Matematik Atölyesi – Oyun #10

Oreo’yu Kurtarmak

6 yaş ve üzeri herkesin oynayabileceği iki kişilik bir oyun olan Oreo’yu Kurtarmak için gerekenler:

  • Bir karenin içine çizilmiş 9 küçük kare:
    20190317_200302
  • Küçük karelerin bir aygıtı uzunluğunda 24 adet kibrit.
  • Kibritlerle oluşturulmuş 9 tane kare:
    20190317_200651
  • Her karede bir Oreo:
    20190317_200631

Kurallar:

  1. Her oyuncu sıra kendisine geldiğinde bir tane kibrit kaldırabilir.
  2. Bir Oreo’nun kurtulması için dört bir yanındaki kibritlerin kaldırılması gerekir:

    Sol üstteki Oreo’nun alınması için etrafındaki dört kibritin de kaldırılması gerekir.

  3. Oreo’nun etrafındaki son kibriti alan oyuncu Oreo’yu kurtarmış sayılır.

Amaç: En çok Oreo’yu kurtarmak.

Hücum-Savunma

Hücum Stratejisi: Bir Oreo’yu kurtarabilmek için etrafındaki son kibriti almanız gerekir.

Savunma Stratejisi: Bir Oreo’nun etrafında iki tane kibrit varsa, hamlenizi başka bir Oreo’nun etrafında yapmanız gerekir. Aksi takdirde Oreo’nun etrafında tek bir kibrit kalır ve rakibiniz o kibriti kaldırarak Oreo’yu kurtarmış olur.

Başlangıçta her iki oyuncunun da savunma stratejisini benimsemesi en mantıklısıdır. Fakat bir noktada oyunculardan biri savunma yapamayacak duruma gelir:

20190317_200536

Buradan sonra oyun aşağıdaki gibi devam edebilir:

Bu örnek oyunun sonunda ilk oyuncu Oreo’ların 6’sını, ikinci oyuncuysa sadece 3’ünü kurtarmış olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Oyunu her seferinde kazandıracak bir yöntem bulabilir misiniz?
  2. Bir oyuncu tek hamlede en fazla kaç Oreo kurtarabilir? Cevabınızı bir oyun örneğinde gösterin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real MATHEMATICS – Game #10

Free the Oreos

Free the Oreos is a multiplayer game for everyone aged over 6. Here is what you need for the game:

  • 9 identical squares drawn inside a bigger square:
    20190317_200302
  • 24 matches in order to construct those 9 little squares:
    20190317_200651
  • Placing an Oreo inside each little square:
    20190317_200631

Rules:

  1. Players will remove matches in turns. A player will remove exactly one match whenever it is his/her turn.
  2. In order to free an Oreo inside a square, all the matches of that square must be removed:

    To free the Oreo sitting on top-left, all four sides of the square must be removed.
  3. The player who removed the last side of a square is known as the one who freed the Oreo.

Goal is to free more Oreos than your opponent.

Defense vs. Attack

Attacking Strategy: You should remove the last match surrounding the Oreo in case you want to free it.

Defending Strategy: In case there are two matches around a specific Oreo, you should avoid removing either of those matches. Otherwise your opponent can and will free that Oreo in his/her turn.

Two experienced players will use the defending strategy as long as possible. But in the end the game will be in a position where defending won’t be possible:

20190317_200536

In such situation, game can continue as follows:

At the end of this sample game first player freed 6 Oreos as the second freed only 3.

One wonders…

  1. Can you find a winning strategy?
  2. At most how many Oreos can a player free in a single turn? Show your answer with a sample game.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Game #6

Oreo Placement Game – OPG

Every week Steve and Tanya meet for coffee and play a game in the coffee shop with the Oreos they brought. They take turns placing those Oreos on a napkin that lies on the table before them. While they do that Oreos must not overlap. Also Oreos must stay within the napkin’s boundary: Overflow is forbidden. The player who places the last Oreo wins the game.

Rules:

  • Two players take turns and place one Oreo each time on a napkin.
  • Napkin has a circle shape.
  • Oreos can’t overlap.
  • Oreos can’t overflow the boundary of the napkin.
  • Winner is the player who puts down the final Oreo.

Is there a winning algorithm/strategy for either of the players?

Yes, there is an algorithm Steve and Tanya can use in order to win at OPG. But this algorithm works only for the player who puts down the first Oreo.

Winning Algorithm:

  • Be the player who starts the game.
  • Place your Oreo at the center of the napkin in the first move.
  • For the rest of the game wherever your opponent places his/her Oreo, play your next move with taking its symmetry by the center Oreo.
  • Eventually second player will run out of space on the napkin.

Place it to the center.

Wherever your opponent places his/her Oreo, rotate that location 180 degrees and place your Oreo there.

Continue the same strategy. Eventually your opponent will run out of space and you will win.

Other Shapes

In OPG, you can use the same algorithm with a napkin that has a regular polygonal shape. But first player might need adjustments in certain situations. Assume that you play OPG in a triangular-shaped napkin.

If you can fit even number of Oreos on the napkin, placing the first Oreo on the center of the triangle will be a losing strategy:

When the first Oreo placed on the center and exactly four Oreos fit inside the triangle, you will not win no matter what.

In order to avoid that you must place the first oreo slightly above the center:

Placing the first Oreo slightly above the center will divide the rest of the triangle into two isolated spaces where you can fit one Oreo each. First player will win no matter what happens with this strategy.

For pentagonal napkins you will have to use the same strategy which you used for triangular napkins:

It is possible to fit 6 Oreos on this pentagon. If you start first and place your Oreo on center, you will lose.

However, when you place the first Oreo slightly closer to one of the corners, algorithm will guarantee a win in every single time.

Q: Is there a winning algorithm in OPG when you don’t get to start the game?

Yes, there is. But in order to accomplish that second player must select a shape that is not convex. Let’s say the napkin is shaped as follows:

Here, first player tries to place his/her Oreo such that the triangle will be divided into two isolated places. No matter what the second player does, first player will win.

Second player must decide the shape of the napkin like following:

nankon4

In these situations winner should leave the napkin in two isolated regions such that these regions must have space for only one Oreo. Thus, second player must play his/her second to last move in such way:

No matter where the first player places his/her Oreo, second player will win if he/she leaves two isolated areas on the napkin.

One Wonders…

Would the same algorithm work if Oreos were in squared shapes? Test this with napkins that are in triangular and pentagonal shapes.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #6

Oreo Yerleştirme Oyunu – OYO

Ali ile Ayşe (evet, daha klişe isimler bulamadım) ne zaman kahve içmek için buluşsa yanlarında getirdikleri oreolarla bir oyun oynuyor. Oyunun amacı önlerindeki masanın üzerinde serdikleri peçeteye oreoları dizmektir. Bunu yaparken oreolar üst üste gelmemeli ve peçeteden taşmamalıdır. Peçeteye son oreoyu koyan oyunu kazanır.

Kurallar:

  • İki kişi sırayla ve her seferinde sadece bir tane oreoyu peçete üzerinde istediği yere koyar.
  • Peçete çember şeklindedir.
  • Oreolar üst üste binemez.
  • Oreolar peçetenin sınırının ötesine geçemez.
  • Peçeteye sığan son oreoyu koyan kişi oyunu kazanır.

Ali veya Ayşe’den biri için her seferinde oyunu kazanmasını sağlayan bir algoritma var mıdır?

Evet, OYO’da her zaman kazanmak için uygulanabilecek bir algoritma vardır. Fakat bu algoritma sadece oyunda ilk hamleyi yapan kişi için geçerlidir.

Kazanan Algoritma:

  • Oyunda ilk hamleyi yapan kişi ol.
  • İlk hamlede oreoyu peçetenin merkezine koy.
  • Sonraki hamlelerinde rakibin oreosunu nereye koyuyorsa o konumun merkezdeki oreoya göre simetrisini seç.
  • Eninde sonunda ikinci oyuncunun oreosunu koyacak yeri kalmayacak.

Oyuna ilk başlayan oreosunu çemberin merkezine koyar.

İkinci oyuncu oreosunu nereye koyduysa bunu merkeze göre 180 derece çevirin ve oreonuzu oraya koyun.

Stratejisine sadık kaldığı takdirde eninde sonunda oyunu ilk oyuncu kazanır.

Düzgün Çokgen Peçeteler

Peçetenin şekli üçgen iken OYO’da aynı algoritma için farklı durumlar ortaya çıkar. Bunlardan biri ilk oreo üçgenin merkezine konulduğu durumdur. Eğer şeklin içine tek sayıda oreo sığıyorsa ilk oyuncu algoritmayı uygulayarak her zaman oyunu kazanır.

Fakat çift sayıda oreo sığarsa:

O halde oyunu ikinci oyuncu kazanır. Bu durumda ilk oyuncunun her oyunu kazanması için algoritmada ufak bir değişiklik yapılabilir. Oyuncu ilk hamlesinde oreoyu tam merkeze değil de herhangi bir köşeye biraz daha yakın koyabilir:

Üçgendeki durum beşgen şeklinde de aynen geçerlidir:

Görüldüğü üzere ilk oreo merkeze konduğunda kaybetme ihtimali var. Fakat merkezin hafif üzerine doğru konulursa oyunu ilk oyuncu kazanır:

Peki oyuna ilk başlayan olmadığınızda kazanmak için bir algoritma var mı?

Bunu peçetenin şeklini değiştirerek başarabilirsiniz. Oyunun peçetesi bir düzgün çokgen değil de aşağıdaki gibi olsun:

nankon1

Bu gibi durumlarda bir oyuncu hamlesini yaptıktan sonra geriye birer oreonun sığabileceği için iki ayrı boş alan bırakıyorsa oyunu kazanır:

Yukarıdaki gibi bir şekilde akıllı oynadığı takdirde ilk oyuncu her zaman kazanır.

Bu yüzden ikinci oyuncunun oyunu kazanması için oreosunu yerleştirdikten sonra peçete üzerinde birer oreonun sığacağı iki ayrık boşluk kalmalıdır. Bunu aşağıdaki gibi bir peçetenin üzerinde başarabilir:

Bu şekilde ilk oyuncu oreosunu nereye koyarsa koysun inisiyatif ikinci oyuncuda olur:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Eğer oreo yuvarlak değil de kare şeklinde olsaydı aynı algoritma işe yarar mıydı? Bunu üçgen ve çember peçeteler üzerinde deneyin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Geometry #14

Mathematics in Bazaars

Some of the vivid memories I’ve got from my childhood consist of absurd bazaar adventures. I am the youngest of three brothers and that brought obligatory assignments with it. Going to bazaar and helping my parents was a key one. Every Sunday a bazaar was set up in our neighborhood. This is the only reason why I dislike Sundays. Monday syndrome? I adore Mondays!

I can count tens of reasons why I dislike bazaars so much. But there was (and still is) something which makes bazaar shopping bearable for me: Fruit & vegetable stands.

Since I was a little boy, I admired the geometrical shapes that are being used in the fruit & vegetable stands. I must confess something: When I was a child I thought there was a law for bazaar workers; they had to align the fruits & vegetables in certain ways. Later on I found out that there was such law and it was in fact a law of mathematics/nature.

Different Packaging

Inside the geometrical festive of bazaars there was a shape which bothered me; Egg case. Fruits and vegetables arrive to the bazaars in cases like the following:

For some reason egg cases opposed to the traditional geometrical agreement of the bazaar:

15 lbs-2

Why do eggs align differently? Was I the only one who realized this fact?!

I’ve Got Oreos

Let’s say that you are drinking coffee in a Starbucks and enjoying a big box of oreos. Suddenly you realize the boy/girl who is sitting in the next table. You think you have an advantage to chat him/her up: You have got oreos. You think of offering him/her oreos in order to start a conversation. You are aware of the fact that more oreos you offer more chance you will have.

20190109_134258
A dirty napkin won’t change your chances. You’ve got oreos!

If you align the oreos using regular geometrical shape, which is the shape of egg case, you will see that only 6 oreos can fit on your napkin.

20190109_134158
In the bottom line oreos are out of the napkin area.

On the other hand if you use the geometrical shape of the fruit-vegetable case 8 oreos fit on the surface of the napkin.

20190109_134228
The difference between 6 oreos and 8 oreos is the difference between a fake number and a real number. You will get that phone number!

Honeycomb

In the previous article I’ve told you about how honey bees found the most efficient geometrical shape for their honey storage. Just like honey bees, bazaar workers also found (consciously or not) the same shape for fruit-vegetable cases and stands. If that’s so, then how come do they use regular alignment for the egg cases?

That is because the most efficient alignment can vary when the shape of the case (or surface) is limited to some specific length:

This time I used a different-sized napkin for the oreos. Regular alignment let me align 9 oreos as honeycomb shape stuck to 8 oreos.

Then, as long as the area of the egg case stays the same, regular alignment will be the most efficient alignment. Kudos to the egg case producers.

One wonders…

Q: Let’s say you have 20 eggs. Each egg can sit into a space that has diameter of 4 cm. Which geometrical alignment would require less area for these 20 eggs?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #14

Pazarda Matematik

Çocukluğuma dair hatıralarımın önemli bir kısmı pazar maceralarından oluşuyor. Evin en küçük çocuğu olduğumun için pazara gidip anne-babama yardımcı olmak asli görevlerim arasındaydı. Pazar alışverişini gerçekten hiç sevmiyordum. Fakat bir şey vardı ki pazarda zamanın biraz da olsa hızlı geçmesini sağlıyordu: Meyve-sebze reyonları.

Küçüklüğümden beri meyve-sebze reyonlarına büyük hayranlıkla bakarım. Pazarcı veya manav tüm reyonları dizen her kimse harikulade geometrik şekiller kullanır. Bir itirafım olacak: Küçükken meyvelerin nasıl dizilmesi gerektiğine karar veren bir kural olduğunu sanıyordum. Çok sonradan öğrendim ki gerçekten böyle bir kural var.

Farklı Paket

Pazarda bulunan harikulade reyonların yanında göz zevkimi bozan bir şey vardı: Yumurta kasası. Pazara gelen meyve-sebzelerin kasaları aşağıdaki şekildeydi:

Fakat nedense yumurta kasası pazardaki geleneksel geometrik dizilişin karşısındaydı:

15 lbs-2

Neden yumurtalar meyve-sebzelerden farklı bir dizilişteydi? Yoksa bunun farkına varan tek kişi ben miydim?!

Oreolarım Var

Diyelim ki Starbucks’ta yan masada hoşunuza giden birini gördünüz ve oreolarınızdan teklif ederek çocuğu/kızı tavlamaya çalışacaksınız. Ne kadar çok oreo, o kadar çok büyük şans diye düşünüyorsunuz. Bu yüzden de peçeteye en fazla sayıda oreo koyup yan masaya takdim etme peşindesiniz.

20190109_134258
Kullanılmış peçete şansınızı etkilemez. Çünkü oreonuzu paylaşmak üzeresiniz.

Eğer oreoları peçeteye yumurta kasası şeklinde dizerseniz altta kalan 3 oreonun sığmadığını görürsünüz:

20190109_134158
Alt sıradaki oreolar sığmıyor. Bu yüzden sadece 6 adet oreo ile yan masaya gitmek zorundasınız.

Halbuki meyve-sebze kasası gibi oreolar dizilirse peçeteye 6 yerine 8 oreo sığabiliyor:

20190109_134228
Şansınız daha yüksek olamaz!

Arı Peteği

Bir önceki yazıda bal arılarının en uygun geometrik şekli bulduğundan bahsetmiştik. Bal arıları gibi pazarcılar da en uygun geometrik şekli bulduklarının farkında mı bilmiyorum. Peki neden yumurtalar arı peteği şekilde değil de normal dizilir?

Çünkü sınırlı boyutlarda diziliş yapılacak kasanın (veya oreodaki peçetenin) boyutu yumurta kasasıyla elma kasası arasındaki farkı yaratır:

Aynı peçeteye bu sefer normal dizilimle 9 oreo sığarken bal peteğiyle sadece 8 tane orea sığdı.

Yani yumurta kasasının boyutu aynı kaldığı sürece en uygun geometrik şekil normal dizilim olur. Yumurta kasası üreten şirketi tebrik ederim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Soru: Elimizde 20 adet yumurta olsun. Bir yumurta 4 cm çapındaki boşluğa yerleştirilebiliyor. Hangi dizilimi kullanırsak yumurta kasasının kapladığı alan en az olur?

M. Serkan Kalaycıoğlu