Matematik Atölyesi – Oyun #11

Lahana

1967’de M. S. Paterson ile J. H. Conway’ın yarattığı iki kişilik bir oyun olan lahanayı oynamak için kağıt ve kalemden başka bir şeye ihtiyacınız yoktur.

  • Oyuna başlarken kağıt üzerine rastgele üç adet nokta koyulur:20190429_140440.jpg
  • Oyuncular sırayla bir noktadan diğerine (veya bir noktadan yine kendisine) giden bir eğri çizer. Çizilen eğrinin üzerine bir de nokta konur:
  • Çizilen eğriler birbirini kesemez.

    20190429_140912.jpg
    Çizgilerin kesişmesi yasaktır.
  • Bir noktaya bağlı üç tane eğri varsa, o nokta artık ölüdür: Yani o noktaya başka bir eğri bağlanamaz:
    Soldaki resim ihlal içerirken sağdaki resimde A, B ve E noktaları “ölü”dür. Çünkü bu noktaların her biri üç çizgiye sahiptir.
  • Son eğriyi çizen oyunu kazanır.

Brüksel Lahanası

Lahananın bir başka versiyonu olan Brüksel Lahanası’nda başlangıçta konulan noktaların ufak çizgileri vardır. Bu noktalar ve üzerinde bulunan çizgiler istenilen sayıda seçilebilir. Örneğin birinde 3, diğerinde 4 çizgi olan iki noktayla oyuna başlayalım:

20190429_141609.jpg

Brüksel Lahanası’nda da oyuncular sırayla birer eğri çizer (her çizilen eğrinin üzerine yeni bir nokta ve iki küçük çizgi konur). Bu sefer eğriler noktalarda bulunan ufak çizgiler arasındadır:

20190429_141659.jpg

Yine bir önceki oyunda olduğu gibi çizilen eğriler birbirini kesemez ve yine en son eğriyi çizen oyunu kazanır:

En sağdakinde çizgiler kesiştiği için ihlal vardır.

Euler ve Lahana

Euler ile bu basit görünümlü oyunların ne alakası var diyebilirsiniz. Euler karakteristiğinden daha önceki yazılarımda bahsetmiştim.

Euler der ki:

Bir düzlemde (kağıt üzerinde) V tane nokta ve bu noktalar arasında birbirini kesmeyen E tane çizgi olsun. Bu nokta ve çizgilerin çerçevelediği yüzlerin sayısı da F olsun (tüm kağıdın da bir yüz olduğunu unutmayın). O halde:

V – E + F = 2 olur.

Yani nokta sayısıyla yüz sayısını toplayıp bundan çizgi sayısını çıkarırsan cevap her zaman 2 olur.

Bitmiş bir Brüksel Lahanası oyununu ele alın. Nokta, çizgi ve yüz sayılarını belirleyin:

Euler’in formülüne sayıları yerleştirin:

Euler her defasında haklı çıkacak!

Dört Renk

Yine bitmiş bir Brüksel Lahanası’nı ele alın. Bu sefer dört farklı renkte kaleme ihtiyacınız olacak:

Bitmiş oyun üzerindeki alanları komşu olanlar farklı renkte olacak şekilde boyarsanız dört rengin yeterli olacağını göreceksiniz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Lahana oyununu 3 nokta ile en fazla kaç el oynayabilirsiniz?
  2. Lahanayı kazanmak için bir strateji bulabilir misiniz?
  3. Brüksel lahanasında üçer dikeni olan iki nokta ile en fazla kaç el oyun sürdürülebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #1

Euler Karakteristiği

  • Boş bir kağıt parçasına noktalar yerleştirin.
  • Noktalar arasına istediğiniz kadar çizgi koyun.
  • Çizgiler birbirini kesmemeli.
  • Kağıtta bulunan noktaların her biri birbirine çizgilerle direk ve dolaylı olarak bağlanmış olmalı. Diğer bir deyişle herhangi bir noktadan diğerine çizgilerden bir yol olmalıdır.
  • Böylece şekilde “yüz” oluşturulur. Yüzler çizgilerle kapanmış alanlardır.
  • Çizgi ve noktaların dışında kalan alan da bir yüz olarak sayılır. Yani bir düzlemde en az bir tane yüz vardır.
  • Her zaman:
    Nokta Sayısı – Çizgi Sayısı + Yüz Sayısı = 2
    olur. Buna Euler’in çokyüzlü formülü denir.

Örnek 1: Üç Nokta

Üç nokta konulur ve aralara çizgiler çekilir.

Oluşturulan yüzler şu şekildedir.

IMG_5863

Euler formülü uygulanır.

IMG_5864

Örnek 2: Dört Nokta

Noktalar şekildeki gibi birleştirilir.

Toplam üç yüz, dört nokta ve beş çizgi vardır. Buradan Euler formülü bize aşağıdaki sonucu verir.

Örnek 3: Beş Nokta

Beş nokta, yedi çizgi ve dört yüz elde edilmiş olan şekil aşağıdaki gibidir.

Peki bu şekle bir nokta daha eklersek ne olur?

IMG_5872

Yeni eklenen F noktasından üç çizgi ve iki yeni yüz çıkardık. Sanki Euler formülü bu sefer tutmayacak gibi!

Ama sonuç yine Euler’i haklı çıkarır. Altı nokta, on çizgi ve altı yüz bulunduran şeklimize Euler formülü uygulanınca cevap yine ikidir.

IMG_5875

Örnek 4: Beş Nokta ve Sıfır Yüz

Her seferinde neden çizgilerle kapalı alan yapıyoruz diyebilirsiniz. Yani hiç yüz yapmadan noktaları birleştirirsek ne olur? (Biliyoruz ki her düzlemde nokta ve çizgilerin dışı bir yüz olarak kabul edilir. Bu nedenle her düzlemde en az bir tane yüz olur.)

O halde beş noktayı şekildeki gibi dört çizgiyle birleştirelim. Sonuçta Euler’in kuralına göre herhangi bir noktadan diğerine gidilebiliyor. Ayrıca birbiriyle kesişen çizgiler de yok.

IMG_5887

Burada Euler formülü uygulanınca beş nokta, dört çizgi ve bir yüz vardır. Formül yine doğrudur.

Tarih Sevenler İçin

Şu ana dek okuduğunuz yazılarda iki isimden sıklıkla bahsettim: Leonhard Euler ve Öklid.

Öklid, okul geometrisi diyebileceğim (gerçek isimlerinden birisi Öklid geometrisidir) iki ve üç boyutlu geometrinin kaynağı olan kitapların yazarıdır. Euler ise 800’ün üzerinde çalışmasıyla tarihin en verimli matematikçilerinden biridir.

Öklid’in 13 kitaptan oluşan Elementler’i milattan önce 200’lerde yazılmıştı. Binlerce yıl boyunca sayısız bilim insanı Öklid’in kitaplarıyla sadece geometriyi değil matematiği öğrenmişti. Modern bilimi başlatan kişi olan bilinen, aynı zamanda modern fiziğin babası olan Isaac Newton dahil tüm bilim insanları Öklid ile matematiğe giriş yapıyordu.

Elementler yazıldıktan 2000 yıl sonra dahi geometriyle ilgili her şeyi içerdiğine inanılıyordu. Hatta 18. yüzyılda yaşamış olan tarihin en önemli filozoflarından Immanuel Kant, Öklid dışı bir geometrinin varlığını düşünmenin bile anlamsız olduğunu savunmuştu. Kant’ın özellikle Almanya’da bilim dünyasında sahip olduğu etki, Gauss gibi tarihin en iyi/büyük matematikçisi olarak görülen bir bilim insanını dahi bastırmıştı. Gauss’un başrol oynadığı bu konuyla ilgili başka bir yazım olacak.

İşte Euler, her şeyi bulunduğu düşünülen geometri konusuna çok önemli katkılarda bulunmuştu. Euler’in ismine atfedilen bir sürü formül vardır. Fakat kanımca tarihin en sade ve en güzel formülü budur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Euler formülü üç boyutlu şekillerde işe yarar mı? Örneğin bir küreyi ele alın. Bu küre üzerinde iki nokta alın ve bu noktaları birleştirin. Karşınıza ne çıktı?

Aynı kürede üçüncü bir nokta alın ve bunu diğer iki noktayla birleştirin. Sonuç ne oldu?

M. Serkan Kalaycıoğlu