkenar Üçgen

Bu sefer eşkenar üçgen sayısını beşe çıkaralım. Nokta üzerindeki iç açıların toplamı 300 yapar ki bu da 360 derecenin altındadır. O halde bu beş üçgenle bir Platonik cisim yapılabilir. (On iki yüzlü)

Örnek 4: Dört Yüzlü + 3 Eşkenar Üçgen

Eşkenar üçgen sayısı altı olunca iç açıların toplamı 360 derece yapar. Bu da elimizdekilerle Platonik bir cismin oluşturulamayacağı anlamına gelir.

Örnek 5: Küp ve Küp + 1 Kare

Küp şeklinde herhangi bir köşeye üç adet kare bağlıdır. Bu köşe ve kare aşağıdaki gibi iki boyuta indirgenebilir:

Noktanın etrafında üç karenin iç açısı kullanılmıştır: 90*3=270 derece. Eğer şekle bir kare daha eklenirse noktanın etrafında 270+90=360 derecelik alan dolmuş olur. Bu, dört kare ile bir düzgün katı cisim yapılamaz demektir.

Örnek 6: On iki yüzlü + 1 Düzgün beşgen

Düzgün beşgenlerden oluşan on iki yüzlünün bir köşesine bağlı olan üç tane düzgün beşgen vardır. Yani bir noktanın etrafında bir iç açısı 108 derece olan beşgenden üç tane var: 108*3=324 derece, 360 dereceden az olduğu için bu düzgün katı cisim oluşturulabiliyor.

Noktanın etrafına dördüncü bir düzgün beşgen eklendiğinde, beşgenler birbirinin üzerine biner. Bu şekilden bir düzgün katı cisim oluşturulması mümkün değildir.

IMG_6366

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Düzgün altıgenlerle bir düzgün katı cisim yapılabilir mi? Nedeninizi belirtin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #4

Portakal Mevsimi

Yine portakal kullanarak bir deney yapacağız. Portakal, şekil olarak Dünya’nın şekline yakın olmasının yanı sıra tadı sayesinde kanımca en güzel meyvedir. Ama portakal ile Dünya’nın ilişkilendirilmesi bana özgü değil.

Modern bilimin başladığı zaman dilimi olarak bilinen 17. yüzyılda dünyaya gelen İtalyan astronom Giovanni Cassini, yaptığı gözlemlerle bilim tarihinde kendine önemli bir yer elde etmişti. Satürn’ün halkalarını ve dört büyük uydusunu keşfeden kişi olan Cassini, modern fiziğin babası olarak görülen İngiliz Isaac Newton ile Dünya’nın şekli hakkında 40 yılı aşkın bir tartışmaya girmişti.

Cassini 1700’de oğlu ile yaptığı ölçümler sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplara doğru uzun ve ince olduğu gibi yanlış bir izlenim edinmişti. Newton ise kendisine büyük bir ün kazandıran yer çekimi kanunu sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplardan hafif basık olduğunu söylemişti. Cassini, ölçümünü yapmadan önce de Newton’un yer çekimi kanununu reddettiği için bulduğu sonucun doğruluğunu şiddetle savunmuştu.

gravity-orange-lemon-small (2)
Newton’a göre Dünya’nın şekli portakal, Cassini’ye göreyse limon gibiydi.

Tartışmayı sonlandıran olay 1736-1744 yılları arasında yapılan ünlü Fransız Jeodezi Görevi’nin raporuydu. Bu görevde elde edilen sonuçlar Newton’u doğrulamıştı. Portakal seçimini yaparken aklıma hep bu olayı getiririm.

Çevre Bulmak

Bir portakalın üzerine kısa bir aralıkla iki tane kule dikin.

IMG_5996

El feneri veya lamba kullanarak kulelerden birinin üzerine dik gelecek şekilde ışık tutun.

IMG_5995

Kuleler arasındaki mesafe bilinirse, portakalın çevresi hesap edilebilir mi?

En İyi İkinci

Milattan önce 3. yüzyılda antik Kirene şehrinde doğmuş olan Eratosthenes, coğrafya bilimini başlatan bilim insanı olarak bilinir. Antik Yunan matematiğiyle ilgili çalışmaları bulunan Thomas Heath (1861-1940) Eratosthenes için ilginç bir betimleme yapar: “Eratosthenes birden çok bilim alanında usta sayılan biri olmasına rağmen, hiç bir alanda ‘en iyi’ olmamıştı. Onu tüm olimpiyat yarışmalarına katılan ama hepsini ikinci bitiren bir atlet olarak düşünebilirsiniz.”

Coğrafya gibi çok önemli bir bilim dalını başlatmış olmasına rağmen Eratosthenes’in asıl ünü günümüzden 2200 yıl önce Dünya’nın çevresini hesaplamasından gelir. Eratosthenes’in Dünya’nın çevresi için bulduğu sonuç, bugün bilinen sonuca şaşırtıcı derecede yakındır. Peki bunu nasıl başarmıştı?

Eratosthenes yaşadığı şehir olan Kirene’deyken yaz aylarında belli bir günde hiç gölgesinin olmadığını fark etmişti. Fakat aynı gün aynı saatte İskenderiye kentinde gölgesinin olduğunu gözlemlemişti.

A harfi Kirene’yi, B harfi ise İskenderiye’yi göstersin.

Eratosthenes Güneş’in Dünya’dan çok uzakta olduğunu ve Güneş ışınlarının paralel olarak yol aldığını düşünüyordu. Ayrıca Dünya’nın yuvarlak olduğu fikrine sahip olan Eratosthenes bu yüzden bir yaz gündönümünde Kirene’de gölge sıfırken İskenderiye’de uzun bir kulenin gölgesinin boyutlarını incelemişti

İskenderiye’deki gölgenin kuleye göre 7,2 derecelik bir açı yaptığını ölçen Eratosthenes, İskenderiye ile Kirene arasındaki mesafeyi (5000 stadyum) de bildiği için Dünya’nın çevresini hesaplamıştı.

IMG_5984
Stadia (stadyumun çoğulu) bir antik Yunan uzunluk birimidir. Antik Yunanistan’da birden çok stadyum birimi kullanılıyordu ve bunlar 154 metre ile 215 metre arasındaydı.

Eratosthenes’in hesabında kullandığı ölçü birimlerinden tam olarak emin olamasak da, yaptığı hesap ve kullandığı yöntem zamanının ötesindeydi. Bu yüzden binlerce yıl sonra dahi hala yaptığı ölçümden bahsediyoruz.

Portakalın Çevresi

Eratosthenes’in yöntemini bildiğinize göre artık portakalın çevresini bulabilirsiniz.

İpucu: Portakala diktiğim gölgesi olan pipetin yaptığı açı 12 derecedir ve iki pipet arasında tam olarak 1 cm mesafe vardır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #1

Euler Karakteristiği

  • Boş bir kağıt parçasına noktalar yerleştirin.
  • Noktalar arasına istediğiniz kadar çizgi koyun.
  • Çizgiler birbirini kesmemeli.
  • Kağıtta bulunan noktaların her biri birbirine çizgilerle direk ve dolaylı olarak bağlanmış olmalı. Diğer bir deyişle herhangi bir noktadan diğerine çizgilerden bir yol olmalıdır.
  • Böylece şekilde “yüz” oluşturulur. Yüzler çizgilerle kapanmış alanlardır.
  • Çizgi ve noktaların dışında kalan alan da bir yüz olarak sayılır. Yani bir düzlemde en az bir tane yüz vardır.
  • Her zaman:
    Nokta Sayısı – Çizgi Sayısı + Yüz Sayısı = 2
    olur. Buna Euler’in çokyüzlü formülü denir.

Örnek 1: Üç Nokta

Üç nokta konulur ve aralara çizgiler çekilir.

Oluşturulan yüzler şu şekildedir.

IMG_5863

Euler formülü uygulanır.

IMG_5864

Örnek 2: Dört Nokta

Noktalar şekildeki gibi birleştirilir.

Toplam üç yüz, dört nokta ve beş çizgi vardır. Buradan Euler formülü bize aşağıdaki sonucu verir.

Örnek 3: Beş Nokta

Beş nokta, yedi çizgi ve dört yüz elde edilmiş olan şekil aşağıdaki gibidir.

Peki bu şekle bir nokta daha eklersek ne olur?

IMG_5872

Yeni eklenen F noktasından üç çizgi ve iki yeni yüz çıkardık. Sanki Euler formülü bu sefer tutmayacak gibi!

Ama sonuç yine Euler’i haklı çıkarır. Altı nokta, on çizgi ve altı yüz bulunduran şeklimize Euler formülü uygulanınca cevap yine ikidir.

IMG_5875

Örnek 4: Beş Nokta ve Sıfır Yüz

Her seferinde neden çizgilerle kapalı alan yapıyoruz diyebilirsiniz. Yani hiç yüz yapmadan noktaları birleştirirsek ne olur? (Biliyoruz ki her düzlemde nokta ve çizgilerin dışı bir yüz olarak kabul edilir. Bu nedenle her düzlemde en az bir tane yüz olur.)

O halde beş noktayı şekildeki gibi dört çizgiyle birleştirelim. Sonuçta Euler’in kuralına göre herhangi bir noktadan diğerine gidilebiliyor. Ayrıca birbiriyle kesişen çizgiler de yok.

IMG_5887

Burada Euler formülü uygulanınca beş nokta, dört çizgi ve bir yüz vardır. Formül yine doğrudur.

Tarih Sevenler İçin

Şu ana dek okuduğunuz yazılarda iki isimden sıklıkla bahsettim: Leonhard Euler ve Öklid.

Öklid, okul geometrisi diyebileceğim (gerçek isimlerinden birisi Öklid geometrisidir) iki ve üç boyutlu geometrinin kaynağı olan kitapların yazarıdır. Euler ise 800’ün üzerinde çalışmasıyla tarihin en verimli matematikçilerinden biridir.

Öklid’in 13 kitaptan oluşan Elementler’i milattan önce 200’lerde yazılmıştı. Binlerce yıl boyunca sayısız bilim insanı Öklid’in kitaplarıyla sadece geometriyi değil matematiği öğrenmişti. Modern bilimi başlatan kişi olan bilinen, aynı zamanda modern fiziğin babası olan Isaac Newton dahil tüm bilim insanları Öklid ile matematiğe giriş yapıyordu.

Elementler yazıldıktan 2000 yıl sonra dahi geometriyle ilgili her şeyi içerdiğine inanılıyordu. Hatta 18. yüzyılda yaşamış olan tarihin en önemli filozoflarından Immanuel Kant, Öklid dışı bir geometrinin varlığını düşünmenin bile anlamsız olduğunu savunmuştu. Kant’ın özellikle Almanya’da bilim dünyasında sahip olduğu etki, Gauss gibi tarihin en iyi/büyük matematikçisi olarak görülen bir bilim insanını dahi bastırmıştı. Gauss’un başrol oynadığı bu konuyla ilgili başka bir yazım olacak.

İşte Euler, her şeyi bulunduğu düşünülen geometri konusuna çok önemli katkılarda bulunmuştu. Euler’in ismine atfedilen bir sürü formül vardır. Fakat kanımca tarihin en sade ve en güzel formülü budur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Euler formülü üç boyutlu şekillerde işe yarar mı? Örneğin bir küreyi ele alın. Bu küre üzerinde iki nokta alın ve bu noktaları birleştirin. Karşınıza ne çıktı?

Aynı kürede üçüncü bir nokta alın ve bunu diğer iki noktayla birleştirin. Sonuç ne oldu?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Örüntü #4

Pisalı Leonardo

Sadece matematik değil, bilim tarihinin en önemli figürlerinden biri İtalya’nın Pisa kentinden çıkmıştı. Pisalı Leonardo Avrupa’ya günümüzde kullanılan rakam sembollerini ve sayı sistemini getiren ilk kişi olarak bilinir. Buna başka bir yazıda daha detaylıca değineceğim.

Leonardo’nun uğraştığı bir problem örüntülerin en güzel örneklerinden birisidir. (Kanımca en güzel örnek budur.) Bu problem Leonardo’nun adını dahi başka bir isimle bilmemize neden olmuştur.

Fibonacci

Eğer ilk başlıkta Fibonacci ismini kullanmış olsaydım, çoğunuz hangi problemden bahsettiğimi biliyor olacaktınız.

Pisalı Leonardo’nun uğraştığı problem şuydu:

Bir çiftlikteki tavşanlar doğduktan sonraki üçüncü aylarında üremeye başlar ve sonraki her ay yeni bir çift tavşan yavrular. Buna göre bir yıl sonunda çiftlikte kaç çift tavşan olur?

Çözüm

İlk ay elde bir çift bebek tavşan vardır. Bu çift ikinci aya gelince olgunlaşır ve üçüncü ayda yavrular.

Dördüncü ayda ilk çift tekrar yavrular, diğer çift tavşan ise olgunlaşır.

IMG_5687

Beşinci ayda ilk çift ve ikinci çift yavrularken, üçüncü çift tavşan olgunlaşır.

IMG_5688

Altıncı ayda ilk, ikinci ve üçüncü çiftler yavrular, dört ve beşinci çiftler olgunlaşır.

IMG_5689

IMG_5690

 

Bu noktaya kadar tavşanların yavrulama sayıları bize bir tür örüntüden bahseder. Üçüncü aydan itibaren her sonraki aydaki tavşan çifti sayısı, önceki iki aydaki çift sayısının toplamı kadardır. Örneğin üçüncü ay; bir ve ikinci ayın toplamıdır: 2=1+1.

Dördüncü ay; iki ve üçüncü ayların toplamıdır: 3=1+2.

 

O halde bir yıl (yani 12 ay) sonunda toplam tavşan sayısı şu olur:

IMG_5694

Fibonacci’nin Güzelliği

Bu örüntüyle sonsuza dek giden sayı dizisine Fibonacci sayı dizisi denir. Fibonacci sayıları o kadar güzeldir ki, doğanın bir çok yerinde karşımıza çıkarlar.

Bilindik örneklere sonraki yazılara bırakacağım. Sonuçta nüfusun çoğunluğunun şehirde yaşadığı yerde gerçek hayat örneği vermek için modern hayatı ön plana koymamız gerekir.

Merdiven ve Fibonacci:

Diyelim evinizin girişindeki merdivende üç tane basamak var.

  1. Bu merdiveni kaç farklı şekilde çıkabilirsiniz?
  2. Aynı soruyu merdiven sayısı 5, 6, 8 ve n sayıları için ayrı ayrı inceleyin.
  3. Bu sorularla Fibonacci sayılarının ne tür bir ilişkisi var?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #2

Piyango Fiyaskosu

Gün olur, eksi sayıları kullanmaktan başka seçeneğiniz kalmaz. 2007’de İngiltere’de bir piyango şirketi yeni bir kazı-kazan oyununu piyasaya sürdüğünde olduğu gibi. Cool Cash ismi verilen bu oyunda kartın sol alt köşesinde günün sıcaklığı veriliyordu. Kartın sağ tarafında kalan alan kazındığında ise çıkan dört dereceden hangisi ya da hangileri günün sıcaklığından daha düşükse ödülü kazanıyordunuz.

card

Bu kazı-kazan kartına göre günün sıcaklığı -8 derecedir. Kartta şansımıza çıkan derecelerse -4, -6, -7 ve yine -7’dir. -8, bu sayıların hepsinden daha küçük olduğu için kartımıza bir ödül çıkmamıştır.

Fakat İngiltere’de bu kazı-kazan oyunu büyük sorunlara yol açtı. Oyunu oynayan insanların büyük çoğunluğu kartlarına bir ödül çıkmadığı halde piyango şirketinden parasını istiyordu. Ödül kazanan bir kısım insan ise kazandığından habersiz kartlarını çöpe atmıştı. Bunların tek sebebi matematik bilgisi eksikliğiydi. İnsanlar örneğin -8’in -7’den büyük olduğunu düşünüyordu, çünkü “8 sayısı 7’den büyüktü”. Gelen şikayetlerin artması yüzünden piyango şirketi insanlara matematik öğretmekle oyunu piyasadan çekmek arasında kalmış, ve kolay olanı yapıp kazı-kazan kartlarını toplatmıştı.

En Küçük Sayı

Tarih boyunca matematikçilerin açıklamakta en çok zorlandığı kavramların başında eksi sayılar gelmiştir. Bugün eksi sayı ile karşılaşınca çoğu öğrencinin özellikle dört işlem yaparken zorlanması hiç garibime gitmiyor. Müfredata göre 11-12 yaşlarında öğrenilmesi gereken eksi sayılar konusunda problem yaşayan lise öğrencisi sayısı gerçekten azımsanmayacak kadar çok. Çünkü eksi sayılar matematiğin en çok şüpheyle yaklaşılan konularından biridir. Biraz tarih araştırması yapılınca modern bilimin temelinin atıldığı 17. yüzyılın Avrupa’sında dahi eksi sayıların gerçek olmadığı düşüncesinin hakim olduğu görülüyor. Avrupalı bilim insanlarına göre 0(sıfır) hiç demekse, hiçten daha küçük bir sayının olması mümkün değildi.

İnsanlık tarihinde eksi sayıların ilk kullanımlarına bakılırsa şu an günlük hayatta kullandığımız bir çok örneğe rastlanılacaktır. Mesela antik Çin’de sayıları ifade etmek için kırmızı ve siyah renge boyanmış çubuklar kullanırdı. Çinliler kırmızı çubuklarla artı sayıları, siyah çubuklarla ise eksi sayıları gösteriyordu(Bugün muhasebe hesapları yapılırken siyah artı, kırmızı eksiyi ifade eder.). Fakat antik Çin’de matematikle uğraşanlar diğer uygarlıklarda olduğu gibi bir problemin ya da denklemin çözümünün eksi sayı olamayacağını düşünmüştü.

Kelime Eklemek

Başta antik Çin ve antik Mısır olmak üzere bir çok uygarlık bu konuya bir çözüm getirmişti: İfadeye ek yapmak. Yani insanlar bir problemle uğraşırken, problemin anlatılış şeklini terse çevirecek kelimeler ekleyerek eksi sayı ihtiyacını ortadan kaldırmıştı. Gelin basit bir örnekle ne yapıldığını açıklayalım.

Örnek 1: Cebinde 50 lirası olan biri 70 liralık alışveriş yaparsa geriye 50 – 70 = -20 lirası kalır.

Örnek 1*: Cebinde 50 lirası olan biri 70 liralık alışveriş yaparsa geriye 70 – 50 = 20 lira borcu kalır.

İfadeye eklenen borç kelimesi eksi bir sayıyı artıya çeviriyor. Eksi sayılar günümüzdeki gibi rahatça kullanılana dek bu tür ifade değişimleriyle matematik yapılmıştı.

Zıtlık

İnsanların eksi sayılardan kurtulmak için başvurduğu bir başka yöntem de zıt kelimelerin seçilmesidir.

Örnek 2: Bir denizaltı deniz seviyesine göre 2400 metre derindedir.

Örnek 2*: Bir denizaltı deniz seviyesine göre -2400 metre yüksekliktedir.

Aşağı-yukarı, ileri-geri, borç-alacak, çok-az, artan-azalan… gibi zıtlıklar eksi sayı kullanma mecburiyetini giderir.

Asıl Sorun

Eksi sayılarla ilgili temel soru, doğada eksi sayıda bir şeyin var olmadığıdır. Öğrencilik zamanında üzerine pek düşünülmeyen sayı kavramı aslında çok önemli bir felsefeyi barındırır. Örneğin eksi sayıların kullanılmaması gerektiğini ileri sürülürken doğada -3 sayısının bulunmadığı söylenir. Halbuki aynı düşünceyle doğada artı bir sayı olan 3’ü de göstermek mümkün değildir.

3 sayısına örnek verirken “3 inek, 3 armut, 3 laptop” deriz. Bunu yaparken aslında bir yandan 3 sayısının gözle görülüp, dokunulabilen bir şey olmadığını kabul etmiş oluruz. Yani sayıları aklımız yaratır, ve onların gerçek halleri yaşadığımız dünyada “işte bu!” diye işaret edilemez. Örnek verirken muhakkak başka bir kavram kullanılır. “Biraz önce yürüyüş yapıyordum ve ormanda 3 sayısını gördüm.” şeklinde bir cümle hiç kurulmamıştır. Olsa olsa “3 tavşan” görülmüştür.

Bir eksi sayıya örnek verirken de, aynı artı sayılarda olduğu gibi başka bir kavrama ihtiyacımız vardır. Biraz düşünürseniz çocuklara sayıları öğretirken neredeyse hep parmaklarla ve elmalarla başlarız. Eksi sayılarda da borç kavramı akla gelen ilk örnektir. Bunun nedenlerinden biri, eksi sayılarla dört işlemin nasıl yapılması gerektiğini ilk yapan kişi olan Hint matematikçi Brahmagupta’nın eksi sayıları “sıfır sayısının borç kısmında olan sayılar” diye açıklamasıdır.

Araştırma

0_5f05e_2ec82f9a_L

+2 elmanın fotoğrafı budur. Peki -2 elmanın fotoğrafı çekilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu