Matematik Atölyesi – Graf #6

Miras Problemi

Kral Serkan I ölüm döşeğindeyken sahip olduğu arsaları çocuklarına dağıtmaya karar verir. Doğal olarak Serkan I’in bazı koşulları vardır:

  • Her çocuk en az bir arsa alacak.
  • Birbirine komşu arsalar aynı çocuğun olmayacak.
  • Yukarıdaki koşullar sağlanmadığı takdirde mirasın tamamı “Fener Ol” kampanyası vasıtasıyla Frey’in bonservisine harcanacak.

Problem: Serkan I’in en az kaç çocuğu olmalı ki herhangi bir arsa paylaşımında sorun yaşanmasın?

Harita #1

Basit bir haritadan başlayalım:

20190423_000256.jpg

Bu durumda Serkan I’in iki çocuğunun olması yeterlidir:

20190423_000310.jpg

Bir önceki yazıdan hatırlayacağınız üzere harita ile graf birbirlerine dönüşebilir. Eğer arsalar noktaları ve iki arsanın komşu olması bu iki noktanın arasında çizgi olduğunu ifade ederse, haritamız aşağıdaki gibi graf olarak gösterilebilir:

20190423_000334.jpg

Bu haritaya bir arsa daha ekleyelim:

20190423_000402.jpg

Eklenen arsa graf için yeni nokta ve çizgi(ler) anlamına gelir:

20190423_000507.jpg

Harita #2

Yeni haritada üç arsa bulunsun:

20190423_000523.jpg

Bu haritayı graf haline getirelim:

20190423_000537.jpg

Grafta da görüldüğü üzere mirasın dağıtılabilmesi için Serkan I’in üç çocuğu olmalıdır:

20190423_000553.jpg

Harita #3

Üçüncü harita aşağıdaki gibidir:

20190423_000627.jpg

Bu dört arsanın kurallara uygun dağıtılması için miras dört çocuğa dağıtılmalıdır:

20190423_000642.jpg

Harita #3’teki durum graf olarak aşağıdaki gibidir:

20190423_000728.jpg

Harita #4

Serkan I’in bıraktığı arsaların aslında ABD haritasıyla aynı olduğunu varsayalım:

480271690e1e0485f71988e273730559

Bu haritayı paylaştırmak için Serkan I’in sadece dört çocuğunun olması yeterlidir:

amarikaaa

Ne Oluyor?

Dikkat ederseniz harita #2’nin grafından harita #3’ün grafına tek bir hareketle (yeni bir nokta koyarak) geçmek mümkündür. Hatta harita #1’den harita #2’ye geçiş de graf üzerine yeni bir nokta eklenip (3 numaralı olan) diğer iki noktaya bağlanarak gerçekleşmiştir:

O halde bir haritaya yeni bir mirasçı eklemek demek grafa yeni bir nokta eklemek demektir.

Peki en az beş çocuğun gerektiği bir harita yaratılabilir mi?

Bu soru aslında grafa (hiçbir çizgiyle kesişmeden) tüm noktalarla bağlantısı olan beşinci bir nokta eklenip eklenemeyeceği anlamına da gelir.

Yani tek yapmamız gereken dört noktalı grafa beşincisini ekleyip bu yeni noktayı diğerleriyle birleştirmektir. Fakat deneyince bunun mümkün olmadığı görülür. Örneğin beşinci noktayı en dışarı koyarsak:

1 ile 5’in arasında diğerleriyle kesişmeyen bir çizgi çizmek mümkün değildir. Ne yaparsak yapalım aynı sonuçta karşılaşırız:

Dört Renk Teoremi

Yaklaşık 160 yıl önce Francis Guthrie harita boyamak üzerine düşünüyordu:

“Düzlemde çizilmiş olan herhangi bir haritayı komşu ülkeler farklı renkte olacak şekilde boyamak için kaç renk yeterlidir?”

İnanılmaz bir şekilde cevap sadece dörttür.

Matematikle ilgili olan/olmayan hemen herkesin anlayabileceği basitlikteki bu soru ilk defa 1852’de Francis Guthrie tarafından ortaya atılmıştı. Ancak 120 yıl sonra (1976’da) dört rengin yeterli olduğu bilgisayarda 1936 farklı senaryo incelenerek ispatlanmıştı. Bu ispat çok önemlidir çünkü tarihte ilk kez bir matematik teoremi bilgisayar kullanılarak ispat edilmişti.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

20190423_003916.jpg

Yukarıdaki grafa dördüncü noktayı ekleyin ve diğerlerine çizgilerle bağlayın. (Bunu yaparken dördüncü noktayı istediğiniz yere koymakta serbestsiniz.)

Şimdi elinizdeki grafa bakın: Dört noktadan herhangi biri çizgilerin içinde kalmış değil mi?

Bunu engellemenin yolu var mı?

Neden var/yok?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Graf #5

Zalim Trafik Işığı

Hemen her gün aynı dört yol ağzından geçiyorum. Tabii olarak en uzun süre kırmızı yanan ışığın bulunduğu tarafı kullanmak zorundayım. Bir bakıma beklemek iyi geliyor: Hayatla ilgili bazı şeyleri düşünmeme olanak sağlıyor. Fakat düşüncelere matematik eğitiminin girmesi çok fazla zaman almıyor.

Bu kısa düşünce seanslarında aklıma takılanlardan biri matematiğin trafik ışıklarıyla ne tür bir ilgisi olabileceğiydi. Kısa bir araştırmadan sonra karşıma matematiğin en sevdiğim kısımlarından biri olan çizge teorisi çıktı.

Işık #1

Tek yön araç akışı olan ve yayaların karşıdan karşıya geçebildiği bir yol düşünün.Araçlar için olan ışığa A, yaya için olanaysa B diyelim:

20190419_014641.jpg

Bu durumda kaza olmaması için A’da yeşil renk yanarken B’de kırmızı, B’de yeşil yanarken ise A’da kırmızı yanmalı. Her iki ışığın da kırmızı yanması kaza yok demekse de anlamsızdır; çünkü öyle bir durumda kimse yerinden kıpırdayamamış olur:

20190419_014707.jpg

Bu durumu çizge teorisinde nokta ve çizgi olarak da gösterebiliriz. A ve B noktalar olurken, aralarında çizgi bulunması noktaların farklı renklerde olduğunu gösterir:

20190419_014721.jpg

Aynı şeyi alan boyama ile de göstermek mümkündür: A ile B komşu iki ülke gibi düşünülebilir. Komşu ülkeler birbirleriyle karışmasın diye farklı renklerde boyanır:

20190419_014817.jpg

Işık #2

İkinci örnekte gidiş-geliş bir yol ve yayalar için konan trafik ışıkları olsun. Araçlar için olan trafik ışıkları A ve B, yayalar için olansa C harfiyle gösterilsin:

20190419_014838.jpg

Bu yolda C kırmızıyken A ile B’nin her ikisi veya herhangi biri yeşil yanabilir. C yeşilken ise A ile B’nin her ikisi de kırmızı olmalıdır:

20190419_014858.jpg

Hepsinin kırmızı olduğunda kaza olmayacaksa da kimse bir yere gidemediği için bu durumu es geçeriz.

İkinci trafik ışığını çizge teorisinde ve harita boyamayla aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

20190419_014930.jpg

Kurallar belirlendikten sonra çizge teorisinin trafik ışıklarının yanış şeklini ne kadar daha sade açıkladığını görebiliyoruz.

Işık #3

İki yönlü bir yolda sağa dönüş ve yayalar için iki ışık koyulmuş bir durumu ele alalım:

20190419_014947.jpg

Bu sefer öncekilere kıyasla görünürde çok daha karmaşık bir durumla karşı karşıyayız:

20190419_015005.jpg

Fakat çizge teorisi ve harita boyamayla karmaşa çözülür:

Kaç Renk Yeter

İki nokta arasında bir çizgi varsa bu noktaların farklı renkte olması gerektiğini düşünerek aşağıdaki grafleri boyayalım.

Kromatik Sayı: Herhangi bir grafte renklendirme/boyama yaparken amaç en az sayıda renk kullanmaktır. İşte bu sayıya bir grafin kromatik sayısı denir.

Burada en az 3 renk gerekir. Yani grafin kromatik sayısı 3’tür. Grafe bir nokta ve çizgi daha ekleyelim:

Nokta ve çizgi sayısı artmasına rağmen kromatik sayı 2’ye düşer. Bir nokta ve çizgi daha eklersek:

Kromatik sayı yine 3 olur. Son bir defa daha nokta ve çizgi ekleyelim:

Kromatik sayı tekrar 2’ye düştü.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Burada gerçekleşen şey ne? Ne fark ettiniz? Neden öyle oluyor?

Kromatik sayıyı nasıl artırabilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Bulmaca #2

Küçüklüğümde izlediğim filmlerden bir “en iyi 10” listesi yapsam Zor Ölüm (Die Hard) üçlemesindeki (dörtleme olduğunu biliyorum. Hatıralarımın bozulmasından korktuğum için 2007’de çıkan son filmi izlemedim.) filmlerin tamamı listeye girerdi.

Serinin üçüncü ve son (evet inat ediyorum) filminde çılgın Alman teröristimiz Simon Gruber, ana karakterlerimiz John McClane ve Zeus Carver’a bir bulmaca bırakmıştı. Film boyunca sosyopat teröristimiz Simon, McClane&Carver ikilisine acı çektirmeyi başarmıştı. İkilinin en zorda kaldığı anlardan biri olan bu bulmaca, tüm seride en sevdiğim sahnedir.

die-hard-vengeance-laptop

İlgili sahne için tıklayın… ya da önce soruyu kendiniz çözmeye çalışın, video bir yere kaçmıyor.

Simon diyor ki…

“Çantanın içinde zaman ayarlı bir bomba var. Bombayı durdurmak için tek şansınız 5 ve 3 litrelik su şişelerini kullanarak 4 litre su elde etmeniz. Eğer doldurduğunuz su tam 4 litre gelmezse çantadaki terazi bunu fark edecek ve geri sayım durmayacak.”

dayhard

Eğik Bilardo Masası

Bir önceki yazıda nokta ve çizgilerin bulmaca çözerken nasıl yardımcı olduğundan bahsetmiştim. Çok ilginç ama bu bulmacada da grafik çizerek hızlı bir şekilde sonuca ulaşılabiliyor. Önce uygulayacağımız yöntem için bazı kurallar koymamız gerekiyor.

Kurallar

  • Noktalar şişelerdeki su miktarını (litre bazında), çizgiler ise kazanılan&kaybedilen su miktarını göstersin.
  • Noktaları gösterirken sayı ikilileri kullanalım. İlk sayı 5 litrelik şişedeki miktarı, ikinci sayı 3 litrelik şişedeki miktarı ifade etsin.
  • Örneğin elimizdeki şişelerde hiç su olmaması (0,0) noktasıyla ifade edilir.
  • (1,2) noktası 5 litrelik şişede 1 litre, 3 litrelik şişede 2 litre su var anlamına gelir.

O halde grafiğimiz şu şekilde olur.

dayhard1

Sorunun Çözümü

Çizdiğim bu grafiğe eğik bilardo masası dememin bir nedeni var: Noktalar arası hareket tıpkı bir bilardo topunun masada yaptığı hareket gibidir. Bir yön seçeriz ve topu oraya doğru göndeririz. Doğal olarak top ancak masanın bir kenarına ulaştığında tam yansıma yaparak yoluna devam eder.

Örneğin (0,0) noktasından gidilebilecek iki yön vardır; (0,3) ya da (5,0). Biz topu (0,3) yönüne gönderirsek aradaki (0,1) ve (0,2) noktalarını geçmiş oluruz. Yansıma, doğrultu üzerindeki son nokta olan (0,3)’te gerçekleşir gelince ve top (3,3)’e doğru devam eder.

Çözüme başlarken önce 5 litrelik (bundan sonra büyük şişe diyelim) şişeyi dolduralım. Bu, (5,0) noktasından başlamak anlamına gelir. Büyük şişedeki suyun 3 litresini diğer şişeye dolduralım dersek, bu da topu (5,0) noktasından (2,3) noktası doğrultusuna doğru vurmak anlamına gelir.

dayhard2

Buradan itibaren top tam yansımayla (2,0) noktasına doğru gider.

(2,0) noktasına gelen top, (0,2)’ye doğru yansır. Oradan da (5,2) noktasına ilerler.

(5,2)’den yansıyan top, (4,3)’e doğru gider. Artık durabiliriz çünkü (4,3) noktası büyük şişede 4 litre su olduğunu ifade eder.

dayhard7

 

Yanda görülen yol, 4 litre suya ulaşmak için yapılması gerekenleri tek tek anlatır:

  • Büyük şişeyi doldur.
  • 3 litresini diğer şişeye boşalt.
  • Küçük şişeyi boşalt.
  • Büyük şişede kalan 2 litre suyu diğer şişeye dök.
  • 5 litrelik şişeyi doldur ve ondan küçük şişede kalan 1 litrelik boşluğa su dök.
  • Böylece büyük şişede 4, diğerinde 3 litre su kalmış olur.

 

Eğer John McClane ve Zeus Carver grafik çizmeyi bilseydi, bulmacayı çok daha kısa sürede çözerlerdi. Oturduğum yerden Zor Ölüm’deki ikiliyi eleştirmek kolay tabi ki. Çok iyi biliyorum ki gerçek bir bomba ile karşı karşıya kalan ben olsaydım, öbür dünyaya erken yaşta göç etmiştim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Simon diyor ki…

  1. “4 litreyi elde etmek için ikinci bir yol daha var mı?”
  2. “1 dakika içinde bu iki şişeyle 1 litre su elde etmenin iki farklı yolunu bulun.”
  3. “6 ve 15 litrelik şişelerle 5 litre su elde etmek mümkün müdür? Her iki ihtimali de ispatla.”

M. Serkan Kalaycıoğlu