Karnım acıktı. Gecenin bir yarısı evde yiyecek bir şeyler bulma umudundayım. Mutfakta hiç açmadığım bir çikolata buldum:
Derhal kendime kahve yaptım. Kahvenin yanında götürmek için çikolatadan ufak bir parça kopardım:
Parçayı hunharca katlettikten sonra pişmanlık çöktü: Acaba çok mu çikolata yedim?
Kalan parçayı kareli defter üzerine koydum. Böylece çikolatanın hem ilk hem de son halinin kareli defterde (veya koordinat düzleminde) hangi noktalarda kaldığını bulmuş oldum:
Kopardığım parça bir basit çokgen şeklindedir. Amacım bu parçanın alanını bulmak. Bir basit çokgen alanı bulunurken birçok yolu deneyebilirim. Aklıma ilk gelen yol “Gauss’un ayakkabı bağcığı” ismiyle bilinen bir teoremdir.
Gauss’un Ayakkabı Bağcığı Teoremi
Koordinat düzleminde bulunan bir basit çokgenin alanını bulmak için kullanılan ayakkabı bağcığı teoremini uygulamak için çokgenin köşelerinin koordinat düzlemindeki yerlerini belirlemek gerekir:
Bu noktalar için teorem tıpkı ayakkabı bağcığı gibi ilerler. Yönteme geçmeden önce alanı bulunması gereken parçada bulunan tüm köşeleri sırala:
İlk noktayı listenin sonuna tekrar ekleyin.
Daha sonra listedeki sayılar çapraz olarak çarpılır. Soldan sağa olanların toplamı sağdan sola olanların toplamından çıkarılır:
Kareli defterden bir sayfa hayal edin. Bu sayfada kenarları kaldırıp sadece köşeleri bırakalım. Yatay ve dikey yönde bulunan her iki nokta arasının tam olarak bir birim olduğunu varsaydığımızda elimizdeki şey noktalardan oluşan bir sisteme dönüşür. Bu sisteme kafes noktalar diyelim.
Kafes noktalar sistemindeki her nokta tam sayıdan oluşan bir sayı ikilisiyle ifade edilir:
Pick’in Teoremi: Çokgen alanı bulmak için alternatif bir yöntemdir.
Sistemdeki noktalar birleştirilerek çokgenler oluşturulabilir. Bu çokgenlerin alanlarını bulmak için Pick’in teoremi bize büyük kolaylık sağlar.
Teoreme göre çokgenin alanını bulabilmek için sadece iki bilgiye ihtiyacımız vardır: Çokgendeki kenarların üzerinde bulunan nokta sayısı ve eğer varsa çokgenin iç tarafında kalan nokta sayısı.
Kenarlardaki nokta sayısı k ile, iç tarafta kalan nokta sayısını ise i ile gösterirsek Pick’in teoremine göre çokgenin alanı şöyle bulunur:
Alan = i + (k/2) – 1
Örnek 1: Üçgen.
Eğer şekildeki gibi bir üçgene sahipsek, kenardaki nokta sayısı k=4 olur. Üçgenin iç kısmında hiç nokta olmadığı için i=0’dır. Pick’in formülünü uygularsak üçgenin alanını buluruz:
Alan = 0 + (4/2) – 1
= 0 + 2 – 1
= 1 birim kare.
Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban 1, yükseklik 2 birim olduğu için üçgenin alanı (2*1)/2 = 1 birim kare olur.
Örnek 2: Kare.
Şekilde k=12, i=4’tür. O halde çokgenin alanı;
4 + (12/2) – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 birim kare.
Karenin alanı bir kenarının karesidir. Bir kenar 3 birim olduğu için karenin alanı 3*3 = 9 birim karedir.
Kare ve üçgen örneklerine bakınca teoremin gereksiz olduğunu düşünebilirsiniz. O halde gelin çokgenlerimizi biraz daha karmaşık şekilde çizelim.
Örnek 3: Çokgen.
Şimdi Pick’in teoreminin gücünü görebiliriz. Eğer teoremi bilmiyorsak mecburen bu çokgeni başka çokgenlere parçalayıp onların alanlarını tek tek bulmamız gerekir. Fakat Pick’in teoremiyle sadece nokta sayarak alanı bulabiliriz.
Çokgende k=12, i=72 olduğuna göre alan:
Alan = 72 + (12/2) – 1 = 72 + 6 – 1 = 77 birim kare olur.
Eşkenar Üçgen
Şu ana dek yaptıklarımızın sayılar değil geometriyle ilişkisi olduğu görülüyor. Fakat tek bir soruyla bunu değiştireceğim.
Soru: Kafes noktalar düzleminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgen çizmek mümkün müdür?
Örneğin tabanı iki birim olan bir eşkenar üçgen çizmeye çalışalım:
Şekilde görüldüğü üzere bunu yaptığımda üçgenin iki köşesi noktalar üzerinde kalmasına rağmen üçüncü köşe boşluktadır.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Peki bunun çizilebilecek her eşkenar üçgen için böyle olup olmadığını ispatıyla açıklayabilir misiniz?
*Düşünüyorum, öyleyse varım. Bu sözün sahibi olan Rene Descartes, birçoklarınca modern felsefenin kurucusu olarak gösterilir. Halbuki Descartes aynı zamanda devrim yaratıcı bir matematikçiydi.
Rene Descartes (1596 – 1650)
Hikayenin doğruluğu ispatlanamamış olsa da Descartes’in matematik buluşlarının belki de en önemlisi şöyle ortaya çıkmıştı:
Küçüklüğü sürekli hastalıklarla geçen Descartes yatağından geç saatte çıkmayı bir alışkanlık haline getirmişti. Öyle ki hayatının son birkaç ayına dek öğlen vaktine kadar yatağında uzanıp derin düşüncelere dalardı. Yine bir sabah yatağında düşüncelere dalmışken bir yandan odasına giren bir sineği gözleriyle takip ediyordu. Bir an için tavanda duran sinek Descartes’in gözlerini açmıştı: “Acaba odada bulunmayan birine sineğin tavandaki yerini nasıl açıklayabilirim?”
Descartes için sorunun cevabı şuydu: Tavanın bir köşesini başlangıç noktası olarak kabul edilirse, tavanın enine ve boyuna belli mesafeler gidilerek sineğe ulaşılır.
İşte bu, kartezyen koordinatsisteminin ilk ortaya çıkış hikayesidir.
Descartes’in buluşunu yayımlaması ile analitik geometri ismi verilen yeni bir geometri alanı ortaya çıkmış oldu.
Descartes’in tavanının sol alt köşesi başlangıç olsun. Tavanın başlangıç noktasından iki yöne doğru gidilebilir: Yukarı veya sağa.
Descartes’e göre tavanın herhangi bir yerinde bulunan nokta veya cisme iki adımda ulaşılabilir: X kadar sağa, Y kadar yukarı şeklinde.
O halde noktanın (veya cismin) pozisyonu iki ayrı sayıyla ifade edilebilir. Bunu gösterirken parantez içinde önce sağa sonra yukarı ne kadar gidildiği yazılır.
Örnek: Birim santimetre, sineğin bulunduğu yer ise şekildeki gibi olsun.
Sineğe ulaşmak için sağa 4 cm, yukarı 3 cm gidilmesi gerekiyorsa, sinek (4,3) konumunda bulunuyor denilir.
Hırsızı Yakala
Oyun için gerekenler:
6×6’lık bir kartezyen koordinat sistemi.
Zar.
Kağıt ve kalem.
İki kişilik bir oyun olan “hırsızı yakala”da oyuncular sırayla hırsız ve polis olur. Hırsızın görevi koordinat sisteminde saklanmak iken polisin göreviyse hırsızı en kısa sürede (yani en az tahminle) bulmaktır.
Hırsızı yakala oyunu için gereken koordinat düzlemi.
Hırsız iki defa zar atarak yerini belirler: (İlk zar, İkinci zar).
Polis ilk tahminini yapar. Eğer tahmin doğruysa sorun yok. Turnayı gözünden vurmuş oldunuz.
Eğer tahmin yanlışsa hırsız polise bir mesaj gönderir. Mesajda bir sayı yer alır. Bu sayı hırsızın konumuyla polisin konumlarını belirten sayı ikilileri arasındaki farkı belirtir.
Örneğin hırsız (2,2) konumundayken polis (4,1) tahminini yaparsa hırsız konumlar arasındaki farkları toplar. Konumlar arası farklar: 4-2=2 ve 2-1=1 olur. O halde örnekte hırsızın polise attığı mesajda 3 yazar.
Polis ikinci tahminini bu sayıyı göz önünde bulundurarak yapar ve bu döngü polis hırsızı yakalayana dek sürdürülür.
Örnek
Hırsız zarları atar. İlkinde 3, ikincisinde 4 gelmiştir. O halde hırsızın konumu (3,4) noktasıdır.
Polis ilk tahminini (2,2) diye yapar ve ıskalar.
Konumlar arası farklar 3 – 2 = 1, 4 – 2 = 2’dir. Bu yüzden hırsız polise 3 mesajını gönderir.
Polis zor bir durumdadır çünkü 3 cevabı içerisinde çok fazla ihtimal bulunduran bir cevaptır.
İhtimal 1: Polis x’e 3 ekler. Tahmin: (5,2).
İhtimal 2: Polis x’e 2, y’ye 1 ekler. Tahmin: (4,3).
İhtimal 3: Polis x’e 1, y’ye 2 ekler. Tahmin: (3,4).
İhtimal 4: Polis y’ye 3 ekler. Tahmin: (2,5).
İhtimal 5: Polis x’den 2, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (0,1).
İhtimal 6: Polis x’den 1, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (1,0).
kmatematikatolyesi.com 