Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #4

Portakal Mevsimi

Yine portakal kullanarak bir deney yapacağız. Portakal, şekil olarak Dünya’nın şekline yakın olmasının yanı sıra tadı sayesinde kanımca en güzel meyvedir. Ama portakal ile Dünya’nın ilişkilendirilmesi bana özgü değil.

Modern bilimin başladığı zaman dilimi olarak bilinen 17. yüzyılda dünyaya gelen İtalyan astronom Giovanni Cassini, yaptığı gözlemlerle bilim tarihinde kendine önemli bir yer elde etmişti. Satürn’ün halkalarını ve dört büyük uydusunu keşfeden kişi olan Cassini, modern fiziğin babası olarak görülen İngiliz Isaac Newton ile Dünya’nın şekli hakkında 40 yılı aşkın bir tartışmaya girmişti.

Cassini 1700’de oğlu ile yaptığı ölçümler sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplara doğru uzun ve ince olduğu gibi yanlış bir izlenim edinmişti. Newton ise kendisine büyük bir ün kazandıran yer çekimi kanunu sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplardan hafif basık olduğunu söylemişti. Cassini, ölçümünü yapmadan önce de Newton’un yer çekimi kanununu reddettiği için bulduğu sonucun doğruluğunu şiddetle savunmuştu.

gravity-orange-lemon-small (2)
Newton’a göre Dünya’nın şekli portakal, Cassini’ye göreyse limon gibiydi.

Tartışmayı sonlandıran olay 1736-1744 yılları arasında yapılan ünlü Fransız Jeodezi Görevi’nin raporuydu. Bu görevde elde edilen sonuçlar Newton’u doğrulamıştı. Portakal seçimini yaparken aklıma hep bu olayı getiririm.

Çevre Bulmak

Bir portakalın üzerine kısa bir aralıkla iki tane kule dikin.

IMG_5996

El feneri veya lamba kullanarak kulelerden birinin üzerine dik gelecek şekilde ışık tutun.

IMG_5995

Kuleler arasındaki mesafe bilinirse, portakalın çevresi hesap edilebilir mi?

En İyi İkinci

Milattan önce 3. yüzyılda antik Kirene şehrinde doğmuş olan Eratosthenes, coğrafya bilimini başlatan bilim insanı olarak bilinir. Antik Yunan matematiğiyle ilgili çalışmaları bulunan Thomas Heath (1861-1940) Eratosthenes için ilginç bir betimleme yapar: “Eratosthenes birden çok bilim alanında usta sayılan biri olmasına rağmen, hiç bir alanda ‘en iyi’ olmamıştı. Onu tüm olimpiyat yarışmalarına katılan ama hepsini ikinci bitiren bir atlet olarak düşünebilirsiniz.”

Coğrafya gibi çok önemli bir bilim dalını başlatmış olmasına rağmen Eratosthenes’in asıl ünü günümüzden 2200 yıl önce Dünya’nın çevresini hesaplamasından gelir. Eratosthenes’in Dünya’nın çevresi için bulduğu sonuç, bugün bilinen sonuca şaşırtıcı derecede yakındır. Peki bunu nasıl başarmıştı?

Eratosthenes yaşadığı şehir olan Kirene’deyken yaz aylarında belli bir günde hiç gölgesinin olmadığını fark etmişti. Fakat aynı gün aynı saatte İskenderiye kentinde gölgesinin olduğunu gözlemlemişti.

A harfi Kirene’yi, B harfi ise İskenderiye’yi göstersin.

Eratosthenes Güneş’in Dünya’dan çok uzakta olduğunu ve Güneş ışınlarının paralel olarak yol aldığını düşünüyordu. Ayrıca Dünya’nın yuvarlak olduğu fikrine sahip olan Eratosthenes bu yüzden bir yaz gündönümünde Kirene’de gölge sıfırken İskenderiye’de uzun bir kulenin gölgesinin boyutlarını incelemişti

İskenderiye’deki gölgenin kuleye göre 7,2 derecelik bir açı yaptığını ölçen Eratosthenes, İskenderiye ile Kirene arasındaki mesafeyi (5000 stadyum) de bildiği için Dünya’nın çevresini hesaplamıştı.

IMG_5984
Stadia (stadyumun çoğulu) bir antik Yunan uzunluk birimidir. Antik Yunanistan’da birden çok stadyum birimi kullanılıyordu ve bunlar 154 metre ile 215 metre arasındaydı.

Eratosthenes’in hesabında kullandığı ölçü birimlerinden tam olarak emin olamasak da, yaptığı hesap ve kullandığı yöntem zamanının ötesindeydi. Bu yüzden binlerce yıl sonra dahi hala yaptığı ölçümden bahsediyoruz.

Portakalın Çevresi

Eratosthenes’in yöntemini bildiğinize göre artık portakalın çevresini bulabilirsiniz.

İpucu: Portakala diktiğim gölgesi olan pipetin yaptığı açı 12 derecedir ve iki pipet arasında tam olarak 1 cm mesafe vardır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #3

Miras

Küçükken bayramdan bayrama, büyüdükten sonraysa sadece düğünlerde görülen uzak akrabayla ilgili en sevdiğim şeydir miras. Milli piyango, sayısal loto ve benzeri oyunlarda şansım yaver gitmediği için ara sıra bana miras kaldığını hayal ederim. Moskova, Cannes, LA’de birer daire satın alıp dört ayda bir diğerine geçerim… Yargılamayın; hayal benim değil mi?!

Bir süre sonra hayal gücümde mirası nasıl harcayacağım konusu sıkıcı gelmeye başladı. Bu yüzden mirasın elde edilme süreciyle ilgili hayaller üretmeye başladım. Play station’da oyun oynarken bile oyunun seviyesini en zora ayarlıyoruz ki zevk alalım. O halde zor yoldan elde edilecek mirasın da zevki başka olur, değil mi?

Hayalimdeki miraslardan birinde avukat bey bana bir harita verir:

“Serkan bey, haritada işaretli olan yerde bir gömü var. Gömünün içinde 24 kg ağırlığında bir Osmanlı definesi bulacaksınız. Gömüye ulaşmak için 15 saat vaktiniz var. Kullanmanız için bir uçak ve uçuş ekibi havalimanında sizi bekliyor.

Yapmanız gereken tek şey pilotlara hangi rotayı izlemeleri gerektiğini söylemeniz. Eğer en kısa rotayı bulamazsanız miras en sevmediğiniz futbol takımına hibe edilecek.”

En Kısa Yol

Google maps sayesinde koordinatları çözdüm: Gömü Los Angeles(LAX) havalimanında. Tek yapmam gereken İstanbul Atatürk ile Los Angeles LAX arasındaki en kısa yolu bulmak.

Üç boyutta iki nokta arasındaki en kısa yol düz çizgidir. O halde harita üzerinde İstanbul ve Los Angeles’i birer nokta olarak düşünürsem, bu iki nokta arasında çizeceğim düz çizgi en kısa yol olacak. Hayalimdeki soruya bak, iki dakikada çözdüm.

Dünya’nın Şekli Ne Serkan?

Eğer Dünya düz olsaydı, şüphesiz tarihin en sıkıcı hayalini kurmuş sayılacaktım. Fakat Dünya’nın yuvarlak olduğunu uzun bir süredir biliyoruz. Ne? Düz Dünyacı mısınız? Lütfen terk edin bu siteyi!

Türk Hava Yolları’nın internet sitesinde İstanbul ile diğer şehirler arasında izlenilen yollar gösterilir. İstanbul ile Los Angeles arasındaki yol aşağıdaki gibidir:

thy rota

Peki ama neden?

projections6
İstanbul-New York arasına bakalım: Bu haritaya göre en kısa yok düz çizgi olmalı.
projections7
Fakat yuvarlak gezegenimize yukarıdan bakıyor olsaydık görüntü bu şekilde olurdu. Harita üzerinde düz çizgi sandığımız yol aslında bir eğridir.

Çünkü Dünya veya bir top gibi yuvarlak şekle sahip şeylerin üzerinde bulunan iki nokta arasındaki en kısa mesafe her zaman bir eğri olacaktır. Bunu bir ip veya oyun hamuru ile deneyip kendiniz de görebilirsiniz.

O halde düz harita üzerinde en kısa yolu bulmak neredeyse imkansızdır. Klasik sorumuzu soralım: Neden?

Çünkü Dünya gibi yuvarlak şekilli nesneler tam olarak 3 boyuttan 2 boyuta  tam olarak indirgenemez. Bugün sahip olduğumuz bazı haritalar belli ölçüde doğru olsa da aslında hiç bir harita %100 doğru ölçeği vermez. Örneğin bir topun üzerinde üç nokta alalım ve bir üçgen çizelim. Bu üçgenin kenarları eğri olacaktır.

Bunu basit bir örnekle daha destekleyebiliriz. Bir portakal üzerine üçgen çizin ve üçgen şeklindeki kabuğu soyun. İlk olarak fark edeceğiniz şey portakalın üzerinde düz çizgiler çizilmesine rağmen üçgenin kenarlarının düz değil eğri olduğudur. İkinci ve en önemlisiyse bu kabuğun kenarları ne yaparsanız yapın hiç bir zaman tam olarak düz hale getirilemez. Bir kenarı masaya bastırdığınızda diğer kenarların havaya kalktığını görebilirsiniz.

Ancak, topoloji sayesinde bu üçgeninin kenarlarını düz çizgiler yapabiliriz. Oyun hamuruyla aynı şeyi denersek, kenarlarını uzatarak üçgeni düz hale getirebiliriz. Ama bu da gerçek ölçekten uzaklaştığımız anlamına gelir.

Sonraki Yazıda: Eratosthenes’in harika yöntemi.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Oyun #4

Son Kalan Bisküvi

Küçük bir çocukken avcı&toplayıcı atalarımdan kalan genleri kullanmayı öğrenmiştim. Eğer benim gibi kalabalık bir ailede yer alıp, bunun üzerine bir de abur-cubur düşkünü bir çocukluk geçirdiyseniz çoğunlukla hızlı ve güçlü olanın yiyeceği kaptığını çok iyi biliyorsunuzdur. Üstelik kalabalık boş bir kalabalık değildi; yani rekabet de had safhadaydı.

İyi bir avcı sayılırdım. Sülalenin en küçüklerinden biri olmam nedeniyle yaşadığım fiziksel dezavantajları kurnazlık ve/veya çabuklukla telafi edebiliyordum.

Şimdi dönüp geriye bakınca keşke kurnazlığımı daha çok kullanabileceğim durumlar olsaydı diyorum.

püsküü
Püskevit de değil!

Çay Partisi

Çay demlendi, pötibörler de hazır. Bileğimi ısıtıyorum ki çaya banarken kırılma noktası gelmeden hızla pötibörü bardaktan çıkarabileyim… ve fakat… misafir geldi…

Elde kakaolu ve normal pötibör var. Siz de, misafir gelen arkadaşınız da kakaolu pötiböre kavuşmak için sabırsızsınız. Hepi topu dört tane kakaolu pötibör kalmış, bu yüzden paylaşmanın gereksiz olduğunu konusunda hemfikirsiniz. Pötibörler konusundaki kararı oynanacak oyunun galibi verecek.

IMG_5786

Kurallar:

  • Bisküviler sırayla alınacak.
  • Sırası gelen oyuncu ya sadece bir taraftan istediği kadar, ya da her iki taraftan aynı sayıda olmak şartıyla istediği kadar bisküvi alabilir.
  • En son bisküvileri alan oyunun galibidir.

Örnek: Ev sahibi vs. Misafir

Altı normal, dört tane de kakaolu pötibör var.

İlk misafir başladı ve kakaolu kısımdan bir tane aldı.

Sıra ev sahibinde. O da normal kısımdan bir tane almayı tercih ederken misafir her cins pötibörden de birer tane aldı.

Sırada olan ev sahibi normal pötibörden üç tane aldı.

IMG_5792

Misafir bir tane kakaolu aldı.

IMG_5793

Sıra ev sahibine geçince ortada her cinsten de birer tane bisküvi kaldığı görülüyor. Böylece ev sahibi her iki bisküviyi de alarak oyunu kazandı.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Verilen örnekte ilk başlayan olup olmamak kazanmayı etkiliyor mu?
  2. Örnekte hangi durumda misafirin oyunu kaybettiği anlaşılıyor? Bu noktada misafirin yapacağı hamlenin önemi var mı?
  3. Farklı sayılarla bisküvileri kullanarak her seferinde kazanmanızı sağlayan bir yöntem bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Geometri #8

Pastayı Kesmenin Doğru Yolu

Bir pasta diliminden bahsederken hemen herkesin aklına tek bir şekil gelir:

Halbuki bir pastayı kesmenin doğru yolu bu değildir. 20 Aralık 1906 tarihinde yayınlanan Nature dergisinin 173. sayfasında ünlü İngiliz bilim insanı Francis Galton’un gönderdiği kısa bir bilgi yer alır. Galton’a göre yuvarlak bir pastanın bayatlamasını engellemek için pastayı “doğru bilimsel yöntemlere” başvurarak kesmek gerekir.

keks
Francis Galton’un yazısı.

Bir yaş pastayı geleneksel şekilde kesince, kesilen kısımlar açıkta kalır ve anında bayatlamaya başlar. Bunu engellemek isteyen İngiliz bilim insanı, doğru kesim yöntemini geometrik olarak açıklamıştı.

Bay Galton’a göre yuvarlak pastayı kesmek için (tabi ki bıçak dışında) bir tek elastik banda ihtiyacımız vardır.

IMG_5755

İlk Kan: İlk bıçak darbeleri, pastanın çapına aynı uzaklıkta bulunan, çapa ve dolayısıyla birbirlerine paralel olan iki hayali doğruya vurulur.

Uzun parça yenilmek üzere pastadan çıkarılırken, kalan parçalar elle birleştirilir. Kesilen kısımlar birbirlerine olabildiğince bağlı olsun diye pastanın etrafına bir lastik bant takılır.

İkinci Kesik: İlk kesiğe dik bir şekilde atılır. Kalan pasta dört parçadan oluşur. Parçalar el yardımıyla birleştirilir ve ayrılmaması için yine etrafına lastik bant takılır. Böylece pasta sürekli taze tutulmuş olur.

Galton’un yaptığını denemek için illa pasta kullanmanıza gerek yok. Kağıda çizeceğiniz bir çemberle de yöntem gösterilebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Arkadaşlarınızla bir Pazar kahvaltısında berabersiniz. Masaya kişi sayısının bir fazlası kadar gözleme geldiğini fark ettiniz. Son gözlemeye herkes talip olunca oy birliğiyle bir oyun oynamaya karar verildi.

Önündeki gözlemeyi üç düz çizgi halinde bıçak darbesiyle en çok parçaya ayıran kişi, son gözlemeye sahip olacak. (Gözlemenin parçalarını hareket ettirmeniz yasaktır.)

Kazanmak için nasıl bir strateji izlemeniz gerekir?

M. Serkan Kalaycıoğlu