Matematik Atölyesi – Geometri #19

Ne Kadar Çikolata?

Karnım acıktı. Gecenin bir yarısı evde yiyecek bir şeyler bulma umudundayım. Mutfakta hiç açmadığım bir çikolata buldum:

20190701_131610

Derhal kendime kahve yaptım. Kahvenin yanında götürmek için çikolatadan ufak bir parça kopardım:

20190701_131715

Parçayı hunharca katlettikten sonra pişmanlık çöktü: Acaba çok mu çikolata yedim?

Kalan parçayı kareli defter üzerine koydum. Böylece çikolatanın hem ilk hem de son halinin kareli defterde (veya koordinat düzleminde) hangi noktalarda kaldığını bulmuş oldum:

çiko1

Kopardığım parça bir basit çokgen şeklindedir. Amacım bu parçanın alanını bulmak. Bir basit çokgen alanı bulunurken birçok yolu deneyebilirim. Aklıma ilk gelen yol “Gauss’un ayakkabı bağcığı” ismiyle bilinen bir teoremdir.

Gauss’un Ayakkabı Bağcığı Teoremi

Koordinat düzleminde bulunan bir basit çokgenin alanını bulmak için kullanılan ayakkabı bağcığı teoremini uygulamak için çokgenin köşelerinin koordinat düzlemindeki yerlerini belirlemek gerekir:

çiko2

Bu noktalar için teorem tıpkı ayakkabı bağcığı gibi ilerler. Yönteme geçmeden önce alanı bulunması gereken parçada bulunan tüm köşeleri sırala:

çiko3

lak1

İlk noktayı listenin sonuna tekrar ekleyin.

Daha sonra listedeki sayılar çapraz olarak çarpılır. Soldan sağa olanların toplamı sağdan sola olanların toplamından çıkarılır:

This slideshow requires JavaScript.

{(0*0) + (5*1) + (4*3) + (5*3) + (0*0)} – {(0*5) + (0*4) + (1*5) + (3*0) + (3*0)}

{32} – {5}

27

Çokgenin alanı; çıkan sayının yarısıdır:

27/2

13,5

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #4

Kafes Noktalar

Kareli defterden bir sayfa hayal edin. Bu sayfada kenarları kaldırıp sadece köşeleri bırakalım. Yatay ve dikey yönde bulunan her iki nokta arasının tam olarak bir birim olduğunu varsaydığımızda elimizdeki şey noktalardan oluşan bir sisteme dönüşür. Bu sisteme kafes noktalar diyelim.

Kafes noktalar sistemindeki her nokta tam sayıdan oluşan bir sayı ikilisiyle ifade edilir:

latis3

Pick’in Teoremi: Çokgen alanı bulmak için alternatif bir yöntemdir.

Sistemdeki noktalar birleştirilerek çokgenler oluşturulabilir. Bu çokgenlerin alanlarını bulmak için Pick’in teoremi bize büyük kolaylık sağlar.

Teoreme göre çokgenin alanını bulabilmek için sadece iki bilgiye ihtiyacımız vardır: Çokgendeki kenarların üzerinde bulunan nokta sayısı ve eğer varsa çokgenin iç tarafında kalan nokta sayısı.

Kenarlardaki nokta sayısı k ile, iç tarafta kalan nokta sayısını ise i ile gösterirsek Pick’in teoremine göre çokgenin alanı şöyle bulunur:

Alan = i + (k/2) – 1

Örnek 1: Üçgen.

üçge

Eğer şekildeki gibi bir üçgene sahipsek, kenardaki nokta sayısı k=4 olur. Üçgenin iç kısmında hiç nokta olmadığı için i=0’dır. Pick’in formülünü uygularsak üçgenin alanını buluruz:

Alan = 0 + (4/2) – 1

= 0 + 2 – 1

= 1 birim kare.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban 1, yükseklik 2 birim olduğu için üçgenin alanı (2*1)/2 = 1 birim kare olur.

Örnek 2: Kare.

karre

Şekilde k=12, i=4’tür. O halde çokgenin alanı;

4 + (12/2) – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 birim kare.

Karenin alanı bir kenarının karesidir. Bir kenar 3 birim olduğu için karenin alanı 3*3 = 9 birim karedir.

Kare ve üçgen örneklerine bakınca teoremin gereksiz olduğunu düşünebilirsiniz. O halde gelin çokgenlerimizi biraz daha karmaşık şekilde çizelim.

Örnek 3: Çokgen.

3788_1

Şimdi Pick’in teoreminin gücünü görebiliriz. Eğer teoremi bilmiyorsak mecburen bu çokgeni başka çokgenlere parçalayıp onların alanlarını tek tek bulmamız gerekir. Fakat Pick’in teoremiyle sadece nokta sayarak alanı bulabiliriz.

Çokgende k=12, i=72 olduğuna göre alan:

Alan = 72 + (12/2) – 1 = 72 + 6 – 1 = 77 birim kare olur.

Eşkenar Üçgen

Şu ana dek yaptıklarımızın sayılar değil geometriyle ilişkisi olduğu görülüyor. Fakat tek bir soruyla bunu değiştireceğim.

Soru: Kafes noktalar düzleminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgen çizmek mümkün müdür?

Örneğin tabanı iki birim olan bir eşkenar üçgen çizmeye çalışalım:

ekui

Şekilde görüldüğü üzere bunu yaptığımda üçgenin iki köşesi noktalar üzerinde kalmasına rağmen üçüncü köşe boşluktadır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki bunun çizilebilecek her eşkenar üçgen için böyle olup olmadığını ispatıyla açıklayabilir misiniz?

İspatı bir sonraki yazıda açıklayacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #5

Sarhoşun Güzergahı

Sonunda sıra muhasebeci Ali’nin problemine geldi. Bir sarhoşun rastgele seçimler yaparak evine ulaşıp ulaşamayacağını belirlemek için bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmemiz gerektiğini söylemiştim. Fakat biz yeryüzünde yaptığımız yürüyüşlerde sağ ve soldan başka seçeneklere de sahibiz.

Gelin sarhoşun güzergahını iki boyutta rastgele yürüyüş olarak düşünelim.

İki boyutta rastgele yürüyüş için dört farklı ihtimal vardır: Aşağı, yukarı, sağ ve sol. Bu dört yön bize geometrinin tanıdık bir kısmı olan koordinat düzlemini hatırlatır. Koordinat düzleminde orijini sarhoşun başlangıç noktası olarak belirlediğimizde ilk adım için aşağıdaki ihtimaller belirir:

İki boyutta rastgele bir yürüyüşü test etmek için 12 yüzlü zar kullanılabilir. Zar atıldığında:

1-2-3 gelirse yukarı bir adım,

4-5-6 gelirse aşağı bir adım,

7-8-9 gelirse sağa bir adım,

10-11-12 gelirse sola bir adım atılır.

IMG_6524

Soru: İki boyutta N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına kaç adım uzakta olunur?

Bu sorunun cevabı tıpkı bir boyutta olduğu gibi adım sayısının kareköküdür. Yani cevap N tane rastgele adım için √N olur. Fakat bu sefer orijini merkez, yarıçapı ise √N olan bir çemberi hayal etmemiz gerekir. Yürüyüşün tamamlanma ihtimalinin en yüksek olduğu alan bu çemberdir.

çember.jpg
20 tane adım için √20=4,47. Buna 5 dersek, 20 rastgele adım sonunda taralı alan içinde bir yerde olma ihtimalimiz yüksektir.

Bir boyutta rastgele yürüyüş sonrası üç çıkarımdan bahsetmiştim. Bu çıkarımlardan üçüncüsüne göre bir boyutta atılan rastgele adım sayısı ne kadar çok olursa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar fazladır.

Aynısı iki boyuttaki rastgele yürüyüşler için de geçerlidir; adım sayısı ne kadar fazlaysa adımı atan kişinin başlangıç noktasına dönme veya ona çok yakın olma ihtimali de o derece yüksek olur.

“Sarhoş bir insan muhakkak evinin yolunu bulur, fakat sarhoş bir kuş sonsuza dek kaybolabilir.”
Shizuo Kakutani

Bu sonuç sarhoş Ali’nin sürekli başladığı yere gelme ihtimalinin evine varma ihtimalinden daha yüksek olduğunu söyler. Fakat Ali rastgele tercihler yapmasına rağmen er ya da geç evine ulaşır.

Hatta bunu bir adım daha öteye götürelim: Eğer muhasebeci Ali yeterince uzun süre boyunca yürümeye devam ederse, mahallesinde bulunan tüm sokakları ziyaret etmiş olur. Bu yüzden iki boyutta rastgele yürüyüş tekrar eden bir yürüyüştür. Fakat işler üç ve üstü boyutta değiştir. İkiden büyük boyutlarda rastgele hareket geçicidir. Shizuo Kakutani bu nedenle sarhoş bir kuşun sonsuza dek kaybolabileceğini söylemiştir.

güzergah
Eğer Ali yürüyüşünü yeterince uzun tutarsa mahallesinin tüm sokaklarını gezmiş olur.

Yanlı Rastgele Yürüyüş

Bir boyutta rastgele yürüyüş için iki sonucun (sağa ve sola bir adım atmak) eşit ağırlıkta (1/2) olasılığa sahip olduğunu artık adımız gibi biliyoruz.

Gelin başka bir rastgele yürüyüş tipi bulmaya çalışalım. Fakat bunu yaparken ihtimalleri aynı, adım sayılarını ise farklı tutalım. Yani sağ veya sol tercihi ½ olasılıkla gerçekleşecek, ama sağa iki adım atılırken sola bir adım atılacak.

İşte bu, bir yanlı rastgele yürüyüş örneğidir. Normal rastgele yürüyüşte bir adım +1 veya -1 değerini alabilirken, yarattığım yanlı rastgele yürüyüşte bir adım +2 veya -1 olur.

Rastgele yürüyüşün yanlılığı N adım atıldıktan sonra başlangıç noktasının sağında bulunma ihtimalinin çok yüksek olmasından gelir. Önceki yazılarda bir boyutta yürüyüşü havaya para atarak (yazı-tura ile) göstermiştim. Yazı sağa, tura ise sola doğru adım atmak anlamına geliyordu. Yanlı rastgele yürüyüşe göre havaya atılan bir paranın yazı gelmesi sağa iki adım, tura gelmesiyse sola bir adım demektir.

Parayı 10 defa havaya attıktan sonra durduğum nokta:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir madeni parayla aynı deneyi siz de yapın ve sonuçlarınızı karşılaştırın.

Not: Bitmedi. Devamı yarın ki yazıda.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #12

Cogito Ergo Sum*

*Düşünüyorum, öyleyse varım. Bu sözün sahibi olan Rene Descartes, birçoklarınca modern felsefenin kurucusu olarak gösterilir. Halbuki Descartes aynı zamanda devrim yaratıcı bir matematikçiydi.

200px-Frans_Hals_-_Portret_van_René_Descartes
Rene Descartes (1596 – 1650)

Hikayenin doğruluğu ispatlanamamış olsa da Descartes’in matematik buluşlarının belki de en önemlisi şöyle ortaya çıkmıştı:

Küçüklüğü sürekli hastalıklarla geçen Descartes yatağından geç saatte çıkmayı bir alışkanlık haline getirmişti. Öyle ki hayatının son birkaç ayına dek öğlen vaktine kadar yatağında uzanıp derin düşüncelere dalardı. Yine bir sabah yatağında düşüncelere dalmışken bir yandan odasına giren bir sineği gözleriyle takip ediyordu. Bir an için tavanda duran sinek Descartes’in gözlerini açmıştı: “Acaba odada bulunmayan birine sineğin tavandaki yerini nasıl açıklayabilirim?”

images (2)

Descartes için sorunun cevabı şuydu: Tavanın bir köşesini başlangıç noktası olarak kabul edilirse, tavanın enine ve boyuna belli mesafeler gidilerek sineğe ulaşılır.

İşte bu, kartezyen koordinat sisteminin ilk ortaya çıkış hikayesidir.

Descartes’in buluşunu yayımlaması ile analitik geometri ismi verilen yeni bir geometri alanı ortaya çıkmış oldu.

Analitik geometri = Kartezyen geometri = Koordinat geometrisi

Kartezyen Koordinat Sistemi

Descartes’in tavanının sol alt köşesi başlangıç olsun. Tavanın başlangıç noktasından iki yöne doğru gidilebilir: Yukarı veya sağa.

yukarısaga

Descartes’e göre tavanın herhangi bir yerinde bulunan nokta veya cisme iki adımda ulaşılabilir: X kadar sağa, Y kadar yukarı şeklinde.

O halde noktanın (veya cismin) pozisyonu iki ayrı sayıyla ifade edilebilir. Bunu gösterirken parantez içinde önce sağa sonra yukarı ne kadar gidildiği yazılır.

Örnek: Birim santimetre, sineğin bulunduğu yer ise şekildeki gibi olsun.

hqdefault (1)

Sineğe ulaşmak için sağa 4 cm, yukarı 3 cm gidilmesi gerekiyorsa, sinek (4,3) konumunda bulunuyor denilir.

Hırsızı Yakala

Oyun için gerekenler:

  • 6×6’lık bir kartezyen koordinat sistemi.
  • Zar.
  • Kağıt ve kalem.

İki kişilik bir oyun olan “hırsızı yakala”da oyuncular sırayla hırsız ve polis olur. Hırsızın görevi koordinat sisteminde saklanmak iken polisin göreviyse hırsızı en kısa sürede (yani en az tahminle) bulmaktır.

IMG_6397
Hırsızı yakala oyunu için gereken koordinat düzlemi.

Hırsız iki defa zar atarak yerini belirler: (İlk zar, İkinci zar).

Polis ilk tahminini yapar. Eğer tahmin doğruysa sorun yok. Turnayı gözünden vurmuş oldunuz.

Eğer tahmin yanlışsa hırsız polise bir mesaj gönderir. Mesajda bir sayı yer alır. Bu sayı hırsızın konumuyla polisin konumlarını belirten sayı ikilileri arasındaki farkı belirtir.

Örneğin hırsız (2,2) konumundayken polis (4,1) tahminini yaparsa hırsız konumlar arasındaki farkları toplar. Konumlar arası farklar: 4-2=2 ve 2-1=1 olur. O halde örnekte hırsızın polise attığı mesajda 3 yazar.

Polis ikinci tahminini bu sayıyı göz önünde bulundurarak yapar ve bu döngü polis hırsızı yakalayana dek sürdürülür.

Örnek

Hırsız zarları atar. İlkinde 3, ikincisinde 4 gelmiştir. O halde hırsızın konumu (3,4) noktasıdır.

Polis ilk tahminini (2,2) diye yapar ve ıskalar.

Konumlar arası farklar 3 – 2 = 1, 4 – 2 = 2’dir. Bu yüzden hırsız polise 3 mesajını gönderir.

Polis zor bir durumdadır çünkü 3 cevabı içerisinde çok fazla ihtimal bulunduran bir cevaptır.

İhtimal 1: Polis x’e 3 ekler. Tahmin: (5,2).

İhtimal 2: Polis x’e 2, y’ye 1 ekler. Tahmin: (4,3).

İhtimal 3: Polis x’e 1, y’ye 2 ekler. Tahmin: (3,4).

İhtimal 4: Polis y’ye 3 ekler. Tahmin: (2,5).

İhtimal 5: Polis x’den 2, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (0,1).

İhtimal 6: Polis x’den 1, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (1,0).

İhtimal 7: Polis x’den 2 çıkarır, y’ye 1 ekler. Tahmin: (0,3).

İhtimal 8: Polis x’den 1 çıkarır, y’ye 2 ekler. Tahmin: (1,4).

İhtimal 9: Polis x’e 2 ekler, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (4,1).

İhtimal 10: Polis x’e 1 ekler, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (3,0).

Polis ikinci hamlesinden itibaren aynı stratejiyi kullanarak hırsızı yakalamaya çalışır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Eğer polis onuncu ihtimali seçerse bir sonraki hamlesini kaç tane ihtimal arasından yapar?
  2. Ben hırsızım, siz de polis. İlk tahmininiz (3,3), size gönderdiğim mesaj 2 olsun. Nerede saklanıyorum? Yorumlara cevabınızı yazabilirsiniz.