Matematik Atölyesi – Şans #4

Serkan’ın Kahvesi

Haftanın muhtelif günlerinde (tamam kızmayın; haftada en az altı gün) kahveciye gidiyorum. Sık ziyaret etmemden dolayı artık baristalar ne içtiğimi biliyor… gibi.

İçecek tercihlerim altı aylık dönemlerle değişiyor. Ekim-Mart döneminde latte ve filtre kahve, Nisan-Eylül dönemindeyse soğuk latte ve berry tercihlerini yaparım.

Ekim-Mart: Latte içtiğim günün ertesinde yine latte içme ihtimalim %80 iken, filtre kahve içtiğim günün ertesinde yine filtre kahve içme ihtimalim %60’dır.

Nisan-Eylül: Soğuk latte içtiğim günün ertesinde yine aynı şeyi içme ihtimalim %80 iken, berry için aynı ihtimal %90’dır.

20190205_195247
Ekim-Mart arasındaki kahve tercihimi gösteren bir şema.

Soru: Bugün filtre kahve içtiysem iki gün sonra latte içiyor olma ihtimalim kaçtır? (Soru Şubat ayında geçiyor.)

Yukarıda geçen sorunun içinde matematiğin en temel bulgularından biri olan Markov Zinciri bulunur:

20190205_195031
Bir Markov Zinciri örneği. Ne olduğunu yazının devamında açıklayacağım.

Açıkça görülüyor ki iki gün sonra latte içmek için iki ayrı ihtimal vardır. Bu ihtimallerin toplamı bize cevabı verir:

Ertesi gün filtre kahve içip(0,6), iki gün sonra latte içme(0,4) ihtimali: 0,6*0,4 = 0,24.

Ertesi gün latte içip(0,4), iki gün sonra yine latte içme(0,8) ihtimali: 0,4*0,8 = 0,32.

İki gün sonra latte içme ihtimali: 0,24 + 0,32 = 0,56.

Yani %56 ihtimal.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Şubat ayının kaçıncı gününde olunduğunun bir önemi var mı?
  2. Bir gün önce filtre kahve içmiş olmamın sonuç üzerinde bir etkisi var mıdır? Cevabınızı açıklayınız.
  3. Haziran ayının 11. gününde soğuk latte içtiysem, 14 Haziran’da berry içme ihtimalim nedir?

Sürücüsüz Arabalar

Eğer Google’da arama yaparsanız “Sene oldu … nerede bu uçan arabalar?!” içeriğine sahip binlerce sayfalık yazı bulabilirsiniz. Bu isyanın sebeplerinin başında Geleceğe Dönüş filmi gelir. Haksız sayılmayız. Sonuçta geleceğe ya da geçmişe gitmek gibi bir derdimiz yok. Uçan arabada olsak yeter.

gelecege-donus-hakkinda-bilmedikleriniz,Z6sLULxzT02ta5L2MlbZvA

Sene oldu 2019 ve ufakken hayallerimizi süsleyen uçan arabalar hala etrafta yok. Teknoloji ancak sürücüsüz araba yapacak kadar gelişti. (Ancak?!)

Sürücüsüz araba yapabilmek için gereken en önemli şeylerden biri karar verme sistemini içeren teknolojidir. Çünkü kendini kullanan bir araba en basit bir yolculukta dahi yüzlerce tercih yapmak zorunda kalacaktır.

Bu teknolojinin ana fikri ise Serkan’ın Kahvesi örneğinde zikrettiğim Markov Zinciri’ne dayanır. Sürücüsüz arabalarda Markov Karar Süreci denilen çok güçlü bir matematiksel metot kullanılır.

Markov Karar Süreci (MDP) : İçinde belirsiz davranışlar barındıran kontrol ve karar problemleri için uygulanan bir matematiksel modeldir.

Belleksiz Olasılık

Markov Zinciri: Bir olay veya sistemde Markov Zinciri varsa o sistemin içinde gelecekte ne olacağı geçmişten bağımsız fakat mevcut duruma bağlı olarak değişir ve hatta tahmin edilebilir.

Markov Zinciri’ne verilebilecek örneklerden biri sarhoşun yürüyüşüdür. Hatırlatalım: Bir sarhoş evini bulmaya çalışırken rastgele kararlar verir. Sarhoş aşağıdaki durumda yürüyüşünü yapmış olsun:

rand1

Bir sonraki tercihini hangi noktaya doğru yapacağı, geçmiş tercihlerine bağlı değildir. Bu, sadece bulunduğu konuma ve tercih olasılıklarına bağlıdır.

rand2
Sarhoşun durduğu son nokta olan F’den gidebileceği dört nokta vardır. Bunlardan hangisini seçeceği önceki adımlarına bağlı değildir.

Sürücüsüz bir arabanın yapacağı tercihler de geçmişte yaptığı tercihlere bağlı değildir. Örneğin trafik ışıklarına gelen bir arabanın yapacağı tercihi 100 metre önce sola dönmüş olması değil, ışığın rengi etkiler.

Markov Zinciri 100 yılı aşkın bir zaman önce ortaya çıkmasına rağmen hala ekonomi, oyun teorisi, meteoroloji, biyoloji ve hatta ses tanıma gibi modern teknolojilerde kullanılmaya devam etmektedir.

Matematikçi Aile

Markov Zinciri’ne ismini veren kişi olan Rus matematikçi Andrey Markov’un küçük kardeşi Vladimir Markov da uluslararası arenada tanınan bir matematikçiydi. Vladimir sadece 25 yaşındayken tüberkülozdan hayatını kaybetti. Andrey’in oğlu Andrey Markov Jr. da matematikçiydi.

Politika ve Andrey

Andrey Markov politik olarak aktif biriydi. Uzun bir süre boyunda (1613’den 1917’ye dek) Rusya’yı yöneten Romanov hanedanlığına karşı olduğunu karakterine uygun bir şekilde göstermişti. Markov, Romanovların 1913’te yaptığı 300. yıl kutlaması yerine büyük sayılar kanununun 200. yılını kutlamıştı. (Sonraki yazılarda büyük sayılar kanunundan bahsedeceğim.)

M. Serkan Kalaycıoğlu