Tag Archives: matematikte “trick”

Sokrates’in Dersi

Tarihin en önemli filozoflarından biri olarak görülen Platon’un matematiğe yaptığı katkılardan önceki yazılarda bahsetmiştim. Bu yazıda Platon’un MÖ 380’de yazdığı kitap olan Menon’u inceleyip irrasyonel sayıların varlığını başka bir yöntemle göstereceğim.

Kitap, Menon’un Sokrates’e erdemin öğretilebilir olup olmadığını sormasıyla başlar ve sonuna dek bu ikisi arasındaki diyalogdan oluşur. Platon bu kitapta herhangi bir konuyu felsefi olarak nasıl ele almamız gerektiğini Sokrates’in ağzından anlatmaya çalışmış.

Bunu yaparken önemli bir matematik probleminden de bahsedilmiş. Şahsen kitabın özellikle bu bölümünün sadece öğrenciler değil, öğretmenlerce de okunması gerektiğini düşünüyorum.

Problem

Kitabın ortalarına doğru Sokrates Menon’un öğrencilerinden (öğrenciyi çocuk diye adlandıracağım) birine bazı sorular yöneltir. Sorular kare şeklinin neye benzediği, ne gibi özellikleri olduğu ve alanının nasıl bulunduğu üzerine başladıktan sonra sıra Sokrates’in asıl sormak istediğine gelir: Bir karenin alanının iki katı alana sahip karenin bir kenarının uzunluğu nedir?

Kareyi karelemek diye bilinen bu sorudan daha önce de bahsetmiştim. Sokrates sorusunda karenin bir kenar uzunluğunu 2 birim olarak belirler ve karenin alanının 4 olduğunu çocuğa buldurtur. Sonra bu karenin alanının iki katı alana sahip bir karenin var olup olmadığını sorar. Çocuk Sokrates’e böyle bir karenin var olduğunu ve alanının 8 birim kare olduğunu söyler.

Sokrates bu karenin bir kenar uzunluğunu sorduğundaysa çocuk alan hesabında olduğu gibi ilk karenin bir kenarı uzunluğunun iki katını alır ve 4 cevabını verir. Fakat Sokrates 4 birimlik bir karenin alanını sorduğunda çocuk 16 birim kare der ve yanlışını fark eder.

Klasik Yunan Matematiği

Sokrates 8 birim karelik alanı olan bir kareyi çizdirmek için çocuğa sorularına devam eder. Bunu yaparken soruları çocuğa bir şekil çizdirtir. Problemin başındaki 2 birimlik kareden önce bir tane çizdiren Sokrates, sonra bu karenin sağına ve altına aynı kareden koydurur. Şekildeki sağ alt kısmı da doldurtan Sokrates bu dört karenin her birinin 4 birim karelik alana sahip olduğunu çocuğa buldurtur.

Sokrates’in bir sonraki sorusu şudur: “Bir karede çapraz köşeleri birleştirmek, karenin alanını iki eşit parçaya bölmek demek değil midir?”

Çocuğun evet cevabından sonra şekildeki dört karenin de köşegenlerini çizdiren Sokrates, bulunan şeklin alanının kaç olduğunu sorar:

8 birim kare cevabını veren çocuk, 4 birim karelik karenin iki katı alana sahip kareyi elde etmiş olur.

Pisagor teoremine göre bu karenin bir uzunluğu aşağıdaki gibi irrasyoneldir:

Sonuç

Sokrates çocuğa irrasyonel bir uzunluğu çizdirmesine rağmen uzunluğun ne kadar olduğunu dert etmez. Çünkü antik Yunanistan’da sayılar uzunluklarla gösterilirdi ve uzunluk bilindiği sürece onun ne anlama geldiği önemsenmezdi. Bu sonuç klasik Yunan matematiğine verilebilecek en güzel örneklerden biridir.

Pisagor ve onun öğrencileri tüm sayıların rasyonel olduğunu iddia ederken Sokrates gibi Yunan filozoflar irrasyonel sayıların varlığını bu tip yollarla gösteriyordu.

M. Serkan Kalaycıoğlu