Yeni Garip Dünya

Janos Bolyai

Doğum: 1802 – Romanya

Ölüm: 1860 – Romanya

Transilvanya denilince bir çok kişinin aklına Kont Drakula’nın hikayesi gelir. Fakat benim için o bölgeyle özdeşleşmiş bir başka isim var: Janos Bolyai.

Suya Düşen Matematik Hayalleri

Macar matematikçi Farkas Bolyai’nin oğlu olan Janos Bolyai (bundan sonra Bolyai dediğimde oğuldan bahsetmiş olacağım) daha 5-6 yaşlarındayken büyük bir potansiyele sahip olduğunu göstermişti. Maddi olarak zorluklar yaşayan bir ailede büyüyen Bolyai’ye matematiği öğreten kişi babası Farkas idi. Bolyai, henüz 13 yaşındayken kalkülüs* konusuna hakim olmayı başarmıştı.

*Kalkülüs

Fonksiyon, limit, türev, integral, diziler, seriler vb. konuları içeren ve üniversitede ilk sene dersi olarak verilen matematik alt dalı.

1816’da oğlunun daha iyi bir eğitim almasını isteyen Farkas, eski arkadaşı ve matematik öğrendiği kişi olan Gauss*’dan oğlunu yanına almasını ve ona matematik öğretmesini istemişti fakat Gauss bunu reddetmişti. Bu, Bolyai’nin Gauss’dan aldığı en kötü haber olmayacaktı.

Gauss

*Gauss

Matematiğin prensi olarak da bilinen Alman matematikçi, astronom, fizikçi ve coğrafyacı.

Gauss’un yanına gidemeyince Bolyai için en iyi seçenek Viyana’da askeri mühendislik okuyup hayatını asker olarak sürdürmekti. Yedi yıllık okulu dört yılda bitiren Bolyai, 1823-34 yılları arasında orduda görev almıştı.

Yeni Bir Geometri

Farkas Bolyai, kariyerinin büyük bölümünü Öklid’in paralelliğini* ispatlamak için harcamış, fakat istediği sonuca bir türlü ulaşamamıştı. Küçüklüğünden itibaren babasının uğraşının farkında olan Bolyai de 1820’lerden itibaren bu konu üzerinde çalışmaya başlamıştı.

*Öklid’in paralelliği

Yunan matematikçi Öklid’in yazdığı Elementler isimli eserin ilk kitabında bulunan beşinci postulat. (Postulat: İspata gerek duyulmadan, doğruluğu kabul edilen.)

En basit haliyle: Birbirine paralel olan sonsuz iki doğru hiçbir zaman kesişmez.

Orduda görev yaptığı süre boyunca da her boş anını matematikle geçiren Bolyai, 3 Kasım 1823’de babasına yazdığı mektupta yeni bir geometri bulduğundan ilk kez bahsetmişti:

“…hiçlikten, yeni ve garip bir dünya yarattım.”

Bolyai bu mektuptan 1 yıl sonra Öklid-dışı geometri fikirlerini neredeyse tamamlamıştı. Farkas ilk başta oğlunun fikirlerine şüpheyle yaklaşmış olsa da 1830’da onun ne kadar büyük bir iş başardığını fark etmişti. Bu yüzden 1831’de basılacak kitabının giriş kısmında Bolyai’nin çalışmasına yer vermesini istemişti.

Farkas’ın kitabı Bolyai’nin 24 sayfalık ekiyle birlikte 20 Haziran 1831’de basılmıştı. Farkas, kitabını eski arkadaşı Gauss’a göndermiş ve oğlunun yazdığı bölümü okumasını ondan rica etmişti. Gauss, Bolyai’nin 24 sayfasını okuduktan sonra iki kişiye iki ayrı yorum yapmıştı…

Fikir

En basit haliyle Bolyai’nin geometrisi: Öklid’in beşinci postulatını yok say. Yani paralel doğruların da kesiştiği bir geometri hayal et.

Öklid geometrisine göre iki nokta arasındaki en kısa yol düz bir çizgi olurken, Bolyai’nin Öklid-dışı geometrisinde bu çizgi bir tür eğri olur. Konu hakkında daha fazlasını okumak için tıklayın.

Bolyai’nin fikri şöyle de açıklanabilir:

Öklid geometrisinde bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derece yapar. Fakat biz yuvarlak bir şekil üzerinde (örneğin Dünya üzerinde) bir üçgen çizdiğimizde, bu üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyük olabilir:

Bolyai’nin geometrisi (bugünkü adıyla hiperbolik veya Öklid-dışı geometri), yepyeni bir geometri idi.

Çöküş

Gauss, yakın bir arkadaşına “Genç geometrici Bolyai’yi birinci sınıf bir dahi olarak görüyorum.” demişti. Fakat, aynı zamanda Farkas’a yazdığı mektupta çok daha farklı bir tavır sergilemişti:

“…bu çalışmayı övmek bir bakıma kendimi övmek olur. Çünkü bu fikirlere 30-35 sene önce sahiptim.”

Bugün Gauss’un gerçekten Bolyai ile benzer fikirlere sahip olduğu 1824’te yazdığı bir mektup sayesinde biliniyor. Fakat bu, bahsettiği gibi 20li yaşlarında değil, 45 yaşından sonra fikirlerinin ortaya çıktığını gösteriyor. Gauss, özellikle bilim çevrelerinden alabileceği tepkilerden çekindiği için fikirlerini hiçbir zaman yayımlamamıştı.

Gauss’un çalışması hakkındaki yorumları, Bolyai’nin fikirlerinin matematik dünyasında fark edilmemesine yol açmıştı. Bolyai bu olaydan çok fazla etkilenmişti. Öyle ki zamanla sağlığı dahi kötüye gitmiş ve 1834’te ordu görevinden ayrılıp izole bir hayat sürmeye başlamıştı.

Paranoyalar

Bolyai, her şeye rağmen matematik üzerine çalışmayı sürdürüyordu. Fakat 1848’de eline geçen bir çalışma, neredeyse akıl sağlığını kaybetmesine neden olmuştu. Rus matematik Lobachevsky 1829’da yayımladığı çalışmasında Bolyai gibi Öklid-dışı bir geometriden bahsetmişti. Daha fenası, Gauss’un bu çalışmadan haberi vardı ve Lobachevsky’i övmüştü.

Bolyai, çalışmayı derinlemesine incelediği sırada aslında bunu yazan kişinin (yani Lobachevsky’nin) gerçek olmadığını, Gauss’un kendisiyle oyun oynadığını düşünüyordu. Çalışmalarının karşılığını bir türlü alamayan Bolyai, yavaş yavaş aklını kaybediyordu.

Hayatının son yıllarında matematik çalışmalarını durduran Bolyai, 1860’da yoksul bir şekilde hayatını kaybetmişti. Geriye 20.000 sayfaya varan matematik çalışması bırakmıştı. Bu çalışmalar halen Targu Mureş şehrindeki Bolyai-Teleki kütüphanesindedir.

Bugün Öklid-dışı geometrinin bir başka adı da Bolyai-Lobachevsky geometrisidir. Böylece Bolyai hak ettiği değeri öldükten sonra olsa da almıştır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #20

Alcatraz’dan Kaçış

Bir sınıf içerisinde bir duvardan diğerine uzaklık 5 metredir. Bu iki duvar arasına 6 metrelik bir ip bağlanır. İp yerden 2 cm yükseklikte olacak şekilde gerildikten sonra fazla gelen 1 metrelik kısmı bir uçtan sarkar durumda bırakılır.

Amaç; ipe değmeden altından geçip sınıftan kaçmaktır.

Kurallar

  • Kaçış iki duvarın orta noktasından yapılmalıdır.
  • İpi genişletmek için fazla kısım kullanılmalıdır.
  • İpe değmemeniz için bir kişi sıradaki öğrenci yerine ipi germe işini yapar.
  • Kaçış denemesi için herkesin tek bir hakkı vardır.

Kazanma Şartı: En az uzunlukta ip kullanarak ipin altından geçmek.

Futbol Sahası

Bir futbol sahasında iki kale arasında kalan mesafe 90 ile 120 metre arasındadır. Diyelim ki uzunluğun 100 metre olduğu bir sahadaki kalelerin orta noktaları arasına bir ip gerdik. Bu ip 100 metre uzunluğundadır ve saha yüzeyinin tam üstündedir. (Yani ip yere yapışık şekilde duruyor.)

İpin tam ortası, başlangıç noktası diye adlandırılmış olan noktaya denk gelir. Burası sahanın orta noktasıdır.

İpe 1 metre daha ekleyelim. İp, iki kale arasındaki mesafeden daha uzun olacağı için artık gergin değildir.

Soru: Son durumda sahanın başlangıç noktasından ipi kaç metre havaya kaldırabiliriz?

Çözüm

Soru bir bakıma şu anlama da gelir:

“Birbirine 100 metre mesafede bulunan iki nokta arasına biri 100, diğeri 101 metre olan iki ip bağlanmıştır. 101 metre uzunluğundaki ip tam orta noktasında yukarı doğru çekildiğinde, iki ipin orta noktaları arasında mesafe (diğer bir deyişle ikinci ipin yerden yüksekliği) kaç metredir?”

Yukarıdaki çizim incelendiğinde aslında iki tane birbirine eş dik üçgen olduğu görülür:

Dik üçgenlerin birinde Pisagor teoremi uygulanarak h kenarı, dolayısıyla aradığımız cevap bulunabilir:

Pisagor teoremi der ki: “Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.”

O halde:

(50,5)2 = 502 + h2

h ≈ 7,089 m olur.

Sonuç

100 metrelik ipe sadece 1 metre eklemek, ipin orta noktasının yerden 7 metre yükseğe çıkabilmesini sağlar. Yani sadece 1 metre ekleyerek ipin ortasında bir tır geçirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #18

Pastayı Koru

Bugün okula kutsal pasta geliyor. Pasta okuldaki odalardan birinde ziyaret edilebilecek. Siz kutsal pastanın korunması için organizasyonu sağlamakla görevlisiniz. Amacınız en az sayıda koruma ile pastanın sürekli göz altında tutulabilmesi.

Korumalarla ilgili bir bilgi: Bir müze koruması belli bir noktada durur ve bulunduğu odayı o noktadan inceler. Tabii ki koruma kendi etrafında 360 derece dönebilir.

Kutsal pastanın sergileneceği odanın krokisi aşağıdaki gibidir:

20190328_130114.jpg

Bu odaya en az kaç koruma gerekir?

Çokgen Şeklinde Odalar

Bu sorunun çözümüne en basit çokgen olan üçgenden başlayarak ulaşmaya çalışacağız.

Örnek 1: Üçgen oda.

İlk örnekte oda üçgen şeklinde olsun. Böyle bir odada kutsal pasta nereye konulursa konsun tek bir koruma onu her an gözleyebilir:

Örnek 2: Dörtgen oda.

Burada da yine tek bir koruma yeterli gelir:

Soru: Tüm çokgen şeklinde odalarda bir koruma yeterli gelir mi?

İçbükey-Dışbükey Farkı: Bir çokgende iç açıların tamamı 180 derecenin altındaysa o çokgen dışbükeydir. Açılardan herhangi biri dahi 180 derecenin üzerindeyse çokgen içbükey olur.

Dışbükey çokgenlerin tamamı tek bir korumayla korunabilir. Aynı şey her içbükey çokgen için söylenemez.

Kutsal pastanın bulunduğu oda içbükey bir çokgendir. Önce basit bir içbükey çokgen inceleyelim:

20190328_123117.jpg

İçbükey çokgenliğe yol açan noktada duran bir koruma, odanın her yerine hakim olur:

20190328_123216.jpg

Peki çokgen aşağıdaki gibiyse:

20190328_123606.jpg

Bu tür bir odada tek koruma yeterli gelmez:

20190328_123732.jpg
Koruma taralı alanı göremez.

Sanat Galerisi Problemi

Daha karmaşık oda krokilerine geçmeden önce, koruma sayısıyla ilgili bir algoritma olup olmadığına bakmamız gerekir. İlk kez 1973 yılında Victor Klee ismindeki bir matematikçi tarafından ortaya atılan sanat galerisi problemini çözmek için üçgenleme olarak bilinen bir yöntem kullanılır.

Üçgenleme: Bir çokgeni üçgenlere bölme işlemidir.

Önce verilen planı üçgenlere ayıralım:

Daha sonra üçgenlerdeki köşelere renkler verelim. Aynı üçgendeki köşeler birbirinden farklı renkte olmak zorundadır:

20190328_124639.jpg

En az sayıda kullanılan renk, en az koruma sayısını verir. Korumalar bu renklerin bulunduğu köşelerde durduğu sürece odada görünmeyen bir yer kalmaz:

20190328_124931.jpg
Burada iki çözüm vardır: Korumalar 2 veya 3 numaraları köşelerde durarak odayı koruyabilir.

Çözüm

O halde kutsal pastanın bulunduğu odaya en az kaç koruma gerektiğini ve bu korumaların nerede durmak zorunda olduğunu bulabiliriz. Önce pastanın bulunduğu odanın krokisini üçgenlere ayıralım:

20190328_130612.jpg

Daha sonra üçgenlerin köşelerini boyayalım:

20190328_130833.jpg

Sonuçta üç renk aşağıdaki kadar kullanılmıştır:

20190328_131241.jpg

En az kullanılan renkler 1 ve 3’tür. Bu da bize odayı korumak için gereken sayıyı verir: 6. Bu noktalarda konuşlandırılan korumalar kutsal pastayı sürekli göz önünde bulundurur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kutsal pastanın bulunduğu odada aşağıdaki gibi sütunlar bulunsaydı çözüm nasıl olurdu?
    20190328_131619.jpg
  2. Çokgenlerin köşe koruma sayısı arasında nasıl bir ilişki var?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #10

Kağıt Yırtmak

Bir kağıdı maket bıçağıyla rastgele keselim. Kenarları pürüzsüz kesilen parçanın hem alanını hem de çevresini Öklid geometrisindeki özelliklerle tam olarak hesaplayabiliriz:

Aynı kağıdı elle yırtar isek yırtılan kısmın kenarları aşağıdaki gibi pürüzlü olur:

Dikkat ederseniz sağdaki kağıt parçası bir adanın haritasına benziyor.

Bir önceki yazıda herhangi bir adanın sahil şeridi uzunluğunu Öklid geometrisiyle hesaplamaya çalışınca cevabı sonsuz bulmuştuk. Aynı yöntem kullanıldığında elle yırtılmış bir kağıdın çevresi sonsuz uzunlukta çıkar.

Sahil şeridi paradoksu olarak bilinen bu durum bize herhangi bir şekil pürüzlü olduğunda Öklid geometrisinin işe yaramadığını gösterir.

Fraktalların Ortaya Çıkışı

“Bulutlar küre değil, dağlar koni değil, sahil şeritleri çember değil…”
Benoit B. Mandelbrot

Öklid geometrisi düzgün/pürüzsüz şekillerle ilgilenirken doğa pürüzlü şekillerle doludur. Okulda öğrenilen geometrideki şekillerin doğada karşılığı gerçekten çok azdır. Bu yüzden sahil şeridi paradoksunda olduğu gibi kimi doğa olaylarını açıklamak için bilinenden başka bir geometriye ihtiyaç duyulmuştur.

Matematikçi Benoit Mandelbrot (1924-2010) 1967’de yayımladığı “Britanya’nın sahil şeridi ne kadar uzun?” isimli makalede sahil şeridi paradoksuna dahiyane bir açıklama getirmişti. Fakat bu makalenin asıl önemi yepyeni bir matematik dalının, fraktal geometrinin doğumu olmasından gelir.

Latince’de kırık anlamına gelen fractus kelimesinden türetilmiş olan fraktal en basit haliyle “bütüne benzeyen parçalardan oluşan şekil” diye ifade edilebilir. Bir şeklin herhangi bir kısmını koparın. Eğer koparılan kısım tüm şekle benziyorsa (hatta kimi durumlarda tıpatıp aynısı da olabilir) şekil bir fraktaldır. Bu yüzden fraktallar “kendine benzer” şekillerdir.

a

Örneğin piramit karnabahar bitkisine iyice yakından bakarsak bitkinin kendine benzer olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla piramit karnabaharın şekli fraktaldır.

Fraktalların sonsuz uzunlukta çevresi vardır. Bu sebeple onların çevre veya alanlarını ölçmeye çalışmak beyhudedir. Yukarıdaki tanımlara göre sahil şeritleri de birer fraktal ifade eder. (Harikulade bir örnek için tıklayın.) Peki ne yapmalı da bunların çevre/alan büyüklüklerini bulmalı?

Boyut

Mandelbrot’a göre bir fraktalın çevre veya alanı değil, pürüzlülük derecesi bulunabilir. Bu dereceye fraktal boyutu diyen Mandelbrot fraktalların Öklid geometrisinin alışılagelmiş şekillerinden farklı boyutlarda olduğunu fark etmişti.

Öklid geometrisinde çizginin 1, düzlemin (alan) 2, uzayın (hacim) ise 3 boyutlu olduğu bize öğretilirken geometrik örnekler üzerinden gidilir. Mesela 3 boyut için bir odanın tavanının köşesine bakılır:

hjfhjfhj

Köşeden çıkılarak gidilebilecek 3 ayrı yol odanın 3 boyutlu olduğunu anlatır. Fakat bu şekilde boyut kavramının nasıl hesaplandığı değil neye benzediği gösterilmiş olur.

Soru: Herhangi bir şeklin/cismin kaç boyutlu olduğu nasıl hesaplanır?

Çizgi

  • Bir düz çizgiyi iki eşit parçaya ayırın:

Parçaların uzunlukları ilk halin 1/2’si kadardır. Toplam parça sayısı ise 2’dir.

  • Parçaları ikiye bölmeye devam edin:
    20190217_005201

Yeni parçalar ilk halin 1/4’ü kadar uzunluktadır. Toplam parça sayısı ise 4’tür.

Burada şöyle bir formül yaratılır:

(1/Parçanın bir aygıtının oranı)Boyut derecesi = Toplam parça sayısı

Boyut derecesine bundan sonra d diyeceğim.

4 parça için =>

(1/1/4)d = 4

4d  = 4

d = 1.

Çizgi 1 boyutludur.

Kare

Bir karenin her kenarını iki eşit parçaya bölünce karşınıza 4 eşit kare çıkar:

Bu karelerin her birinin bir kenarı, orijinal karenin bir kenarının 1/2’si kadardır.

Formülü uygularsak =>

(1/1/2)d = 4

2d  = 4

d = 2.

Gelin bölmeye devam edelim. Bu dört karenin her birinin kenarlarını iki eşit parçaya ayırınca 16 yeni kare ortaya çıkar:

20190217_005002

Bu 16 karenin her birinin bir kenarı orijinal karenin bir kenarının 1/4’ü kadar uzunluktadır.

Formülü uygularsak =>

(1/1/4)d = 16

4d = 16

d = 2.

Yani kare 2 boyutludur.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aynı yöntemi kullanarak küpün boyutunu hesaplayın.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #9

Serkan’ın Adası

Yeni Zelanda yakınlarında Serkan Adası isminde özel bir adanın sahibiyim. (Rüyamda) Fakat ekonomik kriz sebebiyle adayı satışa çıkarmak zorunda kaldım. Yoksa yakında Nice’e özel jet yerine tarifeli uçuşla gitmek zorunda kalacağım…

Ebay ve sahibinden’e ilanımı koydum. Fiyat belirlerken kmyerine farklı bir birim seçtim: “Sadece sahil şeridi uzunluğunun kilometresi başına 100.000 dolara sahibinden satılık az kullanılmış ada.”

20190214_203034
Beyaz bölge: Serkan’ın adası.

Bir süre sonra ciddi bir alıcı ile pazarlığa tutuştuk. Alıcı sahil şeridinin uzunluğunu aşağıdaki gibi hesapladığını söyledi:

20190214_184605

Her bir uzunluk 8 km’dir. Bu hesaba göre adanın sahil şeridi yaklaşık olarak 8*3=24 km’dir. Yani alıcının teklifi 24*100.000 = 2.400.000 dolardır.

Teklifi az bulduğum için alıcıdan aynı yöntemi kullanarak tekrar hesap yapmasını istedim. Alıcı aşağıdaki gibi yeni bir teklifle geldi:

20190214_185221

Bu sefer alıcı tane 5 km olan düz çizgilerden 7 tane kullanır: 5*7=35 km. Alıcının yeni teklifi 35*100.000 = 3.500.000 dolardır.

Hala teklifin daha iyi olabileceğini düşündüğüm için alıcıdan bir kez daha sahil şeridinin uzunluğunu ölçmesini istedim. Gelen cevap aşağıdaki gibiydi:

20190214_185857

Alıcı son teklifinde sahil şeridini tanesi 3 km uzunluğunda olan 16 tane düz çizgiyle ölçer: 3*16=48 km. Yani son teklif 4.800.000 dolardır.

Soru: Alıcıdan isteyebileceğim en yüksek fiyat nedir?

Yazıyı okumaya devam etmeden önce soru üzerine biraz düşünün.

Sahil Şeridi Paradoksu

Alıcı cetvelin boyutunu küçülttüğü sürece sahil şeridinin uzunluğu artacaktır. Peki herhangi bir cetvelin en küçük boyutu ne kadardır?

1 cm?

1 mm?

1 mm’nin milyarda 1’i?

Buna verebileceğimiz bir cevap yoktur; cetvel sonsuza dek küçültülebilir.

Cetvel ile sahil şeridinin uzunlukları birbirleriyle ters orantılı olduğu için sahil şeridi sonsuz uzunluktadır.

İşte bu noktada bir paradoks ortaya çıkmıştır. Çünkü dünya üzerinde bulunan bir adanın sonsuz sahil şeridine sahip olmadığı bariz bir gerçektir. Buna rağmen yaptığımız hesabın bir üst sınırı yoktur.

Sorunun Kökeni

İngiliz matematikçi Lewis Fry Richardson (1881-1953) 20. yüzyılın ilk yarısında çok ilginç bir araştırma yapmıştı. Richardson’un araştırması herhangi iki ülke arasında savaş çıkma olasılığının hangi etkenlere bağlı olduğunu anlamaya yönelikti. Richardson’un sıra dışı araştırmasındaki sorulardan biri şuydu:

“Komşu iki ülkenin birbiriyle savaşma ihtimalini paylaştıkları sınırın uzunluğu etkiler mi?”

İngiliz bilim insanı bu soruya bir cevap bulmak için İspanya ile Portekiz’in paylaştığı sınır uzunluğunu incelemek istedi. Fakat iki ülkenin resmi kayıtları Richardson’u şaşırtıcı bir sonuçla karşılaştırmıştı. Ülkelerin verdiği sınır uzunlukları arasında fark olması normaldi. Halbuki İspanya ile Portekiz’in aynı uzunluk için verdiği değerler arasında 200 km gibi büyük bir fark vardı.

ispa.jpg

Tıpkı Serkan’ın adasında olduğu gibi aynı şey için farklı uzunluklar bulunmuştu.

Sahil şeridi paradoksunun başlangıcı işte bu olaydı.

Peki bu paradoksun mantıklı bir açıklaması var mı?

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Serkan’ın adasının 6.000.000 dolardan daha fazla bir fiyata satılması için sahil şeridi uzunluğunun nasıl ölçülmesi gerekir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

20190130_231840

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

20190130_231741

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

20190130_231751

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

çembeee

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

289294-1338211643

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

20190130_232053

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

20190130_232030

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

20190130_232017

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

18mlevdqtxdsbjpg
Reuleaux üçgeni şeklinde tekeri olan bir bisiklet.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
  2. Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
  3. Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #16

Pasta Kokusu Alıyorum

İçeriden harika kokular geliyor. Hemen mutfağa kendinizi ışınlayıp tezgahın üzerindeki pastayı fark ettiniz. Tam yumulmak üzereyken pastanın hem yaratıcısı hem de koruyucusu annenize yakalandınız.

Anne artık tecrübeli; duygu sömürüsü bir işe yaramıyor. Fakat yine de bir şans beliriyor. Eğer pastadan üç eşit parça çıkarabilirseniz parçalardan biri sizin olacak.

Annenin şartları:

  • Pastayı nereden keseceğinizi belirlemek için ölçü aletleri arasından sadece pergeli kullanabilirsiniz.
  • Amaç pastadan üç eşit alanlı parça çıkarmak. Pastanın ne kadarını (yani tamamını mı yoksa bir kısmını mı) üçe böleceğiniz sizin maharetinize kalmış.
  • Kesim yaparken ufak tefek (örneğin bir parça alan 3,04 iken diğerinin 3,09 olması gibi) fazlalıklar anne tarafından göz ardı edilecek. Fakat yöntem teoride tam alanı vermeli.
  • En önemlisi bu madde: Kesilecek parçalar halka şeklinde olmalı.
  • Kesme denemesi için tek hakkınız var. Bıçak vurulduktan sonra dönüş yok.

Pasta Kesme Sanatı

Annenin istediğini yerine getirmeden önce kağıt üzerinde sadece pergel kullanarak sonuca ulaşmaya çalışalım.

Merkezi O noktası olan rastgele bir çember çizelim:

20190129_223507

Çemberin yarıçapı kadar uzunlukta bir kiriş yapalım:

20190129_223524

Kirişi çemberin muhtelif yerlerine koyalım ve kirişin orta noktasının bulunduğu yeri işaretleyelim:

İşaretlenen noktalardan herhangi birini seçip O merkezinden pergel yardımıyla yeni bir çember çizelim:

20190129_223719

Yeni çemberin içinde kirişi tekrar gezdirip bir başka çember daha çizelim:

Aynı işlemleri üçüncü defa tekrarlayalım:

Renkli kalemle işaretlediğim alanlar birbirine eşittir:

 

 

20190129_224139
Büyük çemberin yarıçapı=5 cm.
İkinci çemberin yarıçapı=4,34 cm.
Üçüncü çemberin yarıçapı= 3,56 cm.
Dördüncü (en içteki) çemberi yarıçapı=2,55 cm.

Merak edenler çemberlerin alanlarını hesaplayarak halkaların yaklaşık değerlerini bulabilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

O halde annenin istekleri doğrultusunda pastanın içinden eşit halkalar çıkarmak mümkündür.

Peki en fazla pasta parçasını alabilmek için kirişin uzunluğu kaç olmalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #15

Kare Çizmek

Geometriyle uğraşırken kendimi hep bir antik Yunan gibi düşünüyorum: Kocaman sütunların arasında bir mermerin üzerinde geometrik şekiller çiziyorum. Bunu yaparken sadece pergel ve ölçüsüz cetvelim var.

Önce A noktası merkez olacak şekilde r yarıçaplı bir çember çiziyorum:

çember1

Sonra B noktası merkez olacak şekilde yine r yarıçaplı bir çember daha çiziyorum:

çember2

A ve B noktaları arasında kalan AB doğru parçasının her iki ucundan da E ve F noktalarına birer dik doğru parçası çiziyorum:

çember3

E ve F noktalarını da birleştiriyorum. Böylece karşıma bir kenar uzunluğu r olan ABEF karesi çıkıyor:

Bu karenin içine çizilebilecek en büyük çemberin çapı r uzunluğunda olur:

çember6

Alan

Karenin alanını bulmak için bir kenarının karesini almak yeterlidir. O halde ABEF karesinin alanı rolur.

Çemberin alanıysa yarıçapın karesinin π ile çarpılmasıyla bulunur. Yani G merkezli çemberin alanı πr2/4 olur.

Çemberin alanının karenin alanına oranı π/4’tür.

Ağırlık

Hassas terazi kullanarak kare şeklindeki bir kartonun ağırlığını buldum:

20190126_133600

Sonra bu karenin içine karenin bir kenarı uzunluğunda çapı olan bir çember çizdim. Daha sonra kartonun içinden çemberi kesip çıkardım ve bunu hassas terazide tarttım:

20190126_133759

Çemberin ağırlının karenin ağırlığına oranı bize çemberle karenin alanları oranını verir. Buradan π sayısının yakınsak bir değeri bulunabilir:

0,76/0,97 = π/4

3,134… = π

Yakınsak değer bulmamızın nedenlerinden biri kullandığım kartonun tam olarak homojen olmaması olabilir. Yani karton her yerinde aynı ağırlıkta olmayabilir. Miligramlık bir sapma dahi yakınsak değer yol açar.

Ayrıca çember tam olarak kesememek de yakınsak değer bulunmasına neden olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir çember çizin ve bu çemberin içine çizilebilecek en büyük kareyi inşa edin. Daha sonra çember ve karenin alanları oranını, ağırları oranlarına eşitleyin. Bakalım karşınıza ne çıkacak?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #6

Sokrates’in Dersi

Tarihin en önemli filozoflarından biri olarak görülen Platon’un matematiğe yaptığı katkılardan önceki yazılarda bahsetmiştim. Bu yazıda Platon’un MÖ 380’de yazdığı kitap olan Menon’u inceleyip irrasyonel sayıların varlığını başka bir yöntemle göstereceğim.

philosophydiscourse-cropped-425x259

Kitap, Menon’un Sokrates’e erdemin öğretilebilir olup olmadığını sormasıyla başlar ve sonuna dek bu ikisi arasındaki diyalogdan oluşur. Platon bu kitapta herhangi bir konuyu felsefi olarak nasıl ele almamız gerektiğini Sokrates’in ağzından anlatmaya çalışmış.

Bunu yaparken önemli bir matematik probleminden de bahsedilmiş. Şahsen kitabın özellikle bu bölümünün sadece öğrenciler değil, öğretmenlerce de okunması gerektiğini düşünüyorum.

Problem

Kitabın ortalarına doğru Sokrates Menon’un öğrencilerinden (öğrenciyi çocuk diye adlandıracağım) birine bazı sorular yöneltir. Sorular kare şeklinin neye benzediği, ne gibi özellikleri olduğu ve alanının nasıl bulunduğu üzerine başladıktan sonra sıra Sokrates’in asıl sormak istediğine gelir: Bir karenin alanının iki katı alana sahip karenin bir kenarının uzunluğu nedir?

Kareyi karelemek diye bilinen bu sorudan daha önce de bahsetmiştim. Sokrates sorusunda karenin bir kenar uzunluğunu 2 birim olarak belirler ve karenin alanının 4 olduğunu çocuğa buldurtur. Sonra bu karenin alanının iki katı alana sahip bir karenin var olup olmadığını sorar. Çocuk Sokrates’e böyle bir karenin var olduğunu ve alanının 8 birim kare olduğunu söyler.

Sokrates bu karenin bir kenar uzunluğunu sorduğundaysa çocuk alan hesabında olduğu gibi ilk karenin bir kenarı uzunluğunun iki katını alır ve 4 cevabını verir. Fakat Sokrates 4 birimlik bir karenin alanını sorduğunda çocuk 16 birim kare der ve yanlışını fark eder.

Klasik Yunan Matematiği

Sokrates 8 birim karelik alanı olan bir kareyi çizdirmek için çocuğa sorularına devam eder. Bunu yaparken soruları çocuğa bir şekil çizdirtir. Problemin başındaki 2 birimlik kareden önce bir tane çizdiren Sokrates, sonra bu karenin sağına ve altına aynı kareden koydurur. Şekildeki sağ alt kısmı da doldurtan Sokrates bu dört karenin her birinin 4 birim karelik alana sahip olduğunu çocuğa buldurtur.

Sokrates’in bir sonraki sorusu şudur: “Bir karede çapraz köşeleri birleştirmek, karenin alanını iki eşit parçaya bölmek demek değil midir?”

Çocuğun evet cevabından sonra şekildeki dört karenin de köşegenlerini çizdiren Sokrates, bulunan şeklin alanının kaç olduğunu sorar:

8 birim kare cevabını veren çocuk, 4 birim karelik karenin iki katı alana sahip kareyi elde etmiş olur.

Pisagor teoremine göre bu karenin bir uzunluğu aşağıdaki gibi irrasyoneldir:

karepis

Sonuç

Sokrates çocuğa irrasyonel bir uzunluğu çizdirmesine rağmen uzunluğun ne kadar olduğunu dert etmez. Çünkü antik Yunanistan’da sayılar uzunluklarla gösterilirdi ve uzunluk bilindiği sürece onun ne anlama geldiği önemsenmezdi. Bu sonuç klasik Yunan matematiğine verilebilecek en güzel örneklerden biridir.

Pisagor ve onun öğrencileri tüm sayıların rasyonel olduğunu iddia ederken Sokrates gibi Yunan filozoflar irrasyonel sayıların varlığını bu tip yollarla gösteriyordu.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #14

Pazarda Matematik

Çocukluğuma dair hatıralarımın önemli bir kısmı pazar maceralarından oluşuyor. Evin en küçük çocuğu olduğumun için pazara gidip anne-babama yardımcı olmak asli görevlerim arasındaydı. Pazar alışverişini gerçekten hiç sevmiyordum. Fakat bir şey vardı ki pazarda zamanın biraz da olsa hızlı geçmesini sağlıyordu: Meyve-sebze reyonları.

Küçüklüğümden beri meyve-sebze reyonlarına büyük hayranlıkla bakarım. Pazarcı veya manav tüm reyonları dizen her kimse harikulade geometrik şekiller kullanır. Bir itirafım olacak: Küçükken meyvelerin nasıl dizilmesi gerektiğine karar veren bir kural olduğunu sanıyordum. Çok sonradan öğrendim ki gerçekten böyle bir kural var.

Farklı Paket

Pazarda bulunan harikulade reyonların yanında göz zevkimi bozan bir şey vardı: Yumurta kasası. Pazara gelen meyve-sebzelerin kasaları aşağıdaki şekildeydi:

Fakat nedense yumurta kasası pazardaki geleneksel geometrik dizilişin karşısındaydı:

15 lbs-2

Neden yumurtalar meyve-sebzelerden farklı bir dizilişteydi? Yoksa bunun farkına varan tek kişi ben miydim?!

Oreolarım Var

Diyelim ki Starbucks’ta yan masada hoşunuza giden birini gördünüz ve oreolarınızdan teklif ederek çocuğu/kızı tavlamaya çalışacaksınız. Ne kadar çok oreo, o kadar çok büyük şans diye düşünüyorsunuz. Bu yüzden de peçeteye en fazla sayıda oreo koyup yan masaya takdim etme peşindesiniz.

20190109_134258
Kullanılmış peçete şansınızı etkilemez. Çünkü oreonuzu paylaşmak üzeresiniz.

Eğer oreoları peçeteye yumurta kasası şeklinde dizerseniz altta kalan 3 oreonun sığmadığını görürsünüz:

20190109_134158
Alt sıradaki oreolar sığmıyor. Bu yüzden sadece 6 adet oreo ile yan masaya gitmek zorundasınız.

Halbuki meyve-sebze kasası gibi oreolar dizilirse peçeteye 6 yerine 8 oreo sığabiliyor:

20190109_134228
Şansınız daha yüksek olamaz!

Arı Peteği

Bir önceki yazıda bal arılarının en uygun geometrik şekli bulduğundan bahsetmiştik. Bal arıları gibi pazarcılar da en uygun geometrik şekli bulduklarının farkında mı bilmiyorum. Peki neden yumurtalar arı peteği şekilde değil de normal dizilir?

Çünkü sınırlı boyutlarda diziliş yapılacak kasanın (veya oreodaki peçetenin) boyutu yumurta kasasıyla elma kasası arasındaki farkı yaratır:

Aynı peçeteye bu sefer normal dizilimle 9 oreo sığarken bal peteğiyle sadece 8 tane orea sığdı.

Yani yumurta kasasının boyutu aynı kaldığı sürece en uygun geometrik şekil normal dizilim olur. Yumurta kasası üreten şirketi tebrik ederim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Soru: Elimizde 20 adet yumurta olsun. Bir yumurta 4 cm çapındaki boşluğa yerleştirilebiliyor. Hangi dizilimi kullanırsak yumurta kasasının kapladığı alan en az olur?

M. Serkan Kalaycıoğlu