Yeni Garip Dünya

Janos Bolyai

Doğum: 1802 – Romanya

Ölüm: 1860 – Romanya

Transilvanya denilince bir çok kişinin aklına Kont Drakula’nın hikayesi gelir. Fakat benim için o bölgeyle özdeşleşmiş bir başka isim var: Janos Bolyai.

Suya Düşen Matematik Hayalleri

Macar matematikçi Farkas Bolyai’nin oğlu olan Janos Bolyai (bundan sonra Bolyai dediğimde oğuldan bahsetmiş olacağım) daha 5-6 yaşlarındayken büyük bir potansiyele sahip olduğunu göstermişti. Maddi olarak zorluklar yaşayan bir ailede büyüyen Bolyai’ye matematiği öğreten kişi babası Farkas idi. Bolyai, henüz 13 yaşındayken kalkülüs* konusuna hakim olmayı başarmıştı.

*Kalkülüs

Fonksiyon, limit, türev, integral, diziler, seriler vb. konuları içeren ve üniversitede ilk sene dersi olarak verilen matematik alt dalı.

1816’da oğlunun daha iyi bir eğitim almasını isteyen Farkas, eski arkadaşı ve matematik öğrendiği kişi olan Gauss*’dan oğlunu yanına almasını ve ona matematik öğretmesini istemişti fakat Gauss bunu reddetmişti. Bu, Bolyai’nin Gauss’dan aldığı en kötü haber olmayacaktı.

Gauss

*Gauss

Matematiğin prensi olarak da bilinen Alman matematikçi, astronom, fizikçi ve coğrafyacı.

Gauss’un yanına gidemeyince Bolyai için en iyi seçenek Viyana’da askeri mühendislik okuyup hayatını asker olarak sürdürmekti. Yedi yıllık okulu dört yılda bitiren Bolyai, 1823-34 yılları arasında orduda görev almıştı.

Yeni Bir Geometri

Farkas Bolyai, kariyerinin büyük bölümünü Öklid’in paralelliğini* ispatlamak için harcamış, fakat istediği sonuca bir türlü ulaşamamıştı. Küçüklüğünden itibaren babasının uğraşının farkında olan Bolyai de 1820’lerden itibaren bu konu üzerinde çalışmaya başlamıştı.

*Öklid’in paralelliği

Yunan matematikçi Öklid’in yazdığı Elementler isimli eserin ilk kitabında bulunan beşinci postulat. (Postulat: İspata gerek duyulmadan, doğruluğu kabul edilen.)

En basit haliyle: Birbirine paralel olan sonsuz iki doğru hiçbir zaman kesişmez.

Orduda görev yaptığı süre boyunca da her boş anını matematikle geçiren Bolyai, 3 Kasım 1823’de babasına yazdığı mektupta yeni bir geometri bulduğundan ilk kez bahsetmişti:

“…hiçlikten, yeni ve garip bir dünya yarattım.”

Bolyai bu mektuptan 1 yıl sonra Öklid-dışı geometri fikirlerini neredeyse tamamlamıştı. Farkas ilk başta oğlunun fikirlerine şüpheyle yaklaşmış olsa da 1830’da onun ne kadar büyük bir iş başardığını fark etmişti. Bu yüzden 1831’de basılacak kitabının giriş kısmında Bolyai’nin çalışmasına yer vermesini istemişti.

Farkas’ın kitabı Bolyai’nin 24 sayfalık ekiyle birlikte 20 Haziran 1831’de basılmıştı. Farkas, kitabını eski arkadaşı Gauss’a göndermiş ve oğlunun yazdığı bölümü okumasını ondan rica etmişti. Gauss, Bolyai’nin 24 sayfasını okuduktan sonra iki kişiye iki ayrı yorum yapmıştı…

Fikir

En basit haliyle Bolyai’nin geometrisi: Öklid’in beşinci postulatını yok say. Yani paralel doğruların da kesiştiği bir geometri hayal et.

Öklid geometrisine göre iki nokta arasındaki en kısa yol düz bir çizgi olurken, Bolyai’nin Öklid-dışı geometrisinde bu çizgi bir tür eğri olur. Konu hakkında daha fazlasını okumak için tıklayın.

Bolyai’nin fikri şöyle de açıklanabilir:

Öklid geometrisinde bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derece yapar. Fakat biz yuvarlak bir şekil üzerinde (örneğin Dünya üzerinde) bir üçgen çizdiğimizde, bu üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyük olabilir:

Bolyai’nin geometrisi (bugünkü adıyla hiperbolik veya Öklid-dışı geometri), yepyeni bir geometri idi.

Çöküş

Gauss, yakın bir arkadaşına “Genç geometrici Bolyai’yi birinci sınıf bir dahi olarak görüyorum.” demişti. Fakat, aynı zamanda Farkas’a yazdığı mektupta çok daha farklı bir tavır sergilemişti:

“…bu çalışmayı övmek bir bakıma kendimi övmek olur. Çünkü bu fikirlere 30-35 sene önce sahiptim.”

Bugün Gauss’un gerçekten Bolyai ile benzer fikirlere sahip olduğu 1824’te yazdığı bir mektup sayesinde biliniyor. Fakat bu, bahsettiği gibi 20li yaşlarında değil, 45 yaşından sonra fikirlerinin ortaya çıktığını gösteriyor. Gauss, özellikle bilim çevrelerinden alabileceği tepkilerden çekindiği için fikirlerini hiçbir zaman yayımlamamıştı.

Gauss’un çalışması hakkındaki yorumları, Bolyai’nin fikirlerinin matematik dünyasında fark edilmemesine yol açmıştı. Bolyai bu olaydan çok fazla etkilenmişti. Öyle ki zamanla sağlığı dahi kötüye gitmiş ve 1834’te ordu görevinden ayrılıp izole bir hayat sürmeye başlamıştı.

Paranoyalar

Bolyai, her şeye rağmen matematik üzerine çalışmayı sürdürüyordu. Fakat 1848’de eline geçen bir çalışma, neredeyse akıl sağlığını kaybetmesine neden olmuştu. Rus matematik Lobachevsky 1829’da yayımladığı çalışmasında Bolyai gibi Öklid-dışı bir geometriden bahsetmişti. Daha fenası, Gauss’un bu çalışmadan haberi vardı ve Lobachevsky’i övmüştü.

Bolyai, çalışmayı derinlemesine incelediği sırada aslında bunu yazan kişinin (yani Lobachevsky’nin) gerçek olmadığını, Gauss’un kendisiyle oyun oynadığını düşünüyordu. Çalışmalarının karşılığını bir türlü alamayan Bolyai, yavaş yavaş aklını kaybediyordu.

Hayatının son yıllarında matematik çalışmalarını durduran Bolyai, 1860’da yoksul bir şekilde hayatını kaybetmişti. Geriye 20.000 sayfaya varan matematik çalışması bırakmıştı. Bu çalışmalar halen Targu Mureş şehrindeki Bolyai-Teleki kütüphanesindedir.

Bugün Öklid-dışı geometrinin bir başka adı da Bolyai-Lobachevsky geometrisidir. Böylece Bolyai hak ettiği değeri öldükten sonra olsa da almıştır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #9

Serkan’ın Adası

Yeni Zelanda yakınlarında Serkan Adası isminde özel bir adanın sahibiyim. (Rüyamda) Fakat ekonomik kriz sebebiyle adayı satışa çıkarmak zorunda kaldım. Yoksa yakında Nice’e özel jet yerine tarifeli uçuşla gitmek zorunda kalacağım…

Ebay ve sahibinden’e ilanımı koydum. Fiyat belirlerken kmyerine farklı bir birim seçtim: “Sadece sahil şeridi uzunluğunun kilometresi başına 100.000 dolara sahibinden satılık az kullanılmış ada.”

20190214_203034
Beyaz bölge: Serkan’ın adası.

Bir süre sonra ciddi bir alıcı ile pazarlığa tutuştuk. Alıcı sahil şeridinin uzunluğunu aşağıdaki gibi hesapladığını söyledi:

20190214_184605

Her bir uzunluk 8 km’dir. Bu hesaba göre adanın sahil şeridi yaklaşık olarak 8*3=24 km’dir. Yani alıcının teklifi 24*100.000 = 2.400.000 dolardır.

Teklifi az bulduğum için alıcıdan aynı yöntemi kullanarak tekrar hesap yapmasını istedim. Alıcı aşağıdaki gibi yeni bir teklifle geldi:

20190214_185221

Bu sefer alıcı tane 5 km olan düz çizgilerden 7 tane kullanır: 5*7=35 km. Alıcının yeni teklifi 35*100.000 = 3.500.000 dolardır.

Hala teklifin daha iyi olabileceğini düşündüğüm için alıcıdan bir kez daha sahil şeridinin uzunluğunu ölçmesini istedim. Gelen cevap aşağıdaki gibiydi:

20190214_185857

Alıcı son teklifinde sahil şeridini tanesi 3 km uzunluğunda olan 16 tane düz çizgiyle ölçer: 3*16=48 km. Yani son teklif 4.800.000 dolardır.

Soru: Alıcıdan isteyebileceğim en yüksek fiyat nedir?

Yazıyı okumaya devam etmeden önce soru üzerine biraz düşünün.

Sahil Şeridi Paradoksu

Alıcı cetvelin boyutunu küçülttüğü sürece sahil şeridinin uzunluğu artacaktır. Peki herhangi bir cetvelin en küçük boyutu ne kadardır?

1 cm?

1 mm?

1 mm’nin milyarda 1’i?

Buna verebileceğimiz bir cevap yoktur; cetvel sonsuza dek küçültülebilir.

Cetvel ile sahil şeridinin uzunlukları birbirleriyle ters orantılı olduğu için sahil şeridi sonsuz uzunluktadır.

İşte bu noktada bir paradoks ortaya çıkmıştır. Çünkü dünya üzerinde bulunan bir adanın sonsuz sahil şeridine sahip olmadığı bariz bir gerçektir. Buna rağmen yaptığımız hesabın bir üst sınırı yoktur.

Sorunun Kökeni

İngiliz matematikçi Lewis Fry Richardson (1881-1953) 20. yüzyılın ilk yarısında çok ilginç bir araştırma yapmıştı. Richardson’un araştırması herhangi iki ülke arasında savaş çıkma olasılığının hangi etkenlere bağlı olduğunu anlamaya yönelikti. Richardson’un sıra dışı araştırmasındaki sorulardan biri şuydu:

“Komşu iki ülkenin birbiriyle savaşma ihtimalini paylaştıkları sınırın uzunluğu etkiler mi?”

İngiliz bilim insanı bu soruya bir cevap bulmak için İspanya ile Portekiz’in paylaştığı sınır uzunluğunu incelemek istedi. Fakat iki ülkenin resmi kayıtları Richardson’u şaşırtıcı bir sonuçla karşılaştırmıştı. Ülkelerin verdiği sınır uzunlukları arasında fark olması normaldi. Halbuki İspanya ile Portekiz’in aynı uzunluk için verdiği değerler arasında 200 km gibi büyük bir fark vardı.

ispa.jpg

Tıpkı Serkan’ın adasında olduğu gibi aynı şey için farklı uzunluklar bulunmuştu.

Sahil şeridi paradoksunun başlangıcı işte bu olaydı.

Peki bu paradoksun mantıklı bir açıklaması var mı?

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Serkan’ın adasının 6.000.000 dolardan daha fazla bir fiyata satılması için sahil şeridi uzunluğunun nasıl ölçülmesi gerekir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

20190130_231840

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

20190130_231741

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

20190130_231751

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

çembeee

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

289294-1338211643

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

20190130_232053

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

20190130_232030

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

20190130_232017

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

18mlevdqtxdsbjpg
Reuleaux üçgeni şeklinde tekeri olan bir bisiklet.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
  2. Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
  3. Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #15

Kare Çizmek

Geometriyle uğraşırken kendimi hep bir antik Yunan gibi düşünüyorum: Kocaman sütunların arasında bir mermerin üzerinde geometrik şekiller çiziyorum. Bunu yaparken sadece pergel ve ölçüsüz cetvelim var.

Önce A noktası merkez olacak şekilde r yarıçaplı bir çember çiziyorum:

çember1

Sonra B noktası merkez olacak şekilde yine r yarıçaplı bir çember daha çiziyorum:

çember2

A ve B noktaları arasında kalan AB doğru parçasının her iki ucundan da E ve F noktalarına birer dik doğru parçası çiziyorum:

çember3

E ve F noktalarını da birleştiriyorum. Böylece karşıma bir kenar uzunluğu r olan ABEF karesi çıkıyor:

Bu karenin içine çizilebilecek en büyük çemberin çapı r uzunluğunda olur:

çember6

Alan

Karenin alanını bulmak için bir kenarının karesini almak yeterlidir. O halde ABEF karesinin alanı rolur.

Çemberin alanıysa yarıçapın karesinin π ile çarpılmasıyla bulunur. Yani G merkezli çemberin alanı πr2/4 olur.

Çemberin alanının karenin alanına oranı π/4’tür.

Ağırlık

Hassas terazi kullanarak kare şeklindeki bir kartonun ağırlığını buldum:

20190126_133600

Sonra bu karenin içine karenin bir kenarı uzunluğunda çapı olan bir çember çizdim. Daha sonra kartonun içinden çemberi kesip çıkardım ve bunu hassas terazide tarttım:

20190126_133759

Çemberin ağırlının karenin ağırlığına oranı bize çemberle karenin alanları oranını verir. Buradan π sayısının yakınsak bir değeri bulunabilir:

0,76/0,97 = π/4

3,134… = π

Yakınsak değer bulmamızın nedenlerinden biri kullandığım kartonun tam olarak homojen olmaması olabilir. Yani karton her yerinde aynı ağırlıkta olmayabilir. Miligramlık bir sapma dahi yakınsak değer yol açar.

Ayrıca çember tam olarak kesememek de yakınsak değer bulunmasına neden olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir çember çizin ve bu çemberin içine çizilebilecek en büyük kareyi inşa edin. Daha sonra çember ve karenin alanları oranını, ağırları oranlarına eşitleyin. Bakalım karşınıza ne çıkacak?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #6

Sokrates’in Dersi

Tarihin en önemli filozoflarından biri olarak görülen Platon’un matematiğe yaptığı katkılardan önceki yazılarda bahsetmiştim. Bu yazıda Platon’un MÖ 380’de yazdığı kitap olan Menon’u inceleyip irrasyonel sayıların varlığını başka bir yöntemle göstereceğim.

philosophydiscourse-cropped-425x259

Kitap, Menon’un Sokrates’e erdemin öğretilebilir olup olmadığını sormasıyla başlar ve sonuna dek bu ikisi arasındaki diyalogdan oluşur. Platon bu kitapta herhangi bir konuyu felsefi olarak nasıl ele almamız gerektiğini Sokrates’in ağzından anlatmaya çalışmış.

Bunu yaparken önemli bir matematik probleminden de bahsedilmiş. Şahsen kitabın özellikle bu bölümünün sadece öğrenciler değil, öğretmenlerce de okunması gerektiğini düşünüyorum.

Problem

Kitabın ortalarına doğru Sokrates Menon’un öğrencilerinden (öğrenciyi çocuk diye adlandıracağım) birine bazı sorular yöneltir. Sorular kare şeklinin neye benzediği, ne gibi özellikleri olduğu ve alanının nasıl bulunduğu üzerine başladıktan sonra sıra Sokrates’in asıl sormak istediğine gelir: Bir karenin alanının iki katı alana sahip karenin bir kenarının uzunluğu nedir?

Kareyi karelemek diye bilinen bu sorudan daha önce de bahsetmiştim. Sokrates sorusunda karenin bir kenar uzunluğunu 2 birim olarak belirler ve karenin alanının 4 olduğunu çocuğa buldurtur. Sonra bu karenin alanının iki katı alana sahip bir karenin var olup olmadığını sorar. Çocuk Sokrates’e böyle bir karenin var olduğunu ve alanının 8 birim kare olduğunu söyler.

Sokrates bu karenin bir kenar uzunluğunu sorduğundaysa çocuk alan hesabında olduğu gibi ilk karenin bir kenarı uzunluğunun iki katını alır ve 4 cevabını verir. Fakat Sokrates 4 birimlik bir karenin alanını sorduğunda çocuk 16 birim kare der ve yanlışını fark eder.

Klasik Yunan Matematiği

Sokrates 8 birim karelik alanı olan bir kareyi çizdirmek için çocuğa sorularına devam eder. Bunu yaparken soruları çocuğa bir şekil çizdirtir. Problemin başındaki 2 birimlik kareden önce bir tane çizdiren Sokrates, sonra bu karenin sağına ve altına aynı kareden koydurur. Şekildeki sağ alt kısmı da doldurtan Sokrates bu dört karenin her birinin 4 birim karelik alana sahip olduğunu çocuğa buldurtur.

Sokrates’in bir sonraki sorusu şudur: “Bir karede çapraz köşeleri birleştirmek, karenin alanını iki eşit parçaya bölmek demek değil midir?”

Çocuğun evet cevabından sonra şekildeki dört karenin de köşegenlerini çizdiren Sokrates, bulunan şeklin alanının kaç olduğunu sorar:

8 birim kare cevabını veren çocuk, 4 birim karelik karenin iki katı alana sahip kareyi elde etmiş olur.

Pisagor teoremine göre bu karenin bir uzunluğu aşağıdaki gibi irrasyoneldir:

karepis

Sonuç

Sokrates çocuğa irrasyonel bir uzunluğu çizdirmesine rağmen uzunluğun ne kadar olduğunu dert etmez. Çünkü antik Yunanistan’da sayılar uzunluklarla gösterilirdi ve uzunluk bilindiği sürece onun ne anlama geldiği önemsenmezdi. Bu sonuç klasik Yunan matematiğine verilebilecek en güzel örneklerden biridir.

Pisagor ve onun öğrencileri tüm sayıların rasyonel olduğunu iddia ederken Sokrates gibi Yunan filozoflar irrasyonel sayıların varlığını bu tip yollarla gösteriyordu.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #2

Bu Hangi Şekil?

Uzun süredir bu günü bekliyordum: Uzaylılar tarafından kaçırıldım! Evet, tarafından!

Neyse ki uzaylılar Türkçe biliyor. En sevdikleri içecek Rize çayı. İnce belli bardakta açık bir çay verdiler. Sakinleşmeye başladığımı gördüklerinde liderleri bana seslendi:

-Dünyalı! Üzerinde deneyler yapmak için seni kaçırdık ama sana karşı adil olmak istiyoruz. Çayını bitirdikten sonra gözlerini bağlayacağız ve seni rastgele bir gök cismine bırakacağız. Eğer üzerinde olacağın bu gök cisminin hangi şekilde olduğunu bilirsen seni evine geri götüreceğiz.

maxresdefault

Kristof Kolomb Yöntemi

Gök cismine bırakıldım. Uzay gemisi üzerimde; beni izliyorlar. Düşün Serkan, düşüün! A, evet buldum galiba. Eğer Kolomb gibi yapıp sürekli aynı yöne doğru ilerlersem, yuvarlak bir gezegende isem, başladığım yere dönmem gerekir.

Uzaylılardan sprey istedim. Böylece yolumu işaretleyip başladığım yere varıp varmadığımı görebileceğim. Günler, haftalar geçti ve sonunda başladığım yere vardım!

Demek ki bu gezegen tıpkı evim Dünya gibi küreye veya topa benzer bir şekilde. Cevabımı hazırladım ve uzaylılarla konuşmaya gidiyorum. Fakat… Aklıma bir şüphe düştü. Ya bu gezegen bir simit şeklindeyse?! Sonuçta simit de yuvarlak bir şekle sahip.

Çünkü eğer simit şeklindeyse ve ben de simidin bir tarafında düz ilerledi isem, başladığım yere dönmem normal. İzlediğim yol yuvarlaklığı gösteriyor ama ya simit gibi ortası boş bir şeklin üzerinde isem?!

Ne yapacağım şimdi?

Topun mu üzerindeyim? Yoksa simidin mi?

IMG_5900
Top şekli derken illa pürüzsüz yüzeyi olan harika bir şekilden bahsetmiyorum. Resimdeki gibi de olabilir.

Sizin İçin Yeni Bir Matematik

Aslında bu soru, topolojinin klasik sorularından biridir. Peki topoloji nedir?

Size şu ana dek Euler’in iki önemli buluşundan bahsettim: Euler’in çokyüzlüler formülü ve Euler’in Königsberg köprüsü problemi çözümü.

Euler’in Königsberg çözümü, 150 yıl sonra çizge teorisi isminde yeni bir matematik alanının ortaya çıkmasına neden olmuştu. Euler’in çokyüzlüler formülü ise çizge teorisinin alt dalı olduğu topoloji isimli matematik branşının çıkışına önemli bir etkide bulunmuştu.

Topoloji:

  • Yunanca’dan türetilmiştir. Topos (Yer/Yüzey/Uzay) + Lopos (Bilim).
  • Lastik levha geometrisi olarak bilinir.

Öklid Geometrisi vs. Topoloji

  • Öklid geometrisinde objeleri döndürebilir ve ters çevirebiliriz. Fakat germek, uzatmak veya bükmek gibi şeyleri yapamayız. Bunları yaptığımız anda uğraştığımız objenin özellikleri değişir.
  • Topolojide ise bir obje gerilip büküldüğünde objenin özelliklerinde bir değişme olmaz. Fakat kesmek, delmek veya ekleme yapmak topolojide objelerin özelliklerini değiştirir.
  • Öklid geometrisinde uzunluk ve açılar önemlidir.
  • Topolojideyse bunların bir önemi yoktur.
  • Bu yüzden Öklid geometrisinde bir kare ile bir üçgen farklı özelliklere sahipken, topolojide her iki şekil de aynı kabul edilir.

En Popüler Örnek

Uzunluk ve açıların önemli olmaması ilk başta anlamsız gelebilir. Halbuki günlük yaşamımızda önemli yer kaplayan bir örnek topolojiyi zaten hepimizin bilip kullandığını gösteriyor.

Toplu taşıma araçlarında, özellikle metro ve tramvaylarda durakları gösteren haritalar bulunur. Bu haritalara bakarken duraklar arasındaki mesafeleri veya hangi durağın daha büyük olduğunu bilemeyiz. Çünkü tüm duraklar noktalarla gösterilip birbirlerine çizgilerle bağlanmıştır.

İstanbul’da Taksim metro durağındasınız ve Levent yönüne doğru vagona bindiniz. Kaç durak sonra ineceğinizi öğrenmek için kapının üzerine doğru baktınız:

M2_Hattı

Görüldüğü üzere tüm durak isimleri noktalarla gösterilirken duraklar arası mesafeler de aynı bırakılmış. Gerçekteyse örneğin Taksim-Osmanbey arasıyla Levent-4.Levent arası mesafe aynı değildir.

İpucu: Bu Hangi Şekil?

Fark etmiş olmalısınız: Soru aslında gezegenin topolojik özelliğiyle ilgili. O halde oyun hamuru gibi bir materyal ile soruyu çözebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #1

Euler Karakteristiği

  • Boş bir kağıt parçasına noktalar yerleştirin.
  • Noktalar arasına istediğiniz kadar çizgi koyun.
  • Çizgiler birbirini kesmemeli.
  • Kağıtta bulunan noktaların her biri birbirine çizgilerle direk ve dolaylı olarak bağlanmış olmalı. Diğer bir deyişle herhangi bir noktadan diğerine çizgilerden bir yol olmalıdır.
  • Böylece şekilde “yüz” oluşturulur. Yüzler çizgilerle kapanmış alanlardır.
  • Çizgi ve noktaların dışında kalan alan da bir yüz olarak sayılır. Yani bir düzlemde en az bir tane yüz vardır.
  • Her zaman:
    Nokta Sayısı – Çizgi Sayısı + Yüz Sayısı = 2
    olur. Buna Euler’in çokyüzlü formülü denir.

Örnek 1: Üç Nokta

Üç nokta konulur ve aralara çizgiler çekilir.

Oluşturulan yüzler şu şekildedir.

IMG_5863

Euler formülü uygulanır.

IMG_5864

Örnek 2: Dört Nokta

Noktalar şekildeki gibi birleştirilir.

Toplam üç yüz, dört nokta ve beş çizgi vardır. Buradan Euler formülü bize aşağıdaki sonucu verir.

Örnek 3: Beş Nokta

Beş nokta, yedi çizgi ve dört yüz elde edilmiş olan şekil aşağıdaki gibidir.

Peki bu şekle bir nokta daha eklersek ne olur?

IMG_5872

Yeni eklenen F noktasından üç çizgi ve iki yeni yüz çıkardık. Sanki Euler formülü bu sefer tutmayacak gibi!

Ama sonuç yine Euler’i haklı çıkarır. Altı nokta, on çizgi ve altı yüz bulunduran şeklimize Euler formülü uygulanınca cevap yine ikidir.

IMG_5875

Örnek 4: Beş Nokta ve Sıfır Yüz

Her seferinde neden çizgilerle kapalı alan yapıyoruz diyebilirsiniz. Yani hiç yüz yapmadan noktaları birleştirirsek ne olur? (Biliyoruz ki her düzlemde nokta ve çizgilerin dışı bir yüz olarak kabul edilir. Bu nedenle her düzlemde en az bir tane yüz olur.)

O halde beş noktayı şekildeki gibi dört çizgiyle birleştirelim. Sonuçta Euler’in kuralına göre herhangi bir noktadan diğerine gidilebiliyor. Ayrıca birbiriyle kesişen çizgiler de yok.

IMG_5887

Burada Euler formülü uygulanınca beş nokta, dört çizgi ve bir yüz vardır. Formül yine doğrudur.

Tarih Sevenler İçin

Şu ana dek okuduğunuz yazılarda iki isimden sıklıkla bahsettim: Leonhard Euler ve Öklid.

Öklid, okul geometrisi diyebileceğim (gerçek isimlerinden birisi Öklid geometrisidir) iki ve üç boyutlu geometrinin kaynağı olan kitapların yazarıdır. Euler ise 800’ün üzerinde çalışmasıyla tarihin en verimli matematikçilerinden biridir.

Öklid’in 13 kitaptan oluşan Elementler’i milattan önce 200’lerde yazılmıştı. Binlerce yıl boyunca sayısız bilim insanı Öklid’in kitaplarıyla sadece geometriyi değil matematiği öğrenmişti. Modern bilimi başlatan kişi olan bilinen, aynı zamanda modern fiziğin babası olan Isaac Newton dahil tüm bilim insanları Öklid ile matematiğe giriş yapıyordu.

Elementler yazıldıktan 2000 yıl sonra dahi geometriyle ilgili her şeyi içerdiğine inanılıyordu. Hatta 18. yüzyılda yaşamış olan tarihin en önemli filozoflarından Immanuel Kant, Öklid dışı bir geometrinin varlığını düşünmenin bile anlamsız olduğunu savunmuştu. Kant’ın özellikle Almanya’da bilim dünyasında sahip olduğu etki, Gauss gibi tarihin en iyi/büyük matematikçisi olarak görülen bir bilim insanını dahi bastırmıştı. Gauss’un başrol oynadığı bu konuyla ilgili başka bir yazım olacak.

İşte Euler, her şeyi bulunduğu düşünülen geometri konusuna çok önemli katkılarda bulunmuştu. Euler’in ismine atfedilen bir sürü formül vardır. Fakat kanımca tarihin en sade ve en güzel formülü budur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Euler formülü üç boyutlu şekillerde işe yarar mı? Örneğin bir küreyi ele alın. Bu küre üzerinde iki nokta alın ve bu noktaları birleştirin. Karşınıza ne çıktı?

Aynı kürede üçüncü bir nokta alın ve bunu diğer iki noktayla birleştirin. Sonuç ne oldu?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Geometri #7

Bir önceki yazıda antik Yunan bilim insanlarının sadece pergel ve cetvel ile çözemediği üç problem olduğundan bahsetmiştim. Bu yazıda Öklid’inkinden daha basit yöntemler olduğundan bahsedeceğim.

Öklid’in Elementler’inde gösterilen yöntemler sayesinde pergel ve cetvel ile rastgele verilen bir doğruyu ve bir açıyı iki eşit parçaya bölmeyi biliyoruz. Peki Öklid’e göre bir doğruyu üç eşit parçaya nasıl böleriz? (Unutmayın; cetvellerde ölçü olmadığını farz ediyoruz.)

Doğruyu Eşit Parçalara Bölmek

Önce bir doğru parçasını üç eşit parçaya ayırmaktan başlayalım. Öklid’in Elementler’inde altıncı kitabın dokuzuncu önermesi bunun nasıl yapılacağını gösterir.

AB doğru parçası üç eşit parçaya bölünecek olsun. Rastgele bir C noktası seç ve AC doğrusunu çiz.

AC üzerinde üç tane eş çember çiz. Bu sayede AC doğrusu üzerinde üç eşit parçaya ulaşmış oluruz.

IMG_5069

F noktasını B noktasıyla birleştir. D ve E noktalarından DF’ye paralel doğrular çiz.

AB doğru parçası üç eşit parçaya ayrılmış oldu. Hatta bu yöntemi kullanarak AB doğru parçasını istenilen sayıda eşit parçaya bölebiliriz.

IMG_5074

Yöntemin içinde bazı şeyleri nasıl yapacağımız Elementler’de saklı. Öklid’in yöntemi için verilen bir doğruya paralel bir başka doğru çizmeyi (Elementler Kitap I, Önerme 31), onu yapabilmek için de verilen bir açıya eşit bir açı çizmeyi (Elementler Kitap I, Önerme 23) bilmek gerekir. İşin fenası eşit açı çizebilmek için eşit üçgen çizmeyi, yani birinci kitaptaki 22. önermeyi bilmek gerekir.

Müslüman Etkisi

2400 yıldan fazla bir süre önce yazılmış olan Elementler günümüze dek kalmışsa, bunu büyük ölçüde Müslüman bilim insanlarına borçluyuz.

Elementler’i okuyup yorumlayan ilk matematikçilerden biri Al-Nayrizi (865-922) idi. Günümüze kadar kalan yorumunu amazon.com’da (hem de 200 doların üzerinde bir fiyatla) bulabilirsiniz.

Al-Nayrizi verilen rastgele bir doğru parçasını istenilen sayıda eşit parçaya bölmek için harika bir yöntem bulmuştu.

AB doğru parçasının A ve B noktalarına birer dik çizin.

Eğer AB n tane eşit parçaya ayrılmak isteniyorsa, bu dik doğrular üzerinde (n-1)’er tane eşit parçalar işaretleyelim. Bunu yaparken istediğiniz yarıçap uzunluğuna sahip bir çemberden yan yana çizmeniz yeterli. (Bir başka deyişle pergelinizi kullanabilirsiniz.)

IMG_5078

Dik doğrular üzerindeki noktaları şekildeki gibi birleştirelim.

Bu doğruların AB’yi kestiği yerler, AB’yi eşit parçalara ayırmış olur.

IMG_5084

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Örüntü #1

Genellikle matematikte örüntüden bahsedilirken en başta sayı örüntüleri ele alınır. Fakat Öklid’in Elementler kitabındaki yöntemleri kullanarak geometri üzerinden de örüntüye giriş yapmak mümkündür. Böylece çocuklar hem kendi şekillerini yaratabilir, hem de gördükleri örüntü şekillerinin nasıl oluşturulduğunu anlayabilirler.

Örüntü: Olay veya nesnelerin düzenli bir biçimde birbirini takip ederek gelişmesidir.

Elementler’den şu ana dek öğrendiklerimiz arasında bir doğru parçası çizmek, bunu iki eşit parçaya ayırmak ve doğruya bir dik indirmek vardı. Örüntü şekilleri yapmaya başlamadan önce bir çemberin içine 6-gen çizmeyi de Elementler’i kılavuz kabul ederek öğrenelim.

6-gen Yapmak

Elementler 4. kitap, 15. önerme der ki:

Birbirlerinin merkezlerinden geçen iki eş çember çizin.

Çemberlerin kesiştiği iki noktayı seçin. Noktalardan başlayarak çemberlerden birinin merkezinden geçen doğru parçaları çizin.

Temizlik yaptıktan sonra (umarım siz daha iyi bir silgi kullanırsınız) çember üzerinde bulunan noktaları birleştirin. Karşınıza bir düzgün 6-gen çıkacak.

Artık örüntü yapmak için önümüzde bir engel kalmadı. O halde birini yapmayı deneyelim.

İlk Örnek

DD018FAC-7D36-413D-931D-5267C53D5C05
İlk ulaşmamız gereken örüntü.

Önce bir çember ve bu çemberin etrafına kare çizelim. (Benimki gibi ufak tefek yamukluklar sorun değil. Her seferde daha düzgün çizmeye başlayacaksınız.)

Çemberi şekildeki gibi sekiz parçaya ayıralım ve doğruların çemberi kestiği noktaları işaretleyelim.

IMG_4754

Noktalar arasında şekildeki gibi doğru parçaları çizelim.

 

Daha sonra yukarıdan aşağı.

Bu noktada durup ulaşmak istediğim şekli çizebilirim.

Silgiyle temizlersek (umarım ki daha düzgün bir silgiyle) aşağıdaki sonuca ulaşırız.

IMG_4762

Yıldız Çizmek

IMG_4784
Yıldız çizmeye çalışalım.

Bu yıldıza ulaşabilmek için önce bir düzgün 12-gen çizmemiz gerekiyor. Çünkü yıldızın sivri noktaları 6-genin kenarlarının tam ortasında.

12-gene 6-gen üzerinden ulaşılır. Bunu yaptıktan sonra 6-genin kenarlarını çizince karşıya çıkan şekilde 6-genin her kenarının 3’er noktada kesildiği görülür.

img_4776.jpg

Şimdi oluşturulan şekilde sol ve sağ karşılıklı kenarlar seçilsin. Bu kenarların üzerinde bulunan noktalar çapraz olarak birleştirilsin.

Aşağıdaki gibi doğru parçaları eklendikçe örüntü yavaştan belirmeye başlıyor.

Artık kalın kalemle izleri takip edebilir ve yıldıza ulaşabiliriz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki fotoğrafta bulunan örüntüyü öğrettiğim yöntemlerle ortaya çıkarabilir misiniz? (İpucu: 12-gen çizerek başlayın.)

img_4664.jpg

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Geometri #4

Geometrinin kutsal kitabı Elementler’dir. Elementler’in yazarı Öklid’in sahip olduğu aletler ise şunlardı:

IMG_4557

Pergel ve ölçüsüz cetvel. Öklid kitabında, sadece bu ikisini kullanarak neyin yapılıp neyin yapılamayacağını ortaya koymuştu.

Rastgele Bir Doğruyu İki Eşit Parçaya Bölmek

Daha önceden öğrendiğimiz üzere iki nokta arasından bir doğru geçer. Elimizde bir AB doğru parçasının olduğunu düşünelim. Öklid rastgele bir doğru parçasını eşit olarak ikiye ayırmanın yolunu bulmuştu. Gelin biz Öklid’i test edelim ve uzunluğunu bildiğimiz bir doğru parçasına yöntemi uygulayalım.

IMG_4558

Doğru parçamızın uzunluğu 6 cm olsun. Eğer çalışıyorsa, Öklid’in yöntemi bize 3’er cm’lik iki parça vermeli.

Öklid’e göre önce doğru parçasının uçlarını merkez, doğru parçasını ise yarıçap kabul ederek iki çember çizmeliyiz.

Doğru parçasının sol ucu A, sağ ucu B noktası olsun. Çemberlerin kesiştiği noktalara da C ve D diyelim.

IMG_4561

Eğer CD doğru parçasını çizersek elimizde şöyle bir görüntü olur:

IMG_4562

Bu durumda Öklid’e göre CD doğru parçasının iki işlevi vardır:

  1. AB doğru parçasına diktir.
  2. AB’yi iki eşit parçaya böler.

IMG_4564

Fotoğrafta da görüldüğü üzere CD doğrusunun geçtiği nokta, AB’yi tam olarak iki eşit parçaya böler. Açıölçer kullanarak CD’nin dik olduğunu kendiniz de görebilirsiniz.

Öklid gibi sadece pergel ve ölçüsüz cetvelle bir doğru parçasını iki eşit parçaya bölmeyi ve bir doğru parçasına dik olan bir başka doğru çizmeyi öğrendik. Peki aynı aletlerle bir açıyı iki eşit parçaya bölmek mümkün mü?

Rastgele Bir Açıyı İki Eşit Parçaya Bölmek

Yine hile yaparak işleme başlayalım. Elimizdeki AB ve BC doğru parçalarının arasında 90 derecelik bir açı bulunsun. Bu açıyı 45 derecelik iki eşit parçaya bölmeye çalışalım.

B noktası merkez olacak şekilde rastgele bir yarıçapa sahip (yani pergel rastgele bir uzunlukta açık olacak şekilde) bir çember çizelim. Çember AB ve BC doğru parçalarını D ve E noktalarından kesecek.

Şimdi pergeli yine rastgele bir uzunlukta açıp, D ve E noktaları merkez olacak şekilde iki çember çizelim.

Çizilen çemberler fotoğrafta görüldüğü üzere iki noktada kesişir. Biz açının baktığı tarafta kesişen noktayı ele alalım ve onu açının bulunduğu B noktasıyla birleştirelim.

BF doğru parçası, açıyı iki eşit parçaya böler.

IMG_4592

Açıölçer kullanarak 45 derecelik açıyı görebiliyoruz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Rastgele uzunluktaki bir doğru parçası Öklid’in aletleri kullanılarak üç eşit parçaya ayrılabilir mi?
  2. Yine rastgele verilen bir açı, Öklid’in aletleri kullanılarak üç eşit parçaya bölünebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu