I like using oranges for mathematics because I think they taste awesome. Also, its shape is close to Earth’s shape which I believe is a cool resemblance. Even though I’d love to, I can’t take credit for using orange with examples about Earth. It belongs to a deep and important dispute in the history of science.
17th century is known as the century when the modern science was born. Giovanni Cassini, an Italian astronomer was born in this century along with so many other important figures. He is famous with discovering Saturn’s rings and its four big moons. In addition, he went into a big dispute with Isaac Newton, who is known as the father of modern physics. I’ll save Newton’s introduction for another article.
Dispute began with Cassini’s measurements which he did with his son. Those measurements led him to a wrong conclusion. He resulted that Earth is elongated at the poles, like a lemon. On the other hand, Newton had explained that Earth is flattened at the poles, like an orange. This was a result Newton reached after his gravitational laws. Unfortunately for Newton, Cassini openly rejected Newton’s gravitation laws which made him adopt his stance even harder after the measurements he had for determining the shape of Earth.
Newton suggested that Earth’s shape is like an orange as Cassini wrongly claimed that it looks like a lemon.
This dispute continued for almost forty years until French Geodesy Mission (1736-1744) was completed. Measurements and calculations had proven Newton right: Earth was shaped like an orange.
Finding Circumference
Stick two equal-sized straws on an orange.
Direct a flash lamp to one of the straws so that it doesn’t have a shadow.
If the distance between those straws is given, is it possible to calculate the circumference of the orange?
Second-Best of Everything
Eratosthenes was born in the ancient city of Cyrene, at around 3rd century BC. He is known as the person who discovered (or invented) geography. There is an interesting take from Thomas Hearth (1861-1940) who was an important historian of mathematics specifically on ancient Greek mathematics: “Eratosthenes was great on every subject of science, but he was never ‘the best’ in one area. You may imagine him like an athlete who competes in every branch of Olympics but comes second in those competitions.”
Even though he founded an important science branch like geography, Eratosthenes is known with calculating the circumference of the Earth almost 2200 years ago. And he did it with a surprising accuracy. But how did he manage it?
Eratosthenes realized on a summer day that he had no shadow at noon in Cyrene. Although at the same time when he tried it in Alexandria he saw a shadow. Eratosthenes believed that Earth was round and Sun is too far away from Earth. He also thought of light rays travel as parallel lines which is why he made an experiment that took place in Cyrene and Alexandria. He observed a tall tower’s shadow in Alexandria when there is no shadow in Cyrene. Eratosthenes measured that the shadow of the tower makes a 7,2-degree angle with its bottom. He also had the distance between two cities measured that enabled him to calculate the circumference of the Earth.
A as Cyrene and B as Alexandria.
Eratosthenes used an ancient Greek measurement called “stadium” in his calculation. Since a stadium means something between 154- 215 meters, we are not 100% sure what his calculation was. In the end, his solution and method was good enough to put him into the highlights of the history of science.
Circumference of the Orange
Now that you know Eratosthenes’ method, could you find the circumference of the orange?
Hint: The angle straw makes is 12 degrees and distance between straws is exactly 1 cm.
Yine portakal kullanarak bir deney yapacağız. Portakal, şekil olarak Dünya’nın şekline yakın olmasının yanı sıra tadı sayesinde kanımca en güzel meyvedir. Ama portakal ile Dünya’nın ilişkilendirilmesi bana özgü değil.
Modern bilimin başladığı zaman dilimi olarak bilinen 17. yüzyılda dünyaya gelen İtalyan astronom Giovanni Cassini, yaptığı gözlemlerle bilim tarihinde kendine önemli bir yer elde etmişti. Satürn’ün halkalarını ve dört büyük uydusunu keşfeden kişi olan Cassini, modern fiziğin babası olarak görülen İngiliz Isaac Newton ile Dünya’nın şekli hakkında 40 yılı aşkın bir tartışmaya girmişti.
Cassini 1700’de oğlu ile yaptığı ölçümler sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplara doğru uzun ve ince olduğu gibi yanlış bir izlenim edinmişti. Newton ise kendisine büyük bir ün kazandıran yer çekimi kanunu sonucunda Dünya’nın şeklinin kutuplardan hafif basık olduğunu söylemişti. Cassini, ölçümünü yapmadan önce de Newton’un yer çekimi kanununu reddettiği için bulduğu sonucun doğruluğunu şiddetle savunmuştu.
Newton’a göre Dünya’nın şekli portakal, Cassini’ye göreyse limon gibiydi.
Tartışmayı sonlandıran olay 1736-1744 yılları arasında yapılan ünlü Fransız Jeodezi Görevi’nin raporuydu. Bu görevde elde edilen sonuçlar Newton’u doğrulamıştı. Portakal seçimini yaparken aklıma hep bu olayı getiririm.
Çevre Bulmak
Bir portakalın üzerine kısa bir aralıkla iki tane kule dikin.
El feneri veya lamba kullanarak kulelerden birinin üzerine dik gelecek şekilde ışık tutun.
Kuleler arasındaki mesafe bilinirse, portakalın çevresi hesap edilebilir mi?
En İyi İkinci
Milattan önce 3. yüzyılda antik Kirene şehrinde doğmuş olan Eratosthenes, coğrafya bilimini başlatan bilim insanı olarak bilinir. Antik Yunan matematiğiyle ilgili çalışmaları bulunan Thomas Heath (1861-1940) Eratosthenes için ilginç bir betimleme yapar: “Eratosthenes birden çok bilim alanında usta sayılan biri olmasına rağmen, hiç bir alanda ‘en iyi’ olmamıştı. Onu tüm olimpiyat yarışmalarına katılan ama hepsini ikinci bitiren bir atlet olarak düşünebilirsiniz.”
Coğrafya gibi çok önemli bir bilim dalını başlatmış olmasına rağmen Eratosthenes’in asıl ünü günümüzden 2200 yıl önce Dünya’nın çevresini hesaplamasından gelir. Eratosthenes’in Dünya’nın çevresi için bulduğu sonuç, bugün bilinen sonuca şaşırtıcı derecede yakındır. Peki bunu nasıl başarmıştı?
Eratosthenes yaşadığı şehir olan Kirene’deyken yaz aylarında belli bir günde hiç gölgesinin olmadığını fark etmişti. Fakat aynı gün aynı saatte İskenderiye kentinde gölgesinin olduğunu gözlemlemişti.
A harfi Kirene’yi, B harfi ise İskenderiye’yi göstersin.
Eratosthenes Güneş’in Dünya’dan çok uzakta olduğunu ve Güneş ışınlarının paralel olarak yol aldığını düşünüyordu. Ayrıca Dünya’nın yuvarlak olduğu fikrine sahip olan Eratosthenes bu yüzden bir yaz gündönümünde Kirene’de gölge sıfırken İskenderiye’de uzun bir kulenin gölgesinin boyutlarını incelemişti
İskenderiye’deki gölgenin kuleye göre 7,2 derecelik bir açı yaptığını ölçen Eratosthenes, İskenderiye ile Kirene arasındaki mesafeyi (5000 stadyum) de bildiği için Dünya’nın çevresini hesaplamıştı.
Stadia (stadyumun çoğulu) bir antik Yunan uzunluk birimidir. Antik Yunanistan’da birden çok stadyum birimi kullanılıyordu ve bunlar 154 metre ile 215 metre arasındaydı.
Eratosthenes’in hesabında kullandığı ölçü birimlerinden tam olarak emin olamasak da, yaptığı hesap ve kullandığı yöntem zamanının ötesindeydi. Bu yüzden binlerce yıl sonra dahi hala yaptığı ölçümden bahsediyoruz.
Portakalın Çevresi
Eratosthenes’in yöntemini bildiğinize göre artık portakalın çevresini bulabilirsiniz.
İpucu: Portakala diktiğim gölgesi olan pipetin yaptığı açı 12 derecedir ve iki pipet arasında tam olarak 1 cm mesafe vardır.
Kağıtta bulunan noktaların her biri birbirine çizgilerle direk ve dolaylı olarak bağlanmış olmalı. Diğer bir deyişle herhangi bir noktadan diğerine çizgilerden bir yol olmalıdır.
Böylece şekilde “yüz” oluşturulur. Yüzler çizgilerle kapanmış alanlardır.
Çizgi ve noktaların dışında kalan alan da bir yüz olarak sayılır. Yani bir düzlemde en az bir tane yüz vardır.
Her zaman:
Nokta Sayısı – Çizgi Sayısı + Yüz Sayısı = 2
olur. Buna Euler’in çokyüzlü formülü denir.
Örnek 1: Üç Nokta
Üç nokta konulur ve aralara çizgiler çekilir.
Oluşturulan yüzler şu şekildedir.
Euler formülü uygulanır.
Örnek 2: Dört Nokta
Noktalar şekildeki gibi birleştirilir.
Toplam üç yüz, dört nokta ve beş çizgi vardır. Buradan Euler formülü bize aşağıdaki sonucu verir.
Örnek 3: Beş Nokta
Beş nokta, yedi çizgi ve dört yüz elde edilmiş olan şekil aşağıdaki gibidir.
Peki bu şekle bir nokta daha eklersek ne olur?
Yeni eklenen F noktasından üç çizgi ve iki yeni yüz çıkardık. Sanki Euler formülü bu sefer tutmayacak gibi!
Ama sonuç yine Euler’i haklı çıkarır. Altı nokta, on çizgi ve altı yüz bulunduran şeklimize Euler formülü uygulanınca cevap yine ikidir.
Örnek 4: Beş Nokta ve Sıfır Yüz
Her seferinde neden çizgilerle kapalı alan yapıyoruz diyebilirsiniz. Yani hiç yüz yapmadan noktaları birleştirirsek ne olur? (Biliyoruz ki her düzlemde nokta ve çizgilerin dışı bir yüz olarak kabul edilir. Bu nedenle her düzlemde en az bir tane yüz olur.)
O halde beş noktayı şekildeki gibi dört çizgiyle birleştirelim. Sonuçta Euler’in kuralına göre herhangi bir noktadan diğerine gidilebiliyor. Ayrıca birbiriyle kesişen çizgiler de yok.
Burada Euler formülü uygulanınca beş nokta, dört çizgi ve bir yüz vardır. Formül yine doğrudur.
Tarih Sevenler İçin
Şu ana dek okuduğunuz yazılarda iki isimden sıklıkla bahsettim: Leonhard Euler ve Öklid.
Öklid, okul geometrisi diyebileceğim (gerçek isimlerinden birisi Öklid geometrisidir) iki ve üç boyutlu geometrinin kaynağı olan kitapların yazarıdır. Euler ise 800’ün üzerinde çalışmasıyla tarihin en verimli matematikçilerinden biridir.
Öklid’in 13 kitaptan oluşan Elementler’i milattan önce 200’lerde yazılmıştı. Binlerce yıl boyunca sayısız bilim insanı Öklid’in kitaplarıyla sadece geometriyi değil matematiği öğrenmişti. Modern bilimi başlatan kişi olan bilinen, aynı zamanda modern fiziğin babası olan Isaac Newton dahil tüm bilim insanları Öklid ile matematiğe giriş yapıyordu.
Elementler yazıldıktan 2000 yıl sonra dahi geometriyle ilgili her şeyi içerdiğine inanılıyordu. Hatta 18. yüzyılda yaşamış olan tarihin en önemli filozoflarından Immanuel Kant, Öklid dışı bir geometrinin varlığını düşünmenin bile anlamsız olduğunu savunmuştu. Kant’ın özellikle Almanya’da bilim dünyasında sahip olduğu etki, Gauss gibi tarihin en iyi/büyük matematikçisi olarak görülen bir bilim insanını dahi bastırmıştı. Gauss’un başrol oynadığı bu konuyla ilgili başka bir yazım olacak.
İşte Euler, her şeyi bulunduğu düşünülen geometri konusuna çok önemli katkılarda bulunmuştu. Euler’in ismine atfedilen bir sürü formül vardır. Fakat kanımca tarihin en sade ve en güzel formülü budur.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Peki Euler formülü üç boyutlu şekillerde işe yarar mı? Örneğin bir küreyi ele alın. Bu küre üzerinde iki nokta alın ve bu noktaları birleştirin. Karşınıza ne çıktı?
Aynı kürede üçüncü bir nokta alın ve bunu diğer iki noktayla birleştirin. Sonuç ne oldu?
Her bilim insanı “evreka” diyeceği anı düşleyerek çalışmasını sürdürür. Çünkü bu kelime, bilim insanlarına sonsuz bir şöhret ve çok büyük maddi kazanç getirir. 2002’de Rus matematikçi Grigori Perelman, yüz yıldır çözülemeyen Poincare sanısı problemini çözdü. Ama çözümü hakemli bir dergide yayımlatmak yerine bir internet sayfasına yükledi. Bir grup Çinli matematikçinin yayımladıkları makalelerle çözümün kendilerine ait olduğunu iddia etmesinin ardından yaşanan tartışmalar sebebiyle matematiğe küsen Perelman 2005’te matematiği bıraktı. 2006’da matematiğin Nobel’i sayılan Fields madalyasını, 2010’da ise Clay Enstitüsü’nden kazandığı bir milyon doları reddeden Perelman, şu aralar Saint Petersburg’da annesiyle beraber yaşıyor ve ne ile uğraştığı bilinmiyor. Aslında bu yaşananlar ilk değil. Bilimsel buluşların sahiplenilmesi daha önce de tartışmalara konu olmuştu. Tarihin en sancılı “bunu kim buldu” tartışmalarından biri için ise 350 yıl öncesine gitmeliyiz.
Grigori Perelman – Wikipedia
Matematiğin temel yapı taşı olarak bilinen alanına kalkülüs deriz. Sözlük anlamı “hesap yapmak için kullanılan çakıl taşı” olan kalkülüsün iki ana damarı vardır: İntegral kalkülüs ve diferansiyel (türev) kalkülüs [Latince integralis (parçaların bütünü, birleştirme) ve differentialis (farklarını alma, parçalarına ayırma)]. Bu dalın kullanım alanları mühendislikten ekonomiye, biyolojiden kimyaya kadar gider. Bilimin birbirinden bu kadar farklı alanlarında kullanılan kalkülüsün bulunuş hikâyesi, bilim tarihinin en dramatik olayları arasında ilk sıralarda gelir.
17. yüzyıl modern bilimin doğduğu yüzyıl olarak bilinir. Kalkülüs, bu yüzyılda ortaya çıkmış ve etrafımızda olup biteni açıklamaya çalışan bilim insanlarına bir temel olmuştur. Kalkülüsün bulunmasında iki büyük figürün rol aldığı bilinir: İngiliz Isaac Newton ve Alman Gottfried Wilhelm Leibniz.
Isaac Newton, modern bilimin babası olarak gösterilir. 1661’de Trinity College’da yüksek öğrenimine başlayan Newton, ortalama bir öğrenciydi. Çünkü zekâsını evrende meydana gelen hareket olaylarını açıklamaya adamıştı. Kütleçekimi, optik, ışık ve renk üzerine yazdığı teoremler hâlâ geçerliliğini koruyor. Gezegenlerin ve yıldızların nasıl hareket ettiğini onun sayesinde biliyoruz.
Leibniz’in su çarkı modeli. Fotoğraf: Wilhelm Hauschild (1932).
Gottfried Leibniz ise uluslararası bilim çevrelerinde tanınmasına rağmen hiçbir zaman akademisyen olarak çalışmadı. Çok yönlü bir bilim insanı olmasıyla ün yapan Leibniz’in katkı verdiği bilim dalları arasında tarih, ekonomi, teoloji, dil bilimi, biyoloji, jeoloji, hukuk, diplomasi, politika, matematik, mekanik ve felsefe bulunur. Leibniz, Nuremberg Üniversitesi’nden hukuk derecesi aldıktan sonra eğitimine devam etmek için Mainz’a yerleşmişti. Mainz prensine danışmanlık yaptığı sırada Fransa kralının Osmanlı İmparatorluğu’na saldırmasını sağlamak için Paris’e giden Leibniz, girişiminde başarısız olunca, kendisine akademik dünyada bir yer edinmek için Fransa’da kalmaya karar verdi.
Leibniz’in hesap makinesinin replikası. Alman Müzesi, Münih.
Newton ise 1665’te Londra’daki veba salgını nedeniyle Cambridge Üniversitesi’ni terk edip doğduğu şehir olan Woolsthorpe’a geri dönmüştü. İzole halde geçirdiği iki sene içinde kalkülüs dâhil olmak üzere birçok buluşa imza atan Newton işe başladığında, Galileo’nun çoğu nitel olan düşünceleri ile Kepler’in hareket yasası dışında kendisine yardım edecek çok fazla çalışma yoktu. İşte böyle bir ortamda, kişisel notlarına göre 1665’in Şubat ayında kalkülüsün temelini oluşturan fikirlerini üretmişti. Cambridge’e geri döndükten sonra yazdığı 1669 tarihli De analysi per aequationes infinitas ve 1671 tarihli De methods serierum et fluxion başlıklı kitaplarında akıların yöntemlerini, yani integral ve diferansiyel (türev) kalkülüsü açıkladı. Fakat akademik çevrelerin, özellikle daha önce ışık teoremi üzerine yazdığı bir makaleden dolayı sorun yaşadığı Robert Hooke’un yapacağını düşündüğü eleştirilerden korkan Newton, kitaplarının basılmasına izin vermemişti. Çalışmalarını gösterdiği birkaç isim arasında eski öğretmeni olan ünlü matematikçi Isaac Barrow, İngiltere’nin bilim merkezi olan Royal Society’nin sekreteri Henry Oldenburg ve Newton’un kitaplarını basmaya uğraşan matbaacı John Collins vardı.
Newton’un kişisel notlarının ilk sayfası: “Not fit to be printed” – “Basılmaya uygun değil”. Cambridge Üniversitesi Kütüphanesi.
Leibniz 1673’te Londra’ya gidip birçok ünlü matematikçi ile tanışmıştı. Londra’da geçirdiği iki aylık sürede Oldenburg ve Collins ile iyi ilişkiler kurmuş, Isaac Barrow’un not-larına ulaşmıştı. Çalışmaları sayesinde Royal Society’e kabul edilen Leibniz, Paris’e döndüğünde Mainz prensinin öldüğünü ve işsiz kaldığını öğrendi. Bundan sonraki iki yılda gözden kaybolup kendini çalışmalarına adayan Leibniz, kişisel notlarına göre 1675’te kalkülüsü bulmuştu. Bu tarihten itibaren matbaacı Collins ve Royal Society’nin sekreteri Oldenberg ile yaptığı yazışmalarda buluşundan bahseden Leibniz, Newton ile hiç doğrudan temas kurmamıştı.
Daha sonra Oldenberg’in ikna ettiği Newton, 1676’nın Haziran ve Ekim aylarında Leibniz’e iki mektup yolladı. Bu mektuplarda çok az detay veren Newton, ikinci mektubunda kodlanmış bir şekilde akı yöntemini bulduğundan bahsetmiş ve başka açıklama yapamayacağını belirtmişti. Londra’ya ikinci defa giden Leibniz, notlarını John Collins’e gösterip ondan Newton’un kalkülüs notlarını aldı. Bu noktada yaşananlar, ileride Newton’un Leibniz’i hırsızlıkla itham etmesine neden olacaktı. Fakat Leibniz, Newton’un notları eline geçmeden önce kendi kalkülüs yöntemlerini üretmişti bile.
Londra’dan sonra Almanya’ya geçen Leibniz, 1684’te Leipzig Üniversitesi’nde integral ve diferansiyel kalkülüsü açıklayan Acta Eruditorum adlı kitabını yayımladı. İki yıl sonra yeni bir makale yazan Leibniz, iki yayınında da Newton’dan bahsetmemişti. Newton ise ünlü Principia Mathematica adlı kitabını yazmayı 1686’da bitirmişti, fakat kitap ancak 1693’te basılabildi. Newton bu kitapta John Collins’e 1672’de yolladığı ve kalkülüs yöntemlerini içeren mektuba yer vermişti. En büyük rakibi olarak gördüğü Robert Hooke’un ölümünden sonra Royal Society’nin başkanı olan Newton, bir yıl sonra 1704’te Optika isimli kitabını yayımladı. Newton Optika’da akı yöntemini detaylarıyla açıklamıştı.
Optika’dan sonra bilim dünyası hayrete düşmüştü. Newton ve Leibniz’in kalkülüs için kullandıkları yöntem ve semboller tamamen farklıydı. Ama bir probleme uygulanınca iki yöntem de aynı sonucu veriyordu. İki büyük bilim insanının aynı anda, farklı yöntemler kullanarak kalkülüsü keşfetmiş olduğuna kimse ihtimal vermiyordu. Genel görüş birinin kalkülüsü bulduğu, diğerinin ise “hırsız” ya da “ikinci keşfeden” olduğuydu. “Kalkülüsü kim buldu” tartışmasına en başta katılanlar, Newtoncular ile Leibnizcilerdi. İlk önce, matematikçi bir aile olan Bernoulli kardeşlerden bir makale geldi. Leibniz’in birleştirme yöntemine “integral” ismini veren ünlü matematikçi Johann Bernoulli, sadece Leibniz’in kalkülüsü bulduğunu iddia etmekle kalmamış, Newton’un Leibniz’in yöntemlerini çaldığını da söylemişti. Newton tarafında ise büyük matematikçiler yoktu. Almanya’yı sevmeyen John Wallis’in de etkisiyle Newtoncuların genel kanısı, kalkülüs’ü ilk bulanın bir İngiliz olması gerektiğiydi. Yani akademik bir konu, iki ulus arasında gurur meselesine dönüşmüştü.
Newton’un öğrencilerinden biri olan John Keill’in 1708’de yazdığı bir makale ise ipleri gerecekti. Keill makalesinde kalkülüsü keşfeden kişinin Newton olduğunu kesin bir dille belirtmişti. İki yıl sonra eline geçen makaleye çok sinirlenen Leibniz, Royal Society’e bir mektup gönderip özür talep etti. Keill, Royal Society’nin başkanı olan Newton’un izniyle ikinci bir makale daha yayımlamıştı, fakat yazısında herhangi bir özür yoktu. Leibniz karşılık olarak Newton’un kalkülüs çalışmalarıyla ilgili isimsiz bir analiz yazısı yazmış ve kalkülüsü kendisinin bulduğunu iddia etmişti.
Newton her iki bilim insanının da Royal Society üyesi olduğunu belirterek çözüm bulmak için bir komisyon kurulmasına karar vermişti. Ancak burada bir sorun vardı. Komisyonun başkanı, Royal Society’nin de başkanı olan Newton’du. Komisyona seçilen üyeler ise matematik konusunda bilgisizdi, hatta bu üyelerin kimler olduğu ancak iki yüz yıl sonra açıklandı. Yani kararı Newton verecekti. Kısa bir süre sonra komisyon Newton’un kalkülüsü ilk bulan kişi olduğuna, ama Leibniz’in de kalkülüs sembollerini üreten kişi olduğuna karar verdi. Leibniz’in kalkülüs yöntemlerini kullanmayı reddeden İngiliz bilim insanları, sonraki iki yüz yıl boyunca matematikte Avrupalı meslektaşlarının gerisinde kalacaktı.
Bugün genel kanı Newton ile Leibniz’in kalkülüsü birbirlerinden bağımsız olarak keşfettikleri yönünde. Fakat bilimsel bir keşfi kimin yaptığı tartışması, bazen haksız yere bir hayatın kararmasına neden olabiliyor. Hikâyemizde zarar gören taraf ise Leibniz olmuştu. Şu anda okutulan tüm kalkülüs kitaplarında onun yöntemleri ve sembolleri kullanılıyor olmasına rağmen, tüm zamanların belki de en çok yönlü bilim insanı olan Leibniz, hayatının son yıllarını yalnız, beş parasız ve tüm saygınlığını yitirmiş olarak geçirmişti.
Newton ile Leibniz’in türev metotlarının karşılaştırılması. Leibniz’in türev yöntemi daha kısa ve matematikçiler için anlaşılması daha kolay olmak ile birlikte kullandığı semboller günümüzde geçerliliğini koruyor.
Kaynak
Hofmann, J., Leibniz in Paris 1672-1676: His Growth to Mathematical Maturity, Cambridge University Press, 1974.
Hall, R., Newton versus Leibniz: from geometry to metaphysics, edited by I. Bernard Cohen,
Cambridge University Press, s. 431-454, 2002.
Leibniz, G. W., The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz; Translated and with and Introduction by J. M. Child, Dover Publications, 2005.
Cajori, F., “Who was the first inventor of the calculus?”, The American Mathematical Monthly, Cilt. 26, s. 15-20, 1919.
Cajori, F., “The Spread of Newtonian and Leibnizian Notations of the Calculus”, Bulletin of the American Mathematical Society, 1921.
Hall, R., Philosophers at War, Cambridge University Press, 2002.
Bardi, J. S., The Calculus Wars: Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time, Thunder’s Mouth Press; Second Printing edition, 2006.
kmatematikatolyesi.com 