Sayılar #12

Subitizing/altlandırma: Küçük bir gruptaki obje sayısını saymadan bilme yeteneğidir.

(Subitizing: Türkçe karşılığı “ani” olan Latince’deki “subitus” kelimesinden türetilmiştir.)

Gündelik hayatta altlandırmayı kullandığımız birçok durum vardır. 6’lı pakette soda aldığımızı farz edelim. Soda şişelerini buzdolabına nasıl dizersek dizelim şişe sayısının 6 olduğunu biliriz. Aslında bu bilgiye soda şişelerini saymamıza gerek kalmadan ulaşırız. Eğer soğuyan sodalardan birini içmeye karar verirsek, geriye 5 adet soda kaldığını bilgisine de yine sodaları saymadan ulaşabiliriz.

Hangi zarın kaç olduğunu üzerindeki noktaları saymadan biliyorsunuz.

Altlandırma için bir başka örneği tavla oyunundan verebiliriz. Diyelim ki attığımız zarlar 2 ile 5 geldi. Bu bilgiye ulaşırken harcadığımız süre neredeyse saniyenin onda birleri kadardır. Hatta, gelen zarların kaç olduğuna karar verirken harcanan süre tavla oyununu oynadıkça kısalabilir. Yani altlandırma, zamanla ve üzerine çalışıldığında gelişebilen bir yetenektir.

Kimi bilim insanlarının araştırmalarına göre 6 aylık bebekler 1, 2 ve hatta 3 kavramına görsel(3 defa zıplayan top) ve işitsel(3 defa alkışlamak) olarak sahiptir. Bir diğer deyişle insan doğduktan sonra sayı kavramını hızla geliştirmeye başlar.

Kebab Truck ve Altlandırma

Kebab Truck oyununda altlandırma; gelen müşteri gruplarının sayısında gizlenmiştir. Oyun oynandıkça daha yüksek skorlara ulaşılır. Bunun nedeni zamanla altlandırmanın gelişiyor olmasıdır.

Kebab Truck’ta müşterilerin aşağıdaki gibi geldiğini düşünelim:

Oyunda tecrübe kazandıkça bu durumda yapacağınız hamle, oyuna acemi iken yapacağınız hamlelerden çok daha farklı olur. Bunun en önemli nedeni, zamanla altlandırma yeteneğinizin gelişmiş olmasıdır.

Kebab Truck oyununun geliştirdiği bir başka yetenek ise basit aritmetik becerileridir. Bu beceriler sadece müşteri sayılarını toplama ve çıkarma ile sınır değildir. Skor sisteminin nasıl formüle edildiği çözülünce (gelen müşteri gruplarından maksimum skoru elde edebilmek için) çarpma işleminin de oyunun bir parçası olduğu anlaşılır.

Matematik Atölyesi – Şans #8

Fanatik Taraftar

Kupa finali bu sene şehrin en önemli iki futbol takımı arasında; hem derbi hem de final. Bu yüzden iki takımın taraftarı da son derece heyecanlı. Ahmet’in ise maçla pek bir ilgisi yok. Tuttuğu takım yarı finalde elendiği için Ahmet rahat.

Ahmet’in yakın arkadaşlarından ikisi olan Samet ve Tarık, iki haftadır durmadan tartışıyor. Samet, FC Çatladıkkapıspor’un, Tarık ise AC Milan’ın maçı kazanacağını iddia ederken Ahmet akşam ne yiyeceğini düşünüyor.

Samet

“Senelerdir yenilmiyoruz adamlara. %90 maç bizim. Ama futbol bu; her şey olabilir. O da %10 ihtimal işte. Evet, çok eminim. Gel iddiaya girelim istersen?!”

Tarık

“Bu senenin en formda takımıyız. Forvetimiz bu sene 27 maçta 69 gol attı. Maçı %75 biz kazanırız. Ama bunlara şansımız tutmuyor. Hadi %25 de onlara şans veriyim. Senle hemen iddiaya girebilirim Ahmet!”

Fırsatçı Ahmet

Final maçı olduğu için beraberlik şansı yok. Yani iki takımdan biri mutlaka maçı kazanacak.

Arkadaşlarının neredeyse birbirine zıt düşüncelerinde yararlanmak isteyen Ahmet her ikisiyle de öyle bir iddiaya girmek istiyor ki, sonuç ne olursa olsun kar etsin.

Ahmet’in yerinde olsaydınız ne yapardınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #13

Köprüyü Geçmek

Mezopotamya’nın en güzel şelalelerinin yanı başında bulunan Togan, bulunduğu bölgenin en verimli topraklarına sahipti. Sadece birkaç yüz kişinin yaşadığı bu köyde bir kişi hariç herkes tarımla uğraşıyordu: Berkut.

Hayatının sonbaharında olan Berkut’un tamamen beyazlamış uzun saçları ve hipster sakalı vardı. Berkut’un hikayesi Toganlılar arasında bir nevi efsaneye dönüşmüştü. Anlatılanlara göre, evinin sınırlarına giren herkes ortadan kayboluyordu. Bu yüzden Togan’ı ikiye ayıran derenin diğer tarafında bulunan tek ev Berkut’unkiydi.

Berkut

Onu sadece bahçesine çıktığı zamanlar derenin öbür tarafında izleyebilen çocuklar için Berkut büyük bir bilinmezdi.

Berkut’un evi.

Toganlılar henüz çocuk yaşlarda tanıştığı hayatlarının büyük kısmını tarlalarda geçirirdi. Ali de son bir senedir arkadaşları gibi ailesine yardım ediyor, neredeyse güneşin doğuşundan batışına dek tarlada çalışıyordu. Fakat Berkut’un durumu Ali ve arkadaşlarının ilgisini çekiyordu. Bir gece yine Berkut hakkında konuşan dörtlü sonunda bir karar vermişti: Ertesi gün öğleden sonra işten kaytarıp derenin karşısına geçeceklerdi.

Ertesi gün gelip çattığında bahçesinde sandalyesine kurulan Berkut, Ali ve arkadaşlarının dere üzerinde bulunan köprüyü kullanarak karşıya geçişini izledi. Çocuklar kendilerini gizlemeye çalışarak onun evine doğru yaklaşıyordu. Berkut, çocukların evine doğru geldiğini anladı ve içeri girdi.

Çocuklar çalıların arasına saklanarak Berkut’un evinin önüne varmıştı. Evin dereye bakan bahçesine gizlice giren çocuklar, verandada bulunan sehpada bir tabak kurabiye ve dumanı tüten bir çaydanlık görmüştü. Şaşkın halde sehpanın üzerindekilere bakan çocuklar Berkut’un dışarı çıktığını görünce çığlık atıp hızla bahçeden farklı yönlere doğru kaçıştı.

Ali ve arkadaşları ancak hava kararınca birbirlerini bulmuştu. Artık karanlıkta derenin karşısına geçmek zorundaydılar. Fakat köprü aynı anda sadece ikisini taşıyacak güçteydi ve ellerinde sadece bir lamba vardı.

Berkut’un kendilerini kovaladığını düşünen çocuklar, en kısa sürede karşıya geçmek istiyordu.

Karşıya geçiş süreleri:

Aslı: 1 dakika

Ali: 2 dakika

Necdet: 6 dakika

Selin: 10 dakika

Herhangi ikili köprüyü, yavaş olanın hızında geçer. (Örneğin Ali ile Necdet beraber köprüyü 6 dakikada geçer.)

Bu durumda dört çocuk köprüyü en az kaç dakikada geçebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Şans #7

Ne Kadar Yakın?

Oyun: Bir topluluk içerisinde herkesten 0 ile 100 arasında bir sayı seçmesi isteniyor. Oyunda aynı sayıyı birden fazla kişinin seçmesi mümkün olsa da oyuna katılanların seçimlerini yaparken birbirleriyle konuşması yasaktır.

Kazanan: Seçilen sayıların ortalamasının 3’te 2’sine en yakın olan kişi oyunu kazanmış olur. (Ortalama: Seçilen sayıların toplamının seçen kişi sayısına bölümüdür.)

Soru: Kazanan olmak için izlenilebilecek bir yol var mıdır?

İlk başta bu basit oyunda 0 ile 100 arasında hangi sayının seçildiğinin bir önemi olmadığı düşünülebilir. Çünkü kazanan değer diğerlerinin seçimlerine bağlıdır. Fakat ihtimaller hesabına kafa yormayı seven birisi, bilinçli bir seçimle oyunu kazanma şansını artırabilir.

Adım #1

12 kişilik bir grupta herkesin 100 sayısını seçtiğini varsayalım. O halde ortalama:

(12*100)/12 = 100

olur. Sonuç ortalamanın 3’te 2’sidir. Yani kazanan sayı 100*2/3 = 66,666…’ya en yakın olandır.

Grupta bulunan herkes seçebileceği en yüksek sayıyı seçtiğine göre kazanan değer en fazla 66,666…’dır. Eğer bunun farkındaysanız sayınızı 0-100 arasında değil; 0-66 arasında seçersiniz.

0-66

Tabi ki 66’dan yüksek bir sayıyı seçen kişinin oyunu kazanma şansı vardır. Fakat kazanan sayının 66’dan yüksek olmayacağını bildiğiniz bir durumda (örneğin) 70 sayısını seçmeniz mantıksızdır.

Ya Herkes Her Şeyin Farkındaysa?!

Diyelim ki bu gerçeğin farkına vardınız. Diğerleri 0-100 arasında bir sayı seçecekken siz 0-66 arasında bir sayı seçeceksiniz. Bu sayede kazanma şansınızı bir hayli arttırdığınızı düşünüyorsunuz. Fakat bir anda aklınıza başka bir şey geldi: Ya herkes bu durumun farkındaysa?

Adım #2

Eğer 12 kişinin tamamı kazanan sayının en fazla 66,666… olduğunu fark ettiyse, o halde grupta hiç kimse 66’dan büyük bir sayıyı seçmez. Yani herkes 0 ile 66 arasında bir sayıyı tercih eder.

Bu durumda çıkabilecek en yüksek sonuç herkesin 66’yı tercih etmesidir:

(66*12)/12 = 66 ortalama.

66*2/3 = 44 kazanabilecek en yüksek sonuç.

0-44

Yani, herkes 66’dan küçük bir sayı seçerse kazanan sayı 44’den büyük olamaz. Öyleyse neden 44’den büyük bir sayı tercih edersiniz ki?

Adım #3

Gruptaki herkes sayısını seçmeden önce bu gerçeklerin farkındaysa kimse 44’ü geçmez. Bu, önceki iki senaryoda olduğu gibi yeni bir ihtimal hesabına yol açar: Herkes kazanan sayının 0 ile 44 arasında olacağını bildiği için kazanan sonuç en fazla:

(44*12)/12 = 44 (ortalama)

44*2/3 = 29,333… olur.

Bu da kazanan sonucun en fazla 29 olabileceğini söyler. O halde 29’dan fazla bir sayı seçmenin manası yoktur.

0-29

Bu mantıkla ilerlendiğinde kazanan sonuç 11 adım sonunda 0 (sıfır) çıkar. Bu yüzden oyun için en mantıklı hamle herkesin sıfırı seçmesidir. Olasılık bilgisini kullanan herkes eninde sonunda kendisi için en uygun sayının 0 olduğunu fark eder.

Sonuç

Matematik bilgisi sayesinde bir topluluk birbiriyle iletişimde olmadığı halde herkesin çıkarına olan ortak bir karar verebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

12 kişilik grupta bir kişinin matematikle hiç alakası olmadığını biliyorsunuz. Bu durumda nasıl bir mantık geliştirmeniz gerekir? Cevabınızı olasılık hesapları çerçevesinde verin.

Not: Kendinize bir örneklem yaratmak için buradan rastgele sayılar seçebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #15

İnsan Düğümü Oyunu

Sınıftaki öğrenciler en az 5’erli gruplara ayrılır. Her grup ayakta çember şeklinde durur ve aşağıdaki talimatları izler:

  1. Gruptaki öğrencilerin sayısı çift ise:
    20190812_153400.jpg
    -Her öğrenci sağ eliyle komşusu olmayan birinin sağ elini tutar.
    20190812_153408.jpg
    -Öğrenci aynı şeyi sol elleri için yapar.
    20190812_153415.jpg
  2. Gruptaki öğrencilerin sayısı tek ise:
    20190812_153325.jpg
    -Biri hariç her öğrenci sağ eliyle komşusu olmayan (yani yanında olmayan) birinin sağ elini tutar.
    20190812_153338.jpg
    -Boşta kalan öğrenci sağ eliyle kendisine komşu olmayan birinin sol elini tutar.
    20190812_153345.jpg
    -Sol eli boşta kalan öğrenciler boşta kalan elleriyle birbirlerine komşu olmayanların sol elini tutar.
    20190812_153353.jpg

Talimatlar sonucunda öğrenciler düğümlenmiş olur.

The-Human-Knot-Game-e1447920419118-663x375

Öğrencilerin amacı ellerini bırakmadan düğümü çözmektir. Bunu yaparken öğrenciler Reidemeister hamlelerini kullanabilir.

Reidemeister Hamleleri

1926’da Kurt Reidemeister düğüm teorisi için harikulade bir şey keşfetmişti. Ona göre herhangi bir düğüm üzerinde Riedemeister hamleleri olarak adlandırdığımız üç hamle yapılabilirdi. Bu hamleler sayesinde bir düğümün farklı gösterimleri ve/veya herhangi düğümün birbiriyle aynı olup olmadığı bulunabilirdi.

Örneğin bir düğümün kesişimsiz düğüm (unknot) olup olmadığını, diğer bir deyişle bir düğümün çözülüp çözülemeyeceğini Reidemeister hamleleri kullanarak anlayabiliriz.

Peki bu hamleler nelerdir?

  1. Kıvırmak

    Reidemeister hamlelerinden biri kıvırma hareketidir. Bir düğüm üzerinde kıvırma hareketi yapmak serbesttir.

  2. Dürtmek

    İkinci hamle dürtmektir. Bir düğüm üzerinde dürtme hareketi yapmak serbesttir.
  3. Kaydırmak


    Son Reidemeister hamlesi kaydırma hareketidir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İnsan düğümünü çözerken hangi hamlede hangi Reidemeister hamlesini kullandınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #19

Ne Kadar Çikolata?

Karnım acıktı. Gecenin bir yarısı evde yiyecek bir şeyler bulma umudundayım. Mutfakta hiç açmadığım bir çikolata buldum:

20190701_131610

Derhal kendime kahve yaptım. Kahvenin yanında götürmek için çikolatadan ufak bir parça kopardım:

20190701_131715

Parçayı hunharca katlettikten sonra pişmanlık çöktü: Acaba çok mu çikolata yedim?

Kalan parçayı kareli defter üzerine koydum. Böylece çikolatanın hem ilk hem de son halinin kareli defterde (veya koordinat düzleminde) hangi noktalarda kaldığını bulmuş oldum:

çiko1

Kopardığım parça bir basit çokgen şeklindedir. Amacım bu parçanın alanını bulmak. Bir basit çokgen alanı bulunurken birçok yolu deneyebilirim. Aklıma ilk gelen yol “Gauss’un ayakkabı bağcığı” ismiyle bilinen bir teoremdir.

Gauss’un Ayakkabı Bağcığı Teoremi

Koordinat düzleminde bulunan bir basit çokgenin alanını bulmak için kullanılan ayakkabı bağcığı teoremini uygulamak için çokgenin köşelerinin koordinat düzlemindeki yerlerini belirlemek gerekir:

çiko2

Bu noktalar için teorem tıpkı ayakkabı bağcığı gibi ilerler. Yönteme geçmeden önce alanı bulunması gereken parçada bulunan tüm köşeleri sırala:

çiko3

lak1

İlk noktayı listenin sonuna tekrar ekleyin.

Daha sonra listedeki sayılar çapraz olarak çarpılır. Soldan sağa olanların toplamı sağdan sola olanların toplamından çıkarılır:

This slideshow requires JavaScript.

{(0*0) + (5*1) + (4*3) + (5*3) + (0*0)} – {(0*5) + (0*4) + (1*5) + (3*0) + (3*0)}

{32} – {5}

27

Çokgenin alanı; çıkan sayının yarısıdır:

27/2

13,5

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Oyun #12

Üçgen İstilası

İki kişilik bir oyun olan üçgen istilasını oynamak için öncelikle bir üçgen çizin ve bu üçgenin köşelerine farklı isimler verin (1-2-3 gibi):

20190530_145646.jpg

Daha sonra büyük üçgenin içine aşağıdaki gibi küçük üçgenler çizin:

20190531_125538.jpg

(Küçük üçgen sayısı istenildiği kadar artırılabilir.)

Üçgende köşeleri aşağıdaki kurallara uyarak adlandırın:

a. 1-2 kenarında bulunan köşeler 1 veya 2 olabilir.

b. 1-3 kenarında bulunan köşeler 1 veya 3 olabilir.

c. 2-3 kenarında bulunan köşeler 2 veya 3 olabilir.

d. Büyük üçgenin içerisinde kalan köşeler 1, 2 veya 3’ten herhangi biri olabilir.

Oyunun İşleyişi

  • Yukarı kuralları izleyerek sırayla köşeler adlandırılır.
  • Oyuncular son köşesini adlandırdıkları üçgenleri istila etmiş sayılır.
  • Amaç 1-2-3 üçgeni yapmamaktır. En az 1-2-3 üçgeni istila etmiş olan kişi oyunu kazanır.

Sperner’in Üçgeni

Üçgen istilası oyunu aslen Sperner üçgeninden gelir. Emanuel Sperner’in bulduğu Sperner üçgeni, çok basit kuralları olmasına rağmen şaşırtıcı bir sonucu içerisinde barındırır. Sperner üçgeni aynı üçgen istilasında olduğu gibi büyük bir üçgenin içine küçüklerinin çizilmesi ve bunların köşelerinin adlandırılmasıyla elde edilir.

Kurallara göre köşeler etiketlendiğinde muhakkak köşeleri 1-2-3 olan bir üçgen bulunur:

20190531_125917.jpg
Örnekte üç tane 1-2-3 üçgeni vardır.

Hatta Sperner bu kurallar çerçevesinde her zaman tek sayıda 1-2-3 üçgenleri olacağını söyler.

Bu yüzden de üçgen istilası hiçbir zaman beraber bitmez.

Çıkmaz Sokak

Sperner üçgeninde 1 ve 2 arasında kalan kenarlar kapı, kalan tüm kenarlar ise duvar olsun. Bir 1-2 kapısından başlanan yürüyüşte karşılaşılan tüm kapılar kullanılmak zorundadır:

Bu durumda üçgenin dışından başlayan bir yürüyüş iki şekilde bitebilir:

  1. Büyük üçgenin içinde bulunan bir 1-2-3 üçgeninde:

    Sol kenarda üç tane 1-2 kapısından başlanan yürüyüşlerin hepsi 1-2-3 üçgenlerinde bitmiştir.

  2. Büyük üçgenin dışında:

    Sol üstteki kapıdan başlayan yürüyüş üçgenin dışında bitmiştir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #4

Adil Pasta Kesimi

Adil bir şekilde pasta kesmenin bir yolu var mı?

Bunu resmen bir matematik problemi olarak gören ilk kişi Hugo Steinhaus isminde bir matematikçiydi. Steinhaus 1944 yılında bir pastayı iki kişinin nasıl paylaşabileceği üzerine kafa yormuştu.

Ona göre birbirlerinin seçimlerini kıskanmadan iki kişinin pastayı paylaşmasının yolu “biri keser, diğeri seçer” yöntemiydi:

İlk kişi pastayı ikiye böler, ikinciyse iki parçadan istediğini alır. Bu yöntemde ikinci kişi istediği parçayı alabildiği için tercihinden memnundur. İlk kişiyse pastayı eşit olarak iki parçaya ayırdığını düşündüğü için iki parçadan kendisine hangisi kalırsa kalsın memnun olacaktır. Steinhaus’un bu yöntemi bilinen ilk kıskanç olmayan yöntemdi.

Peki üç kişi bir pastayı birbirlerinin seçimlerini kıskanmadan nasıl paylaşabilir?

İnanılmaz ama bu soru ancak 1962’de cevaplanmıştı. Soruyu birbirinden bağımsız olarak çözen J. H. Conway ve J. Selfridge’e göre yöntem şu şekilde ilerler:

Ali, Steve ve Jane

  1. Ali pastayı üç (kendince) eşit parçaya böler.
  2. Steve bu parçaları kontrol eder. Eğer Steve kontrol sonrası bir şey yapmazsa sıra Jane’e geçer.
  3. İlk seçimi Jane, ikinci seçimi Steve, son seçimiyse Ali yapar.

Gelin yöntemi ayrıntılarıyla açıklayalım:

Adım #1: Ali ne yapmalı?

Ali göz kararı bir şekilde pastayı üç eşit (ya da en azından denk) parçaya böler:

Adım #2: Steve ne yapmalı?

Steve bu parçaları kontrol eder. Burada ihtimaller Ali’nin kesiminin değerlendirilmesiyle şekillenir:

  1. Eğer Steve parçalardan en az ikisinin en iyi (yani en büyük) parçalar olduğuna kanaat getirirse bir şey yapmaz ve sıra Jane’e geçer. Steve’e göre böyle bir durumda iki ihtimal vardır:
    a. Parçaların hepsi birbirine eşitse Jane hangisi seçerse seçsin kalan parçaların hepsi Steve’i memnun eder:

    20190502_152944.jpg
    Üç parça da eşitse ikinci seçimi yapacak olan Steve mutlu olacaktır.

    b. Eğer iki parça birbirine eşit ve üçüncü parçadan büyükse, Jane büyük parçalardan birini alsa dahi diğer büyük parça Steve’e kalır ki bu da onu memnun eder.

  2. Parçalardan biri diğer ikisinden büyükse Steve bir şey yapmak zorundadır. Aksi takdirde Jane tek büyük parçayı alır:
    20190502_153002.jpg
    Steve ortadaki parçanın diğer ikisinden daha büyük olduğunu fark eder. Eğer bir şey yapmazsa bu parça Jane’e gidecektir.

    Bu durumda Steve büyük parçayı traşlayarak düzenler ve fazla parçayı bir kenara ayırır. Böylece Steve Jane’e seçmesi için en kötü ihtimalle birbirine eşit iki büyük parça bırakmış olur:

    Steve ortadaki parçayı traşlar ve fazlalığı başka yere koyar. Örnekte orta ve sağ en iyi parçalardır. Jane bu ikisinden birini aldığı takdirde diğeri Steve’e kalacaktır.

Adım #3: Jane ne yapmalı?

Steve memnun olduğuna kanaat getirdikten sonra sıra Jane’e gelir:

  1. Eğer Steve hiçbir şey yapmamışsa üç parça birbirine eşit demektir. Bu durumda ilk Jane seçimini yapar, sonra da Steve. Son parça ise Ali’nindir. Böylece kıskanç olmayan kek kesimi gerçekleşmiş olur.
  2. Eğer Steve’e göre Ali’nin kestiği üç parçadan biri diğer ikisinden büyükse Steve bu büyük parçayı yukarıdaki adımda anlatıldığı gibi düzeltir ve sıra Jane’e öyle gelir. Böyle bir durumda Jane istediği parçayı seçer. Fakat Jane’in seçtiği parça yöntemin geri kalanını etkiler:
    a. Eğer düzenlenmiş kek parçasını Jane seçerse kalan iki parçayı sırasıyla Steve ve Ali alır. Bu durumda ayrılmış olan dördüncü parçayı Steve eşit üç parçaya böler. Bu üç parçayı sırasıyla Jane, Ali ve Steve seçer ve adil paylaştırma sona erer:

    b. Eğer Jane düzenlenmiş kek parçasını almazsa bu parçayı Steve almak zorundadır. Bu durumda ayrılmış olan dördüncü parçayı Jane eşit üç parçaya böler. Bu üç parça sırasıyla Steve, Ali ve Jane tarafından seçilir ve adil paylaştırma sona erer.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Buraya kadar olan senaryo kıskançlıktan uzak mıdır?

(Okumadan önce cevap üzerine bir süre kendiniz düşünün.)

*

*

*

Cevaplar

Ali İçin: Evet. Çünkü orijinal keki üç eşit parçaya ayırdığını düşündüğü için hangi parça gelirse gelsin memnun olacaktır. Artan kısım olursa Ali için zaten eşit olduğunu düşündüğü parçaya biraz daha fazla pay gelmiş olacaktır.

Steve İçin: Evet. Çünkü kek parçalarından en az ikisinin en iyi (yani en büyük) olmasını garantilemeden Jane’e sırayı vermez. Eğer parçalardan birinde düzeltme yaptıysa ve bu parçayı Jane aldıysa, artan parçayı üç eşit parçaya bölen Steve olur ki bu da Steve’in herhangi bir artan parça ile memnun olacağı anlamına gelir.

Jane İçin: Evet. Çünkü orijinal parçalardan ilk seçimi yapan o olur: Bu sayede kendinden en iyi parçayı seçebilir. Ayrıca Steve’in üçe böldüğü artan kısımda da ilk seçimi yapacağı için paylaşımdan memnun olacaktır.

M. Serkan Kalaycıoğlu