Matematik Atölyesi – Graf #7

Serkan Hocanın Sistemi

Serkan hoca öğrencilerine her hafta belli sayıda soru verir. Bu sorulardan bir veya daha fazlasını çözen öğrenciler, çözdükleri soruların karşılığında bir ödül alır. Ödülü belirlemek için her dönem başında Serkan hoca ile sınıfları arasında bir anlaşma yapılır. Bu dönem için yapılan anlaşmaya göre ödül olarak oreo dağıtılacaktır:

10 soru verilirse:

  • 10, 9 ve 8’ini yapanlar 10 oreo,
  • 7, 6 ve 5’ini yapanlar 5 oreo,
  • 4, 3 ve 2’sinin yapanlar 2 oreo,
  • 1’ini yapanlar 1 oreo,
  • Hiç soru yapmayanlar ise oreo almayacaktır.

Dikkat edenler Serkan hocanın oreo ödüllerinin bir mantığı olduğunu anlamıştır: 10, 5, 2 ve 1.

Bunlar, soru sayısını (yani 10’u) kalansız bölen doğal sayılardır.

Ödül Dağıtım Makinesi (Ö.D.M.)

1 ay sonra…

Ödül sistemi başlayalı 4 hafta geçmişken Serkan hoca önemli bir sorunla karşı karşıya kalmıştı. Toplam 10 sınıfı olan Serkan hoca, her hafta birkaç saatini ödül dağıtmakla geçirmişti.

Neredeyse okuldaki tüm boş vaktini oreo dağıtmakla geçiren Serkan hoca, ödül dağıtımını kolayca halletmek için bir makine tasarlamayı düşünür:

  • Ö.D.M. 4 hazneden oluşacak. (10, 5, 2, ve 1’den dolayı.)
  • Haznelerin sırasıyla 10, 5, 2 ve 1 oreoluk kapasitesi olacak.
  • Makineye oreo girişi 10’luk hazneden olacak. Kurulan bağlantılarla diğer haznelere buradan oreo aktarılacak.
  • Altın Kural: Herhangi iki hazne arasında bağlantı olması için bu iki haznenin kapasiteleri birbirine kalansız bölünebiliyor olmalı.

10 soru için Ö.D.M. bağlantıları:

  • 10’luk hazne ile 5, 2 ve 1’likler arasında.
  • 5’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 2’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 1’lik hazne ile 10, 5 ve 2’likler arasında.

O halde Ö.D.M.’nin krokisi aşağıdaki gibi olur:

Yine mi graf?!

Graf teorisiyle tanışıklığınız varsa (veya blogda yer alan graf yazılarını okuduysanız), Serkan hocanın yarattığı sistemin aslında bir tür düzlemsel graf olduğunu fark etmişsinizdir:

10 soruluk Ö.D.M.’nin graf olarak gösterimi.

Birbirine kalansız bölünebilen sayılar (yani noktalar) arasında düzlemselliği bozmayacak şekilde (yani birbirini kesmeyecek şekilde) bağlantılar (yani çizgiler) çekilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Serkan hoca soru sayısını değiştirip 12 yaparsa ne olur?

12 soru için ödüller 12’yi kalansız bölen doğal sayılardır: 12, 6, 4, 3, 2 ve 1.

Bu durumda Serkan hoca makinesini kurabilir mi? Bir diğer değişle 12’lik Ö.D.M. için bağlantılar (birbirini kesmeyecek şekilde) yerleştirilebilir mi?

Örnek dizilim.

İpucu: Önce hangi noktalar arasında çizgi çekilmeli ona bakın. Ayrıca noktalar istenilen şekilde dizilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #7

Sınavdan Çakma Algoritması (S.Ç.A.)

1990’ların sonu…

Eve sonunda bilgisayar alındı. Ali’nin abileriyle girdiği “bilgisayarı kullanma sırası kimde?” savaşından galip çıkmasının en önemli nedeni ders notlarının yüksekliği. Bu sayede Carmageddon’da zombi ezen, Fifa 98’de şampiyonlar ligini gol yemeden kazanan Ali’nin Duke Nukem’de neler yaptığını ise size ancak bir latte karşılığında anlatabilirim.

Ali’nin bir seneden uzun süren bilgisayar oyunu çılgınlığı menajerlik oyunlarıyla önünü alamadığı bir noktaya çıktı. Üstüne üstlük, hala haftada birkaç gün arkadaşlarıyla futbol&basketbol oynamaya da devam eden Ali, bir felakete doğru hızla ilerliyordu. Tanrım, nasıl da fark edememişti?! Sınavlarından çakmak üzereydi!

İlk uyarı matematik sınavıydı. Ali’nin sınava çalışması için önünde sadece son bir gün kalmıştı. Fakat Ali’de artık bazı alışkanlıklar baş göstermişti. Ders çalışmak yerine yapabileceği bir sürü seçeneği vardı:

1. Evde Kalmak

Ali evde kalmayı tercih ettiğinde hemen bilgisayarının başına oturuyordu. Bilgisayarı açmasının nedeni tabi ki dersleriyle alakalı değildi. Masaüstünde bulunan üç oyundan birini oynuyordu:

a. Fifa

b. Carmageddon

c. CM (Menajerlik oyunu)

2. Dışarı Çıkmak

Ali dışarı çıktığında da arkadaşlarıyla buluşup kütüphaneye gitmiyordu:

a. Top peşinde koş

b. Aylaklık yap

S.Ç.A. Grafı

Önceki yazılarda bahsettiğim graf konusu, Ali’nin durumunu açıklarken büyük bir kolaylık sağlar. Ali’nin ders çalışmamayı seçtiği durumlarda yapacağı tercihler sınavdan düşük not almasına yol açar:

Grafın Bize Anlattıkları

Yukarıdaki grafta çizgiler Ali’nin yaptığı seçimleri, noktalar ise Ali’nin hangi durumda olduğunu gösterir. Graf bize kesin olarak iki şeyi söyler: Ali, ders çalışmamayı seçer ve sonuçta sınavdan çakar.

Bu yüzden Ali’nin seçimlerini gösteren çizgilerin bir yönü vardır.

Seçimler yapılırken bazı adımlar atlanamaz. Örneğin, Fifa oynamak için önce bilgisayarın başına oturmak, onun için de evde kalmayı seçmek gerekir.

Ali’nin seçimlerinin aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım:

Evde kal -> Bilgisayarı Aç -> Fifa oyna.

Bu durumda kısıtlı zamanı olan Ali’nin, zamanını Fifa oynamaya ayırdıktan sonra başa dönüp sınava çalışmasına olanak yoktur. Artık Ali için sınavdan kötü not almak kaçınılmaz bir son olacaktır.

Grafın bize anlattığı bir başka şey ise, Ali’nin yaptığı herhangi bir seçime geri dönememesidir. Matematikçiler bu tür grafları “yönlü çevrimsiz/asiklik/zincirleme graf” olarak adlandırmıştır.

***

Biraz Bilgi

Yönlü Çevrimsiz Graf

Bir yönlü çevrimsiz grafta döngü yoktur. Yani bir noktadan başlayıp yönlü çizgileri takip ettiğinizde, aynı noktaya bir daha dönemezsiniz.

Yönlü (ve sonlu) çevrimsiz graflarda en az bir “kaynak” ve yine en az bir “alış noktası” olarak adlandırılan noktalar bulunur.

Kaynak noktası, başka herhangi bir noktadan kendisine doğru çizgi gelmeyen noktadır. Yukarıdaki grafta “ders çalışma” isimli nokta, kaynak noktasıdır.

Alış noktası ise kendisinden başka herhangi bir noktaya doğru çizgi gitmeyen noktadır. Grafımızda “sınavdan çak” isimli nokta, alış noktasıdır.

***

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rutin işlerinizi yaparken aslında yönlü çevrimsiz grafları kullanıyorsunuz. Buna bir örnek göstermek için yine Ali’nin hayatından yararlanacağım.

Ali, her okul günü sabahında uyanır uyanmaz duş alıp okula hazırlanır. Bunu yaparken Ali’nin izlediği yol şunlardan oluşur:

Uyan

Duşa gir

Duş sonrası diş fırçala

Giyin

(Ali’nin okul kıyafeti pantolon, gömlek, kravat ve yelekten oluşuyor.)

Soru: Ali’nin okula hazırlanışını gösteren grafı çizin.

Not: Ali duştan sonra giyinirken her adımı doğru yönde tamamlamalıdır. Örneğin boxer’ını giymeden önce pantolonunu giyemez, değil mi?!

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #6

2600ler…

Sonunda Dünya dışında yaşayabileceğimiz bir gezegen keşfedildi. Bilim insanlarının T-489 ismini verdiği bu gezegende yaşam koşulları Dünya’ya benzer görünüyor. Uydu görüntüleri T-489’da su bulunduğunu gösterirken gezegenin atmosferinin de Dünya’nınki ile tıpatıp aynı olduğu keşfedildi.

T-489’un bulunduğu sistem.

Büyük devletlerin uzay ajansları ortak bir ekip gönderip T-489’da yaşam olup olmadığını kontrol etmekte anlaştı. Hazırlanan plana göre uydu görüntülerinden elde edilen veriler ışığında T-489’da belirlenen bir noktaya inecek ilk ekip, burada güvenli alan ve merkez üs oluşturacak.

Güvenli alan oluşturulduktan sonra ise yine uydu sayesinde belirlenmiş olan noktalara üç ayrı ekip gönderilecek. Bu ekipler hem bulundukları bölgelerde yaşam koşullarını inceleyecek, hem de farklı yaşam formları olup olmadığını kontrol edecek.

T-489’da bulunan merkez üs, keşfe çıkacak ekipler için bir harita yapacak. Merkez üssün hazırladığı harita hem gezegen üzerinde yolculuğun nasıl yapılabileceğini, hem de ekiplerden herhangi birinin sorun yaşaması durumunda üsse nasıl geri dönmesi gerektiğini açıklamak zorunda.

Haritanın görünümü: Sarı nokta merkez üs, diğer noktalar ise keşif ekiplerinin ziyaret edeceği konumlar.

Herhangi bir anda bir ekibin nerede olduğunun bilinemeyeceği durumlar için merkez üste çalışanlar çizdikleri haritaya bir de algoritma eklemeli. Bu, öyle bir algoritma olmalı ki, algoritmayı takip eden ekip(ler) sonunda merkez üsse varır.

Yol Boyama Problemi

1970’de Roy Adler’in ortaya attığı bir problem olan yol boyama problemi (road coloring problem), 2007’de yılında İsrailli matematikçi Trahtman tarafından çözülmüştü.

Trahtman, yukarıdaki gibi bir graf (veya harita) düşünmüştü; noktalar arasında bulunan yolların belirli yön ve renkleri vardı. Bu yön ve renkleri bulduğu algoritmaya göre oluşturan Trahtman’a göre grafın herhangi bir noktasından başlayıp üç kere mavi-kırmızı-kırmızı yolları izleyen biri her zaman sarı noktada duracaktır.

T-489’da Kaos

Gezegende keşfe çıkacak ekipler için harita yapmanız gerekiyor. Merkez üs ve gezilmesi gereken noktalar aşağıdaki gibi:

Keşif ekiplerinin yaşayabileceği en kötü duruma hazırlanmanız gerekiyor. Eğer ekiplerden birinin iletişimi kopar ve haritaya ulaşma şansı kalmazsa, yaratacağınız algoritma hayatlarını kurtaracaktır.

Geliştirdiğiniz fikir şöyle ilerliyor: Gidilmesi gereken her konumun girişine bir tabela konulacak. Bu tabelalarda sadece yolun yönü ve rengi yazacak. (Tabelalara haritaların asılmamasının nedeni, zeki bir uzaylı türüyle karşılaşılması durumunda merkez üssün yerinin direk uzaylılara gösterilmemesidir.)

Yarattığınız algoritmaya göre iki defa kırmızı-mavi yapmak ekipleri merkez üsse ulaştırır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Keşif yapılacak bir nokta daha olsun. Haritanız için öyle bir algoritma yaratın ki, izlenen algoritma sizi hep M noktasına (yani merkez üsse) geri döndürsün.

(Bunu yaparken en az sayıda yol kullanmaya özen gösterin.)

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #7

H&G Oyunu

Bu ismi çoğunuzun küçükken öğrendiği Hansel ve Gretel’in hikayesinden esinlenerek koydum. (Eğer hikayeyi bilmiyorsanız lütfen okuyun.)

H&G’de amaç iki yer arasındaki en kısa yolu bulmaktır. Fakat oyun oturulan yerden değil, bizzat deneyimlenerek ilerler. Sonuca yaşanılan deneyimlerden çıkarım yaparak ulaşılır.

Şimdiden belirtmem gerekiyor: Bu oyunu böceklerden, özellikle karıncalardan öğrendik. Yazının devamında buna değineceğim.

Peki H&G nasıl oynanır?

  • Oyuncular belirtilen iki yer arasında yürüyüş yapar.
  • Her oyuncunun başlangıç ve bitiş yerleri aynıdır.
  • Yürüyüş için birden fazla yol vardır.
  • Amaç bu iki yoldan hangisinin daha kısa olduğunu bulmaktır.
  • Oyun sırasında kalem dışında hiçbir aletin kullanımına izin verilmez. (Saat, telefon vs. dahil.)
  • Oyuncular başlangıç ve bitişe vardığı her sefer için kalemle bir çizgi çizer.
  • Oyuncuların hızlarının aynı (ya da en azından benzer) olması için koşmaları yasaktır.

Oyun #1

H&G için hazırlanan iki yol aşağıdaki gibi olsun:

20190425_134042.jpg

Bu iki yol üzerindeki ilk yürüyüş başlarken hem A hem de B’de oyuncular bir süre aynı yolu gider, fakat yürüyüş devam ettikçe A’dekiler B yolundaki oyunculardan çok daha önce bitişe varır:

20190425_134109.jpg

B’de yürüyen oyuncular bitişe ulaştığında diğer yoldakilerin ilk çizgiyi koyduğunu görür. Bu da A yolunun B’den daha kısa olduğunu belirtir. Oyuncuların bir kısmı B’ye hala inanıp geri dönüşü yaptığında, bitişe ulaştıklarında A’dakilerin ikinci çizgiyi çektiğini görür.

Böylece B’nin daha uzun olduğunu (gerçekten inatçı olanlar hariç) herkes görmüş olur. Oyun devam ettiği sürece A’dakiler B’dekilere fark atacağı anlaşılmıştır.

Oyun #2

İlk oyunda herkes A yoluna geçmişken A üzerine aşağıdaki gibi bir engel koyalım:

20190425_134136.jpg

Oyunculardan en az biri B’yi denemeye karar verir. Bir kaç tur sonra çizgi sayılarında B’nin A’ya yaklaştığını fark eden oyuncular B yoluna geçmeye başlar:

20190425_134159.jpg
Yavaş da olsa B’deki oyuncular A ile farkı kapatır.

Zamanla oyuncuların hepsi B’nin daha kısa yol olduğunu kabul eder.

Oyun #3

İkinci oyun devam ederken C ismi verilmiş olan üçüncü bir yol açılsın:

20190425_134223.jpg

Yine oyunculardan en az biri C’yi denemeye karar verir. Aynı bir önceki oyun gibi oyunculardan dikkatli olanlar çizgi sayılarına bakarak hangi yolun daha kısa olduğuna karar verir.

En İyi H&G Oyuncuları: Karıncalar

Yazının başında karıncaların bize en kısa yolu bulmayı öğrettiğini söylemiştim. 1992’de Marco Dorigo ismindeki bir bilim insanı karıncaların yemek arayışlarıyla ilgili bir araştırma yapmıştı. Dorigo araştırması sonucunda karıncaların yuvalarıyla besin kaynakları arasındaki yolu nasıl gittiklerini açıklamıştı.

Karınca yuvası ve besin kaynağı aşağıdaki gibi olsun:

20190425_134508.jpg

Karınca besin kaynağını yuvasına aşağıdaki gibi bir yol izleyerek taşısın:

20190425_134535.jpg

Feromon: Aynı türün üyeleri arasındaki sosyal ilişkileri düzenleyen kimyasal madde.

Karıncalar yürürken arkalarında feromon, yani bir tür kimyasal madde bırakır:

20190425_134548.jpg

İşte karıncaların en kısa yolu bulmalarını sağlayan şey de bu maddedir. Bir yoldan ne kadar çok karınca geçerse o yolda o kadar çok feromon vardır. Aynı bizim kalemle çizgi çizmemiz gibi.

Gelin karıncaların yoluna bir engel koyalım:

20190425_134602.jpg

Karıncaların bir kısmı engelin aşağısından, diğer kısmıysa yukarısından yoluna devam eder:

20190425_134620.jpg

I numaralı yol daha kısa olduğu için karıncalar bu yolun üzerinde daha çok tur atarlar. Yani daha çok feronom bırakırlar:

20190425_134631.jpg

Zamanla diğer yoldaki karıncalar daha çok feronom olan yolu tercih eder.

Karınca Kolonileri Algoritması (KKA)

Gündelik hayatta her işimizi en hızlı ve en kısa yoldan halletmeye çalışıyoruz. İşte bunu yaparken bize yardımı olan algoritmalardan birinin adı Karınca Kolonileri Algoritması’dır. Bu algoritmanın mantığı karıncaların en kısa yolu bulma yönteminden gelir.

Quicktron-Alibaba-warehouse
Alibaba’nın içinde sadece robot çalışan deposu.

Örneğin KKA robotların hareketlerini belirlemesinde büyük önem teşkil eder. Bir alanda birden çok robotun birbirine çarpmadan hareket edebilmesi için KKA kullanılır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #6

Miras Problemi

Kral Serkan I ölüm döşeğindeyken sahip olduğu arsaları çocuklarına dağıtmaya karar verir. Doğal olarak Serkan I’in bazı koşulları vardır:

  • Her çocuk en az bir arsa alacak.
  • Birbirine komşu arsalar aynı çocuğun olmayacak.
  • Yukarıdaki koşullar sağlanmadığı takdirde mirasın tamamı “Fener Ol” kampanyası vasıtasıyla Frey’in bonservisine harcanacak.

Problem: Serkan I’in en az kaç çocuğu olmalı ki herhangi bir arsa paylaşımında sorun yaşanmasın?

Harita #1

Basit bir haritadan başlayalım:

20190423_000256.jpg

Bu durumda Serkan I’in iki çocuğunun olması yeterlidir:

20190423_000310.jpg

Bir önceki yazıdan hatırlayacağınız üzere harita ile graf birbirlerine dönüşebilir. Eğer arsalar noktaları ve iki arsanın komşu olması bu iki noktanın arasında çizgi olduğunu ifade ederse, haritamız aşağıdaki gibi graf olarak gösterilebilir:

20190423_000334.jpg

Bu haritaya bir arsa daha ekleyelim:

20190423_000402.jpg

Eklenen arsa graf için yeni nokta ve çizgi(ler) anlamına gelir:

20190423_000507.jpg

Harita #2

Yeni haritada üç arsa bulunsun:

20190423_000523.jpg

Bu haritayı graf haline getirelim:

20190423_000537.jpg

Grafta da görüldüğü üzere mirasın dağıtılabilmesi için Serkan I’in üç çocuğu olmalıdır:

20190423_000553.jpg

Harita #3

Üçüncü harita aşağıdaki gibidir:

20190423_000627.jpg

Bu dört arsanın kurallara uygun dağıtılması için miras dört çocuğa dağıtılmalıdır:

20190423_000642.jpg

Harita #3’teki durum graf olarak aşağıdaki gibidir:

20190423_000728.jpg

Harita #4

Serkan I’in bıraktığı arsaların aslında ABD haritasıyla aynı olduğunu varsayalım:

480271690e1e0485f71988e273730559

Bu haritayı paylaştırmak için Serkan I’in sadece dört çocuğunun olması yeterlidir:

amarikaaa

Ne Oluyor?

Dikkat ederseniz harita #2’nin grafından harita #3’ün grafına tek bir hareketle (yeni bir nokta koyarak) geçmek mümkündür. Hatta harita #1’den harita #2’ye geçiş de graf üzerine yeni bir nokta eklenip (3 numaralı olan) diğer iki noktaya bağlanarak gerçekleşmiştir:

O halde bir haritaya yeni bir mirasçı eklemek demek grafa yeni bir nokta eklemek demektir.

Peki en az beş çocuğun gerektiği bir harita yaratılabilir mi?

Bu soru aslında grafa (hiçbir çizgiyle kesişmeden) tüm noktalarla bağlantısı olan beşinci bir nokta eklenip eklenemeyeceği anlamına da gelir.

Yani tek yapmamız gereken dört noktalı grafa beşincisini ekleyip bu yeni noktayı diğerleriyle birleştirmektir. Fakat deneyince bunun mümkün olmadığı görülür. Örneğin beşinci noktayı en dışarı koyarsak:

1 ile 5’in arasında diğerleriyle kesişmeyen bir çizgi çizmek mümkün değildir. Ne yaparsak yapalım aynı sonuçta karşılaşırız:

Dört Renk Teoremi

Yaklaşık 160 yıl önce Francis Guthrie harita boyamak üzerine düşünüyordu:

“Düzlemde çizilmiş olan herhangi bir haritayı komşu ülkeler farklı renkte olacak şekilde boyamak için kaç renk yeterlidir?”

İnanılmaz bir şekilde cevap sadece dörttür.

Matematikle ilgili olan/olmayan hemen herkesin anlayabileceği basitlikteki bu soru ilk defa 1852’de Francis Guthrie tarafından ortaya atılmıştı. Ancak 120 yıl sonra (1976’da) dört rengin yeterli olduğu bilgisayarda 1936 farklı senaryo incelenerek ispatlanmıştı. Bu ispat çok önemlidir çünkü tarihte ilk kez bir matematik teoremi bilgisayar kullanılarak ispat edilmişti.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

20190423_003916.jpg

Yukarıdaki grafa dördüncü noktayı ekleyin ve diğerlerine çizgilerle bağlayın. (Bunu yaparken dördüncü noktayı istediğiniz yere koymakta serbestsiniz.)

Şimdi elinizdeki grafa bakın: Dört noktadan herhangi biri çizgilerin içinde kalmış değil mi?

Bunu engellemenin yolu var mı?

Neden var/yok?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Graf #5

Zalim Trafik Işığı

Hemen her gün aynı dört yol ağzından geçiyorum. Tabii olarak en uzun süre kırmızı yanan ışığın bulunduğu tarafı kullanmak zorundayım. Bir bakıma beklemek iyi geliyor: Hayatla ilgili bazı şeyleri düşünmeme olanak sağlıyor. Fakat düşüncelere matematik eğitiminin girmesi çok fazla zaman almıyor.

Bu kısa düşünce seanslarında aklıma takılanlardan biri matematiğin trafik ışıklarıyla ne tür bir ilgisi olabileceğiydi. Kısa bir araştırmadan sonra karşıma matematiğin en sevdiğim kısımlarından biri olan çizge teorisi çıktı.

Işık #1

Tek yön araç akışı olan ve yayaların karşıdan karşıya geçebildiği bir yol düşünün.Araçlar için olan ışığa A, yaya için olanaysa B diyelim:

20190419_014641.jpg

Bu durumda kaza olmaması için A’da yeşil renk yanarken B’de kırmızı, B’de yeşil yanarken ise A’da kırmızı yanmalı. Her iki ışığın da kırmızı yanması kaza yok demekse de anlamsızdır; çünkü öyle bir durumda kimse yerinden kıpırdayamamış olur:

20190419_014707.jpg

Bu durumu çizge teorisinde nokta ve çizgi olarak da gösterebiliriz. A ve B noktalar olurken, aralarında çizgi bulunması noktaların farklı renklerde olduğunu gösterir:

20190419_014721.jpg

Aynı şeyi alan boyama ile de göstermek mümkündür: A ile B komşu iki ülke gibi düşünülebilir. Komşu ülkeler birbirleriyle karışmasın diye farklı renklerde boyanır:

20190419_014817.jpg

Işık #2

İkinci örnekte gidiş-geliş bir yol ve yayalar için konan trafik ışıkları olsun. Araçlar için olan trafik ışıkları A ve B, yayalar için olansa C harfiyle gösterilsin:

20190419_014838.jpg

Bu yolda C kırmızıyken A ile B’nin her ikisi veya herhangi biri yeşil yanabilir. C yeşilken ise A ile B’nin her ikisi de kırmızı olmalıdır:

20190419_014858.jpg

Hepsinin kırmızı olduğunda kaza olmayacaksa da kimse bir yere gidemediği için bu durumu es geçeriz.

İkinci trafik ışığını çizge teorisinde ve harita boyamayla aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

20190419_014930.jpg

Kurallar belirlendikten sonra çizge teorisinin trafik ışıklarının yanış şeklini ne kadar daha sade açıkladığını görebiliyoruz.

Işık #3

İki yönlü bir yolda sağa dönüş ve yayalar için iki ışık koyulmuş bir durumu ele alalım:

20190419_014947.jpg

Bu sefer öncekilere kıyasla görünürde çok daha karmaşık bir durumla karşı karşıyayız:

20190419_015005.jpg

Fakat çizge teorisi ve harita boyamayla karmaşa çözülür:

Kaç Renk Yeter

İki nokta arasında bir çizgi varsa bu noktaların farklı renkte olması gerektiğini düşünerek aşağıdaki grafleri boyayalım.

Kromatik Sayı: Herhangi bir grafte renklendirme/boyama yaparken amaç en az sayıda renk kullanmaktır. İşte bu sayıya bir grafin kromatik sayısı denir.

Burada en az 3 renk gerekir. Yani grafin kromatik sayısı 3’tür. Grafe bir nokta ve çizgi daha ekleyelim:

Nokta ve çizgi sayısı artmasına rağmen kromatik sayı 2’ye düşer. Bir nokta ve çizgi daha eklersek:

Kromatik sayı yine 3 olur. Son bir defa daha nokta ve çizgi ekleyelim:

Kromatik sayı tekrar 2’ye düştü.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Burada gerçekleşen şey ne? Ne fark ettiniz? Neden öyle oluyor?

Kromatik sayıyı nasıl artırabilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #4

2014 yılının Kasım ayında Rusya’nın St. Petersburg şehrinde bulunan dünyaca ünlü Hermitage müzesini ziyaret etmiştim. İçinde 1057 tane oda olan Hermitage’ı baştan sona yürüyen biri 22 km mesafe kat etmiş olur. Müzede bulunan eserlerin tamamına bakmak istiyorsanız, her esere sadece 1 dakika ayırsanız bile bu işi 11 yıldan önce bitirmenin mümkün olmadığını bilmeniz gerekir.

hermitage-map-st-petersburg
Hermitage’ın planı.

Bu yüzden Hermitage’ı sadece birkaç saatliğine ziyaret etmeye çalıştığımda nerede ne kadar süre geçirmem gerektiğini iyi ayarlamalıydım. Çünkü devasa müzeyi kısa sürede gezmem, ama bunu yaparken ilgimi çeken eserleri görmem gerekiyordu.

Aslında bu, çok orijinal bir problem değil. Hemen herkes günlük yaşamında bu tür problemlerle karşılaşır: “Ev-iş arasında hangi saatte hangi yolu kullanmalı?” gibi.

Postacının Yolu

St. Petersburg’da bu problemle karşılaşmam çok hoş bir tesadüftü. Çünkü Petersburg 18. yüzyılda ünlü matematikçi Leonhard Euler’e ev sahipliği yapmıştı. İlk graf yazısından hatırlayacağınız üzere Euler Königsberg’in yedi köprüsü problemiyle birlikte çizge teorisinin ortaya çıkmasına önayak olmuştu.

Königsberg probleminden 230 yıl sonra 1960’da Çinli bir matematikçi olan Mei-Ko Kwan soruyu biraz daha farklı şekilde ele almıştı:

Bir postacı rotasındaki evlere elindeki mektupları dağıtmak üzere posta ofisinden ayrılır. Postacının en kısa sürede tüm evlere uğrayıp tekrar posta ofisine dönmesi için nasıl bir rota izlemesi gerekir?

indir
Mei-Ko Kwan

Kwan’a ithafen Çinli Postacı Problemi olarak bilinen bu problemde önemli olan detaylar şunlardır:

  • Postacı rotası üzerindeki tüm sokakları kullanmalıdır. Fakat her sokak sadece ama sadece bir defa kullanılmalıdır.
  • Postacının rotasında başlangıç ve bitiş posta ofisinde olmalıdır.
  • Postacının amacı en kısa sürede yukarıdaki iki şartı yerine getirmektir.

Çizge Teorisinin Gücü

Mei-Ko Kwan Çinli Postacı Probleminin çözümünde Euler’in Königsberg’in yedi köprüsü için ortaya keşfettiklerinden yararlanmıştı. Kwan’a göre problem Euler’in yaptığı gibi graf haline getirebilirdi. Postacının gitmesi gereken mahalleler noktalarla, mahalleler arasındaki mesafeler (yani sokaklar) ise çizgilerle gösterilebilir.

Örnek Graf:

20190324_210039
A, B, C, D ve E harfleri mahalleri, aralarındaki çizgiler yolları gösteriyor. Çizgilerin üzerindeki sayılarsa postacının bir mahalleden diğerine ne kadar sürede gittiğini ifade ediyor.

Hatırlatma

Euler döngüsü nedir?

Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa o grafta bulunan tüm çizgiler bir ama sadece bir defa kullanılarak tam bir tur atılabilir demektir. Ayrıca Euler döngüsünde başlangıç ve bitiş aynı noktadadır.

Euler döngüsü ne zaman vardır?

Bir graftaki bir noktanın sahip olduğu çizgi sayısı, o noktanın derecesini verir. Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa, o graftaki tüm noktalar çift derecelidir.

Çözüm

Anlaşıldığı üzere Çinli Postacı Probleminin çözümü için postacının rotasında Euler döngüsü olmalıdır. Örneğin postacının güzergahı aşağıdaki gibi olsun:

20190325_123338.jpg
Çizgilerin üzerindeki sayılar harfler mesafeleri (km cinsinden olsun) gösteriyor.

İlk yapılması gereken şey tüm noktaların (harflerin) sahip olduğu çizgi sayısını bulmak:

20190325_123326.jpg

Yukarı görüldüğü üzere graftaki tüm noktalar çift derecelidir. Bu sayede hiç denememize bile gerek kalmadan bu rotada Euler döngüsü olduğunu söyleyebiliriz. O halde postacının en kısa sürede görevini tamamlaması için graftaki yolları kullanması yeterlidir:

20190325_123311.jpg
En kısa güzergah 11 km sürer.

Tek dereceli noktalar varsa grafa yeni çizgiler eklenerek (yani postacı yeni yollar üretmek zorundadır) tüm noktalar çift dereceye çevrilmelidir. Peki bu nasıl yapılır?

  1. Tek dereceli noktaları bul.
  2. Bu noktaları ikili gruplara ayır.
  3. İkili gruplar arası mesafeleri bul. En düşük mesafeliler eklenmesi gereken çizgileri belirtir.
  4. Çizgileri grafa ekle.

Yukarıda verdiğim mahalle örneği üzerinden giderek açıklamaya çalışalım. Sorun postacının A mahallesinden başlayıp yine A’da bitecek gününü en kısa sürede tamamlamak istemesidir.

Önce her mahallenin (yani noktanın) sahip olduğu yol sayısına (yani çizgi sayısına) bakalım:

20190324_210039
A ve D’nin 3’er, B, C ve E’nin 2’şer çizgisi vardır.

Her nokta çift sayıda çizgiye sahip olsaydı burada bir Euler yolu olurdu ve postacının en kısa turu direk mesafelerin toplanmasıyla bulunabilirdi. Fakat A ve D noktalarının tek sayıda çizgiye sahip olması bunu engelliyor:

20190324_210102

Bu durumda yapılması gereken şey, tek çizgiye sahip noktalar arasında yeni yol veya yollar yapmaktır. A ve D mahalleri arasında üç farklı yol vardır. Bunlardan en kısasını bulup grafa eklersek sorumuz çözülmüş olur:

20190324_210157

A-D mahalleri arasındaki yollar yukarıdaki gibidir. Görüldüğü üzere en kısa süre direk A-D arasındaki yoldadır. O halde A-D arasına yeni bir yol eklersek postacının sorunu çözülmüş olur:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki rotada A’dan başlayıp A’ya dönmesi gereken postacının en kısa yolu ne kadar süre alır? Bunu yapabilmek için kullanması gereken rota nedir?

20190324_210225

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #3

Pardon, sizi tanıyor muyum?

1928 yılında Frank Ramsey bir matematik problemiyle uğraşıyordu. Bu genç matematikçi uğraştığı problemi çözebilmek için yepyeni bir matematik branşını başlatmak zorunda kalmıştı. Maalesef Frank Ramsey bulgularını açıkladığı makale henüz yayımlanmadan 27 yaşında hayatını kaybetmişti. Fakat genç yaşında hayata veda etmesine rağmen Ramsey ölümsüz olmayı başarmıştı: Çünkü bugün bahsi geçen matematik branşına Ramsey Teorisi diyoruz.

Ramsey teorisinde temel sorulardan biri şudur: Kaosun (ya da rastgeleliğin) olduğu bir ortamda her zaman düzen bulunabilir mi? (Burada kaostan kasıt düzensizliktir.)

220px-Frank_Plumpton_Ramsey
Frank Ramsey (1903-1930)

Ramsey teorisi matematiğin mantık branşının bir alt dalı gibi görünse de bu yeni branşın bir çok uygulama alanı vardır. Bunlardan biri hemen hemen Ramsey teorisiyle aynı zaman diliminde ortaya çıkan çizge teorisidir.

Bu yazıda iki branşı bir araya getiren bir sorudan bahsedeceğim.

İhtiyaç Duyulanlar: Rastgele seçilmiş altı kişi.

Kaos: Altı kişi içinde bulunanların hangilerinin arkadaş, hangilerinin birbirine yabancı olduğu. (Arkadaş olmak iki yönlüdür: Sean Connery’i filmlerden tanıyor olmanız onunla arkadaş olduğunuz anlamına gelmez.)

Aranan Düzen: Bu altı kişi içinde herhangi üç kişinin birbiriyle arkadaş çıkması veya herhangi üç kişinin birbirine yabancı olması.

IMG_6185

Altı kişinin grafını çizelim. Grafta noktalar kişileri, düz çizgi arkadaş olmayı, kesik çizgiyse yabancı olmayı ifade etsin.

IMG_6186

Peki kaos nerede diye sorabilirsiniz. Altı kişi için arkadaş olup olmama ihtimali 30.000’den fazladır. Yani bu graf 30.000’den fazla ihtimalden sadece birini gösteriyor.

220px-Rasputin_PA
Rasputin herkesi tanır…

Grafta üç kişinin arkadaş olması düz çizgili üçgen; üç kişinin yabancı olmasıysa kesik çizgili üçgenle gösterilmiş olur. O halde grafın içinde üçgenleri aramamız gerekiyor. Şekilde de görüldüğü üzere bu altı kişinin içinde her iki üçgenden de bulunuyor: Örneğin Bill-Rasputin-Lewinsky bir arkadaş üçgeni oluştururken Alexandra-Lewinsky-Hürrem bir arkadaş olmayanlar üçgeni oluşturur.

Peki çizilebilecek her grafta (30.000’den fazla olduğunu hatırlayın) arkadaş olan veya olmayan üçlü bulunur mu?

Evet

Her ihtimali tek tek denemek imkansız olduğuna göre bir ispat yöntemi bulmak gerekir.

Sadece Rasputin’i ele alalım. Rasputin herkesle arkadaş olsaydı arkadaş sayısı 5, yabancı olduğu kişi sayısı ise 0 olurdu. Eğer 4 kişiyle arkadaş olsaydı, 1 kişiyle yabancı olurdu. Bu ihtimallerin tamamı aşağıdaki gibidir:

Bu ihtimaller sadece Rasputin değil, gruptaki herkes için geçerlidir. Buradan şu çıkarımı yapabiliriz: Gruptaki herkeste hep en az 3 arkadaş veya yabancı (arkadaş değil) ilişkisi vardır.

Hadi biz Rasputin’in üç kişiyle arkadaş olduğu durumu ele alalım:

IMG_6188

Bu durumda Rasputin ile arkadaş üçgeni oluşturmamak için Lewinsky-Hürrem-Alexandra birbirleriyle tamamen yabancı olmalıdır.

IMG_6189
Bu durumda Lewinsky-Hürrem-Alexandra bir üçgen yaratır.

Fakat üç kişinin arkadaş olmaması bu sefer kesik çizgili bir üçgeni sağlar. Bu da altı kişi için geçerli olan 30.000’den fazla ihtimalin tamamında en az bir tane üç arkadaş veya yabancı olduğunu gösterir.

Lewinsky-Hürrem-Alexandra üçgenini bozduğumuzda bu sefer Rasputin ile iki kadını kapsayan bir üçgen oluşuyor.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

5 kişilik bir grupta herhangi 3 kişinin arkadaş çıkması veya herhangi 3 kişinin arkadaş çıkmaması ihtimali var mıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #2

Bu Hangi Şekil?

Uzun süredir bu günü bekliyordum: Uzaylılar tarafından kaçırıldım! Evet, tarafından!

Neyse ki uzaylılar Türkçe biliyor. En sevdikleri içecek Rize çayı. İnce belli bardakta açık bir çay verdiler. Sakinleşmeye başladığımı gördüklerinde liderleri bana seslendi:

-Dünyalı! Üzerinde deneyler yapmak için seni kaçırdık ama sana karşı adil olmak istiyoruz. Çayını bitirdikten sonra gözlerini bağlayacağız ve seni rastgele bir gök cismine bırakacağız. Eğer üzerinde olacağın bu gök cisminin hangi şekilde olduğunu bilirsen seni evine geri götüreceğiz.

maxresdefault

Kristof Kolomb Yöntemi

Gök cismine bırakıldım. Uzay gemisi üzerimde; beni izliyorlar. Düşün Serkan, düşüün! A, evet buldum galiba. Eğer Kolomb gibi yapıp sürekli aynı yöne doğru ilerlersem, yuvarlak bir gezegende isem, başladığım yere dönmem gerekir.

Uzaylılardan sprey istedim. Böylece yolumu işaretleyip başladığım yere varıp varmadığımı görebileceğim. Günler, haftalar geçti ve sonunda başladığım yere vardım!

Demek ki bu gezegen tıpkı evim Dünya gibi küreye veya topa benzer bir şekilde. Cevabımı hazırladım ve uzaylılarla konuşmaya gidiyorum. Fakat… Aklıma bir şüphe düştü. Ya bu gezegen bir simit şeklindeyse?! Sonuçta simit de yuvarlak bir şekle sahip.

Çünkü eğer simit şeklindeyse ve ben de simidin bir tarafında düz ilerledi isem, başladığım yere dönmem normal. İzlediğim yol yuvarlaklığı gösteriyor ama ya simit gibi ortası boş bir şeklin üzerinde isem?!

Ne yapacağım şimdi?

Topun mu üzerindeyim? Yoksa simidin mi?

IMG_5900
Top şekli derken illa pürüzsüz yüzeyi olan harika bir şekilden bahsetmiyorum. Resimdeki gibi de olabilir.

Sizin İçin Yeni Bir Matematik

Aslında bu soru, topolojinin klasik sorularından biridir. Peki topoloji nedir?

Size şu ana dek Euler’in iki önemli buluşundan bahsettim: Euler’in çokyüzlüler formülü ve Euler’in Königsberg köprüsü problemi çözümü.

Euler’in Königsberg çözümü, 150 yıl sonra çizge teorisi isminde yeni bir matematik alanının ortaya çıkmasına neden olmuştu. Euler’in çokyüzlüler formülü ise çizge teorisinin alt dalı olduğu topoloji isimli matematik branşının çıkışına önemli bir etkide bulunmuştu.

Topoloji:

  • Yunanca’dan türetilmiştir. Topos (Yer/Yüzey/Uzay) + Lopos (Bilim).
  • Lastik levha geometrisi olarak bilinir.

Öklid Geometrisi vs. Topoloji

  • Öklid geometrisinde objeleri döndürebilir ve ters çevirebiliriz. Fakat germek, uzatmak veya bükmek gibi şeyleri yapamayız. Bunları yaptığımız anda uğraştığımız objenin özellikleri değişir.
  • Topolojide ise bir obje gerilip büküldüğünde objenin özelliklerinde bir değişme olmaz. Fakat kesmek, delmek veya ekleme yapmak topolojide objelerin özelliklerini değiştirir.
  • Öklid geometrisinde uzunluk ve açılar önemlidir.
  • Topolojideyse bunların bir önemi yoktur.
  • Bu yüzden Öklid geometrisinde bir kare ile bir üçgen farklı özelliklere sahipken, topolojide her iki şekil de aynı kabul edilir.

En Popüler Örnek

Uzunluk ve açıların önemli olmaması ilk başta anlamsız gelebilir. Halbuki günlük yaşamımızda önemli yer kaplayan bir örnek topolojiyi zaten hepimizin bilip kullandığını gösteriyor.

Toplu taşıma araçlarında, özellikle metro ve tramvaylarda durakları gösteren haritalar bulunur. Bu haritalara bakarken duraklar arasındaki mesafeleri veya hangi durağın daha büyük olduğunu bilemeyiz. Çünkü tüm duraklar noktalarla gösterilip birbirlerine çizgilerle bağlanmıştır.

İstanbul’da Taksim metro durağındasınız ve Levent yönüne doğru vagona bindiniz. Kaç durak sonra ineceğinizi öğrenmek için kapının üzerine doğru baktınız:

M2_Hattı

Görüldüğü üzere tüm durak isimleri noktalarla gösterilirken duraklar arası mesafeler de aynı bırakılmış. Gerçekteyse örneğin Taksim-Osmanbey arasıyla Levent-4.Levent arası mesafe aynı değildir.

İpucu: Bu Hangi Şekil?

Fark etmiş olmalısınız: Soru aslında gezegenin topolojik özelliğiyle ilgili. O halde oyun hamuru gibi bir materyal ile soruyu çözebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Graf #2

Yazıyı okumadan önce Bulmaca I başlıklı yazıyı okumanız gerekir. Yine de kısaca hatırlatmamızı yapalım: Yanınızda keçi, kurt ve lahana ile evinize dönerken karşınıza büyük bir nehir çıkıyor. Şansınıza nehirde terk edilmiş bir sal görüyorsunuz. Salın kapasitesi çok küçük ve karşıya her seferinde keçi, kurt ve lahanadan birini geçirebiliyorsunuz.

Fakat burada bir sorun var çünkü keçiyi kurt ile yalnız bırakmak istemezsiniz. Siz lahanayı bırakıp gelene dek keçiden geriye pek bir şey kalmayabilir. Aynı şekilde keçi ile lahanayı da yalnız bırakmamak gerekir, çünkü lahana keçinin en sevdiği yemeklerden biridir. Üçlü arasında sadece kurt ile lahanayı yalnız bırakabiliyorsunuz.

Peki herkesi nehrin karşısına nasıl geçireceksiniz?

Graf Kullanarak Bulmaca Çözmek

Bu basit görünümlü bulmacayı graf haline getirip çözümü bulabiliriz. Bunun için nehrin sol tarafı 1, sağ tarafı ise 2 rakamı ile gösterilsin. İlk durumda herkes nehrin sol, yani 1 numaralı tarafındadır. Bunu 111 (Kurt-Keçi-Lahana) ile gösterebiliriz.

O halde bu üçlü için sekiz farklı konum vardır: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 ve 222. Örneğin 112 demek kurt ve keçi nehrin solunda, lahana ise nehrin sağında demektir. Nihai amaç ise 222 konumuna gelmektir.

Grafı Çizmek

Biz bu sekiz konumun her birinin bir nokta ifade ettiğini varsayalım. Noktalar arasında geçişler ise çizgilerle gösterilsin. Noktalarımız ve bu noktalar arasında geçişi gösteren çizgilerimiz var. O halde şimdi helva yapabiliriz! Pardon, graf çizebiliriz demek istemiştim.

Başlangıç noktamız olan 111’den hareket edilebilecek üç nokta vardır: 112, 121, 211. (Örneğin 211’e gitmek demek kurdu sağa götürüp, keçi ve lahanayı solda yalnız bırak demektir.) Grafa döküldüğünde tüm ilişkiler şu şekilde gösterilir:

111

Eğer bu bağlantıların hepsini istediğimiz gibi kullanabilseydik, 111’den 222’ye ulaşmak çok basit olurdu. Fakat bulmaca bize iki kural vermiş ve bunlara göre bazı noktalar arasındaki bağlantılar (ya da çizgiler) kullanılamaz.

Çözüm

Yapılacak ilk hareket, çözümün kalanını belirler. Biliyoruz ki keçi ile lahana, kurt ile de keçi yalnız bırakılamaz. Bu yüzdendir ki ilk hamlede kurt ya da lahana karşı tarafa götürülemez. Grafikte bunun karşılığı şudur: İlk hareket 211 ve 112 yolundan yapılmamalıdır.

IMG_5358

O halde 111’den gidilebilecek tek yol kalır: 121 yolu. Bu da keçinin karşıya taşınması anlamına gelir. Böylece nehrin 1 tarafında kurt ve lahana yalnız kalır ki bulmacaya göre bu bir sorun teşkil etmez.

IMG_5359

İkinci harekete 121’den başlanacağına göre gidilebilecek üç nokta vardır: 111, 122 ya da 221. Zaten 111’den geldiğimiz için buraya geri dönmenin bir anlamı yoktur. Bu yüzden 122 ya da 221 noktalarından biri seçilmek zorundadır. Yani kurt ya da lahanadan birini nehrin 2 tarafına taşımalıyız.

122 yönünden gidersek:

Eğer 122 noktasına gidersek (ki bu lahanayı nehrin 2 tarafına götürmek demektir) keçi ile lahana yan yana kalmış olur. 122 noktasından sonra yine üç noktaya gitme şansımız vardır: 222, 121, 112.

  • 121: Bu noktadan geldiğimiz için geri dönmemizin bir anlamı olmaz. Yani 121’ye doğru gidilmez.
  • 222: En doğru seçim bu gibi görünür. Zaten amacımız herkesi nehrin 2 numaralı tarafında geçirmektir. Fakat 122’den 222’ye geçmek demek, lahanayı keçi ile yalnız bırakıp kurdu almak için nehrin 1 numaralı tarafına gitmek demektir. Bunu yaparsak biz kurdu alana dek keçi lahanayı hunharca katleder. Yani 122’den direk 222’ye gidemeyiz.
  • 112: O halde 122 noktasından gidebileceğimiz tek yer burasıdır. Bir diğer deyişle lahanayı karşıya bırakıp keçiyi geri götürmek.

112 noktasından gidilebilecek üç nokta vardır: 122, 212, 111. 111’e gitmek hem sorunun başına dönmek hem de keçiyi kurda teslim etmektir. 122 noktası ise bir önceki noktadır: Geri dönmenin bir anlamı olmadığını söylemiştik. O halde 112’den gidilebilecek tek yer 212 noktasıdır. Bu da keçiyi nehrin 2 numaralı kısmına geçirmek anlamına gelir.

212 noktasından direk 222 noktasına gidebiliriz. Çünkü 212 durumunda kurt ile lahana yalnız bırakılabilir. Böylece nehrin diğer kısmına gidip keçi alınabilir.

221 yönünden gidersek:

121 noktasından hareket edebileceğimiz iki farklı yön vardı. Bunlardan 221 yönünü seçseydik bulmacanın çözümüne ulaşabilir miydik?

221’den gidilebilecek noktalar 222, 211 ve 121’dir. Geri dönmek yok; bu yüzden 121 seçeneği devre dışı kalır. 221’den 222’ye direk geçip bulmacayı çözmüş olurduk ama bunu yapmak demek kurt ile keçiyi yalnız bırakıp lahanayı almaya gitmek demektir. O halde 221’den sonra gidilmesi gereken tek yön vardır: 211.

211’den gidilebilecek noktalar: 111, 221 ve 212’dir. 111 ve 221 noktalarına gitmek, geri dönmek manasına geleceği için buradan gidilmesi gereken nokta 212’dir. 212’den sonra 222, 211, 212 noktalarından birine doğru hareket edilmelidir. 212 noktasının anlamı şudur: Kurt ve lahana nehrin 2 numaralı tarafında, keçi ise 1 numaralı tarafta. Kurt ve lahana yalnız bırakılabileceği için keçiyi almaya gidebiliriz. Bu yüzden 212’den 222’ye geçip bulmacayı çözmüş oluruz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu üçlü arasına yeni hayvan ve bitkiler koyun. Kendi kendinize kurallar yaratın ve bu kurallara göre graf çizmeye çalışın. Sonucun olup olmadığını ve neden/nasıl sorularını graf ile açıklayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu