Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #18

Her sene Aralık ayı gelip çattığında şehirlerin görüntüsü bir anda değişir. Etraf yeni yılın gelişini müjdeleyen süslemelerle donatılırken alışveriş merkezlerinde, ofislerde ve hatta evlerde aşağıdaki gibi süslere rastlanır:

Ali hoca da her sene olduğu gibi sınıflarını süslemeye başlar. Fakat hoca, bu seneki süslemelerinde matematiği de kullanmayı aklına koymuştur.

Yeni Yıl Süsü Oyunu (Y.Y.S.O.)

Ali hocanın yarattığı Y.Y.S.O. iki kişilik bir oyundur. Bu yüzden sınıftaki öğrenciler ikişerli gruplara ayrılır ve her grubun kazananı bir sonraki tura yükselir. Oyunu kazanan öğrenci yeni yıl süslerinin sahibi olur ve sınıfı istediği gibi süsleyebilir.

Oyunun İçeriği

  • Her grupta aşağıdaki gibi 4 adet süs vardır:
  • Oyuncular sırayla bu süsleri birbirine dolar.
  • Dolama işlemi rakipten gizli yapılır.
  • Süsleri dolarken her oyuncunun en fazla dört hamle şansı vardır. Hamleden kast edilenin ne olduğu şöyle bir örnekle gösterilebilir:

İlk hamlede kırmızı süs aşağıdaki gibi dolandırılıyor olsun:

Bu, bir hamle sayılır. Kırmızı süs, mavi ve yeşil süsün altından geçirilmiştir. Sonraki iki hamle sırasıyla sarı ve mavi süsten gelsin:

Sarı süs, yapılan hamleyle yeşil ve kırmızının altından geçirilmişken; mavi süs, yeşil ve sarının üstünden geçirilmiştir. Böylece üç hamle sonucunda süsler yukarıda (sağda) görüldüğü gibi birbirine dolandırılmış olur.

Süslerin bu birbirine dolandırılmış hali aslında bir örgüdür.

Oyunun Amacı

Bir turdan galip ayrılmanız için rakibinizin yaptığı örgüyü ondan daha kısa sürede çözmeniz gerekir. (Not: Örgü çözüldüğünde ilk durumdaki gibi sıralanmış olmalıdır. Yani, yukarıdaki örnek için örgünün çözümünde süslerin renkleri soldan sağa sırasıyla sarı-yeşil-mavi-kırmızı olmalıdır.)

Örgüler

Hayatın içinde önemli bir yere sahip olan örgüler sadece yıl başı süslerinde değil, her an yanı başımızda kendini gösterir. Bazen bir peynirde, bazen saç şeklinde, bazen de bir sepette:

Kimi zaman da bir bileklikte:

Matematikte örgünün ne manaya geldiğini anlamak için Avusturyalı matematikçi Emil Artin’in 1920’lerde yaptığı çalışmalara göz atılabilir.

Gelin aşağıdaki örgüye birim örgü diyelim:

Ali hocanın oyununda amaç herhangi bir örgüden birim örgüye dönmekti. Bunu yapabilmek için Artin’in açığa çıkardığı bazı örgü özelliklerinden yararlanabiliriz.

Birinci örnek: İki ip ile örgünün çözülmesi.

Diyelim ki aşağıdaki gibi iki ipimiz olsun:

Soldaki, sağdakinin altından geçiyor.

Bu ipin tersi aşağıdaki gibi olur:

Bu sefer sağdaki, soldakinin altından geçiyor.

Eğer bu ikisi birleştirilirse ipler (uçlarından tutularak gerdirildiği takdirde) birim örgü haline döner:

İkinci örnek: Üç ip ile örgünün çözülmesi.

Üç ip alın ve aşağıdaki gibi örgü haline getirin:

Bu örgüde (yukarıdan aşağıya doğru) 3 kesişen yer vardır:

1: Yeşil, mavinin üstünden.

2: Kırmızı, yeşilin üstünden.

3: Mavi, kırmızının üstünden.

Yapmanız gereken şey, bu işlemleri sondan başlayarak tekrarlamaktır. O halde hamleler şu sırayla yapılır:

Birinci hamle: Mavi, kırmızının üstünden.

İkinci hamle: Kırmızı, yeşilin üstünden.

Üçüncü hamle: Yeşil, mavinin üstünden.

Bu ikisi birleştirilip her örgü iki ucundan çekilirse, sonuç birim örgü olur. Deneyin ve sonucu kendi gözlerinizle görün.

Kağıt ve Örgü

Bir A4 kağıdını alın ve kağıda falçata yardımıyla aşağıdaki gibi kesikler atın:

Şimdi kağıdı iki ucundan tutup yan çevirin. Karşınıza bir tür örgü çıkacaktır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  • Ali hocanın oyununda Emil Artin’in özelliklerinden nasıl yararlanabilirsiniz?
  • İkinci örnekte ipleri 90 derece sola yatırın. Soldan başlayarak iplerin kesişimlerini inceleyin. Ne görüyorsunuz?
  • Ali hocanın oyununu A4 kağıdı ile oluşturacağınız örgü ile oynayın. (Bunun için kağıda 3 veya 4 kesik atmanız yeterlidir.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #6

2600ler…

Sonunda Dünya dışında yaşayabileceğimiz bir gezegen keşfedildi. Bilim insanlarının T-489 ismini verdiği bu gezegende yaşam koşulları Dünya’ya benzer görünüyor. Uydu görüntüleri T-489’da su bulunduğunu gösterirken gezegenin atmosferinin de Dünya’nınki ile tıpatıp aynı olduğu keşfedildi.

T-489’un bulunduğu sistem.

Büyük devletlerin uzay ajansları ortak bir ekip gönderip T-489’da yaşam olup olmadığını kontrol etmekte anlaştı. Hazırlanan plana göre uydu görüntülerinden elde edilen veriler ışığında T-489’da belirlenen bir noktaya inecek ilk ekip, burada güvenli alan ve merkez üs oluşturacak.

Güvenli alan oluşturulduktan sonra ise yine uydu sayesinde belirlenmiş olan noktalara üç ayrı ekip gönderilecek. Bu ekipler hem bulundukları bölgelerde yaşam koşullarını inceleyecek, hem de farklı yaşam formları olup olmadığını kontrol edecek.

T-489’da bulunan merkez üs, keşfe çıkacak ekipler için bir harita yapacak. Merkez üssün hazırladığı harita hem gezegen üzerinde yolculuğun nasıl yapılabileceğini, hem de ekiplerden herhangi birinin sorun yaşaması durumunda üsse nasıl geri dönmesi gerektiğini açıklamak zorunda.

Haritanın görünümü: Sarı nokta merkez üs, diğer noktalar ise keşif ekiplerinin ziyaret edeceği konumlar.

Herhangi bir anda bir ekibin nerede olduğunun bilinemeyeceği durumlar için merkez üste çalışanlar çizdikleri haritaya bir de algoritma eklemeli. Bu, öyle bir algoritma olmalı ki, algoritmayı takip eden ekip(ler) sonunda merkez üsse varır.

Yol Boyama Problemi

1970’de Roy Adler’in ortaya attığı bir problem olan yol boyama problemi (road coloring problem), 2007’de yılında İsrailli matematikçi Trahtman tarafından çözülmüştü.

Trahtman, yukarıdaki gibi bir graf (veya harita) düşünmüştü; noktalar arasında bulunan yolların belirli yön ve renkleri vardı. Bu yön ve renkleri bulduğu algoritmaya göre oluşturan Trahtman’a göre grafın herhangi bir noktasından başlayıp üç kere mavi-kırmızı-kırmızı yolları izleyen biri her zaman sarı noktada duracaktır.

T-489’da Kaos

Gezegende keşfe çıkacak ekipler için harita yapmanız gerekiyor. Merkez üs ve gezilmesi gereken noktalar aşağıdaki gibi:

Keşif ekiplerinin yaşayabileceği en kötü duruma hazırlanmanız gerekiyor. Eğer ekiplerden birinin iletişimi kopar ve haritaya ulaşma şansı kalmazsa, yaratacağınız algoritma hayatlarını kurtaracaktır.

Geliştirdiğiniz fikir şöyle ilerliyor: Gidilmesi gereken her konumun girişine bir tabela konulacak. Bu tabelalarda sadece yolun yönü ve rengi yazacak. (Tabelalara haritaların asılmamasının nedeni, zeki bir uzaylı türüyle karşılaşılması durumunda merkez üssün yerinin direk uzaylılara gösterilmemesidir.)

Yarattığınız algoritmaya göre iki defa kırmızı-mavi yapmak ekipleri merkez üsse ulaştırır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Keşif yapılacak bir nokta daha olsun. Haritanız için öyle bir algoritma yaratın ki, izlenen algoritma sizi hep M noktasına (yani merkez üsse) geri döndürsün.

(Bunu yaparken en az sayıda yol kullanmaya özen gösterin.)

Matematik Atölyesi – Sayılar #11

Çok uzun yıllar önce Mezopotamya…

Yerleşik hayata geçen birkaç yüz kişilik bir topluluk Badaklar köyünde tarımla uğraşarak yaşamını sürdürüyordu. Badaklar çok çalışkan insanlardan oluşuyordu. Bu köyde yaşayanların en çok güvendikleri iki şey tarlaları ve sahip oldukları koyunlardı.

Badaklar köyünde pazartesi sendromu…

Badaklar’da bir sürü koyun vardı. Yünleri sayesinde kışın soğuktan korunur, sütleri ve etleri sayesinde de karınları doyardı. Bu yüzden Badaklar köyünde koyunlarla ilgilenecek kişinin hem güvenilir hem de bilge olması gerekirdi.

Köyün önde gelenlerinden olan Zaylin, koyunlardan sorumluydu.

Zaylin ve koyunları.

Zaylin’in görevi koyunları her gün doğumunda Badaklar köyünün yakınındaki harikulade tepelerde otlamaya çıkarıp, güneş batmadan önce onların sağ salim geri dönmelerini sağlamaktı.

Tanrım! Bu kadar mı koyunum vardı?!

Badaklar, yaşadıkları zaman için ileri bir topluluk olmasına rağmen insanlığın geri kalanı gibi henüz sayıları keşfetmemişti.

Bu noktada Zaylin için büyük bir sorun çıkıyordu: Her güne belli sayıda koyunla başlayan Zaylin, gün sonunda aynı sayıda koyunla köye dönüp dönmediğini nereden bilebilirdi? Yanlış anlamayın, Zaylin bilge biriydi. Fakat o da, yer yüzündeki herkes gibi saymayı bilmiyordu.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu noktada kendinizi Zaylin’in yerine koyun: Saymayı bilmediğiniz halde koyun kaybetmeden günü bitirdiğinizi nasıl bilebilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu