Kupa finali bu sene şehrin en önemli iki futbol takımı arasında; hem derbi hem de final. Bu yüzden iki takımın taraftarı da son derece heyecanlı. Ahmet’in ise maçla pek bir ilgisi yok. Tuttuğu takım yarı finalde elendiği için Ahmet rahat.
Ahmet’in yakın arkadaşlarından ikisi olan Samet ve Tarık, iki haftadır durmadan tartışıyor. Samet, FC Çatladıkkapıspor’un, Tarık ise AC Milan’ın maçı kazanacağını iddia ederken Ahmet akşam ne yiyeceğini düşünüyor.
Samet ve Tarık
Samet
“Senelerdir yenilmiyoruz adamlara. %90 maç bizim. Ama futbol bu; her şey olabilir. O da %10 ihtimal işte. Evet, çok eminim. Gel iddiaya girelim istersen?!”
Tarık
“Bu senenin en formda takımıyız. Forvetimiz bu sene 27 maçta 69 gol attı. Maçı %75 biz kazanırız. Ama bunlara şansımız tutmuyor. Hadi %25 de onlara şans veriyim. Senle hemen iddiaya girebilirim Ahmet!”
Fırsatçı Ahmet
Final maçı olduğu için beraberlik şansı yok. Yani iki takımdan biri mutlaka maçı kazanacak.
Arkadaşlarının neredeyse birbirine zıt düşüncelerinde yararlanmak isteyen Ahmet her ikisiyle de öyle bir iddiaya girmek istiyor ki, sonuç ne olursa olsun kar etsin.
Oyun: Bir topluluk içerisinde herkesten 0 ile 100 arasında bir sayı seçmesi isteniyor. Oyunda aynı sayıyı birden fazla kişinin seçmesi mümkün olsa da oyuna katılanların seçimlerini yaparken birbirleriyle konuşması yasaktır.
Kazanan: Seçilen sayıların ortalamasının 3’te 2’sine en yakın olan kişi oyunu kazanmış olur. (Ortalama: Seçilen sayıların toplamının seçen kişi sayısına bölümüdür.)
Soru: Kazanan olmak için izlenilebilecek bir yol var mıdır?
İlk başta bu basit oyunda 0 ile 100 arasında hangi sayının seçildiğinin bir önemi olmadığı düşünülebilir. Çünkü kazanan değer diğerlerinin seçimlerine bağlıdır. Fakat ihtimaller hesabına kafa yormayı seven birisi, bilinçli bir seçimle oyunu kazanma şansını artırabilir.
Adım #1
12 kişilik bir grupta herkesin 100 sayısını seçtiğini varsayalım. O halde ortalama:
(12*100)/12 = 100
olur. Sonuç ortalamanın 3’te 2’sidir. Yani kazanan sayı 100*2/3 = 66,666…’ya en yakın olandır.
Grupta bulunan herkes seçebileceği en yüksek sayıyı seçtiğine göre kazanan değer en fazla 66,666…’dır. Eğer bunun farkındaysanız sayınızı 0-100 arasında değil; 0-66 arasında seçersiniz.
Tabi ki 66’dan yüksek bir sayıyı seçen kişinin oyunu kazanma şansı vardır. Fakat kazanan sayının 66’dan yüksek olmayacağını bildiğiniz bir durumda (örneğin) 70 sayısını seçmeniz mantıksızdır.
Ya Herkes Her Şeyin Farkındaysa?!
Diyelim ki bu gerçeğin farkına vardınız. Diğerleri 0-100 arasında bir sayı seçecekken siz 0-66 arasında bir sayı seçeceksiniz. Bu sayede kazanma şansınızı bir hayli arttırdığınızı düşünüyorsunuz. Fakat bir anda aklınıza başka bir şey geldi: Ya herkes bu durumun farkındaysa?
Adım #2
Eğer 12 kişinin tamamı kazanan sayının en fazla 66,666… olduğunu fark ettiyse, o halde grupta hiç kimse 66’dan büyük bir sayıyı seçmez. Yani herkes 0 ile 66 arasında bir sayıyı tercih eder.
Bu durumda çıkabilecek en yüksek sonuç herkesin 66’yı tercih etmesidir:
(66*12)/12 = 66 ortalama.
66*2/3 = 44 kazanabilecek en yüksek sonuç.
Yani, herkes 66’dan küçük bir sayı seçerse kazanan sayı 44’den büyük olamaz. Öyleyse neden 44’den büyük bir sayı tercih edersiniz ki?
Adım #3
Gruptaki herkes sayısını seçmeden önce bu gerçeklerin farkındaysa kimse 44’ü geçmez. Bu, önceki iki senaryoda olduğu gibi yeni bir ihtimal hesabına yol açar: Herkes kazanan sayının 0 ile 44 arasında olacağını bildiği için kazanan sonuç en fazla:
(44*12)/12 = 44 (ortalama)
44*2/3 = 29,333… olur.
Bu da kazanan sonucun en fazla 29 olabileceğini söyler. O halde 29’dan fazla bir sayı seçmenin manası yoktur.
Bu mantıkla ilerlendiğinde kazanan sonuç 11 adım sonunda 0 (sıfır) çıkar. Bu yüzden oyun için en mantıklı hamle herkesin sıfırı seçmesidir. Olasılık bilgisini kullanan herkes eninde sonunda kendisi için en uygun sayının 0 olduğunu fark eder.
Sonuç
Matematik bilgisi sayesinde bir topluluk birbiriyle iletişimde olmadığı halde herkesin çıkarına olan ortak bir karar verebilir.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
12 kişilik grupta bir kişinin matematikle hiç alakası olmadığını biliyorsunuz. Bu durumda nasıl bir mantık geliştirmeniz gerekir? Cevabınızı olasılık hesapları çerçevesinde verin.
Not: Kendinize bir örneklem yaratmak için buradan rastgele sayılar seçebilirsiniz.
Matematiğin işe yaramazlığından bahseden insanların (tamamı olmasa da) önemli bir kısmı olasılık konusunda kötü oldukları için sürekli zarara uğradıklarından bihaberdir. Halbuki hangi insana sorsanız olasılık konusunda kendinden emin konuşur.
Buna en güzel örneklerden biri kumarhane tecrübesi olanların hemen anlayacağı rulet oyunudur. 0’dan 36’ya kadar sayıların bulunduğu rulet masasında her turda top rulet çarkına bırakılır. Rulet oyununda topun çarkın üzerinde hangi sayıda duracağını tahmin etmek dışında da seçenekleriniz var. Mesela sayının renginin kırmızı ya da siyahtan hangisi olacağını veya hangi satır/sütundaki sayının gelebileceğini de tahmin etmeye çalışabilirsiniz.
Burada ben kırmızı-siyah olasılığı üzerinde duracağım. Toplam 37 sayının 18’i kırmızı, 18’i siyahtır. (Tek eksik olan sıfırın rengi bunların ikisi de değildir.) O halde ruletin bir turunda kırmızı veya siyah renkli bir sayının gelme olasılığı eşit ve 18/37’dir.
Soru: Diyelim ki bir rulet masasında oturuyorsunuz ve art arda sekiz tane kırmızı renkli sayı geldi. Bir sonraki turda hangi renge oynardınız: Kırmızı mı? Siyah mı?
Bunun için ufak bir anket düzenledim. Sorduğum on arkadaşımın içinden sadece ikisi kırmızıyı seçeceğini söylerken altısı siyahı, kalan ikisiyse herhangi biri cevabını verdi. İşin garibi hemen herkesin daha ben sormadan şansların eşit olduğunu belirtmesiydi. Yani burada seçim yaparken matematik değil duygular ön plana çıkıyor.
Doğru cevapsa “fark etmez” olmalıdır. Her turda siyah ve kırmızının 18/37’şer, sıfırın ise 1/37 ihtimali vardır. Önceki turlarda ne geldiği hiçbir şeyi değiştirmez. Psikolojiniz hariç…
Uyarı: Kumar tüm kötülüklerin anasıdır. Uzak durun.
“Kumarbaz mısın?”
İki ve daha fazla kişinin oynayabileceği bir oyun olan “Kumarbaz mısın?” için gereken tek şey standart bir zardır.
Kurallar:
Oyuncular sırayla zar atar.
Gelen sayıları toplar. Amaç 50’yi ilk geçen olmaktır.
Eğer oyunculardan biri kendi turunda 6 atarsa, o turda kazandığı puanları kaybeder ve sıra diğer oyuncuya geçer.
Oyuncular kendi turlarında 6 gelmediği sürece zar atmaya devam edebilir ve istedikleri yerde turu bitirebilir.
Örneğin bir oyuncunun ilk zarı 4 gelsin. Zar 6 gelmediği için oyuncunun iki şansı vardır: Zarı ikinci defa at veya turu bitir ve 4 puanı toplam puanına ekle. Diyelim ki oyuncu devam etmeye karar verdi ve zar bu sefer 5 geldi. Oyuncu için yine aynı iki şans vardır: Ya puanlarını al (4+5=9 puan) ve turu bitir veya üçüncü defa zar at.
Ne öğrenilir?
Oyunda kaçınılması gereken tek zar 6’dır. Bu da toplam altı sayıdan sadece biridir. Yani ilk zar atıldığında 5/6 = 0,833… (diğer bir deyişle %83) ihtimalle istediğiniz zarı elde edersiniz. Bunu iki defa üst üst yapma ihtimaliniz ise (5/6)*(5/6) = 0,694… olur. İkinci denemenizde %70’in altına düşülür.
O halde 10 defa üst üste zar attığınızda 6 gelme ihtimalini artırmış olursunuz. (%60 ihtimalle 6 gelir.)
Fakat her zar atılışına tek tek baktığımızda her zaman 5/6 ihtimali olduğunu görürüz. Bunu düşününce 6 gelme olasılığının zamanla daha yüksek olması gözden kaçmış olur.
Başta düşük olan ihtimal zamanla yüksek ihtimale dönüşür. Örneğin 100 defa zar attığınızda 6 gelmesi neredeysekesindir:
%99,99999879 ihtimalle 6 gelir.
Sonuç: Bir zar 100 defa atıldığında 6 gelmesi neredeyse kesinken, her atış tek tek incelendiğinde bu ihtimal hep 1/6’dır. İşte düşük ihtimalin zamanla yüksek ihtimale dönüşmesi buradan kaynaklanır.
O halde kendinize şu soruyu sormanız gerekir: “Kumarbaz mısın?” oynarken ne zaman durmanız gerekir?
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
“Kumarbaz mısın?” oyununu biraz değiştirelim. Diyelim ki turun bitmesini gelen zar etkilemesin. İlk oyundan en büyük farklar şunlardır:
Atılan tüm zarlar geçerli olsun.
Bir oyuncunun toplam sayısı 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 veya 45’ten biri olduğunda oyuncu topladığı tüm puanları kaybetsin ve zar atma sırası diğer oyuncuya geçsin.
Bu oyunda nasıl bir strateji izlerdiniz? Bir önceki oyuna göre ne gibi farklılıklar görüyorsunuz?
En küçük çocuk olanlar bilir: Evle ilgili herhangi bir ayak işine gönderilen çoğunlukla evin en küçüğüdür. Bu yüzden çocukluğumun önemli bir kısmında ev-bakkal arasındaki ilişkinin başbakanı bendim. Bu yetmezmiş gibi okul hayatımın ilk sekiz yılını geçirdiğim yer de bakkalın hemen yanı başındaydı. Yani yıllar boyunca ev-okul-bakkal üçgeninde yürüyüp durdum.
Aslında bu olay pek canımı sıkmıyordu; çünkü küçükken hemen her durumdan kendime oyun çıkarabiliyordum. Örneğin bakkala doğru yürürken karşıma çıkan yuvarlağımsı bir taş futbol topuna, ben de zamanın en iyi futbolcularından biri olan Zidane’a dönüşürdüm.
Yaptığım yürüyüşler arasında en sevdiğim oyun ise hala devam ettirdiğim “çizgi yürüyüşü oyunu”dur.
Çizgi Yürüyüşü
Yaşadığımız semtte yerler resimdeki gibi taşlarla döşenmişti:
Çizgi yürüyüşü oyununda amaç atılan adımın taşın sınırlarını aşmamasıdır. Kendi kendime oynadığım bu oyunda eğer adımım taşın sınırları içindeyse +1, değilse -1 puan alırım.
Soru: Bir yürüyüş sırasında herhangi bir adımda +1 puan alma ihtimalim kaçtır?
Bilinmesi Gerekenler:
Ayağın şekli dikdörtgen kabul edilsin.
Ayak ölçüsü 30×6 cm olsun.
Taşların şekli kare kabul edilsin.
Bir kare şeklindeki taşın ölçüsü 60×60 cm olsun.
Her adım karenin içine aşağıdaki gibi düzgün ve dik şekilde denk geliyor olsun:
Bir adımın +1 puan alabilmesi için en fazla taşın sınırına denk gelmesi gerekir. Bu da aslında ayağın (yani dikdörtgenin) merkezinin belli bir alan içinde bulunması gerektiği anlamına gelir.
Dikdörtgenin merkezi.
Dikdörtgenin üst kenarı tam olarak karenin üst kenarında olursa, dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm uzakta olur:
Eğer dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm’den daha az uzaklıkta ise, dikdörtgen karenin sınırını aşar:
Eğer dikdörtgenin merkezi karenin üst sınırına 15 cm’den daha fazla ama 45 cm’den daha az uzaklıkta ise, dikdörtgen karenin sınırları içinde kalır:
Üst için yaptığımız bu çıkarım alt sınırlar için de geçerlidir.
Dikdörtgenin merkezinin karenin sağ ve sol sınırına uzaklığı için de aynı şeylerden bahsedebiliriz. Eğer merkezin karenin sağ/sol sınırına uzaklığı 3 cm’den daha az ise, dikdörtgen karenin dışına taşar:
Mesafe 3 ile 57 cm arasında ise dikdörtgen karenin içindedir:
Sonuç
O halde atılan herhangi bir adımın taş karenin sınırları içinde kalması için adımın (yani dikdörtgenin) merkezinin aşağıdaki alan içerisinde yer alması gerekir:
Karenin tüm alanı: 60*60 = 3600 cm2
Adımın merkezinin bulunması gereken alan S: 54*30 = 1620 cm2
Atılan rastgele bir adımın karenin sınırları içinde kalma ihtimali:
1620/3600 = 0,45 olur. Yani bu ölçüler dahilinde rastgele attığım bir adımın kare şeklindeki taşın sınırlarını aşmama ihtimali %45’tir.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Evde bir satranç/dama tahtanız varsa üzerine bir madeni para atın. Paranın kare kutucuklardan birinin içinde düşme ihtimali nedir?
Haftanın muhtelif günlerinde (tamam kızmayın; haftada en az altı gün) kahveciye gidiyorum. Sık ziyaret etmemden dolayı artık baristalar ne içtiğimi biliyor… gibi.
İçecek tercihlerim altı aylık dönemlerle değişiyor. Ekim-Mart döneminde latte ve filtre kahve, Nisan-Eylül dönemindeyse soğuk latte ve berry tercihlerini yaparım.
Ekim-Mart: Latte içtiğim günün ertesinde yine latte içme ihtimalim %80 iken, filtre kahve içtiğim günün ertesinde yine filtre kahve içme ihtimalim %60’dır.
Nisan-Eylül: Soğuk latte içtiğim günün ertesinde yine aynı şeyi içme ihtimalim %80 iken, berry için aynı ihtimal %90’dır.
Ekim-Mart arasındaki kahve tercihimi gösteren bir şema.
Soru: Bugün filtre kahve içtiysem iki gün sonra latte içiyor olma ihtimalim kaçtır? (Soru Şubat ayında geçiyor.)
Yukarıda geçen sorunun içinde matematiğin en temel bulgularından biri olan Markov Zinciri bulunur:
Bir Markov Zinciri örneği. Ne olduğunu yazının devamında açıklayacağım.
Açıkça görülüyor ki iki gün sonra latte içmek için iki ayrı ihtimal vardır. Bu ihtimallerin toplamı bize cevabı verir:
Ertesi gün filtre kahve içip(0,6), iki gün sonra latte içme(0,4) ihtimali: 0,6*0,4 = 0,24.
Ertesi gün latte içip(0,4), iki gün sonra yine latte içme(0,8) ihtimali: 0,4*0,8 = 0,32.
İki gün sonra latte içme ihtimali: 0,24 + 0,32 = 0,56.
Yani %56 ihtimal.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Şubat ayının kaçıncı gününde olunduğunun bir önemi var mı?
Bir gün önce filtre kahve içmiş olmamın sonuç üzerinde bir etkisi var mıdır? Cevabınızı açıklayınız.
Haziran ayının 11. gününde soğuk latte içtiysem, 14 Haziran’da berry içme ihtimalim nedir?
Sürücüsüz Arabalar
Eğer Google’da arama yaparsanız “Sene oldu … nerede bu uçan arabalar?!” içeriğine sahip binlerce sayfalık yazı bulabilirsiniz. Bu isyanın sebeplerinin başında Geleceğe Dönüş filmi gelir. Haksız sayılmayız. Sonuçta geleceğe ya da geçmişe gitmek gibi bir derdimiz yok. Uçan arabada olsak yeter.
Sene oldu 2019 ve ufakken hayallerimizi süsleyen uçan arabalar hala etrafta yok. Teknoloji ancak sürücüsüz araba yapacak kadar gelişti. (Ancak?!)
Sürücüsüz araba yapabilmek için gereken en önemli şeylerden biri karar verme sistemini içeren teknolojidir. Çünkü kendini kullanan bir araba en basit bir yolculukta dahi yüzlerce tercih yapmak zorunda kalacaktır.
Bu teknolojinin ana fikri ise Serkan’ın Kahvesi örneğinde zikrettiğim Markov Zinciri’ne dayanır. Sürücüsüz arabalarda Markov Karar Süreci denilen çok güçlü bir matematiksel metot kullanılır.
Markov Karar Süreci (MDP) : İçinde belirsiz davranışlar barındıran kontrol ve karar problemleri için uygulanan bir matematiksel modeldir.
Belleksiz Olasılık
Markov Zinciri: Bir olay veya sistemde Markov Zinciri varsa o sistemin içinde gelecekte ne olacağı geçmişten bağımsız fakat mevcut duruma bağlı olarak değişir ve hatta tahmin edilebilir.
Markov Zinciri’ne verilebilecek örneklerden biri sarhoşun yürüyüşüdür. Hatırlatalım: Bir sarhoş evini bulmaya çalışırken rastgele kararlar verir. Sarhoş aşağıdaki durumda yürüyüşünü yapmış olsun:
Bir sonraki tercihini hangi noktaya doğru yapacağı, geçmiş tercihlerine bağlı değildir. Bu, sadece bulunduğu konuma ve tercih olasılıklarına bağlıdır.
Sarhoşun durduğu son nokta olan F’den gidebileceği dört nokta vardır. Bunlardan hangisini seçeceği önceki adımlarına bağlı değildir.
Sürücüsüz bir arabanın yapacağı tercihler de geçmişte yaptığı tercihlere bağlı değildir. Örneğin trafik ışıklarına gelen bir arabanın yapacağı tercihi 100 metre önce sola dönmüş olması değil, ışığın rengi etkiler.
Markov Zinciri 100 yılı aşkın bir zaman önce ortaya çıkmasına rağmen hala ekonomi, oyun teorisi, meteoroloji, biyoloji ve hatta ses tanıma gibi modern teknolojilerde kullanılmaya devam etmektedir.
Matematikçi Aile
Markov Zinciri’ne ismini veren kişi olan Rus matematikçi Andrey Markov’un küçük kardeşi Vladimir Markov da uluslararası arenada tanınan bir matematikçiydi. Vladimir sadece 25 yaşındayken tüberkülozdan hayatını kaybetti. Andrey’in oğlu Andrey Markov Jr. da matematikçiydi.
Politika ve Andrey
Andrey Markov politik olarak aktif biriydi. Uzun bir süre boyunda (1613’den 1917’ye dek) Rusya’yı yöneten Romanov hanedanlığına karşı olduğunu karakterine uygun bir şekilde göstermişti. Markov, Romanovların 1913’te yaptığı 300. yıl kutlaması yerine büyük sayılar kanununun 200. yılını kutlamıştı. (Sonraki yazılarda büyük sayılar kanunundan bahsedeceğim.)
Sonunda sıra muhasebeci Ali’nin problemine geldi. Bir sarhoşun rastgele seçimler yaparak evine ulaşıp ulaşamayacağını belirlemek için bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmemiz gerektiğini söylemiştim. Fakat biz yeryüzünde yaptığımız yürüyüşlerde sağ ve soldan başka seçeneklere de sahibiz.
Gelin sarhoşun güzergahını iki boyutta rastgele yürüyüş olarak düşünelim.
İki boyutta rastgele yürüyüş için dört farklı ihtimal vardır: Aşağı, yukarı, sağ ve sol. Bu dört yön bize geometrinin tanıdık bir kısmı olan koordinat düzlemini hatırlatır. Koordinat düzleminde orijini sarhoşun başlangıç noktası olarak belirlediğimizde ilk adım için aşağıdaki ihtimaller belirir:
İki boyutta rastgele bir yürüyüşü test etmek için 12 yüzlü zar kullanılabilir. Zar atıldığında:
1-2-3 gelirse yukarı bir adım,
4-5-6 gelirse aşağı bir adım,
7-8-9 gelirse sağa bir adım,
10-11-12 gelirse sola bir adım atılır.
Soru: İki boyutta N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına kaç adım uzakta olunur?
Bu sorunun cevabı tıpkı bir boyutta olduğu gibi adım sayısının kareköküdür. Yani cevap N tane rastgele adım için √N olur. Fakat bu sefer orijini merkez, yarıçapı ise √N olan bir çemberi hayal etmemiz gerekir. Yürüyüşün tamamlanma ihtimalinin en yüksek olduğu alan bu çemberdir.
20 tane adım için √20=4,47. Buna 5 dersek, 20 rastgele adım sonunda taralı alan içinde bir yerde olma ihtimalimiz yüksektir.
Bir boyutta rastgele yürüyüş sonrası üç çıkarımdan bahsetmiştim. Bu çıkarımlardan üçüncüsüne göre bir boyutta atılan rastgele adım sayısı ne kadar çok olursa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar fazladır.
Aynısı iki boyuttaki rastgele yürüyüşler için de geçerlidir; adım sayısı ne kadar fazlaysa adımı atan kişinin başlangıç noktasına dönme veya ona çok yakın olma ihtimali de o derece yüksek olur.
“Sarhoş bir insan muhakkak evinin yolunu bulur, fakat sarhoş bir kuş sonsuza dek kaybolabilir.” Shizuo Kakutani
Bu sonuç sarhoş Ali’nin sürekli başladığı yere gelme ihtimalinin evine varma ihtimalinden daha yüksek olduğunu söyler. Fakat Ali rastgele tercihler yapmasına rağmen er ya da geç evine ulaşır.
Hatta bunu bir adım daha öteye götürelim: Eğer muhasebeci Ali yeterince uzun süre boyunca yürümeye devam ederse, mahallesinde bulunan tüm sokakları ziyaret etmiş olur. Bu yüzden iki boyutta rastgele yürüyüş tekrar eden bir yürüyüştür. Fakat işler üç ve üstü boyutta değiştir. İkiden büyük boyutlarda rastgele hareket geçicidir. Shizuo Kakutani bu nedenle sarhoş bir kuşun sonsuza dek kaybolabileceğini söylemiştir.
Eğer Ali yürüyüşünü yeterince uzun tutarsa mahallesinin tüm sokaklarını gezmiş olur.
Yanlı Rastgele Yürüyüş
Bir boyutta rastgele yürüyüş için iki sonucun (sağa ve sola bir adım atmak) eşit ağırlıkta (1/2) olasılığa sahip olduğunu artık adımız gibi biliyoruz.
Gelin başka bir rastgele yürüyüş tipi bulmaya çalışalım. Fakat bunu yaparken ihtimalleri aynı, adım sayılarını ise farklı tutalım. Yani sağ veya sol tercihi ½ olasılıkla gerçekleşecek, ama sağa iki adım atılırken sola bir adım atılacak.
İşte bu, bir yanlı rastgele yürüyüş örneğidir. Normal rastgele yürüyüşte bir adım +1 veya -1 değerini alabilirken, yarattığım yanlı rastgele yürüyüşte bir adım +2 veya -1 olur.
Rastgele yürüyüşün yanlılığı N adım atıldıktan sonra başlangıç noktasının sağında bulunma ihtimalinin çok yüksek olmasından gelir. Önceki yazılarda bir boyutta yürüyüşü havaya para atarak (yazı-tura ile) göstermiştim. Yazı sağa, tura ise sola doğru adım atmak anlamına geliyordu. Yanlı rastgele yürüyüşe göre havaya atılan bir paranın yazı gelmesi sağa iki adım, tura gelmesiyse sola bir adım demektir.
Parayı 10 defa havaya attıktan sonra durduğum nokta:
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Bir madeni parayla aynı deneyi siz de yapın ve sonuçlarınızı karşılaştırın.
Matematikçiler genelleme yapmaya bayılır. Bazen benim de hoşuma gitmemesine rağmen genel durumları kullanmak matematikte sihir yapmamıza olanak verir. Sihirden daha güzel bir şey var mı?!
Diyelim ki (genelleme geliyor) bir boyutta N tane rastgele adım attık. Düşük bir ihtimal olsa da N tane adımın hepsi sağa (veya sola) doğru atılabilir. Bu, başlangıç noktasının sağında +N noktasında (veya solunda -N noktasında) durduğumuz anlamına gelir. Yani başlangıç noktasına N adımda en fazla N kadar uzakta olunabilir.
Eğer N adımın yarısını sağa, diğer yarısını ise sola doğru atarsak tam olarak başlangıç noktasında dururuz. Bu da başlangıç noktasına en az 0 adım uzakta olabileceğimiz ihtimaldir.
O halde N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına 0 ile N birim kadar uzakta oluruz.
Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?
Bu sorunun cevabı N tane rastgele adım için N’in kare köküdür. Örneğin 100 rastgele adım sonrasında başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta oluruz.
Avrupa’nın en büyük basketbol organizasyonu olan Euroleague’de 16 takım sezona başlar. Lig usulü oynanan normal sezonda takımlar birbiriyle ikişer defa karşılaşır. Normal sezon sonunda ilk 8 sırada yer alan takımlar aralarında playoff oynar ve şampiyonu belirler.
23 Aralık 2018 itibariyle Euroleague puan tablosu.
Diyelim ki bu ligde orta sıraları hedefleyen bir takımın taraftarısınız. Yani takımınız playoff’a 8. sıradan da olsa kalmak istiyor. Sene başında maç takvimine bakıp takımınızın playoff mücadelesi verebilmesi için kaç galibiyet alması gerektiğini tahmin etmeye çalışıyorsunuz: “Barselona’yı evimizde yensek, Daçka’yı her iki maçta da yeneriz herhalde…”
Aslında bunu yapmaya mecbur değilsiniz. Gayet tabi ki takımınızın kaç maç kazanabileceğini matematikten yararlanarak tahmin edebilirsiniz.
Bir basketbol mücadelesinin iki tane sonucu vardır: Kazanmak veya kaybetmek. Her ne kadar takımların güçleri arasındaki fark olasılığı etkilese de bir basketbol maçında sadece iki ihtimal olduğu gerçeği değişmez.
Rastgele Yürüyüşle Benzerlikler
Bir boyutta rastgele yürüyüş yaparken sağ ve sol olmak üzere sadece iki olası sonuç vardı. Basketbol maçlarında da tıpkı bir boyutta rastgele yürüyüş gibi iki olası sonuç vardır.
Bir basketbol takımı normal sezonda 15×2 = 30 maç yapar. Bu, bir boyutta 30 tane rastgele adım atmakla aynı şeye tekabül eder.
O halde bu basketbol takımının 30 maç sonunda kazandığı maç sayısının kaybettiği maç sayısından farkı 30’un karekökü olur.
√30 = 5,47…
Biz buna 6 maç diyelim. Bu 6 maçın sonucu şansa bağlıdır. Takımınız hepsini kazanmış veya kaybetmiş olabilir. Bu, 30 maç sonunda takımınızın en iyi durumda kaybettiğinden 6 maç daha fazla maç kazanabileceği anlamına gelir. En kötü durumdaysa kazandığından 6 maç fazlasını kaybedebilir:
Sonuç
Rastgele yürüyüşten elde ettiğimiz bilgi bize Euroleague’de 18 ile 12 arasında maç kazanan bir takımın playoff mücadelesi vereceğini söyler.
Önceki iki sezonun Euroleague sıralaması bu şekildeydi. Görüldüğü üzere 18 ile 12 galibiyet arasında kalmak ilk 8’e girmek için mücadele etmek anlamına geliyor.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Bir boyutta rastgele yürüyüşten öğrendiklerimizi 18 takımlı ligde mücadele eden bir futbol takımı için kullanmayı deneyin. Buradaki fark bir futbol müsabakasının üç ihtimalle bitecek olmasıdır.
Öğrendiklerinizi bu duruma nasıl uygulayabilirsiniz? Ortalama bir takım bu ligde kaç puan aralığında sezonu bitirmelidir?
Not: Sarhoş Ali’yi unutmadım. Cevaba yavaş yavaş ilerliyoruz.
Muhasebeci Ali bir haftayı daha bitirmişti. Genelde hafta sonlarını sakin geçiren Ali bu cuma akşamında mezun olduğundan beri görmediği üniversite arkadaşlarıyla buluşacaktı. Neredeyse sabaha dek eskiyi yad eden grup muhabbeti bol alkolle karıştırmış, alkole pek dayanıklı olmayan Ali gecenin sonunda körkütük sarhoş olmuştu.
Buluştukları yer Ali’nin evine yürüme mesafesindeydi. Zaten bu yüzden kendini tutmadan içen Ali, her halükarda evini bulabileceğini düşünüyordu.
Fakat Ali gözünün önünü göremeyecek durumdaydı. Bu yüzden evine dönerken rastgele bir yol izliyordu.
“Bu sokak tanıdık geliyor, ben burada yaşıyorum sanırsam.”
Soru: Bir sarhoş izlediği rastgele güzergaha rağmen evine ulaşabilir mi?
Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş
Ali’nin problemine dönmeden önce bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmem gerekir. Bir boyutlu bir yol küçüklüğümüzden aşina olduğumuz sayı doğrusunu ifade eder.
Sayı doğrusu üzerinde gidilebilecek iki yön vardır: Sağ ve sol.
Kurallar:
Bir boyutta sağa doğru atılan 1 adım +1, sola doğru atılan bir adımsa -1 değerinde olsun.
Sağ ve sol tercihi eşit olasılığa sahip olsun.
Bu yüzden hem sağa hem de sola doğru bir adım atılması ihtimali 1/2 olur.
Bir sayı doğrusu çizip sıfırı başlangıç noktası kabul edelim. İlk adım ya sağa ya da sola atılır. Ya +1, ya da -1. İhtimaller ise 1/2’dir.
İkinci adım ilkine bağlı olacağı için biraz daha karmaşık olacaktır. İlk adım için sıfırdan +1’e ya da -1’e gidilebiliyordu. Yani iki ihtimal vardı. İkinci adımda ihtimal sayısı dörde çıkar:
+1 -> 0,
+1 -> +2,
-1 -> 0,
-1 -> -2.
Bunların hepsi eşit olasılıkta olduğu için dört ihtimal de 1/4 olur.
İkinci adımın:
+2’ye atılma ihtimali 1/4,
-2’ye atılma ihtimali 1/4,
0’a atılma ihtimali 1/4+1/4=2/4’tür.
Peki ya üçüncü adım?
Üçüncü adım +2, -2 ya da 0 noktalarından birinden başlanarak atılır:
+2’deyse +3 veya +1’e adım atılabilir. +2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman +3 ve +1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
-2’deyse -3 veya -1’e adım atılabilir. -2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman -3 ve -1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
0’daysa +1 veya -1’e adım atılabilir. 0’a gelme olasılığı 2/4 idi. O zaman +1 ve -1 için olasılıklar bunun yarısı olur: 2/8’er.
Üçüncü adım için ihtimaller:
+3: 1/8.
-3: 1/8.
-1: 1/8+2/8=3/8.
+1: 1/8+2/8=3/8.
Aynı yöntemleri kullanarak dördüncü ve beşinci adımlara ulaşınca aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar:
100 adım atıldıktan sonra durulan nokta ve onun olasılığı aşağıdaki gibidir:
En yüksek ihtimal başlangıç noktasına (yani sıfıra) geri dönüştedir.
Bir boyutta rastgele yürüyüşle ilgili aşağıdaki sonuçlara varabiliriz:
Çift sayıda adım atıldığında çift sayıların, tek sayıda adım atıldığında ise tek sayıların üzerinde olunur.
Adım sayısını arttırdıkça olasılığın 0 (sıfır), yani başlangıç noktasında en yüksek olduğu görülür.
İkinci maddeden anlaşılacağı üzere ne kadar çok adım atılırsa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar çok artar.
Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş Oyunu
Eşit şanslarla iki ihtimalin olduğu akla gelen en basit örnek havaya para atmaktır. Para atarken ihtimaller sadece yazı ve tura iken her ikisinin de gelme ihtimali 1/2’dir.
O halde bir boyutta rastgele yürüyüşü yaparken yazı gelirse sağ, tura gelirse sol diyebilirim. Yani paranın yazı tarafı gelirse +1 adım, tura tarafı gelirse -1 adım atılmış olur.
Parayı havaya 10 defa atın. Rastgele yürüyüşünüz nerede bitti?
Aynı şeyi bu sefer 30 para atışıyla yapın. Sonuçların arasında nasıl bir fark gördünüz?
“Ali’ye ne oldu?” diye sorduğunuzu duyar gibiyim. Birazcık sabır lütfen. Cevaba emin adımlarla ilerleyeceğiz.
Tek sayı söyleme hakkınız var. O halde 6’yı bilme ihtimaliniz 10’da 1 olur. Bir diğer deyişle %10.
Gelin olaya tersten bakalım: Tek tahmin hakkınız varken %90 ihtimalle doğru cevabı bilemezsiniz. Ya da 10’da 9 ihtimalle.
Soru: 5 kişilik bir grupta herkesten önündeki kağıda 1-10 arasında bir sayı yazmasını istiyoruz. Bu grupta herkesin farklı bir sayıyı söylemiş olma ihtimali kaçta kaçtır?
İlk aklınıza gelecek cevap %50 oldu, değil mi? Çünkü 10 sayı içinden 5 tanesi %50’yi ifade eder. Fakat olasılık teorisinde bazen her şey görüldüğü gibi değildir.
İki kişinin 1-10 arasında farklı sayılar seçme ihtimalinin %90 olduğunu söylemiştim. Peki üç kişi için durum nedir?
İlk kişinin 10 sayıda 10 seçim şansı vardır: 10/10.
İkinci kişinin 10 sayıda 9 seçim şansı vardır ki ilk kişiyle aynı sayıyı seçmesin: 9/10.
Üçüncü kişininse 10 sayıda 8 seçim şansı vardır: 8/10.
Bu üçünün aynı anda gerçekleşmesi, hepsinin çarpımı demektir: (10/10)*(9/10)*(8/10) = 0,72. Yani %72 ihtimalle bu üç kişi farklı sayıları seçer.
Dört kişi olunca ihtimal (10/10)*(9/10)*(8/10)*(7/10) = 0,504 olur. Yani dört kişinin 1-10 arasında birbirinden farklı sayılar seçme ihtimali %50,4’tür.
Beş kişi için ihtimal ise (10/10)*(9/10)*(8/10)*(7/10)*(6/10) = 0,3024 olur. Yani beş kişinin 1-10 arasında birbirinden farklı sayı seçme ihtimali %30’un biraz üzerindedir.
Sanıldığı gibi %50’den çok daha düşük bir oran bu.
Doğum Günü Paradoksu
Yeni biriyle tanıştığınızda konuştuğunuz ilk şeylerden biri hangi gün doğmuş olduğunuzdur. Eğer ortamda en az bir dişi varsa buna burçlar da dahil edilebilir. Peki şu ana dek hiç aynı gün doğduğunuz biriyle tanıştınız mı?
Bunun çok düşük bir ihtimal olduğunu düşündüğümüz için bu sorunun üzerinde pek durmayız. Çünkü bir seneyi 365 gün olarak düşünürsek (29 Şubat doğumlular lütfen kusura bakmasın) bu ihtimal 365’de 1’dir. Bu da yüzde olarak %0,27’ye denk gelir. (1’i 365’e bölerek bu sonuca ulaşabilirsiniz.)
Soru: En az kaç kişilik bir toplulukta iki veya daha fazla kişinin aynı doğum gününü paylaşması ihtimali %50’den fazla olur?
Tıpkı akıldan sayı tutma oyununda olduğu gibi akla ilk gelen cevap 365’in yarısıdır. Fakat doğru cevap sadece ama sadece 23’tür.
İki kişi için aynı doğum gününe sahip olma ihtimali %0,27 idi. Yine ihtimale tersten bakalım: İki kişinin aynı doğum gününe sahip olmama ihtimali (365/365)*(364/365) = 0,9972… olur.
Üç kişi için bu ihtimal yukarıdaki gibidir. Bu, %99,18’e tekamül eder. Yani hala çok büyük bir ihtimalle aynı doğum gününe sahip olan yoktur.
Dört kişi için ihtimal yine yukarıdaki gibidir. Bu, %98,4’e tekamül eder. Olasılık hala çok düşük.
Biraz hızlanalım ve on kişi için ihtimale bakalım: %88,3’e kadar geldik. Olasılık biraz düzelse de hala çok düşük.
23 kişi için olasılığı hesaplayınca cevap yukarıdaki gibi çıkıyor. Bu, %49,3 ihtimalle aynı doğum gününe sahip iki kişinin bulunmadığı anlamına gelir.
Yani 23 kişilik bir grupta aynı doğum gününe sahip en az iki kişi bulma ihtimalimiz %50,7’dir.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Aynı işleme devam ederseniz en az kaç kişilik grupta %99 ihtimalle aynı doğum gününe sahip en az iki kişi bulunur?
Matematikte beni en çok, ilk bakışta bariz ve basit görünen gerçeklerin onlarca hatta yüzlerce farklı uygulaması olduğunu görmek mutlu ediyor. Bir diğer ismi Dirichlet’in kutusu olan güvercin deliği ilkesi de bu bariz ve basit gerçeklerden biridir.
Dirichlet’in Kutusu: Alman matematikçi Lejeune Dirichlet’in ilk olarak 1834 yılında bahsettiği bu ilkeye göre eğer n tane kutuya n’den fazla cisim yerleştirilmek istenirse, bu kutulardan en az bir tanesinde birden fazla cisim olur.
Türkiye’nin bir çok kentinde güvercin besleyen insanlara rastlanır. Mardin, bu kentlerin başında gelir. Buranın takla atan güvercinleri meşhurdur.
Diyelim ki Mardin’de güvercinleri için küçük evler tasarlamış olan bir kişiyle tanıştınız. Fakat adamın yaptığı ev sayısının beslediği güvercin sayısından az olduğunu fark ettiniz. Bu durumda küçük güvercin evlerinden en az bir tanesinde birden fazla güvercinin kalması gerektiği sonucu ortaya çıkar. Yani en az bir güvercin çifti ev arkadaşıdır.
Örneğin 10 tane güvercin evinde kalan 11 güvercin olsa. Sırayla güvercinleri evlere yerleştirirseniz evler dolduğunda bir güvercin boşta kalmış olur.
İlk 10 güvercin evlere girince, 11. dışarıda kalır ve dolu evlerden birine girmek durumda kalır. Tabi ki güvercinlerin hangi sırayla evlere girdiği önemsizdir.
İşte bu güvercini herhangi bir eve sokarsanız, o evde iki güvercin olmuş olur. Dirichlet’in bahsettiği ilke işte tam olarak bunu açıklar.
Oyun
Şu an kalabalık bir yerde misiniz? Değilseniz hemen bir Starbucks’a gidin. Kahveniz benden, IBAN atın yeter.
Etrafınıza bakın: Bulunduğunuz yerde en az 2 kişi aynı sayıda insan tanıyordur.
Kurallar
Bulunduğunuz yerde 2 kişiden fazla insan olmalı.
Birini tanımak ancak karşılıklıysa geçerlidir. Yani bulunduğunuz yerde Sean Connery varsa, tanışık olmanız için Sean Connery’nin de sizi tanıyor olması gerekir.
Bir insan kendini tanımalı. Ama bu oyunda kendini tanımak diye bir şey yok.
Örnek: 5 kişilik bir grup.
Böyle bir toplulukta bir kişi en fazla 4 kişiyi tanıyabilir. (Kendisi dışında kalan herkesi) En az olarak ise 0 (sıfır) kişiyi tanıyabilir. Yani gruptaki kişilerden her biri 0, 1, 2, 3 ve 4 kişi tanıma şansına sahiptir.
Eğer e 0 (sıfır) kişiyi tanıyorsa, a 4 kişiyi tanıyor olamaz.
Fakat bu grupta bir kişi 0 (sıfır) insanı tanıyorsa, aynı grupta 4 kişiyi tanıyan biri olamaz demektir.
O halde bu 5 kişilik grupta insan tanıma sayıları ya 1, 2, 3, 4 olur ya da 0, 1, 2, 3 olur. Aynı grupta hem 4 kişiyi tanıyan hem de 0 kişiyi tanıyan olamaz.
İşte bu yüzden gruptaki 5 kişiye bu iki dört sayılık gruptan biri dağıtılmalıdır. Güvercinleri görebiliyorsunuz değil mi?
a. Kişi tanıma sayıları 1, 2, 3, 4 olursa:
İlk dört kişiye sırasıyla 1, 2, 3 ve 4 sayıları verilir. Beşinci kişi boşta kalmıştır. Bu sayılardan birini almak zorundadır. Hangi sayıyı alırsa alsın grupta tam olarak iki kişi aynı sayıya sahip olmuş olur.
b. Kişi tanıma sayıları 0, 1, 2, 3 olursa:
Yine ilk dört kişiye sırasıyla 0, 1, 2 ve 3 sayıları verilir. Boşta kalan beşinci kişiye mecburen bu sayılardan biri gelir. Böylece grupta aynı sayıya sahip iki kişi olur.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
5×5 boyutlarında bir dama tahtası düşünün. Tahtada bulunan her bir küçük karenin içinde çikolata bulunsun. Her çikolata ancak kendisine komşu olan kareye gidebilir. (İki karenin komşu olması için en az bir kenarları ortak olmalıdır.)
Çikolatalar ancak oklarla gösterildiği şekilde yer değiştirebilir.
Diyelim ki tahtadaki tüm çikolataların yerini değiştirdik. Bu işlem sonunda ilk durumdaki gibi her bir karede tam olarak bir tane çikolata olur mu?
Üç kişi için bu ihtimal yukarıdaki gibidir. Bu, %99,18’e tekamül eder. Yani hala çok büyük bir ihtimalle aynı doğum gününe sahip olan yoktur.
Dört kişi için ihtimal yine yukarıdaki gibidir. Bu, %98,4’e tekamül eder. Olasılık hala çok düşük.
Biraz hızlanalım ve on kişi için ihtimale bakalım: %88,3’e kadar geldik. Olasılık biraz düzelse de hala çok düşük.
kmatematikatolyesi.com 