Matematik Atölyesi – Şans #6

Ne kadar şans?

Matematiğin işe yaramazlığından bahseden insanların (tamamı olmasa da) önemli bir kısmı olasılık konusunda kötü oldukları için sürekli zarara uğradıklarından bihaberdir. Halbuki hangi insana sorsanız olasılık konusunda kendinden emin konuşur.

Buna en güzel örneklerden biri kumarhane tecrübesi olanların hemen anlayacağı rulet oyunudur. 0’dan 36’ya kadar sayıların bulunduğu rulet masasında her turda top rulet çarkına bırakılır. Rulet oyununda topun çarkın üzerinde hangi sayıda duracağını tahmin etmek dışında da seçenekleriniz var. Mesela sayının renginin kırmızı ya da siyahtan hangisi olacağını veya hangi satır/sütundaki sayının gelebileceğini de tahmin etmeye çalışabilirsiniz.

Burada ben kırmızı-siyah olasılığı üzerinde duracağım. Toplam 37 sayının 18’i kırmızı, 18’i siyahtır. (Tek eksik olan sıfırın rengi bunların ikisi de değildir.) O halde ruletin bir turunda kırmızı veya siyah renkli bir sayının gelme olasılığı eşit ve 18/37’dir.

images55

Soru: Diyelim ki bir rulet masasında oturuyorsunuz ve art arda sekiz tane kırmızı renkli sayı geldi. Bir sonraki turda hangi renge oynardınız: Kırmızı mı? Siyah mı?

Bunun için ufak bir anket düzenledim. Sorduğum on arkadaşımın içinden sadece ikisi kırmızıyı seçeceğini söylerken altısı siyahı, kalan ikisiyse herhangi biri cevabını verdi. İşin garibi hemen herkesin daha ben sormadan şansların eşit olduğunu belirtmesiydi. Yani burada seçim yaparken matematik değil duygular ön plana çıkıyor.

Doğru cevapsa “fark etmez” olmalıdır. Her turda siyah ve kırmızının 18/37’şer, sıfırın ise 1/37 ihtimali vardır. Önceki turlarda ne geldiği hiçbir şeyi değiştirmez. Psikolojiniz hariç…

Uyarı: Kumar tüm kötülüklerin anasıdır. Uzak durun.

“Kumarbaz mısın?”

İki ve daha fazla kişinin oynayabileceği bir oyun olan “Kumarbaz mısın?” için gereken tek şey standart bir zardır.

indir (12)

Kurallar:

  • Oyuncular sırayla zar atar.
  • Gelen sayıları toplar. Amaç 50’yi ilk geçen olmaktır.
  • Eğer oyunculardan biri kendi turunda 6 atarsa, o turda kazandığı puanları kaybeder ve sıra diğer oyuncuya geçer.
  • Oyuncular kendi turlarında 6 gelmediği sürece zar atmaya devam edebilir ve istedikleri yerde turu bitirebilir.

Örneğin bir oyuncunun ilk zarı 4 gelsin. Zar 6 gelmediği için oyuncunun iki şansı vardır: Zarı ikinci defa at veya turu bitir ve 4 puanı toplam puanına ekle. Diyelim ki oyuncu devam etmeye karar verdi ve zar bu sefer 5 geldi. Oyuncu için yine aynı iki şans vardır: Ya puanlarını al (4+5=9 puan) ve turu bitir veya üçüncü defa zar at.

Ne öğrenilir?

Oyunda kaçınılması gereken tek zar 6’dır. Bu da toplam altı sayıdan sadece biridir. Yani ilk zar atıldığında 5/6 = 0,833… (diğer bir deyişle %83)  ihtimalle istediğiniz zarı elde edersiniz. Bunu iki defa üst üst yapma ihtimaliniz ise (5/6)*(5/6) = 0,694… olur. İkinci denemenizde %70’in altına düşülür.

O halde 10 defa üst üste zar attığınızda 6 gelme ihtimalini artırmış olursunuz. (%60 ihtimalle 6 gelir.)

Fakat her zar atılışına tek tek baktığımızda her zaman 5/6 ihtimali olduğunu görürüz. Bunu düşününce 6 gelme olasılığının zamanla daha yüksek olması gözden kaçmış olur.

Başta düşük olan ihtimal zamanla yüksek ihtimale dönüşür. Örneğin 100 defa zar attığınızda 6 gelmesi neredeyse kesindir:

screenshot_20190326-155011_calculator.jpg
%99,99999879 ihtimalle 6 gelir.

Sonuç: Bir zar 100 defa atıldığında 6 gelmesi neredeyse kesinken, her atış tek tek incelendiğinde bu ihtimal hep 1/6’dır. İşte düşük ihtimalin zamanla yüksek ihtimale dönüşmesi buradan kaynaklanır.

O halde kendinize şu soruyu sormanız gerekir: “Kumarbaz mısın?” oynarken ne zaman durmanız gerekir?

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

“Kumarbaz mısın?” oyununu biraz değiştirelim. Diyelim ki turun bitmesini gelen zar etkilemesin. İlk oyundan en büyük farklar şunlardır:

  • Atılan tüm zarlar geçerli olsun.
  • Bir oyuncunun toplam sayısı 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 veya 45’ten biri olduğunda oyuncu topladığı tüm puanları kaybetsin ve zar atma sırası diğer oyuncuya geçsin.

Bu oyunda nasıl bir strateji izlerdiniz? Bir önceki oyuna göre ne gibi farklılıklar görüyorsunuz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #13

Dinozor Sevgisi

Küçükken Pazar günleri televizyonların haftalık program listesini içeren kitapçığı okumaya bayılırdım. Bu kitapçık sayesinde “tsubasa”nın bölümlerini takip eder, en sevdiğim filmlerin o hafta televizyonda olup olmadığını öğrenirdim. Bu sevdiğim filmlerin başında 1993 yapımı Jurassic Park geliyordu.

Jurassic Park, Taş Devri (Flintstones) ile birlikte özellikle benim jenerasyonumun genetik, paleontoloji (diğer adıyla fosilbilim) ve dolayısıyla dinozorlara büyük ilgi göstermesine neden olmuştu. Öyle ki akranlarım arasında “Tyrannosaurus rex” ismini duymayan çok azdır.

Jhkbi8QKyPml
En sevdiğim paleontolog: Ross Geller.

Dragon Eğrisi

20’li yaşlarımın ortasında fraktallarla ilgili yaptığım bir araştırma beni Jurassic Park’ın kitabına yöneltmişti. İlk kez 1990’da yayımlanmış olan kitabın her bölümünün başında bulunan şekiller çok özel bir fraktalın yapılışını gösteriyordu:

OGvqP9l

Bu fraktal Jurassic Park fraktalı veya Dragon eğrisi olarak da bilinir.

Dragon eğrisi nasıl yapılır?

  • Yatay bir çizgi çizin.
  • Bu çizginin saat yönünde 90 derece çevrilmiş halini çizin.
  • İlk çizgiye ikincisini ekleyin.
  • Yukarıdaki işlemleri sonsuza dek tekrarlayın.

İlk deneme aşağıdaki sonucu verir:

20190318_123534

Aynı işlemlerin ikinci tekrarı:

20190318_123553

Üçüncü ve dördüncü tekrarlar:

Jurassic Park kitabında ilk bölümün başındaki şekil aslında dragon eğrisinin dördüncü tekrarıdır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Buraya kadar okuduğunuzda “e ne var bunda?!” demiş olabilirsiniz. O halde beraber bir deney yapalım. Öncelikle aşağıda gösterdiğim gibi ince uzun (çok ince olmasına gerek yok) bir kağıt parçası kesin:

20190226_123508

Kestiniz mi? Aferin. Şimdi bu kağıdın sağ ucunu sol ucuna birleştirin. Bir diğer deyişle kağıdı ikiye katlayın:

20190226_123548

Katlanan yer belli olsun diye biraz bastırın. Daha sonra kağıdın bir yarısını sabit tutup diğer yarısını buna dik olacak şekilde açın:

20190226_123649

Kağıdı tekrar kapatın ve bir daha sağ ucu sol ucuna gelecek şekilde katlayın:

20190226_123720

Kağıdı uçlarını sakince açarsanız aşağıdaki şekille karşılaşırsınız:

20190226_123749

Kağıdı tekrar kapayın ve üçüncü defa sağ ucu sol ucun üzerine getirin. Daha sonra kağıdı yavaşça açın:

Aynı işlemleri dördüncü defa yapın:

Sonuç: Bir kağıt dört defa ortadan ikiye katlandığı takdirde dragon eğrisinin dördüncü tekrarına ulaşılır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #10

Oreo’yu Kurtarmak

6 yaş ve üzeri herkesin oynayabileceği iki kişilik bir oyun olan Oreo’yu Kurtarmak için gerekenler:

  • Bir karenin içine çizilmiş 9 küçük kare:
    20190317_200302
  • Küçük karelerin bir aygıtı uzunluğunda 24 adet kibrit.
  • Kibritlerle oluşturulmuş 9 tane kare:
    20190317_200651
  • Her karede bir Oreo:
    20190317_200631

Kurallar:

  1. Her oyuncu sıra kendisine geldiğinde bir tane kibrit kaldırabilir.
  2. Bir Oreo’nun kurtulması için dört bir yanındaki kibritlerin kaldırılması gerekir:

    Sol üstteki Oreo’nun alınması için etrafındaki dört kibritin de kaldırılması gerekir.

  3. Oreo’nun etrafındaki son kibriti alan oyuncu Oreo’yu kurtarmış sayılır.

Amaç: En çok Oreo’yu kurtarmak.

Hücum-Savunma

Hücum Stratejisi: Bir Oreo’yu kurtarabilmek için etrafındaki son kibriti almanız gerekir.

Savunma Stratejisi: Bir Oreo’nun etrafında iki tane kibrit varsa, hamlenizi başka bir Oreo’nun etrafında yapmanız gerekir. Aksi takdirde Oreo’nun etrafında tek bir kibrit kalır ve rakibiniz o kibriti kaldırarak Oreo’yu kurtarmış olur.

Başlangıçta her iki oyuncunun da savunma stratejisini benimsemesi en mantıklısıdır. Fakat bir noktada oyunculardan biri savunma yapamayacak duruma gelir:

20190317_200536

Buradan sonra oyun aşağıdaki gibi devam edebilir:

Bu örnek oyunun sonunda ilk oyuncu Oreo’ların 6’sını, ikinci oyuncuysa sadece 3’ünü kurtarmış olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Oyunu her seferinde kazandıracak bir yöntem bulabilir misiniz?
  2. Bir oyuncu tek hamlede en fazla kaç Oreo kurtarabilir? Cevabınızı bir oyun örneğinde gösterin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #9

Ne demek “beraber bitti”?!

Tarihin gelmiş geçmiş en basit ve güzel oyunu olarak gördüğüm futbolda sevmediğim tek şey bir maçın berabere bitmesidir. Her ne kadar kazanan olmayan durumlar yaşansa da sezon sonunda şampiyonluğu sadece bir takım alır. Yani nihai sonuçta beraberlik yoktur ki böyle olması çok doğal. Zaten beraberlik kavramı oyun oynamanın amacına ters değil mi? Yoksa bunu bir tek ben mi düşünüyorum?!

zidane-juve
Pek berabere kalmak istiyorlarmış gibi bir görüntü yok sanki.

Daha önce de bahsetmiştim: Ben bir oyun-severim. Fakat bir oyunun berabere bitmesini hiçbir zaman kabul edemedim. Bu yüzden örneğin küçükken x-o-x oyununu sonucunda beraberlik mümkün olduğu için hiç severek oynamazdım. Hatta öyle ki oyun berabere bitmesin diye bilerek yanlış hamleler yapardım.

Çözüm Hex

  • Dokuz tane düzgün altıgeni aşağıdaki gibi dizin:
    20190308_152834
  • Karşılıklı kenarlar aşağıdaki gibi kırmızı ve mavi olarak ayrılsın:
    rm
  • Oyunculardan biri kırmızı, diğeri mavi rengi seçsin.
  • Oyuna ilk başlayan yazı-tura ile belirlensin.
  • Oyuncular sırayla istediği boş kutuyu seçsin.

Amaç: Kırmızı kalemli oyuncu kırmızı, mavi kalemli oyuncu ise mavi kenarlar arasında bağlantı kurmaya çalışır. Bağlantıyı kuran oyunu kazanmış olur.

Hex’in x-o-x’den en önemli farkı şudur: Hex hiçbir zaman berabere bitmez.

Hex’de oyunculardan biri muhakkak oyunu kazanır.

Örnek: Kırmızı başlarken.

Hex’de beraberlik olması için çabalayalım. Bu; ne kırmızı ne de mavi kenarlar arasında bağlantı kurulmaması anlamına gelir.

Diyelim ki kırmızı ilk iki hamlesini aşağıdaki gibi yaptı:

20190308_152908.jpg

Mavi oyuncu bu durumda kırmızının bağlantıyı kurmaması için aşağıdaki tercihi yapmış olması gerekir:

20190308_152935.jpg

Kırmızı üçüncü tercihinde mavinin en altta kendine yol yapmasını engellemesi lazım. Fakat mavinin yolunu tamamlaması için iki tercihi vardır:

xx

Bu yüzden kırmızı hangi kutuyu seçerse seçsin mavinin diğer kutuyu seçmesiyle oyunu mavi kazanır:

İşin fenası kırmızı maviyi engellerse bu sefer kendi kırmızıdan kırmızıya bağlantı kurmuş oluyor. Bu da her ihtimalde oyunun berabere bitemeyeceğini gösteriyor.

20190308_153134

Rastgelelik

Hex oyunu kağıdımız aşağıdaki gibi numaralandırılmış olsun:

20190308_153150

5’er tane kırmızı ve mavi kağıdı karıştırıp sırayla çekelim. Denemem aşağıdaki gibi sonuçlandı:

20190308_153218

Bu rastgele Hex’de maviler kazanmıştır.

Oyundaki rastgelelik için numaraların farklı dizildiği bir oyun kağıdını kullanalım:

20190308_153240

Bu sefer sırayla çekilen kırmızı ve mavi kağıtlar aşağıdaki gibi dizilir:

20190308_153259

Bu rastgele Hex’i de kırmızılar kazanmıştır. Her halükarda oyunda bir kazanan vardır.

Biraz Tarih
Hex ilk olarak 1942’de Danimarkalı mimar Piet Hein tarafında bulunmuştu. 1948 civarında ünlü matematikçi John Nash’in de Hein’dan bağımsız olarak Hex’i bulduğu bilinir. Hex ismini ise oyunu piyasaya süren Parker Brothers vermişti.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Orijinal hex kağıdı 11’e 11 boyutlarındadır. Linkte bulunan kağıdın çıktısı üzerinde oyunu oynayabilirsiniz. Bunu yaparken kazanma stratejileri üzerine düşünmeye çalışın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #8

Yargıç Tahterevalli 2.0.1

Önceki yazının sonunda 12. kutunun ağırlığı bilinmiyor iken bu kutunun en fazla üç denemede nasıl bulunabileceğini sormuştum.

Çözüme yine 12 kutuyu 4’erli üç gruba ayırarak başlamamız gerekir. Fakat bu sefer hem gruplara hem de kutulara isim vermeliyiz:

20190304_155612

İlk denemede A ve B gruplarını tahterevallinin uçlarına bırakalım. İki ihtimal vardır:

İhtimal 1: Tahterevalli dengededir.

20190304_155726

Bu ihtimal A ve B’de aynı kutuların bulunduğunu gösterir.

O halde aradığımız kutu C’deki dört kutudan biridir.

İkinci denemede C’de kutuların üçüyle A’daki üç kutuyu tahterevallinin iki ucuna bırakalım. (Neden A’daki üç kutu? Aslında A ve B aynı kutulara sahip olduğu için hangi üç kutunun alınacağı önemsizdir. Ben sorunun çözümünü gösterirken kolaylık olsun diye A’den üç kutu seçtim. Yoksa hepsi B’den veya ikisi A’dan biri B’den de pek tabi seçilebilir.)

İkinci denemeden sonra yine iki ihtimalle karşı karşıya kalırız:

a. Tahterevalli dengededir.

20190304_155805
Aradığımız kutu: C4

Yani C’deki üç kutu, A’deki kutularla özdeştir. Bu da ikinci denemede seçmediğim C kutusunun aradığımız kutu olduğu anlamına gelir.

b. Tahterevalli dengede değildir. Bu ihtimalde aradığımız kutunun C’den seçtiğim üçlü arasında olduğunu anlarız. Ayrıca tahterevalli ya C ya da A tarafına doğru eğiktir. Bu sayede C’deki kutunun diğer kutulardan daha ağır olup olmadığını da öğreniriz.

Yani soru artık şuna dönmüştür: Üç kutunun iki tanesi aynı ağırlıktadır. Üçüncü kutunun diğerlerinden daha ağır ya da hafif olduğu biliniyorsa, üçüncü kutuyu nasıl buluruz?

Bunu herhangi iki kutuyu tahterevallinin iki ucuna koyarak tek seferde bulabiliriz.

Tahterevalli dengede ise aranılan kutu tahterevallide olmayandır:

20190304_160019
Cevap: C

Tahterevallide denge yoksa aranılan kutunun ağırlığı bilindiği için kutu bulunabilir. (Daha ağırsa ağır olan taraf, hafifse hafif olan taraftadır.)

İhtimal 2: Tahterevalli dengede değildir.

O halde aradığımız kutu A ya da B grupları içindedir. İşin zor kısmı burası; çünkü sekiz kutu içinden hangisinin farklı olduğunu sadece iki denemede bulmamız gerekiyor.

Bu ihtimalde ilk deneme sonucunda öğrendiğimiz bir başka şey ise A ya da B gruplarından birinin diğerinden daha ağır olduğudur. Çözümün geri kalanı için A’nın B’den daha ağır olduğunu farz edeceğim. (Bunu yazı-tura atarak belirledim. Yani B’nin daha ağır olduğunu seçsem bir şey değişmezdi.)

20190304_160109.jpg
A grubu B’den daha ağırken.

İkinci denemeyi yapmadan önce A ile B arasında bir kutuyu, B ile C arasında da 3 kutuyu yer değiştireceğim. Bu deneme sonucunda tahterevalli üç şekilde durabilir:

a. Tahterevalli dengede:

20190304_160141.jpg
Kutumuz B2, B3, B4’den biridir.

Tahterevallinin üzerindeki kutular birbirinin aynısıdır. O halde aradığımız kutu ilk denemeden sonra çıkardığımız üç B’nin içindedir. Ayrıca tahterevalli dengeye geldiği için aradığımız kutunun diğerlerinden daha hafif olduğunu da anlamış oluruz.

Üç kutudan ikisi aynı ağırlıkta, biri onlardan daha hafif. Tek denemede hafif kutuyu bulabiliriz ki bu da toplamda üç denemede kutuyu bulduk demektir.

b. Tahterevalli ilk denemedeki gibi duruyor:

20190304_160130.jpg
Kutumuz A1, A2, A3’den biridir.

O halde aradığımız kutu A’daki üçlüden biridir. Ayrıca kutunun diğerlerinden daha ağır olduğu da anlaşılmıştır.

Yani ikisi aynı ağırlıkta, biri onlardan daha ağır üç kutudan ağır olanı bulmamız gerekir. Bunu tek denemede yapmamız mümkündür. Böylece toplamda üç denemede kutuyu bulmuş oluruz.

c. Tahterevalli ilk denemedeki durumun tersi şeklinde duruyor:

20190304_160207.jpg
Kutumuz A4 veya B1’den biridir.

O halde aradığımız kutu A ile B arasında değiştirilenlerden biridir. Fakat hangisinin daha ağır olduğunu bilemeyiz.

Bu durumda iki kutudan birini seçip, diğer 10 kutudan biriyle tahterevalliye koymalıyız. Eğer tahterevalli dengede ise aradığımız kutu seçmediğimiz kutudur. Eğer tahterevallide denge yoksa aradığımız kutu seçtiğimiz kutudur.

Aradığımız kutu A4 olsun:

20190304_160240

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #7

Yargıç Tahterevalli

Masanın üzerinde 12 tane hediye paketi var. Paketlerin tamamı aynı büyüklükte ve aynı hediye kağıdıyla kaplanmış.

rectangular white and red gift box

Bu paketlerin 11’i aynı ağırlıkta iken 12. paketin ağırlığı diğerlerinden farklı.

Amaç: Farklı ağırlıktaki paketi bulan kişi olmak.

Ödül: 50.000.000 eski Türk lirası değerinde Oreo. (Çünkü Oreo dünyadaki en güzel şeydir.)

Araç: En fazla üç deneme hakkı ve ölçüm yapmak için kullanılabilecek bir tahterevalli.

istockphoto-684156036-612x612

Yargıç Tahterevalli 1.0.1

Oyunun bu versiyonunda ek olarak farklı kutunun diğerlerinden daha ağır veya hafif olup olmadığı bilgisi veriliyor.

Bu noktada kendinize biraz süre verin ve farklı kutunun daha ağır olduğu durum üzerine düşünün.

***

Düşünmeniz bittiyse buyurun cevaba:

Diyelim ki farklı kutu diğerlerinden daha ağır. O halde önce 12 kutu 4’erli gruplara ayrılır.

Birinci denemede herhangi iki grup tahterevallinin uçlarına bırakılır. Bu noktada iki ihtimal vardır:

a. Tahterevalli dengededir.

tahte
Eğer ağır kutu bu sekiz kutunun içinde olsaydı tahterevalli dengede duramazdı.

Gruplar birbirine eşittir. Bu da aranılan paketin üçüncü gruptaki dörtlüden biri olduğu anlamına gelir.

 

İkinci denemede bu dörtlü ikişerli olarak tahterevalliye koyulur.

tahte3
Ağır olan kutu soldakilerden birisidir.

Tahterevalli daha ağır olan tarafa doğru eğilir. 12. paket ağır taraftaki ikiliden biridir.

Üçüncü denemede bu ikili tahterevallinin uçlarına bırakılır.

tahte4
Soldaki kutu ağır olandır.

Tahterevalli yine eğilir. Burada ağır olan paket 12. pakettir.

b. Tahterevalli dengede değildir.

tahte2
Tahterevalli ağır kutunun bulunduğu tarafa doğru eğilir.

Bu da aranılan paketin ağır olan taraftaki dörtlünün içinde olduğu anlamına gelir. Çözümün geri kalanı a şıkkındaki gibidir. Ağır olan paket üç denemede bulunmuş olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Yargıç Tahterevalli 2.0.1

Bu versiyonda 12. paketin diğerlerine kıyasla daha ağır ya da hafif olup olmadığı bilinmiyor.

Ufak bir değişiklik gibi görünse de oyun bir önceki versiyona göre çok zor bir hale geldi.

O yüzden soruyu çözmeniz için size biraz süre tanıyorum. Cevabı bir sonraki yazıda paylaşacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #12

Göründüğü Gibi Değil

Sahil şeridi paradoksuna Mandelbrot’un yaptığı açıklamayı gerçek bir örnek üzerinden giderek göstereceğim.

ABD ile Norveç’in yüz ölçümleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

Görünürde ABD lehine bariz bir fark olmasına rağmen Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin toplam kıyı şeridinden çok daha uzundur:

ABD: 19.924 km

Norveç: 25.148 km

Bu, Norveç kıyılarının aşırı derecede girintili-çıkıntılı olmasından kaynaklanır. Yani Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin kıyı şeridine göre çok daha pürüzlüdür. Mandelbrot bunu fraktal geometrisinde şöyle ifade eder: Norveç kıyı şeridinin fraktal boyutu ABD’ninkinden daha büyüktür.

Fakat bu, fraktal boyutu büyük olan şeklin daha uzun olduğu anlamına gelmez. Uzunluk ile fraktal boyut arasında bir karşılaştırma yapılamaz.

Ölçü Aleti

Sahil şeridi paradoksuna göre biz ne kadar küçük bir ölçü aleti seçersek, ölçülen uzunluk o derecede büyük çıkar. Peki ABD ve Norveç’in kıyı şeritleri hesaplanırken ölçü aletinin uzunluğu nasıl belirlendi?

İşte fraktal boyut burada işe yarar: Ölçü aletinin büyüklüğünü seçmede.

O halde Norveç ile ABD’nin kıyı uzunluklarını kıyaslamak için bunların fraktal boyutlarını hesaplamamız gerekir. Fraktal boyutları da bize seçilecek ölçü aletinin büyüklüğünü verir ki bu sayede iki kıyı arasında kıyas yapılabilir.

Soru: İyi ama bir sahil şeridinin tam uzunluğu nasıl ölçülür?

Maalesef ölçülemez. Bugün kıyı ve ülke sınırları için bilinen rakamların hiçbiri %100 doğru değildir. Ama emin olduğumuz bir şey var ki o da fraktal boyutu sayesinde kıyaslama yapabiliyor oluşumuzdur. Yani tam olarak uzunluğu bilemediğimiz halde herhangi iki kıyı veya sınırın hangisinin daha uzun olduğunu bilebiliyoruz.

Kutu Sayma Yöntemi

Fraktal boyut hesabı yapmak için sadece kutu sayma ismiyle bilinen basit bir yönteme ve hesap makinesine ihtiyacınız var.

Diyelim ki aşağıda gösterilen şeklin fraktal boyutunu bulacağız:

20190226_152316

Şekil 1×1 birimlik bir karenin içinde olsun. Öncelikle şeklin tamamını kenarı 1/4 birim olan karelere bölelim ve şeklin sınırının geçtiği kareleri sayalım:

Şeklin sınırı 14 tane karenin içinden geçer.

Daha sonra şekli bir kenarı 1/8 birim olan karelere bölelim ve yine sınırın geçtiği kareleri sayalım:

Bu sefer şeklin sınırı 32 tane karenin içinden geçer.

Hesap makinesi kullanarak sınırın geçtiği kare sayılarının birbirine bölümünün logaritmasını (yani 32/14’ün logaritmasını), kare boyutlarının birbirine bölümünün logaritmasına (yani {1/8}/{1/4}’ün logaritmasına) bölüp sonucu eksiyle çarparsak şeklin fraktal boyutunu buluruz:

loga.jpg

Rastgele çizdiğim şeklin fraktal boyutu yaklaşık olarak 1,19’dur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki şeklin fraktal boyutunu hesaplayın:

20190228_005941.jpg

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #11

Kesirli Boyut

Bir sahil şeridinin uzunluğu hesaplanırken kullanılan ölçü aleti ne kadar küçülürse hesaplanan uzunluk o derecede büyür. Bu da sahil şeritlerinin farklı (hatta sonsuza yakın) uzunlukta bulunabileceğini gösterir.

Mandelbrot sahil şeridi uzunluğunun büyümesi ile ölçü aletinin küçülmesi arasındaki orana “fraktal boyutu” ismini vermişti.

Öklid geometrisinde nokta 0, çizgi 1, kağıt 2, küp ise 3 boyutludur. Fakat doğada her şey Öklid geometrisinde gösterildiği gibi düzgün değildir. 20. yüzyılın başında Felix Hausdorff ismindeki bir matematikçi bazı şekillerin kesirli boyutlara sahip olduğunu göstermişti. Daha sonra Hausdorff-Besicovitch ismini alan kesirli boyut fikrini ele alan Mandelbrot fraktal geometrinin temellerini atmıştı.

Bir önceki yazıda Öklid geometrisinde boyut hesabından bahsetmiştim. Fraktal geometrisinde de şekillerin boyut derecesi hesaplanırken aynı formül kullanılır. Formülü test etmek için önce birkaç özel fraktaldan bahsetmem gerekiyor.

Kar Tanesi

İsveçli matematikçi Helge von Koch’dan ismini alan Koch kar tanesi diye de bilinen şekil, fraktal geometrinin en ünlü şekillerinden biridir.

Koch kar tanesini yapmak için işe düz bir çizgiyle başlanır. Çizgi üç parçaya ayrılır ve ortadaki parça silinir:

Ortadaki boşluğa silinen parçayla aynı uzunlukta iki çizgi koyulur (bir eşkenar üçgen yapılırmış gibi):

20190224_150711

Bundan sonraki her adımda şekilde düz çizgi bulunan her yere aynı işlemler yapılır. Önce her çizgi üç parçaya ayrılıp orta kısımlar çıkarılır:

20190224_161832

Daha sonra bu boşluklara silinen parçayla eşit uzunlukta iki yeni çizgi eklenir:

Koch kar tanesinin aşamaları ve kar tanesi görünümü:

El yapımı bir fraktal olan Koch kar tanesinin boyutunu bulmak için formülü uygulayalım. Bilmemiz gereken şeyler fraktaldaki parçaların boyutları ve sayılarıdır.

Koch kar tanesini yaratmak için çizdiğimiz ilk çizgi toplamları 1 birim yapan üç eşit parçadan oluşur:

20190224_161758

İkinci durumda bu parçalardan 4 tane vardır:

Adsızmbm.jpg

O halde Koch kar tanesinde parça uzunlukları 1/3, parça sayısı ise 4 olarak devam eder. Buradan Koch kar tanesinin fraktal boyutu (buna d diyelim) hesaplanabilir:

(1/3)d = 4

d ≈ 1,26.

Koch Eğrisi

Koch kar tanesini oluştururken bir düz çizgiyi üç parçaya ayırıp orta parça yerine eşkenar üçgen koymuştuk. Gelin bunu değiştirelim ve ortaya kare koyalım:

Sadece üç adımda şeklin ne kadar karmaşıklaştığını görebilirsiniz:

Bu özel Koch eğrisinde her bir düz çizgi bir öncekinin 1/3’ü uzunluğunda iken her seferde fraktalda 5 parça düz çizgi oluşur:

555.jpg

Boyut formülü uygulanınca fraktalın boyutu aşağıdaki gibi hesaplanır:

(1/3)d = 5

d ≈ 1,4649.

Peki boyutlar arasındaki fark neyi ifade ediyor?

Eğrinin Koch kar tanesinden daha yüksek boyuta sahip olması, eğrinin kar tanesinden hem daha fazla alan kapladığını hem de daha pürüzlü olduğunu gösterir.

Çıplak gözle de bunu fark etmek mümkündür:

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir başka el yapımı ünlü fraktal Waclaw Sierpinski’den adını alan Sierpinski üçgenidir.

Sierpinski üçgeni oluşturulurken önce büyük bir eşkenar üçgen çizilir ve bu üçgenin kenarları orta noktalarından işaretlenir:

İşaretli noktalar birleştirilerek dört yeni eşkenar üçgen ortaya çıkar. Yeni eşkenar üçgenlerden ortada olanı kesilirse şekil aşağıdaki gibi olur:

  1. Sierpinski üçgeninin fraktal olduğunu gösterin.
  2. Sierpinski üçgeninin fraktal boyutunu hesaplayın ve Koch kar tanesinin boyutuyla karşılaştırın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #9

Serkan’ın Adası

Yeni Zelanda yakınlarında Serkan Adası isminde özel bir adanın sahibiyim. (Rüyamda) Fakat ekonomik kriz sebebiyle adayı satışa çıkarmak zorunda kaldım. Yoksa yakında Nice’e özel jet yerine tarifeli uçuşla gitmek zorunda kalacağım…

Ebay ve sahibinden’e ilanımı koydum. Fiyat belirlerken kmyerine farklı bir birim seçtim: “Sadece sahil şeridi uzunluğunun kilometresi başına 100.000 dolara sahibinden satılık az kullanılmış ada.”

20190214_203034
Beyaz bölge: Serkan’ın adası.

Bir süre sonra ciddi bir alıcı ile pazarlığa tutuştuk. Alıcı sahil şeridinin uzunluğunu aşağıdaki gibi hesapladığını söyledi:

20190214_184605

Her bir uzunluk 8 km’dir. Bu hesaba göre adanın sahil şeridi yaklaşık olarak 8*3=24 km’dir. Yani alıcının teklifi 24*100.000 = 2.400.000 dolardır.

Teklifi az bulduğum için alıcıdan aynı yöntemi kullanarak tekrar hesap yapmasını istedim. Alıcı aşağıdaki gibi yeni bir teklifle geldi:

20190214_185221

Bu sefer alıcı tane 5 km olan düz çizgilerden 7 tane kullanır: 5*7=35 km. Alıcının yeni teklifi 35*100.000 = 3.500.000 dolardır.

Hala teklifin daha iyi olabileceğini düşündüğüm için alıcıdan bir kez daha sahil şeridinin uzunluğunu ölçmesini istedim. Gelen cevap aşağıdaki gibiydi:

20190214_185857

Alıcı son teklifinde sahil şeridini tanesi 3 km uzunluğunda olan 16 tane düz çizgiyle ölçer: 3*16=48 km. Yani son teklif 4.800.000 dolardır.

Soru: Alıcıdan isteyebileceğim en yüksek fiyat nedir?

Yazıyı okumaya devam etmeden önce soru üzerine biraz düşünün.

Sahil Şeridi Paradoksu

Alıcı cetvelin boyutunu küçülttüğü sürece sahil şeridinin uzunluğu artacaktır. Peki herhangi bir cetvelin en küçük boyutu ne kadardır?

1 cm?

1 mm?

1 mm’nin milyarda 1’i?

Buna verebileceğimiz bir cevap yoktur; cetvel sonsuza dek küçültülebilir.

Cetvel ile sahil şeridinin uzunlukları birbirleriyle ters orantılı olduğu için sahil şeridi sonsuz uzunluktadır.

İşte bu noktada bir paradoks ortaya çıkmıştır. Çünkü dünya üzerinde bulunan bir adanın sonsuz sahil şeridine sahip olmadığı bariz bir gerçektir. Buna rağmen yaptığımız hesabın bir üst sınırı yoktur.

Sorunun Kökeni

İngiliz matematikçi Lewis Fry Richardson (1881-1953) 20. yüzyılın ilk yarısında çok ilginç bir araştırma yapmıştı. Richardson’un araştırması herhangi iki ülke arasında savaş çıkma olasılığının hangi etkenlere bağlı olduğunu anlamaya yönelikti. Richardson’un sıra dışı araştırmasındaki sorulardan biri şuydu:

“Komşu iki ülkenin birbiriyle savaşma ihtimalini paylaştıkları sınırın uzunluğu etkiler mi?”

İngiliz bilim insanı bu soruya bir cevap bulmak için İspanya ile Portekiz’in paylaştığı sınır uzunluğunu incelemek istedi. Fakat iki ülkenin resmi kayıtları Richardson’u şaşırtıcı bir sonuçla karşılaştırmıştı. Ülkelerin verdiği sınır uzunlukları arasında fark olması normaldi. Halbuki İspanya ile Portekiz’in aynı uzunluk için verdiği değerler arasında 200 km gibi büyük bir fark vardı.

ispa.jpg

Tıpkı Serkan’ın adasında olduğu gibi aynı şey için farklı uzunluklar bulunmuştu.

Sahil şeridi paradoksunun başlangıcı işte bu olaydı.

Peki bu paradoksun mantıklı bir açıklaması var mı?

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Serkan’ın adasının 6.000.000 dolardan daha fazla bir fiyata satılması için sahil şeridi uzunluğunun nasıl ölçülmesi gerekir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Şans #5

En küçük çocuk olanlar bilir: Evle ilgili herhangi bir ayak işine gönderilen çoğunlukla evin en küçüğüdür. Bu yüzden çocukluğumun önemli bir kısmında ev-bakkal arasındaki ilişkinin başbakanı bendim. Bu yetmezmiş gibi okul hayatımın ilk sekiz yılını geçirdiğim yer de bakkalın hemen yanı başındaydı. Yani yıllar boyunca ev-okul-bakkal üçgeninde yürüyüp durdum.

Aslında bu olay pek canımı sıkmıyordu; çünkü küçükken hemen her durumdan kendime oyun çıkarabiliyordum. Örneğin bakkala doğru yürürken karşıma çıkan yuvarlağımsı bir taş futbol topuna, ben de zamanın en iyi futbolcularından biri olan Zidane’a dönüşürdüm.

Yaptığım yürüyüşler arasında en sevdiğim oyun ise hala devam ettirdiğim “çizgi yürüyüşü oyunu”dur.

Çizgi Yürüyüşü

Yaşadığımız semtte yerler resimdeki gibi taşlarla döşenmişti:

Çizgi yürüyüşü oyununda amaç atılan adımın taşın sınırlarını aşmamasıdır. Kendi kendime oynadığım bu oyunda eğer adımım taşın sınırları içindeyse +1, değilse -1 puan alırım.

Soru: Bir yürüyüş sırasında herhangi bir adımda +1 puan alma ihtimalim kaçtır?

Bilinmesi Gerekenler:

  • Ayağın şekli dikdörtgen kabul edilsin.
  • Ayak ölçüsü 30×6 cm olsun.
    20190212_134400
  • Taşların şekli kare kabul edilsin.
  • Bir kare şeklindeki taşın ölçüsü 60×60 cm olsun.
    20190212_134142
  • Her adım karenin içine aşağıdaki gibi düzgün ve dik şekilde denk geliyor olsun:

20190212_134726

Bir adımın +1 puan alabilmesi için en fazla taşın sınırına denk gelmesi gerekir. Bu da aslında ayağın (yani dikdörtgenin) merkezinin belli bir alan içinde bulunması gerektiği anlamına gelir.

20190212_134535
Dikdörtgenin merkezi.

Dikdörtgenin üst kenarı tam olarak karenin üst kenarında olursa, dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm uzakta olur:

20190212_134953

Eğer dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm’den daha az uzaklıkta ise, dikdörtgen karenin sınırını aşar:

20190212_135156

Eğer dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm’den daha fazla ama 45 cm’den daha az uzaklıkta ise, dikdörtgen karenin sınırları içinde kalır:

20190212_135542

Üst için yaptığımız bu çıkarım alt sınırlar için de geçerlidir.

Dikdörtgenin merkezinin karenin sağ ve sol sınırına uzaklığı için de aynı şeylerden bahsedebiliriz. Eğer merkezin karenin sağ/sol sınırına uzaklığı 3 cm’den daha az ise, dikdörtgen karenin dışına taşar:

20190212_140123

Mesafe 3 ile 57 cm arasında ise dikdörtgen karenin içindedir:

Sonuç

O halde atılan herhangi bir adımın taş karenin sınırları içinde kalması için adımın (yani dikdörtgenin) merkezinin aşağıdaki alan içerisinde yer alması gerekir:

20190212_140917

Karenin tüm alanı: 60*60 = 3600 cm2

Adımın merkezinin bulunması gereken alan S: 54*30 = 1620 cm2

Atılan rastgele bir adımın karenin sınırları içinde kalma ihtimali:

1620/3600 = 0,45 olur. Yani bu ölçüler dahilinde rastgele attığım bir adımın kare şeklindeki taşın sınırlarını aşmama ihtimali %45’tir.

20190212_161432

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Evde bir satranç/dama tahtanız varsa üzerine bir madeni para atın. Paranın kare kutucuklardan birinin içinde düşme ihtimali nedir?
  2. Hangi ölçülerle bu ihtimal %50’den fazla olur?

M. Serkan Kalaycıoğlu