Matematik Atölyesi – Algoritma #4

Adil Pasta Kesimi

Adil bir şekilde pasta kesmenin bir yolu var mı?

Bunu resmen bir matematik problemi olarak gören ilk kişi Hugo Steinhaus isminde bir matematikçiydi. Steinhaus 1944 yılında bir pastayı iki kişinin nasıl paylaşabileceği üzerine kafa yormuştu.

Ona göre birbirlerinin seçimlerini kıskanmadan iki kişinin pastayı paylaşmasının yolu “biri keser, diğeri seçer” yöntemiydi:

İlk kişi pastayı ikiye böler, ikinciyse iki parçadan istediğini alır. Bu yöntemde ikinci kişi istediği parçayı alabildiği için tercihinden memnundur. İlk kişiyse pastayı eşit olarak iki parçaya ayırdığını düşündüğü için iki parçadan kendisine hangisi kalırsa kalsın memnun olacaktır. Steinhaus’un bu yöntemi bilinen ilk kıskanç olmayan yöntemdi.

Peki üç kişi bir pastayı birbirlerinin seçimlerini kıskanmadan nasıl paylaşabilir?

İnanılmaz ama bu soru ancak 1962’de cevaplanmıştı. Soruyu birbirinden bağımsız olarak çözen J. H. Conway ve J. Selfridge’e göre yöntem şu şekilde ilerler:

Ali, Steve ve Jane

  1. Ali pastayı üç (kendince) eşit parçaya böler.
  2. Steve bu parçaları kontrol eder. Eğer Steve kontrol sonrası bir şey yapmazsa sıra Jane’e geçer.
  3. İlk seçimi Jane, ikinci seçimi Steve, son seçimiyse Ali yapar.

Gelin yöntemi ayrıntılarıyla açıklayalım:

Adım #1: Ali ne yapmalı?

Ali göz kararı bir şekilde pastayı üç eşit (ya da en azından denk) parçaya böler:

Adım #2: Steve ne yapmalı?

Steve bu parçaları kontrol eder. Burada ihtimaller Ali’nin kesiminin değerlendirilmesiyle şekillenir:

  1. Eğer Steve parçalardan en az ikisinin en iyi (yani en büyük) parçalar olduğuna kanaat getirirse bir şey yapmaz ve sıra Jane’e geçer. Steve’e göre böyle bir durumda iki ihtimal vardır:
    a. Parçaların hepsi birbirine eşitse Jane hangisi seçerse seçsin kalan parçaların hepsi Steve’i memnun eder:

    20190502_152944.jpg
    Üç parça da eşitse ikinci seçimi yapacak olan Steve mutlu olacaktır.

    b. Eğer iki parça birbirine eşit ve üçüncü parçadan büyükse, Jane büyük parçalardan birini alsa dahi diğer büyük parça Steve’e kalır ki bu da onu memnun eder.

  2. Parçalardan biri diğer ikisinden büyükse Steve bir şey yapmak zorundadır. Aksi takdirde Jane tek büyük parçayı alır:
    20190502_153002.jpg
    Steve ortadaki parçanın diğer ikisinden daha büyük olduğunu fark eder. Eğer bir şey yapmazsa bu parça Jane’e gidecektir.

    Bu durumda Steve büyük parçayı traşlayarak düzenler ve fazla parçayı bir kenara ayırır. Böylece Steve Jane’e seçmesi için en kötü ihtimalle birbirine eşit iki büyük parça bırakmış olur:

    Steve ortadaki parçayı traşlar ve fazlalığı başka yere koyar. Örnekte orta ve sağ en iyi parçalardır. Jane bu ikisinden birini aldığı takdirde diğeri Steve’e kalacaktır.

Adım #3: Jane ne yapmalı?

Steve memnun olduğuna kanaat getirdikten sonra sıra Jane’e gelir:

  1. Eğer Steve hiçbir şey yapmamışsa üç parça birbirine eşit demektir. Bu durumda ilk Jane seçimini yapar, sonra da Steve. Son parça ise Ali’nindir. Böylece kıskanç olmayan kek kesimi gerçekleşmiş olur.
  2. Eğer Steve’e göre Ali’nin kestiği üç parçadan biri diğer ikisinden büyükse Steve bu büyük parçayı yukarıdaki adımda anlatıldığı gibi düzeltir ve sıra Jane’e öyle gelir. Böyle bir durumda Jane istediği parçayı seçer. Fakat Jane’in seçtiği parça yöntemin geri kalanını etkiler:
    a. Eğer düzenlenmiş kek parçasını Jane seçerse kalan iki parçayı sırasıyla Steve ve Ali alır. Bu durumda ayrılmış olan dördüncü parçayı Steve eşit üç parçaya böler. Bu üç parçayı sırasıyla Jane, Ali ve Steve seçer ve adil paylaştırma sona erer:

    b. Eğer Jane düzenlenmiş kek parçasını almazsa bu parçayı Steve almak zorundadır. Bu durumda ayrılmış olan dördüncü parçayı Jane eşit üç parçaya böler. Bu üç parça sırasıyla Steve, Ali ve Jane tarafından seçilir ve adil paylaştırma sona erer.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Buraya kadar olan senaryo kıskançlıktan uzak mıdır?

(Okumadan önce cevap üzerine bir süre kendiniz düşünün.)

*

*

*

Cevaplar

Ali İçin: Evet. Çünkü orijinal keki üç eşit parçaya ayırdığını düşündüğü için hangi parça gelirse gelsin memnun olacaktır. Artan kısım olursa Ali için zaten eşit olduğunu düşündüğü parçaya biraz daha fazla pay gelmiş olacaktır.

Steve İçin: Evet. Çünkü kek parçalarından en az ikisinin en iyi (yani en büyük) olmasını garantilemeden Jane’e sırayı vermez. Eğer parçalardan birinde düzeltme yaptıysa ve bu parçayı Jane aldıysa, artan parçayı üç eşit parçaya bölen Steve olur ki bu da Steve’in herhangi bir artan parça ile memnun olacağı anlamına gelir.

Jane İçin: Evet. Çünkü orijinal parçalardan ilk seçimi yapan o olur: Bu sayede kendinden en iyi parçayı seçebilir. Ayrıca Steve’in üçe böldüğü artan kısımda da ilk seçimi yapacağı için paylaşımdan memnun olacaktır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #16

Pasta Kokusu Alıyorum

İçeriden harika kokular geliyor. Hemen mutfağa kendinizi ışınlayıp tezgahın üzerindeki pastayı fark ettiniz. Tam yumulmak üzereyken pastanın hem yaratıcısı hem de koruyucusu annenize yakalandınız.

Anne artık tecrübeli; duygu sömürüsü bir işe yaramıyor. Fakat yine de bir şans beliriyor. Eğer pastadan üç eşit parça çıkarabilirseniz parçalardan biri sizin olacak.

Annenin şartları:

  • Pastayı nereden keseceğinizi belirlemek için ölçü aletleri arasından sadece pergeli kullanabilirsiniz.
  • Amaç pastadan üç eşit alanlı parça çıkarmak. Pastanın ne kadarını (yani tamamını mı yoksa bir kısmını mı) üçe böleceğiniz sizin maharetinize kalmış.
  • Kesim yaparken ufak tefek (örneğin bir parça alan 3,04 iken diğerinin 3,09 olması gibi) fazlalıklar anne tarafından göz ardı edilecek. Fakat yöntem teoride tam alanı vermeli.
  • En önemlisi bu madde: Kesilecek parçalar halka şeklinde olmalı.
  • Kesme denemesi için tek hakkınız var. Bıçak vurulduktan sonra dönüş yok.

Pasta Kesme Sanatı

Annenin istediğini yerine getirmeden önce kağıt üzerinde sadece pergel kullanarak sonuca ulaşmaya çalışalım.

Merkezi O noktası olan rastgele bir çember çizelim:

20190129_223507

Çemberin yarıçapı kadar uzunlukta bir kiriş yapalım:

20190129_223524

Kirişi çemberin muhtelif yerlerine koyalım ve kirişin orta noktasının bulunduğu yeri işaretleyelim:

İşaretlenen noktalardan herhangi birini seçip O merkezinden pergel yardımıyla yeni bir çember çizelim:

20190129_223719

Yeni çemberin içinde kirişi tekrar gezdirip bir başka çember daha çizelim:

Aynı işlemleri üçüncü defa tekrarlayalım:

Renkli kalemle işaretlediğim alanlar birbirine eşittir:

 

 

20190129_224139
Büyük çemberin yarıçapı=5 cm.
İkinci çemberin yarıçapı=4,34 cm.
Üçüncü çemberin yarıçapı= 3,56 cm.
Dördüncü (en içteki) çemberi yarıçapı=2,55 cm.

Merak edenler çemberlerin alanlarını hesaplayarak halkaların yaklaşık değerlerini bulabilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

O halde annenin istekleri doğrultusunda pastanın içinden eşit halkalar çıkarmak mümkündür.

Peki en fazla pasta parçasını alabilmek için kirişin uzunluğu kaç olmalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu