Matematik Atölyesi – Oyun #11

Lahana

1967’de M. S. Paterson ile J. H. Conway’ın yarattığı iki kişilik bir oyun olan lahanayı oynamak için kağıt ve kalemden başka bir şeye ihtiyacınız yoktur.

  • Oyuna başlarken kağıt üzerine rastgele üç adet nokta koyulur:20190429_140440.jpg
  • Oyuncular sırayla bir noktadan diğerine (veya bir noktadan yine kendisine) giden bir eğri çizer. Çizilen eğrinin üzerine bir de nokta konur:
  • Çizilen eğriler birbirini kesemez.

    20190429_140912.jpg
    Çizgilerin kesişmesi yasaktır.
  • Bir noktaya bağlı üç tane eğri varsa, o nokta artık ölüdür: Yani o noktaya başka bir eğri bağlanamaz:
    Soldaki resim ihlal içerirken sağdaki resimde A, B ve E noktaları “ölü”dür. Çünkü bu noktaların her biri üç çizgiye sahiptir.
  • Son eğriyi çizen oyunu kazanır.

Brüksel Lahanası

Lahananın bir başka versiyonu olan Brüksel Lahanası’nda başlangıçta konulan noktaların ufak çizgileri vardır. Bu noktalar ve üzerinde bulunan çizgiler istenilen sayıda seçilebilir. Örneğin birinde 3, diğerinde 4 çizgi olan iki noktayla oyuna başlayalım:

20190429_141609.jpg

Brüksel Lahanası’nda da oyuncular sırayla birer eğri çizer (her çizilen eğrinin üzerine yeni bir nokta ve iki küçük çizgi konur). Bu sefer eğriler noktalarda bulunan ufak çizgiler arasındadır:

20190429_141659.jpg

Yine bir önceki oyunda olduğu gibi çizilen eğriler birbirini kesemez ve yine en son eğriyi çizen oyunu kazanır:

En sağdakinde çizgiler kesiştiği için ihlal vardır.

Euler ve Lahana

Euler ile bu basit görünümlü oyunların ne alakası var diyebilirsiniz. Euler karakteristiğinden daha önceki yazılarımda bahsetmiştim.

Euler der ki:

Bir düzlemde (kağıt üzerinde) V tane nokta ve bu noktalar arasında birbirini kesmeyen E tane çizgi olsun. Bu nokta ve çizgilerin çerçevelediği yüzlerin sayısı da F olsun (tüm kağıdın da bir yüz olduğunu unutmayın). O halde:

V – E + F = 2 olur.

Yani nokta sayısıyla yüz sayısını toplayıp bundan çizgi sayısını çıkarırsan cevap her zaman 2 olur.

Bitmiş bir Brüksel Lahanası oyununu ele alın. Nokta, çizgi ve yüz sayılarını belirleyin:

Euler’in formülüne sayıları yerleştirin:

Euler her defasında haklı çıkacak!

Dört Renk

Yine bitmiş bir Brüksel Lahanası’nı ele alın. Bu sefer dört farklı renkte kaleme ihtiyacınız olacak:

Bitmiş oyun üzerindeki alanları komşu olanlar farklı renkte olacak şekilde boyarsanız dört rengin yeterli olacağını göreceksiniz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Lahana oyununu 3 nokta ile en fazla kaç el oynayabilirsiniz?
  2. Lahanayı kazanmak için bir strateji bulabilir misiniz?
  3. Brüksel lahanasında üçer dikeni olan iki nokta ile en fazla kaç el oyun sürdürülebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #6

Miras Problemi

Kral Serkan I ölüm döşeğindeyken sahip olduğu arsaları çocuklarına dağıtmaya karar verir. Doğal olarak Serkan I’in bazı koşulları vardır:

  • Her çocuk en az bir arsa alacak.
  • Birbirine komşu arsalar aynı çocuğun olmayacak.
  • Yukarıdaki koşullar sağlanmadığı takdirde mirasın tamamı “Fener Ol” kampanyası vasıtasıyla Frey’in bonservisine harcanacak.

Problem: Serkan I’in en az kaç çocuğu olmalı ki herhangi bir arsa paylaşımında sorun yaşanmasın?

Harita #1

Basit bir haritadan başlayalım:

20190423_000256.jpg

Bu durumda Serkan I’in iki çocuğunun olması yeterlidir:

20190423_000310.jpg

Bir önceki yazıdan hatırlayacağınız üzere harita ile graf birbirlerine dönüşebilir. Eğer arsalar noktaları ve iki arsanın komşu olması bu iki noktanın arasında çizgi olduğunu ifade ederse, haritamız aşağıdaki gibi graf olarak gösterilebilir:

20190423_000334.jpg

Bu haritaya bir arsa daha ekleyelim:

20190423_000402.jpg

Eklenen arsa graf için yeni nokta ve çizgi(ler) anlamına gelir:

20190423_000507.jpg

Harita #2

Yeni haritada üç arsa bulunsun:

20190423_000523.jpg

Bu haritayı graf haline getirelim:

20190423_000537.jpg

Grafta da görüldüğü üzere mirasın dağıtılabilmesi için Serkan I’in üç çocuğu olmalıdır:

20190423_000553.jpg

Harita #3

Üçüncü harita aşağıdaki gibidir:

20190423_000627.jpg

Bu dört arsanın kurallara uygun dağıtılması için miras dört çocuğa dağıtılmalıdır:

20190423_000642.jpg

Harita #3’teki durum graf olarak aşağıdaki gibidir:

20190423_000728.jpg

Harita #4

Serkan I’in bıraktığı arsaların aslında ABD haritasıyla aynı olduğunu varsayalım:

480271690e1e0485f71988e273730559

Bu haritayı paylaştırmak için Serkan I’in sadece dört çocuğunun olması yeterlidir:

amarikaaa

Ne Oluyor?

Dikkat ederseniz harita #2’nin grafından harita #3’ün grafına tek bir hareketle (yeni bir nokta koyarak) geçmek mümkündür. Hatta harita #1’den harita #2’ye geçiş de graf üzerine yeni bir nokta eklenip (3 numaralı olan) diğer iki noktaya bağlanarak gerçekleşmiştir:

O halde bir haritaya yeni bir mirasçı eklemek demek grafa yeni bir nokta eklemek demektir.

Peki en az beş çocuğun gerektiği bir harita yaratılabilir mi?

Bu soru aslında grafa (hiçbir çizgiyle kesişmeden) tüm noktalarla bağlantısı olan beşinci bir nokta eklenip eklenemeyeceği anlamına da gelir.

Yani tek yapmamız gereken dört noktalı grafa beşincisini ekleyip bu yeni noktayı diğerleriyle birleştirmektir. Fakat deneyince bunun mümkün olmadığı görülür. Örneğin beşinci noktayı en dışarı koyarsak:

1 ile 5’in arasında diğerleriyle kesişmeyen bir çizgi çizmek mümkün değildir. Ne yaparsak yapalım aynı sonuçta karşılaşırız:

Dört Renk Teoremi

Yaklaşık 160 yıl önce Francis Guthrie harita boyamak üzerine düşünüyordu:

“Düzlemde çizilmiş olan herhangi bir haritayı komşu ülkeler farklı renkte olacak şekilde boyamak için kaç renk yeterlidir?”

İnanılmaz bir şekilde cevap sadece dörttür.

Matematikle ilgili olan/olmayan hemen herkesin anlayabileceği basitlikteki bu soru ilk defa 1852’de Francis Guthrie tarafından ortaya atılmıştı. Ancak 120 yıl sonra (1976’da) dört rengin yeterli olduğu bilgisayarda 1936 farklı senaryo incelenerek ispatlanmıştı. Bu ispat çok önemlidir çünkü tarihte ilk kez bir matematik teoremi bilgisayar kullanılarak ispat edilmişti.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

20190423_003916.jpg

Yukarıdaki grafa dördüncü noktayı ekleyin ve diğerlerine çizgilerle bağlayın. (Bunu yaparken dördüncü noktayı istediğiniz yere koymakta serbestsiniz.)

Şimdi elinizdeki grafa bakın: Dört noktadan herhangi biri çizgilerin içinde kalmış değil mi?

Bunu engellemenin yolu var mı?

Neden var/yok?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Graf #5

Zalim Trafik Işığı

Hemen her gün aynı dört yol ağzından geçiyorum. Tabii olarak en uzun süre kırmızı yanan ışığın bulunduğu tarafı kullanmak zorundayım. Bir bakıma beklemek iyi geliyor: Hayatla ilgili bazı şeyleri düşünmeme olanak sağlıyor. Fakat düşüncelere matematik eğitiminin girmesi çok fazla zaman almıyor.

Bu kısa düşünce seanslarında aklıma takılanlardan biri matematiğin trafik ışıklarıyla ne tür bir ilgisi olabileceğiydi. Kısa bir araştırmadan sonra karşıma matematiğin en sevdiğim kısımlarından biri olan çizge teorisi çıktı.

Işık #1

Tek yön araç akışı olan ve yayaların karşıdan karşıya geçebildiği bir yol düşünün.Araçlar için olan ışığa A, yaya için olanaysa B diyelim:

20190419_014641.jpg

Bu durumda kaza olmaması için A’da yeşil renk yanarken B’de kırmızı, B’de yeşil yanarken ise A’da kırmızı yanmalı. Her iki ışığın da kırmızı yanması kaza yok demekse de anlamsızdır; çünkü öyle bir durumda kimse yerinden kıpırdayamamış olur:

20190419_014707.jpg

Bu durumu çizge teorisinde nokta ve çizgi olarak da gösterebiliriz. A ve B noktalar olurken, aralarında çizgi bulunması noktaların farklı renklerde olduğunu gösterir:

20190419_014721.jpg

Aynı şeyi alan boyama ile de göstermek mümkündür: A ile B komşu iki ülke gibi düşünülebilir. Komşu ülkeler birbirleriyle karışmasın diye farklı renklerde boyanır:

20190419_014817.jpg

Işık #2

İkinci örnekte gidiş-geliş bir yol ve yayalar için konan trafik ışıkları olsun. Araçlar için olan trafik ışıkları A ve B, yayalar için olansa C harfiyle gösterilsin:

20190419_014838.jpg

Bu yolda C kırmızıyken A ile B’nin her ikisi veya herhangi biri yeşil yanabilir. C yeşilken ise A ile B’nin her ikisi de kırmızı olmalıdır:

20190419_014858.jpg

Hepsinin kırmızı olduğunda kaza olmayacaksa da kimse bir yere gidemediği için bu durumu es geçeriz.

İkinci trafik ışığını çizge teorisinde ve harita boyamayla aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

20190419_014930.jpg

Kurallar belirlendikten sonra çizge teorisinin trafik ışıklarının yanış şeklini ne kadar daha sade açıkladığını görebiliyoruz.

Işık #3

İki yönlü bir yolda sağa dönüş ve yayalar için iki ışık koyulmuş bir durumu ele alalım:

20190419_014947.jpg

Bu sefer öncekilere kıyasla görünürde çok daha karmaşık bir durumla karşı karşıyayız:

20190419_015005.jpg

Fakat çizge teorisi ve harita boyamayla karmaşa çözülür:

Kaç Renk Yeter

İki nokta arasında bir çizgi varsa bu noktaların farklı renkte olması gerektiğini düşünerek aşağıdaki grafleri boyayalım.

Kromatik Sayı: Herhangi bir grafte renklendirme/boyama yaparken amaç en az sayıda renk kullanmaktır. İşte bu sayıya bir grafin kromatik sayısı denir.

Burada en az 3 renk gerekir. Yani grafin kromatik sayısı 3’tür. Grafe bir nokta ve çizgi daha ekleyelim:

Nokta ve çizgi sayısı artmasına rağmen kromatik sayı 2’ye düşer. Bir nokta ve çizgi daha eklersek:

Kromatik sayı yine 3 olur. Son bir defa daha nokta ve çizgi ekleyelim:

Kromatik sayı tekrar 2’ye düştü.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Burada gerçekleşen şey ne? Ne fark ettiniz? Neden öyle oluyor?

Kromatik sayıyı nasıl artırabilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu