## Real MATHEMATICS – Graphs #4

I visited the world famous Hermitage museum in Saint Petersburg (Russia) back in 2014. Hermitage is so huge that it has 1057 rooms and one would have to walk around 22 km to see all the rooms. And numbers of artistic & historical items are not that shallow either: It is believe that it would take a little over 11 years if one would spare 1 minute for each piece of art.

Now you can relate why I had trouble when I wanted to visit Hermitage for a few hours. I didn’t have enough time and I wanted to see important art works such as the Dessert: Harmony in Red by Henri Matisse. Eventually I realized that this is a problem I had faced before.

Actually, each and every one of you must have faced such problems in your daily lives. Most common one: “Which route you should take between home and work during rush hour traffic?”

Postman’s Path

Facing such problem in Saint Petersburg is a pleasing coincidence as this magnificent city once was home to one of the giants of mathematics: Leonhard Euler. If you take a look at the first article of graphs you can see that Euler is the person who initiated the discovery of Graph Theory with his solution to the famous Seven Bridges of Königsberg problem.

In 1960 (almost 230 years after the solution of Königsberg) a Chinese mathematician named Mei-Ko Kwan took a similar problem into his hands:

A postman has to deliver letters to a given neighborhood. He needs to walk through all the streets in the neighborhood and back to the post-office. How can he design his route so that he walks the shortest distance?

This problem is given the name Chinese Postman Problem as an appreciation to Kwan. There are a few things you should know about the postman problem:

• Postman must walk each street once.
• Start and finish point must be at the post-office.
• Postman must fulfill these two conditions in the shortest possible time.

Power of Graphs

Mei-Ko Kwan turned to Euler’s Königsberg solution in order to solve the postman problem. According to Kwan postman problem could have been shown as a graph: Lines represent the streets and letters represent the houses.

Example Graph:

##### A graph has an Euler circuit if and only if the degree of every vertex is even. In other words, for each vertex (point) count the number of edges (lines) it has. If that number is even for each vertex, then it is safe to say that our graph has an Euler circuit.

Solution

As you can see above, if the degree of every vertex in a graph is even, then we can conclude that the graph has an Euler circuit. Let’s assume that the following is our graph:

First of all we must determine the degree of each vertex:

As seen above all the vertices have even degrees. This is how we can conclude that the graph has an Euler circuit even without trying to find the path itself. Hence the postman can use the existent roads and finish his route in the shortest time:

When a graph has vertices with odd degrees, then we must add new line(s) to the graph in order to create an Euler circuit. These are the steps you can follow:

1. Find the vertices that have odd degrees.
2. Split these vertices into pairs.
3. Find the distance for each pair and compare them. The shortest pair(s) shows where to add new line(s).
4. Add the line(s) to the graph.

Let’s use an example and test Kwan’s algorithm for the solution. Assume that A is the starting point. First we must check the degrees of the vertices:

Unfortunately A and D have odd degrees which is why the postman can’t finish his walk:

Here we have only one pair that is A-D. There are three routes between A-D. If we find the shortest one and add that to our graph, we will have an Euler circuit:

The shortest one is the line between A-D as seen above. If we add that line, we will have the shortest route for the postman:

One wonders…

If the post office is at A, what is the route for the postman to take so that he will finish his day in the shortest way?

M. Serkan Kalaycıoğlu

## Matematik Atölyesi – Graf #4

2014 yılının Kasım ayında Rusya’nın St. Petersburg şehrinde bulunan dünyaca ünlü Hermitage müzesini ziyaret etmiştim. İçinde 1057 tane oda olan Hermitage’ı baştan sona yürüyen biri 22 km mesafe kat etmiş olur. Müzede bulunan eserlerin tamamına bakmak istiyorsanız, her esere sadece 1 dakika ayırsanız bile bu işi 11 yıldan önce bitirmenin mümkün olmadığını bilmeniz gerekir.

Bu yüzden Hermitage’ı sadece birkaç saatliğine ziyaret etmeye çalıştığımda nerede ne kadar süre geçirmem gerektiğini iyi ayarlamalıydım. Çünkü devasa müzeyi kısa sürede gezmem, ama bunu yaparken ilgimi çeken eserleri görmem gerekiyordu.

Aslında bu, çok orijinal bir problem değil. Hemen herkes günlük yaşamında bu tür problemlerle karşılaşır: “Ev-iş arasında hangi saatte hangi yolu kullanmalı?” gibi.

Postacının Yolu

St. Petersburg’da bu problemle karşılaşmam çok hoş bir tesadüftü. Çünkü Petersburg 18. yüzyılda ünlü matematikçi Leonhard Euler’e ev sahipliği yapmıştı. İlk graf yazısından hatırlayacağınız üzere Euler Königsberg’in yedi köprüsü problemiyle birlikte çizge teorisinin ortaya çıkmasına önayak olmuştu.

Königsberg probleminden 230 yıl sonra 1960’da Çinli bir matematikçi olan Mei-Ko Kwan soruyu biraz daha farklı şekilde ele almıştı:

Bir postacı rotasındaki evlere elindeki mektupları dağıtmak üzere posta ofisinden ayrılır. Postacının en kısa sürede tüm evlere uğrayıp tekrar posta ofisine dönmesi için nasıl bir rota izlemesi gerekir?

Kwan’a ithafen Çinli Postacı Problemi olarak bilinen bu problemde önemli olan detaylar şunlardır:

• Postacı rotası üzerindeki tüm sokakları kullanmalıdır. Fakat her sokak sadece ama sadece bir defa kullanılmalıdır.
• Postacının rotasında başlangıç ve bitiş posta ofisinde olmalıdır.
• Postacının amacı en kısa sürede yukarıdaki iki şartı yerine getirmektir.

Çizge Teorisinin Gücü

Mei-Ko Kwan Çinli Postacı Probleminin çözümünde Euler’in Königsberg’in yedi köprüsü için ortaya keşfettiklerinden yararlanmıştı. Kwan’a göre problem Euler’in yaptığı gibi graf haline getirebilirdi. Postacının gitmesi gereken mahalleler noktalarla, mahalleler arasındaki mesafeler (yani sokaklar) ise çizgilerle gösterilebilir.

Örnek Graf:

#### Bir graftaki bir noktanın sahip olduğu çizgi sayısı, o noktanın derecesini verir. Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa, o graftaki tüm noktalar çift derecelidir.

Çözüm

Anlaşıldığı üzere Çinli Postacı Probleminin çözümü için postacının rotasında Euler döngüsü olmalıdır. Örneğin postacının güzergahı aşağıdaki gibi olsun:

İlk yapılması gereken şey tüm noktaların (harflerin) sahip olduğu çizgi sayısını bulmak:

Yukarı görüldüğü üzere graftaki tüm noktalar çift derecelidir. Bu sayede hiç denememize bile gerek kalmadan bu rotada Euler döngüsü olduğunu söyleyebiliriz. O halde postacının en kısa sürede görevini tamamlaması için graftaki yolları kullanması yeterlidir:

Tek dereceli noktalar varsa grafa yeni çizgiler eklenerek (yani postacı yeni yollar üretmek zorundadır) tüm noktalar çift dereceye çevrilmelidir. Peki bu nasıl yapılır?

1. Tek dereceli noktaları bul.
2. Bu noktaları ikili gruplara ayır.
3. İkili gruplar arası mesafeleri bul. En düşük mesafeliler eklenmesi gereken çizgileri belirtir.
4. Çizgileri grafa ekle.

Yukarıda verdiğim mahalle örneği üzerinden giderek açıklamaya çalışalım. Sorun postacının A mahallesinden başlayıp yine A’da bitecek gününü en kısa sürede tamamlamak istemesidir.

Önce her mahallenin (yani noktanın) sahip olduğu yol sayısına (yani çizgi sayısına) bakalım:

Her nokta çift sayıda çizgiye sahip olsaydı burada bir Euler yolu olurdu ve postacının en kısa turu direk mesafelerin toplanmasıyla bulunabilirdi. Fakat A ve D noktalarının tek sayıda çizgiye sahip olması bunu engelliyor:

Bu durumda yapılması gereken şey, tek çizgiye sahip noktalar arasında yeni yol veya yollar yapmaktır. A ve D mahalleri arasında üç farklı yol vardır. Bunlardan en kısasını bulup grafa eklersek sorumuz çözülmüş olur:

A-D mahalleri arasındaki yollar yukarıdaki gibidir. Görüldüğü üzere en kısa süre direk A-D arasındaki yoldadır. O halde A-D arasına yeni bir yol eklersek postacının sorunu çözülmüş olur:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki rotada A’dan başlayıp A’ya dönmesi gereken postacının en kısa yolu ne kadar süre alır? Bunu yapabilmek için kullanması gereken rota nedir?

M. Serkan Kalaycıoğlu