Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #2

Bir önceki yazıda Hippasus’un sonunu getiren sayılardan bahsetmiştik. Bu sayılar ne ölçülebiliyor, ne de iki sayının oranı şeklinde gösterilebiliyordu.

İrrasyonel, yani mantıksız diye adlandırılması da bu nedenledir: Uzunluk elimizin altında ama ölçemiyoruz, sayı karşımızda ama belirtemiyoruz.

√2: En ünlü irrasyonel sayılardan biri. 

Farkında olalım ya da olmayalım; bahsettiğim uzunluğa kare şeklinde olan her şeyde rastlıyoruz. Eğer bir kareyi çapraz köşelerinden ikiye bölersek karşımıza bir ikizkenar dik üçgen çıkar.

IMG_4552

Diyelim ki elimizde dik kenarları 12’şer cm uzunlukta olan bir dik üçgen var. Pisagor teoremine göre dik üçgenin uzun kenarının karesi, dik kenarların karelerinin toplamıdır. O halde:

olur. Yani uzun kenar irrasyonel bir sayı çıkmıştır.

Bu kenarı ölçmeye çalıştığımızda ise 16,97056… sayısıyla karşılaşırız.

Eğer 16,97056… yerine 17 dersek ne olur?

√2 Sonunda Mantıklı

12√2=17 dersek;

pisag5

sonucuna ulaşırız. √2 iki sayının oranı şeklinde yazılabildiği için artık rasyoneldir! Bundan sonra √2 gördüğümüz her yere 17/12 yazabiliriz.

Fakat, dik üçgen üzerinde biraz oynadığımızda hemen bulduğumuz sonucun ne kadar sıkıntılı olduğunu görebiliriz.

Çelişki İle İspat

12 cm uzunluğundaki dik kenarlardan altta kalanını 5 ve 7 cm olacak şekilde ayıralım ve tam bu noktadan uzun kenara bir çizgi indirelim.

IMG_4553

 

 

Bu durumda uzun kenara inen çizgi diktir ve uzunluğu 5 cm’dir. (Bunun doğru olup olmadığını görmek için kendi üçgeninizi çizip yapılan işlemi tekrarlayın. Cetvel uzunluğu, açıölçer ise dikliği doğrulayacaktır.)

 

IMG_4554

 

Elimizdeki ikizkenar dik üçgenin içinde üç adet dik üçgen elde etmiş olduk: A, B ve C. A ve B dik üçgenleri birbiriyle özdeştir, bu yüzden de büyük üçgenin uzun kenarı 12 ve 5 cm olarak ikiye ayrılmıştır. C ise ikizkenar dik üçgendir. Gelin C’yi daha yakından inceleyelim.

 

 

IMG_4554Dik kenarları 5 cm, uzun kenarı ise 7 cm uzunluğunda olan bir ikizkenar dik üçgenimiz var. Öğrendiğimiz üzere böyle bir durumda Pisagor teoremi bize uzun kenarın uzunluğunun dik kenarın √2 katı olduğunu söyler. O halde uzun kenar 5√2 cm olmalıdır.

 

Fakat az önce √2 yerine 17/12 yazabileceğimizi söylemiştik. Yani uzun kenar

5*(17/12) cm

85/12 cm

olur. Fakat fotoğrafta görüldüğü üzere uzun kenar 7 cm‘dir.

7 = 85/12 sonucu bir çelişkidir.

Bu yüzden bizim en başta yaptığımız kabul yanlıştır. √2 rasyonel değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Aynı işlemi C üçgeni için tekrarlayıp √2’nin rasyonel olmadığını gösterin.
  2. İkizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğu 12 yerine 10 cm olsaydı ne olurdu?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #1

Tarikat Kurbanı Hippasus

Pisagor matematikte en çok bilinen isimlerden biridir. İsmiyle anılan teorem ile üne kavuşmuşsa da, basit bir teoremden çok daha fazlasını yapmış biriydi. Ayrıca o, tarihte bilinen ilk bilim tarikatının başıydı.

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, dik olmayan kenarın uzunluğunun karesine eşittir.

Milattan önce 6. yüzyılda Kuşadası’nın karşısında bulunan Sisam adasında dünyaya gelen Pisagor, saf bir matematikçi olarak antik Yunanistan’da önemli bir üne sahipti. Onu takip edenler (Pisagorcular), tıpkı liderleri gibi yaşamayı seçmişti. Pisagorcular birbirlerine sıkıca bağlı, kapalı bir gruptu. Et ve fasulye yemeyen bu grup, mal ve mülk sahibi olmaktan kendilerini soyutlamıştı.

Pisagor’a göre evren sayılar üzerine kurulmuştu. Her sayının bir karakteri vardı ve evrendeki tüm oluşlar sayıların birbirine oranlarıyla açıklanabilirdi. Sayılar güzel, çirkin, maskülen, feminen, harika ya da eksik olarak gruplara ayrılmıştı. Örneğin 10 en iyi sayıydı; çünkü ilk dört sayıyı içinde barındırıyordu (1+2+3+4=10).

Pisagorcular tüm sayıların başka herhangi iki sayının birbirine oranı şeklinde gösterilebileceğini iddia etmişti. (Örneğin 5=10/2) Hatta temel felsefeleri bu düşünceye dayanıyordu. Bu tür sayılar “rasyonel” yani “mantıklı” sayılardı.

Günün birinde Pisagor’un bir müridi yeminini bozmuş ve sorulması yasak olanı sormuştu: Dik kenarları birbirine eşit ve bir birim uzunluğunda olan dik üçgenin (yani ikizkenar diz üçgenin) dik olmayan kenar uzunluğu kaç birimdir?

diküç1
Şekildeki üçgende uzun kenarın 1,41 birim olduğu gösteriliyor. Fakat bu tam değil, yaklaşık değerdir. Bu kenarın uzunluğu bir cetvel ile ölçülemez.

Hippasus ismindeki mürit, Pisagorcu kardeşleriyle denize açılmıştı. Yolculuk sırasında matematik üzerine çalışan Hippasus rasyonel (mantıklı) olmayan sayılar bulduğunu iddia etmişti. Pisagor’a karşı gelmenin cezası büyüktü. Pisagorcuların anayasasına aykırı davranan Hippasus suya atılarak idam edilmişti. Pisagorcular ise mantıklı olmayan sayıların varlığını sır olarak saklamaya devam etmişti.

Ölçülemeyen Sayı Var mı?

kök2

Pisagor teoremine göre dik kenarları birer birim olan üçgenin uzun kenarının uzunluğu.

Eğer Hippasus yanıldıysa, √2 mantıklı bir sayıydı. Yani √2, iki sayının oranı şeklinde yazılabilirdi. Bunu doğru kabul edelim ve √2’nin a/b olduğunu kabul ederek işe başlayalım.

Not: a ve b sayıları birbirine asal olur. Yani a/b oranı sadeleşemez durumdadır. Bu yüzden de sonuca varınca a/b’den daha küçük bir orana ulaşılmaması gerekir.

kök21

Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak, sol tarafı karekökten kurtarırız.

kök22

Paydayı eşitliğin sol tarafına atarsak;

kök23

olur. Bu da aslında bir karenin alanının iki katının, başka bir karenin alanı ettiğini gösterir.

kök24

Yani bir kenar uzunluğu b birim olan karelerden iki tanesi, a kenarlı bir kare yapmalı. O halde iki özdeş karenin alanları toplamı, başka bir karenin alanı etmeli. Bir diğer deyişle, bir karenin alanının iki katı büyüklükte alana sahip olan başka bir kareye ihtiyacımız var.

karekök1

Sağdaki özdeş karelerin alanları toplamı soldaki kare yapıyorsa bu iki küçük kareyi büyük olanın içine yerleştirmeye çalışalım.

karekök2

Küçük karelerden birini büyük karenin sol alt köşesine, diğerini ise sağ üst köşeye sabitlersek, ortada kesişen bölge iki defa sayılmış olur. Eğer özdeş kareler, büyük kareyi tam olarak kaplamak zorundaysa kesişen bölgenin alanı kenarlarda boş kalan bölgelerin alanların toplamı kadardır.

Şekilde görüldüğü üzere A alanına sahip iki özdeş kare, ortada kalmış taralı alanlı kare yapmalı. Eğer küçük karelerin bir kenar uzunluğu c birim, taralı karenin bir kenar uzunluğu d birim olursa

kök25

sonucu elde edilir. Yani problemin başındaki duruma dönmüş olduk: İki özdeş karenin alanları toplamı bir başka kare etmeli! (Bu da a/b’den daha küçük bir orana erişildiği anlamına gelir.) Bu sonuç hem sadeleşemez a/b oranından daha küçük bir oran verir, hem de sonsuz bir döngünün içinde bulunduğumuzu gösterir.

O halde baştaki kabulümüz yanlıştır√2 sayısı a/b şeklinde yazılamaz. Yani √2 mantıklı bir sayı değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. √2’nin irrasyonel (mantıklı olmayan) bir sayı olduğunu kağıt-kalem-cetvel kullanarak ispatlayın.
  2. √3’ün rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu nasıl anlarız? (İpucu: İspatı geometrik şekilde yapmaya çalışın.)

M. Serkan Kalaycıoğlu