Sayılar #12

Subitizing/altlandırma: Küçük bir gruptaki obje sayısını saymadan bilme yeteneğidir.

(Subitizing: Türkçe karşılığı “ani” olan Latince’deki “subitus” kelimesinden türetilmiştir.)

Gündelik hayatta altlandırmayı kullandığımız birçok durum vardır. 6’lı pakette soda aldığımızı farz edelim. Soda şişelerini buzdolabına nasıl dizersek dizelim şişe sayısının 6 olduğunu biliriz. Aslında bu bilgiye soda şişelerini saymamıza gerek kalmadan ulaşırız. Eğer soğuyan sodalardan birini içmeye karar verirsek, geriye 5 adet soda kaldığını bilgisine de yine sodaları saymadan ulaşabiliriz.

Hangi zarın kaç olduğunu üzerindeki noktaları saymadan biliyorsunuz.

Altlandırma için bir başka örneği tavla oyunundan verebiliriz. Diyelim ki attığımız zarlar 2 ile 5 geldi. Bu bilgiye ulaşırken harcadığımız süre neredeyse saniyenin onda birleri kadardır. Hatta, gelen zarların kaç olduğuna karar verirken harcanan süre tavla oyununu oynadıkça kısalabilir. Yani altlandırma, zamanla ve üzerine çalışıldığında gelişebilen bir yetenektir.

Kimi bilim insanlarının araştırmalarına göre 6 aylık bebekler 1, 2 ve hatta 3 kavramına görsel(3 defa zıplayan top) ve işitsel(3 defa alkışlamak) olarak sahiptir. Bir diğer deyişle insan doğduktan sonra sayı kavramını hızla geliştirmeye başlar.

Kebab Truck ve Altlandırma

Kebab Truck oyununda altlandırma; gelen müşteri gruplarının sayısında gizlenmiştir. Oyun oynandıkça daha yüksek skorlara ulaşılır. Bunun nedeni zamanla altlandırmanın gelişiyor olmasıdır.

Kebab Truck’ta müşterilerin aşağıdaki gibi geldiğini düşünelim:

Oyunda tecrübe kazandıkça bu durumda yapacağınız hamle, oyuna acemi iken yapacağınız hamlelerden çok daha farklı olur. Bunun en önemli nedeni, zamanla altlandırma yeteneğinizin gelişmiş olmasıdır.

Kebab Truck oyununun geliştirdiği bir başka yetenek ise basit aritmetik becerileridir. Bu beceriler sadece müşteri sayılarını toplama ve çıkarma ile sınır değildir. Skor sisteminin nasıl formüle edildiği çözülünce (gelen müşteri gruplarından maksimum skoru elde edebilmek için) çarpma işleminin de oyunun bir parçası olduğu anlaşılır.

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #18

Her sene Aralık ayı gelip çattığında şehirlerin görüntüsü bir anda değişir. Etraf yeni yılın gelişini müjdeleyen süslemelerle donatılırken alışveriş merkezlerinde, ofislerde ve hatta evlerde aşağıdaki gibi süslere rastlanır:

Ali hoca da her sene olduğu gibi sınıflarını süslemeye başlar. Fakat hoca, bu seneki süslemelerinde matematiği de kullanmayı aklına koymuştur.

Yeni Yıl Süsü Oyunu (Y.Y.S.O.)

Ali hocanın yarattığı Y.Y.S.O. iki kişilik bir oyundur. Bu yüzden sınıftaki öğrenciler ikişerli gruplara ayrılır ve her grubun kazananı bir sonraki tura yükselir. Oyunu kazanan öğrenci yeni yıl süslerinin sahibi olur ve sınıfı istediği gibi süsleyebilir.

Oyunun İçeriği

  • Her grupta aşağıdaki gibi 4 adet süs vardır:
  • Oyuncular sırayla bu süsleri birbirine dolar.
  • Dolama işlemi rakipten gizli yapılır.
  • Süsleri dolarken her oyuncunun en fazla dört hamle şansı vardır. Hamleden kast edilenin ne olduğu şöyle bir örnekle gösterilebilir:

İlk hamlede kırmızı süs aşağıdaki gibi dolandırılıyor olsun:

Bu, bir hamle sayılır. Kırmızı süs, mavi ve yeşil süsün altından geçirilmiştir. Sonraki iki hamle sırasıyla sarı ve mavi süsten gelsin:

Sarı süs, yapılan hamleyle yeşil ve kırmızının altından geçirilmişken; mavi süs, yeşil ve sarının üstünden geçirilmiştir. Böylece üç hamle sonucunda süsler yukarıda (sağda) görüldüğü gibi birbirine dolandırılmış olur.

Süslerin bu birbirine dolandırılmış hali aslında bir örgüdür.

Oyunun Amacı

Bir turdan galip ayrılmanız için rakibinizin yaptığı örgüyü ondan daha kısa sürede çözmeniz gerekir. (Not: Örgü çözüldüğünde ilk durumdaki gibi sıralanmış olmalıdır. Yani, yukarıdaki örnek için örgünün çözümünde süslerin renkleri soldan sağa sırasıyla sarı-yeşil-mavi-kırmızı olmalıdır.)

Örgüler

Hayatın içinde önemli bir yere sahip olan örgüler sadece yıl başı süslerinde değil, her an yanı başımızda kendini gösterir. Bazen bir peynirde, bazen saç şeklinde, bazen de bir sepette:

Kimi zaman da bir bileklikte:

Matematikte örgünün ne manaya geldiğini anlamak için Avusturyalı matematikçi Emil Artin’in 1920’lerde yaptığı çalışmalara göz atılabilir.

Gelin aşağıdaki örgüye birim örgü diyelim:

Ali hocanın oyununda amaç herhangi bir örgüden birim örgüye dönmekti. Bunu yapabilmek için Artin’in açığa çıkardığı bazı örgü özelliklerinden yararlanabiliriz.

Birinci örnek: İki ip ile örgünün çözülmesi.

Diyelim ki aşağıdaki gibi iki ipimiz olsun:

Soldaki, sağdakinin altından geçiyor.

Bu ipin tersi aşağıdaki gibi olur:

Bu sefer sağdaki, soldakinin altından geçiyor.

Eğer bu ikisi birleştirilirse ipler (uçlarından tutularak gerdirildiği takdirde) birim örgü haline döner:

İkinci örnek: Üç ip ile örgünün çözülmesi.

Üç ip alın ve aşağıdaki gibi örgü haline getirin:

Bu örgüde (yukarıdan aşağıya doğru) 3 kesişen yer vardır:

1: Yeşil, mavinin üstünden.

2: Kırmızı, yeşilin üstünden.

3: Mavi, kırmızının üstünden.

Yapmanız gereken şey, bu işlemleri sondan başlayarak tekrarlamaktır. O halde hamleler şu sırayla yapılır:

Birinci hamle: Mavi, kırmızının üstünden.

İkinci hamle: Kırmızı, yeşilin üstünden.

Üçüncü hamle: Yeşil, mavinin üstünden.

Bu ikisi birleştirilip her örgü iki ucundan çekilirse, sonuç birim örgü olur. Deneyin ve sonucu kendi gözlerinizle görün.

Kağıt ve Örgü

Bir A4 kağıdını alın ve kağıda falçata yardımıyla aşağıdaki gibi kesikler atın:

Şimdi kağıdı iki ucundan tutup yan çevirin. Karşınıza bir tür örgü çıkacaktır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  • Ali hocanın oyununda Emil Artin’in özelliklerinden nasıl yararlanabilirsiniz?
  • İkinci örnekte ipleri 90 derece sola yatırın. Soldan başlayarak iplerin kesişimlerini inceleyin. Ne görüyorsunuz?
  • Ali hocanın oyununu A4 kağıdı ile oluşturacağınız örgü ile oynayın. (Bunun için kağıda 3 veya 4 kesik atmanız yeterlidir.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #7

Serkan Hocanın Sistemi

Serkan hoca öğrencilerine her hafta belli sayıda soru verir. Bu sorulardan bir veya daha fazlasını çözen öğrenciler, çözdükleri soruların karşılığında bir ödül alır. Ödülü belirlemek için her dönem başında Serkan hoca ile sınıfları arasında bir anlaşma yapılır. Bu dönem için yapılan anlaşmaya göre ödül olarak oreo dağıtılacaktır:

10 soru verilirse:

  • 10, 9 ve 8’ini yapanlar 10 oreo,
  • 7, 6 ve 5’ini yapanlar 5 oreo,
  • 4, 3 ve 2’sinin yapanlar 2 oreo,
  • 1’ini yapanlar 1 oreo,
  • Hiç soru yapmayanlar ise oreo almayacaktır.

Dikkat edenler Serkan hocanın oreo ödüllerinin bir mantığı olduğunu anlamıştır: 10, 5, 2 ve 1.

Bunlar, soru sayısını (yani 10’u) kalansız bölen doğal sayılardır.

Ödül Dağıtım Makinesi (Ö.D.M.)

1 ay sonra…

Ödül sistemi başlayalı 4 hafta geçmişken Serkan hoca önemli bir sorunla karşı karşıya kalmıştı. Toplam 10 sınıfı olan Serkan hoca, her hafta birkaç saatini ödül dağıtmakla geçirmişti.

Neredeyse okuldaki tüm boş vaktini oreo dağıtmakla geçiren Serkan hoca, ödül dağıtımını kolayca halletmek için bir makine tasarlamayı düşünür:

  • Ö.D.M. 4 hazneden oluşacak. (10, 5, 2, ve 1’den dolayı.)
  • Haznelerin sırasıyla 10, 5, 2 ve 1 oreoluk kapasitesi olacak.
  • Makineye oreo girişi 10’luk hazneden olacak. Kurulan bağlantılarla diğer haznelere buradan oreo aktarılacak.
  • Altın Kural: Herhangi iki hazne arasında bağlantı olması için bu iki haznenin kapasiteleri birbirine kalansız bölünebiliyor olmalı.

10 soru için Ö.D.M. bağlantıları:

  • 10’luk hazne ile 5, 2 ve 1’likler arasında.
  • 5’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 2’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 1’lik hazne ile 10, 5 ve 2’likler arasında.

O halde Ö.D.M.’nin krokisi aşağıdaki gibi olur:

Yine mi graf?!

Graf teorisiyle tanışıklığınız varsa (veya blogda yer alan graf yazılarını okuduysanız), Serkan hocanın yarattığı sistemin aslında bir tür düzlemsel graf olduğunu fark etmişsinizdir:

10 soruluk Ö.D.M.’nin graf olarak gösterimi.

Birbirine kalansız bölünebilen sayılar (yani noktalar) arasında düzlemselliği bozmayacak şekilde (yani birbirini kesmeyecek şekilde) bağlantılar (yani çizgiler) çekilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Serkan hoca soru sayısını değiştirip 12 yaparsa ne olur?

12 soru için ödüller 12’yi kalansız bölen doğal sayılardır: 12, 6, 4, 3, 2 ve 1.

Bu durumda Serkan hoca makinesini kurabilir mi? Bir diğer değişle 12’lik Ö.D.M. için bağlantılar (birbirini kesmeyecek şekilde) yerleştirilebilir mi?

Örnek dizilim.

İpucu: Önce hangi noktalar arasında çizgi çekilmeli ona bakın. Ayrıca noktalar istenilen şekilde dizilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #7

Sınavdan Çakma Algoritması (S.Ç.A.)

1990’ların sonu…

Eve sonunda bilgisayar alındı. Ali’nin abileriyle girdiği “bilgisayarı kullanma sırası kimde?” savaşından galip çıkmasının en önemli nedeni ders notlarının yüksekliği. Bu sayede Carmageddon’da zombi ezen, Fifa 98’de şampiyonlar ligini gol yemeden kazanan Ali’nin Duke Nukem’de neler yaptığını ise size ancak bir latte karşılığında anlatabilirim.

Ali’nin bir seneden uzun süren bilgisayar oyunu çılgınlığı menajerlik oyunlarıyla önünü alamadığı bir noktaya çıktı. Üstüne üstlük, hala haftada birkaç gün arkadaşlarıyla futbol&basketbol oynamaya da devam eden Ali, bir felakete doğru hızla ilerliyordu. Tanrım, nasıl da fark edememişti?! Sınavlarından çakmak üzereydi!

İlk uyarı matematik sınavıydı. Ali’nin sınava çalışması için önünde sadece son bir gün kalmıştı. Fakat Ali’de artık bazı alışkanlıklar baş göstermişti. Ders çalışmak yerine yapabileceği bir sürü seçeneği vardı:

1. Evde Kalmak

Ali evde kalmayı tercih ettiğinde hemen bilgisayarının başına oturuyordu. Bilgisayarı açmasının nedeni tabi ki dersleriyle alakalı değildi. Masaüstünde bulunan üç oyundan birini oynuyordu:

a. Fifa

b. Carmageddon

c. CM (Menajerlik oyunu)

2. Dışarı Çıkmak

Ali dışarı çıktığında da arkadaşlarıyla buluşup kütüphaneye gitmiyordu:

a. Top peşinde koş

b. Aylaklık yap

S.Ç.A. Grafı

Önceki yazılarda bahsettiğim graf konusu, Ali’nin durumunu açıklarken büyük bir kolaylık sağlar. Ali’nin ders çalışmamayı seçtiği durumlarda yapacağı tercihler sınavdan düşük not almasına yol açar:

Grafın Bize Anlattıkları

Yukarıdaki grafta çizgiler Ali’nin yaptığı seçimleri, noktalar ise Ali’nin hangi durumda olduğunu gösterir. Graf bize kesin olarak iki şeyi söyler: Ali, ders çalışmamayı seçer ve sonuçta sınavdan çakar.

Bu yüzden Ali’nin seçimlerini gösteren çizgilerin bir yönü vardır.

Seçimler yapılırken bazı adımlar atlanamaz. Örneğin, Fifa oynamak için önce bilgisayarın başına oturmak, onun için de evde kalmayı seçmek gerekir.

Ali’nin seçimlerinin aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım:

Evde kal -> Bilgisayarı Aç -> Fifa oyna.

Bu durumda kısıtlı zamanı olan Ali’nin, zamanını Fifa oynamaya ayırdıktan sonra başa dönüp sınava çalışmasına olanak yoktur. Artık Ali için sınavdan kötü not almak kaçınılmaz bir son olacaktır.

Grafın bize anlattığı bir başka şey ise, Ali’nin yaptığı herhangi bir seçime geri dönememesidir. Matematikçiler bu tür grafları “yönlü çevrimsiz/asiklik/zincirleme graf” olarak adlandırmıştır.

***

Biraz Bilgi

Yönlü Çevrimsiz Graf

Bir yönlü çevrimsiz grafta döngü yoktur. Yani bir noktadan başlayıp yönlü çizgileri takip ettiğinizde, aynı noktaya bir daha dönemezsiniz.

Yönlü (ve sonlu) çevrimsiz graflarda en az bir “kaynak” ve yine en az bir “alış noktası” olarak adlandırılan noktalar bulunur.

Kaynak noktası, başka herhangi bir noktadan kendisine doğru çizgi gelmeyen noktadır. Yukarıdaki grafta “ders çalışma” isimli nokta, kaynak noktasıdır.

Alış noktası ise kendisinden başka herhangi bir noktaya doğru çizgi gitmeyen noktadır. Grafımızda “sınavdan çak” isimli nokta, alış noktasıdır.

***

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rutin işlerinizi yaparken aslında yönlü çevrimsiz grafları kullanıyorsunuz. Buna bir örnek göstermek için yine Ali’nin hayatından yararlanacağım.

Ali, her okul günü sabahında uyanır uyanmaz duş alıp okula hazırlanır. Bunu yaparken Ali’nin izlediği yol şunlardan oluşur:

Uyan

Duşa gir

Duş sonrası diş fırçala

Giyin

(Ali’nin okul kıyafeti pantolon, gömlek, kravat ve yelekten oluşuyor.)

Soru: Ali’nin okula hazırlanışını gösteren grafı çizin.

Not: Ali duştan sonra giyinirken her adımı doğru yönde tamamlamalıdır. Örneğin boxer’ını giymeden önce pantolonunu giyemez, değil mi?!

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #6

2600ler…

Sonunda Dünya dışında yaşayabileceğimiz bir gezegen keşfedildi. Bilim insanlarının T-489 ismini verdiği bu gezegende yaşam koşulları Dünya’ya benzer görünüyor. Uydu görüntüleri T-489’da su bulunduğunu gösterirken gezegenin atmosferinin de Dünya’nınki ile tıpatıp aynı olduğu keşfedildi.

T-489’un bulunduğu sistem.

Büyük devletlerin uzay ajansları ortak bir ekip gönderip T-489’da yaşam olup olmadığını kontrol etmekte anlaştı. Hazırlanan plana göre uydu görüntülerinden elde edilen veriler ışığında T-489’da belirlenen bir noktaya inecek ilk ekip, burada güvenli alan ve merkez üs oluşturacak.

Güvenli alan oluşturulduktan sonra ise yine uydu sayesinde belirlenmiş olan noktalara üç ayrı ekip gönderilecek. Bu ekipler hem bulundukları bölgelerde yaşam koşullarını inceleyecek, hem de farklı yaşam formları olup olmadığını kontrol edecek.

T-489’da bulunan merkez üs, keşfe çıkacak ekipler için bir harita yapacak. Merkez üssün hazırladığı harita hem gezegen üzerinde yolculuğun nasıl yapılabileceğini, hem de ekiplerden herhangi birinin sorun yaşaması durumunda üsse nasıl geri dönmesi gerektiğini açıklamak zorunda.

Haritanın görünümü: Sarı nokta merkez üs, diğer noktalar ise keşif ekiplerinin ziyaret edeceği konumlar.

Herhangi bir anda bir ekibin nerede olduğunun bilinemeyeceği durumlar için merkez üste çalışanlar çizdikleri haritaya bir de algoritma eklemeli. Bu, öyle bir algoritma olmalı ki, algoritmayı takip eden ekip(ler) sonunda merkez üsse varır.

Yol Boyama Problemi

1970’de Roy Adler’in ortaya attığı bir problem olan yol boyama problemi (road coloring problem), 2007’de yılında İsrailli matematikçi Trahtman tarafından çözülmüştü.

Trahtman, yukarıdaki gibi bir graf (veya harita) düşünmüştü; noktalar arasında bulunan yolların belirli yön ve renkleri vardı. Bu yön ve renkleri bulduğu algoritmaya göre oluşturan Trahtman’a göre grafın herhangi bir noktasından başlayıp üç kere mavi-kırmızı-kırmızı yolları izleyen biri her zaman sarı noktada duracaktır.

T-489’da Kaos

Gezegende keşfe çıkacak ekipler için harita yapmanız gerekiyor. Merkez üs ve gezilmesi gereken noktalar aşağıdaki gibi:

Keşif ekiplerinin yaşayabileceği en kötü duruma hazırlanmanız gerekiyor. Eğer ekiplerden birinin iletişimi kopar ve haritaya ulaşma şansı kalmazsa, yaratacağınız algoritma hayatlarını kurtaracaktır.

Geliştirdiğiniz fikir şöyle ilerliyor: Gidilmesi gereken her konumun girişine bir tabela konulacak. Bu tabelalarda sadece yolun yönü ve rengi yazacak. (Tabelalara haritaların asılmamasının nedeni, zeki bir uzaylı türüyle karşılaşılması durumunda merkez üssün yerinin direk uzaylılara gösterilmemesidir.)

Yarattığınız algoritmaya göre iki defa kırmızı-mavi yapmak ekipleri merkez üsse ulaştırır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Keşif yapılacak bir nokta daha olsun. Haritanız için öyle bir algoritma yaratın ki, izlenen algoritma sizi hep M noktasına (yani merkez üsse) geri döndürsün.

(Bunu yaparken en az sayıda yol kullanmaya özen gösterin.)

Matematik Atölyesi – Oyun #13

Köprüyü Geçmek

Mezopotamya’nın en güzel şelalelerinin yanı başında bulunan Togan, bulunduğu bölgenin en verimli topraklarına sahipti. Sadece birkaç yüz kişinin yaşadığı bu köyde bir kişi hariç herkes tarımla uğraşıyordu: Berkut.

Hayatının sonbaharında olan Berkut’un tamamen beyazlamış uzun saçları ve hipster sakalı vardı. Berkut’un hikayesi Toganlılar arasında bir nevi efsaneye dönüşmüştü. Anlatılanlara göre, evinin sınırlarına giren herkes ortadan kayboluyordu. Bu yüzden Togan’ı ikiye ayıran derenin diğer tarafında bulunan tek ev Berkut’unkiydi.

Berkut

Onu sadece bahçesine çıktığı zamanlar derenin öbür tarafında izleyebilen çocuklar için Berkut büyük bir bilinmezdi.

Berkut’un evi.

Toganlılar henüz çocuk yaşlarda tanıştığı hayatlarının büyük kısmını tarlalarda geçirirdi. Ali de son bir senedir arkadaşları gibi ailesine yardım ediyor, neredeyse güneşin doğuşundan batışına dek tarlada çalışıyordu. Fakat Berkut’un durumu Ali ve arkadaşlarının ilgisini çekiyordu. Bir gece yine Berkut hakkında konuşan dörtlü sonunda bir karar vermişti: Ertesi gün öğleden sonra işten kaytarıp derenin karşısına geçeceklerdi.

Ertesi gün gelip çattığında bahçesinde sandalyesine kurulan Berkut, Ali ve arkadaşlarının dere üzerinde bulunan köprüyü kullanarak karşıya geçişini izledi. Çocuklar kendilerini gizlemeye çalışarak onun evine doğru yaklaşıyordu. Berkut, çocukların evine doğru geldiğini anladı ve içeri girdi.

Çocuklar çalıların arasına saklanarak Berkut’un evinin önüne varmıştı. Evin dereye bakan bahçesine gizlice giren çocuklar, verandada bulunan sehpada bir tabak kurabiye ve dumanı tüten bir çaydanlık görmüştü. Şaşkın halde sehpanın üzerindekilere bakan çocuklar Berkut’un dışarı çıktığını görünce çığlık atıp hızla bahçeden farklı yönlere doğru kaçıştı.

Ali ve arkadaşları ancak hava kararınca birbirlerini bulmuştu. Artık karanlıkta derenin karşısına geçmek zorundaydılar. Fakat köprü aynı anda sadece ikisini taşıyacak güçteydi ve ellerinde sadece bir lamba vardı.

Berkut’un kendilerini kovaladığını düşünen çocuklar, en kısa sürede karşıya geçmek istiyordu.

Karşıya geçiş süreleri:

Aslı: 1 dakika

Ali: 2 dakika

Necdet: 6 dakika

Selin: 10 dakika

Herhangi ikili köprüyü, yavaş olanın hızında geçer. (Örneğin Ali ile Necdet beraber köprüyü 6 dakikada geçer.)

Bu durumda dört çocuk köprüyü en az kaç dakikada geçebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sayılar #11

Çok uzun yıllar önce Mezopotamya…

Yerleşik hayata geçen birkaç yüz kişilik bir topluluk Badaklar köyünde tarımla uğraşarak yaşamını sürdürüyordu. Badaklar çok çalışkan insanlardan oluşuyordu. Bu köyde yaşayanların en çok güvendikleri iki şey tarlaları ve sahip oldukları koyunlardı.

Badaklar köyünde pazartesi sendromu…

Badaklar’da bir sürü koyun vardı. Yünleri sayesinde kışın soğuktan korunur, sütleri ve etleri sayesinde de karınları doyardı. Bu yüzden Badaklar köyünde koyunlarla ilgilenecek kişinin hem güvenilir hem de bilge olması gerekirdi.

Köyün önde gelenlerinden olan Zaylin, koyunlardan sorumluydu.

Zaylin ve koyunları.

Zaylin’in görevi koyunları her gün doğumunda Badaklar köyünün yakınındaki harikulade tepelerde otlamaya çıkarıp, güneş batmadan önce onların sağ salim geri dönmelerini sağlamaktı.

Tanrım! Bu kadar mı koyunum vardı?!

Badaklar, yaşadıkları zaman için ileri bir topluluk olmasına rağmen insanlığın geri kalanı gibi henüz sayıları keşfetmemişti.

Bu noktada Zaylin için büyük bir sorun çıkıyordu: Her güne belli sayıda koyunla başlayan Zaylin, gün sonunda aynı sayıda koyunla köye dönüp dönmediğini nereden bilebilirdi? Yanlış anlamayın, Zaylin bilge biriydi. Fakat o da, yer yüzündeki herkes gibi saymayı bilmiyordu.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu noktada kendinizi Zaylin’in yerine koyun: Saymayı bilmediğiniz halde koyun kaybetmeden günü bitirdiğinizi nasıl bilebilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #17

Kafamızdaki Topoloji

Sürekli olaylara bakış açımızı değiştirmekten bahsediyorum. Örneğin bir bebekle karşılaştığınızda aklınıza öncelikle bebeği sevmek ve onu güldürmeye çalışmak gelir. Halbuki bebeğin saçlarına dikkat ederseniz, burada çok önemli bir matematik bilgisinin saklı olduğunu görebilirsiniz:

Her bebeğin kafasında yukarıdaki gibi bir nokta vardır. Görüldüğü üzere bu noktanın dışında kalan saçlar, bebeğin kafasının hemen her yönüne doğru uzuyor. Peki noktanın bulunduğu yerde çıkan saçların yönü neresidir?

Bunun açıklaması topolojide saçlı top teoremi ile yapılmıştır.

Saçlı Top Teoremi

Saçlı top teoremine göre tüylü (veya bulabilirseniz saçlı) bir topu herhangi bir yöne doğru taramaya çalışın. Topun en az bir noktasında bulunan bir tüyün (veya saçın) istenilen yöne doğru taranması mümkün değildir.

Bunu yapmaya çalıştığınızda en az bir tüy (veya saç) taranmak istenen yönde olmaz. Bu tüyün bulunduğu noktada bir tür tekillik bulunur; tüy istenilen tarafa yatmayıp dik durmakta ısrar eder.

Bebeğin kafası da bir nevi saçlı top teoremi örneğidir. (Bir nevi dememin sebebi, saçlı top teoremine göre topun yüzeyinin tamamının tüyle kaplı olmasıdır. Halbuki bir insanın kafasının her yeri saçla kaplı değildir.) Bu sebeple yukarıdaki resimde gösterdiğimiz noktada bir tekillik vardır; o noktada saç dik kalır. O saç bir türlü tarakla yatırılamaz.

Torus

İçi boş (bir diğer deyişle; delikli) bir cisim olan torusta saçlı top teoremi işlemez. Yani tüylü bir torusun tamamını tek bir yöne taramak mümkündür.

Hiç Rüzgar Yok

Saçlı top teoreminin kullanım alanlarından biri meteorolojidir. Teoreme göre herhangi bir anda dünyanın herhangi bir noktasında hiç rüzgar yoktur.

Bunu ispatlamak için tüylü topu tarama yöntemini düşünmeniz yeterli. Diyelim ki dünyanın her yerinde doğudan batıya doğru rüzgar esiyor olsun.

Bu durumda kuzey ve güney kutup noktalarında rüzgar olmaz. Yani saçlı top teoremi haklıdır.

Haritadayım

Saçlı top teoremi Brouwer’in sabit nokta teoreminin bir başka türüdür. Hatta bu teorem de L.E.J. Brouwer tarafından 1912 yılında ispat edilmiştir.

Sabit nokta teoremi için verilebilecek örneklerden biri de haritalarla ilgilidir. Örneğin bulunduğunuz ülkenin haritasının çıktısını alın ve sınıf içerisinde yere koyun:

Daha küçük bir harita da olur.

Harita üzerinde öyle bir nokta vardır ki, haritanın bulunduğu coğrafi konumla aynıdır.

Avm veya otobüs duraklarındaki “buradasın” haritaları buna örnek olarak gösterilebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdakilerin tüylü olduğunu varsayın. Hangisi /hangileri aynı yöne doğru taranabilir? Neden?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #16

Yürüyüş

  • Sınıfın içerisinde iki nokta belirlenir.
  • Bu iki nokta arasına bir çizgi (örneğin bir ip serilerek) çizilir.
  • Noktalardan birine öğrencilerden biri gönderilir.
  • Öğrenci harekete başladıktan 10 saniye sonra ipin diğer ucuna varmak zorundadır.
  • Öğrenciye yardımcı olmak için harekete başladıktan sonra hep bir ağızdan 10’a kadar sayılır.
  • Öğrenciden yürüyüşü iki defa yapması istenir ve her iki seferin de videosu çekilir.

Deneyin Amacı

Deney sonunda şu sorunun cevaplanması istenilir:

“Bu iki yürüyüşte öğrencinin ip üzerinde aynı zamanda bulunduğu bir nokta var mıdır?”

Özetle; öğrenci aynı yolu farklı hızlarda ama aynı sürede tamamlamaktadır. Öğrenilmek istenen şeyse yürüyüşler sırasında öğrencinin aynı konumda olduğu bir an olup olmadığıdır.

Öncelikle öğrencilere soru üzerinde düşünmesi ve akıl yürütmesi için zaman verilir. Daha sonra bu sorunun cevabı videoların yardımıyla verilir.

En önemli soru ise sona saklanır: Neden?

Yine bir neden sorusu… Gel de ayıkla pirincin taşını!

Ayıkla Pirincin Taşını

Küçüklüğümde bana verilenler işler arasında bir tepsi üzerine dökülmüş pirinç dağı içindeki taşları ayıklama işi gelirdi. Aslında bunu yaparken keyif alırdım. Çünkü pirinç taneleriyle garip şekiller yapmayı seviyordum.

Yıllar sonra matematik okurken öğrendiğim bir teorem bana taş ayıkladığım zamanları düşündürttü. Bu teoreme göre ayıklama işi bittiğinde en az bir pirinç tanesi, ayıklama işlemi başlamadan önce bulunduğu konumda olurdu. (Pirinç tanelerinin tepsinin yüzeyini komple kapladığını varsaydığımız durumda.) Bir diğer deyişle pirinç tanelerini ne kadar karıştırırsam karıştırayım, en az bir pirinç tanesi karıştırmadan önce neredeyse yine o noktada olurdu.

Bu inanması güç durumu açıklayan kişi Hollandalı matematikçi L.E.J. Brouwer’di. Brouwer’in sabit nokta teoremi topoloji ile alakalıdır ve matematiğin en önemli teoremleri arasında gelir.

Yürüyüşün Cevabı

Yürüyüş deneyi de bir tür Brouwer’in sabit nokta teoremi örneği olduğu için cevap “evet”tir: Öğrencinin yürüyüşleri nasıl olursa olsun yürüyüşler sırasında öyle bir an vardır ki, tam o anda öğrenci her iki yürüyüşte de aynı noktadadır.

Brouwer’in sabit noktasından bahsetmeye bir sonraki yazıda devam edeceğim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir adam sabah 08:00’da evinden yola çıkıyor ve 14:00’te başka bir şehirde yaşayan arkadaşını ziyaret ediyor. Ertesi sabah yine saat 08:00’de yola çıkıyor ve 14:00’te evine varıyor.

Koşullar

  • Değişmeyen şeyler başlangıç ve bitiş noktalarıyla yolculuğun süresidir.
  • Yani adam yolculukları süresince aynı ve/veya farklı hızlarda hareket ediyor olabilir.

Adam bu iki gün içerisinde aynı saatte yolun aynı noktasında olma ihtimali var mıdır?

İpucu: Mesafenin 600 km olduğu ve öğrencinin bu mesafeyi 6 saatte alacak şekilde hızlarda gittiği varsayılabilir. Örneğin gidişte saatte 100 km sabit hızı varken dönüşte ilk 2 saat 80 km/sa, sonraki 2 saat 100 km/sa ve son 2 saat 120 km/sa hızla yol aldığı düşünülebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #20

Alcatraz’dan Kaçış

Bir sınıf içerisinde bir duvardan diğerine uzaklık 5 metredir. Bu iki duvar arasına 6 metrelik bir ip bağlanır. İp yerden 2 cm yükseklikte olacak şekilde gerildikten sonra fazla gelen 1 metrelik kısmı bir uçtan sarkar durumda bırakılır.

Amaç; ipe değmeden altından geçip sınıftan kaçmaktır.

Kurallar

  • Kaçış iki duvarın orta noktasından yapılmalıdır.
  • İpi genişletmek için fazla kısım kullanılmalıdır.
  • İpe değmemeniz için bir kişi sıradaki öğrenci yerine ipi germe işini yapar.
  • Kaçış denemesi için herkesin tek bir hakkı vardır.

Kazanma Şartı: En az uzunlukta ip kullanarak ipin altından geçmek.

Futbol Sahası

Bir futbol sahasında iki kale arasında kalan mesafe 90 ile 120 metre arasındadır. Diyelim ki uzunluğun 100 metre olduğu bir sahadaki kalelerin orta noktaları arasına bir ip gerdik. Bu ip 100 metre uzunluğundadır ve saha yüzeyinin tam üstündedir. (Yani ip yere yapışık şekilde duruyor.)

İpin tam ortası, başlangıç noktası diye adlandırılmış olan noktaya denk gelir. Burası sahanın orta noktasıdır.

İpe 1 metre daha ekleyelim. İp, iki kale arasındaki mesafeden daha uzun olacağı için artık gergin değildir.

Soru: Son durumda sahanın başlangıç noktasından ipi kaç metre havaya kaldırabiliriz?

Çözüm

Soru bir bakıma şu anlama da gelir:

“Birbirine 100 metre mesafede bulunan iki nokta arasına biri 100, diğeri 101 metre olan iki ip bağlanmıştır. 101 metre uzunluğundaki ip tam orta noktasında yukarı doğru çekildiğinde, iki ipin orta noktaları arasında mesafe (diğer bir deyişle ikinci ipin yerden yüksekliği) kaç metredir?”

Yukarıdaki çizim incelendiğinde aslında iki tane birbirine eş dik üçgen olduğu görülür:

Dik üçgenlerin birinde Pisagor teoremi uygulanarak h kenarı, dolayısıyla aradığımız cevap bulunabilir:

Pisagor teoremi der ki: “Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.”

O halde:

(50,5)2 = 502 + h2

h ≈ 7,089 m olur.

Sonuç

100 metrelik ipe sadece 1 metre eklemek, ipin orta noktasının yerden 7 metre yükseğe çıkabilmesini sağlar. Yani sadece 1 metre ekleyerek ipin ortasında bir tır geçirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu