Real Mathematics – Geometry #15

Drawing a square

I am dealing with geometry and I imagine that I am in ancient Greece again. Aegean sea is in front of me and I am sitting on a marble between two huge white columns while holding an unmarked ruler and a compass.

First I draw a circle that has center at A and has radius r:

çember1

Then I draw the same circle but taking its center at B this time:

çember2

I connect the points A and B with a straight line. Then I draw two perpendiculars from the endpoints of the line AB:

çember3

I connect the point E to the point F and end up with the ABEF square which has side lengths r:

Biggest circle that can be drawn into ABEF will have diameter r and touch the square at exactly four points:

çember6

Area

In order to find the area of a square one can take the square of one side that gives r2.

To find a circle’s area one should multiply the square of the radius with π. In our inscribed circle we calculate the area as πr2/4.

Ratio of these areas would give π/4.

Weight

Now let’s make an experiment. For that all you need is some kind of cardboard cut as a square and a precision scale. Using the scale find the weight of the square-shaped cardboard.

20190126_133600

Then draw the biggest possible circle inside this square. Cut that circle out and find its weight with the scale.

20190126_133759

Since we are using the same material ratio of the weights should be equal to the ratio of the areas. From here one can easily find an approximation for the number π:

0,76/0,97 = π/4

3,1340… = π

One of the main reasons why we only found an approximation is that the cardboard might not be homogeneous. In other words the cardboard might not have equal amount of material on every point of itself.

Another reason for finding an approximation is that I didn’t cut the square and the circle perfectly.

One wonders…

Draw a circle and then draw the biggest-possible square inside that circle. Find their areas and measure their weights. See if you found an approximation.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #15

Kare Çizmek

Geometriyle uğraşırken kendimi hep bir antik Yunan gibi düşünüyorum: Kocaman sütunların arasında bir mermerin üzerinde geometrik şekiller çiziyorum. Bunu yaparken sadece pergel ve ölçüsüz cetvelim var.

Önce A noktası merkez olacak şekilde r yarıçaplı bir çember çiziyorum:

çember1

Sonra B noktası merkez olacak şekilde yine r yarıçaplı bir çember daha çiziyorum:

çember2

A ve B noktaları arasında kalan AB doğru parçasının her iki ucundan da E ve F noktalarına birer dik doğru parçası çiziyorum:

çember3

E ve F noktalarını da birleştiriyorum. Böylece karşıma bir kenar uzunluğu r olan ABEF karesi çıkıyor:

Bu karenin içine çizilebilecek en büyük çemberin çapı r uzunluğunda olur:

çember6

Alan

Karenin alanını bulmak için bir kenarının karesini almak yeterlidir. O halde ABEF karesinin alanı rolur.

Çemberin alanıysa yarıçapın karesinin π ile çarpılmasıyla bulunur. Yani G merkezli çemberin alanı πr2/4 olur.

Çemberin alanının karenin alanına oranı π/4’tür.

Ağırlık

Hassas terazi kullanarak kare şeklindeki bir kartonun ağırlığını buldum:

20190126_133600

Sonra bu karenin içine karenin bir kenarı uzunluğunda çapı olan bir çember çizdim. Daha sonra kartonun içinden çemberi kesip çıkardım ve bunu hassas terazide tarttım:

20190126_133759

Çemberin ağırlının karenin ağırlığına oranı bize çemberle karenin alanları oranını verir. Buradan π sayısının yakınsak bir değeri bulunabilir:

0,76/0,97 = π/4

3,134… = π

Yakınsak değer bulmamızın nedenlerinden biri kullandığım kartonun tam olarak homojen olmaması olabilir. Yani karton her yerinde aynı ağırlıkta olmayabilir. Miligramlık bir sapma dahi yakınsak değer yol açar.

Ayrıca çember tam olarak kesememek de yakınsak değer bulunmasına neden olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir çember çizin ve bu çemberin içine çizilebilecek en büyük kareyi inşa edin. Daha sonra çember ve karenin alanları oranını, ağırları oranlarına eşitleyin. Bakalım karşınıza ne çıkacak?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Life vs. Maths #2

Matches

For thousands of years people tried find a precise value for the number π (3,1415192…). At first this special number was thought to be seen only when there is a circle around. Within time π started to appear in places where scientist didn’t expect it to be. One of them was an 18th century scientist Georges Buffon.

Buffon came up with a probability problem named “Buffon’s needle problem” in 1777 when he came across with the number π. As I didn’t possess that many needles, I modified the problem as “Serkan’s matches problem”.

Buffon’s Needle Problem: Take a piece of paper and draw perpendicular lines on it with specific amount of space between them. Buffon wondered if one can calculate the probability of a needle that will land on one of the lines.

To start Serkan’s matches problem you need at least 100 matches, a piece of empty paper, a ruler, pen/pencil and a calculator.

First of all, draw perpendicular lines with 2 matches-length spaces between them.

Then just throw the matches on the paper randomly.

img_4648

Start collecting the matches which land on a line. At last you should use your calculator to divide the total number of matches to the number of matches landed on a line.

In my experiment out of 100 matches, 32 of them landed on a line. That gave me 3,125 which is close to the magical number π.

img_4651

In fact, 100 matches are not enough for this experiment. In my second try 34 matches landed on one of the lines which gave 100/34=2,9411… Obviously this is not close to π. More matches we use, closer we will get to π.

In an experiment back in 1980 2000 needles were used to analyze Buffon’s needle problem. Result was 3,1430… which is seriously close to the number π.

pi1000-e1536927416822

You could go to https://mste.illinois.edu/activity/buffon/ and use this simulator which uses 1000 needle. In my first try I got 3,1496… You should try and see the result yourself.

In the future I will be talking about why a needle (or a match) is connected to the number π.

One wonders…

Try to do your own experiment and repeat Buffon’s needle problem for five times. Take the arithmetic average of your solutions and see how close you are to π?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Life vs. Maths #1

Circle-Match Relationship

Mathematics is a language we use to explain the event that occur in nature. Mathematicians (good ones though) are in a way masters of this language. They possess crucial abilities such as seeing things others can’t see and finding connections between things that seem unrelated with one another.

Contrary to popular belief “knowing mathematics” doesn’t only mean knowing how to make calculations or being good with numbers. A mathematician ought to point out and explain the relationship, symmetry and pattern… In places you wouldn’t even imagine mathematics could exist!

For instance it is possible to use mathematics and find a connection between a circle and a match.

Circle

Let me start with circle. Any straight line segment that passes through the center of the circle with its endpoints lie on the circle is called a diameter of the circle. And in any circle the shortest distance between its center and boundary is called a radius of the circle. A radius is half the length of a diameter.

To draw a circle with a compass is not that hard. Distance of the openness of the compass gives the radius. If one opens a compass with 3 cm, he/she will draw a center that has radius 3.

Circumference of the circle above is roughly 18,85 cm. Let’s use a calculator to find the relationship between the diameter and circumference of this circle.

img_4642

18,85/6=3,141666666…

Now let me use a cup. This cup’s mouth is in a circle shape and its circumference is about 25,8 cm.

Its diameter is about 8,2 cm. Now let’s divide the circumference with its diameter:

img_4639

25,8/8,2=3,14634146…

In both examples ratio of circumference of a circle to its diameter is roughly 3,14. This is not a coincidence; humans realized this connection more than 4000 years ago.

Brief History of the Mysterious Number

2000 BC: Humans thought that this ratio as 3. According to the Rhind papyrus from ancient Egypt it was 3,16045.

250 BC: Ancient Greek Archimedes calculated this ratio’s average as 3,1418.

800 BC: Al-Khwarizmi calculated the ratio as 3,1416 which was a better approximation than Archimedes’.

Mathematicians didn’t stop attempts for thousands of years. In 1874 William Shanks found the first 707 digits of this ratio. Unfortunately he made a mistake on the 528th digit. Nevertheless it was a huge accomplishment to find this ratio’s first 527 digits correctly.

In 1949 computers took over the mission. A computer found this ratio’s first 2000 digits correctly.

pi2000

I tried it find if I could find the number “1907” (the year when my favorite team was founded) inside those 2000 digits. It was a success.

In the 18th century Leonhard Euler who is known as one of the greatest mathematicians of all times gave this ratio its name and symbol: π.

Transcendental

In 1882 a German scientist named Ferdinand von Lindemann proved that the number π is transcendental.

According to great German philosopher Immanuel Kant a transcendental knowledge is not real; it exists only in our minds. Majority of the mathematicians agree that this word defines the number π perfectly.

In other words the number π can’t be shown as the ratio of any two rational numbers.

Also in the decimal presentation of the number π continues without any repetition… Forever!

This means that every number combination can be found inside the number π. From your birthday to your elementary school number, everything is inside the number π. All you need to do is to continue calculating its digits.

Find Your π Day

This website is created by Wolfram. Using its searching engine you can find at what digit your birthday sits inside the number π.

I checked Leonhard Euler’s birthday and found the following:

eulerpi

Try and see yourself. It is astonishing to see your birthday inside the number π.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Geometry #9

Finding Pi

Humans discovered a connection between a circle’s circumference and its diameter around 4000 years ago. This connection, what we call the number pi now, affected everyone who was involved in mathematics and/or engineering in the early times. Countless people, including historical figures, worked in order to find what this number is, but all of them failed to find such answer.

Some of them tried to find an approximation and got really close. When it was their time to shine for geometry, one ancient Greek whom we are familiar with had taken approximation methods to a different level. This famous Greek dude was Archimedes.

Archimedes is believed to live between 287 BCE and 211 BCE. If you take a look at the history of mathematics it was common to see approximations for the number pi, especially in Babylon, Sumer, ancient Egypt and China civilizations.

Although, Archimedes was different in an important way: Before him, method to find the number pi was not that complicated. A certain circle would be inspected and compared to a similar regular polygon. Their areas or perimeters were thought to be same which would give an approximation for pi.

Let’s try to find an approximation for the number pi using this method.

Draw a circle and divide it into 12 equal parts, like a pizza.

Cut the 12th slice into two equal parts and lay down all the slices side to side.

Slices will seem like a rectangle which is a regular polygon. At this point circle and rectangle are believed to have same shapes.

IMG_5838

Circumference of circle is found with pi*R, where R is the diameter of the circle. It is obvious to the naked eye that the long sides of the rectangle would give the circumference of the circle. Hence, we can find an approximation for the number pi.

Try this for another circle that has different diameter length.

IMG_5841

And take the arithmetic mean of both results. There is the number pi… Well, it is just an approximation.

IMG_5842

Archimedes’ Method

Even though there were so many engineering marvels as well as important geometry knowledge, Archimedes was not happy with the methods used to find the number pi. He developed his own method that required inscribing and circumscribing the unit circle with regular polygons. Archimedes did something different than the methods which were used before him: He continued using polygons with more sides and compared those results until he found the best polygon.

His method today is known as “the method of exhaustion”. It is the earliest known version of calculus.

IMG_5843

You could draw a unit circle yourself. Try to inscribe and circumscribe a square. You’d get pi between 2,8 and 4, which is not bad for the first try. If you continue with polygons that have more sides, you’d get even better intervals.

The thing is, Archimedes didn’t try to find an exact value. Instead he found an interval which was 99,9% accurate!

d27014a4f9d58cfc4bfaefca7e93f8bf

Archimedes found this interval with starting a hexagon, and he finished his method at a 96-sided polygon. You could also see that 22/7, which is given to students for pi in school, is the upper limit that Archimedes found nearly 2200 years ago!

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #9

Pi’yi Bulmak

İnsanlar yaklaşık 4000 yıl önce herhangi bir çember ile çemberin içinden geçen en uzun doğru parça (ya da nam-ı diğer çap) arasında bir bağlantı olduğunu keşfetmişti. Pi sayısı ismini verdiğimiz bu bağlantı ilk keşfedildiği andan itibaren matematik ve mühendislikle uğraşan herkesi etkisi altına almıştı.

Bu bağlantının tam olarak hangi sayı olduğunu, en azından yakın değerini bulmaya çalışanlar arasında aşina olduğumuz önemli tarihi figürler de yer alıyordu. Bunlardan biri antik Yunan Arşimet idi.

Arşimet öncesi pi sayısıyla ilgili değer bulma çalışmaları hep tek düzeydi: Belli bir çemberin alanını veya çevresini ona benzer bir çokgen ile karşılaştır. Buna gösterilen en popüler örneğe bir göz atalım:

Bir çember çizin ve onu 12 eşit parçaya ayırın.

Parçalardan birini ortadan ikiye bölün ve tüm parçaları kesip yan yana dizin.

Karşılaşılan şekil bir dikdörtgene benzer. O halde bu dikdörtgenle başta çizdiğimiz çember aynı kabul edilebilir.

IMG_5838

Çemberin çevresi yarıçap ile pi’nin iki katı alınarak bulunur. Çizilen dikdörtgende çevre alt ve üst kenarların toplamıdır. Buradan pi sayısı için aşağıdaki yakınsak sonuç bulunur.

Aynı işlemi farklı çapı olan çemberle deneyince aşağıdaki sonucu buldum.

IMG_5841

Bulduğum sonuçların ortalamasını alırsam pi için kendi yakınsak değerimi bulmuş olurum.

IMG_5842

Arşimet’in Yakınsak Değeri

Kendisinden önceki yöntemlerle mühendislik harikaları yapılmasına rağmen bulunan değerlerden memnun olmayan Arşimet kendi yöntemini bulmuştu. Bu tekrarlayan bir yöntemdi. Arşimet bir çemberin içine ve dışına bir çokgen yerleştirip zamanla çokgenin kenar sayısını arttırarak çembere en yakın şekli bulmaya çalışmıştı.

Yani Arşimet’in gördüğü ilk çokgeni yakınsak değer bulmak için kullanmamıştı. O, en doğru çokgeni bulana dek sürekli denemişti. Arşimet’in bu yöntemine “tüketme metodu” denir. Tüketme metodu kalkülüsün bilinen en eski örneğidir.IMG_5843

Arşimet’in yöntemini denemek isterseniz başlangıç noktanız bu olabilir. Birim çemberin içine ve dışına birer kare yerleştirin. Pi’nin değeri 2,8 ile 4 arasında bir yerde olacak. Arşimet’in yakınsak değerinin bir başka özelliği de buydu: Pi için tek bir değer değil de, hangi değerler arasında olduğunu bulmuştu.

Onun orijinal yöntemi altıgen ile başlamış, 96-kenarlı ile bitmişti. Bir çemberin içine ve dışına yerleştirdiği 96-genler sayesinde Arşimet şu harikulade sonuca ulaşmıştı:

d27014a4f9d58cfc4bfaefca7e93f8bf

Küçükken okulda pi için kullandığınız 22/7 değeri aslında Arşimet’in bulduğu pi değerinin üst sınırıdır.

Bu aralığın ortası 3,14185 eder ki bu değer pi’ye %99,9’u kadar yakındır.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Hayat-Matematik İlişkisi #2

Çember – Kibrit İlişkisi (2)

Kibrit

Binlerce yıl boyunca insanlar π sayısını (3,141592…) hesaplamak için çeşitli yöntemler denerken bazı özel kişiler bu gizemli sayıya tahmin dahi edilemeyecek yerlerde rastlamıştı. 18. yüzyılda yaşayan Georges Buffon bu özel insanlardan biriydi.

1777 yılında ortaya attığı bir olasılık probleminin çözümü, Buffon’u π sayısıyla karşı karşıya getirmişti. Ben de Buffon’un İğne Problemi olarak adlandırılan bu problemi “Serkan’ın Kibrit Problemi” olarak değiştirdim (ya da çaldım).

Buffon’un İğne Problemi: Üzerinde belli aralıklarla düz çizgiler çizilmiş bir kağıda atılan bir iğnenin, bu çizgilerden birinin üzerine gelme ihtimali nedir?

Serkan’ın Kibrit Problemi’ne başlarken gerekenler: Azami 100 adet kibrit, boş kağıt, kalem ve hesap makinesi.

Önce boş kağıda aralarında iki kibrit boyu mesafe olan çizgiler çizin.

Sonra kibritleri kağıdın üzerine rastgele dağıtın.

IMG_4648

Çizgilerin üzerine gelen kibritleri sayın ve toplam kibrit sayısına bölün.

Deneyimde kullandığım 100 kibritin 32 tanesi çizgilerin üzerine denk gelmişti. Bu iki sayının birbirine oranı bizim gizemli sayıya yakınsıyor.

IMG_4651
100/32=3,125

Bu değeri ilk denememde bulmam büyük bir şans. Çünkü sadece 100 kibritle π’ye  yakın bir sayıya rastlamak mümkün değil. Örneğin ikinci denememde 100 kibritin 34’ü çizgilere denk geldi. Bu da bana 100/34=2,9411… değerini verdi ki bu π’ye pek yakın değil.

π’ye daha yakın değer bulmak için yapmamız gereken şey kibrit sayısını artırmaktır. 1980’de Buffon’un İğne Problemi’ni inceleyen bir makalede 2000 adet iğne kullanılarak π=3,1430… gibi yakınsak bir değer bulunmuştur.

pi1000
Illinois Üniversitesi’nin yaptığı bu web sitesindeki simülatörü kullanarak 1000 adet iğne ile 3,1496… gibi bir değere ulaştım. Sitede bizzat deneyip çıkan sonuçları karşılaştırabilirsiniz.

Bu nasıl oluyor sorusunun cevabını ileride trigonometriden bahsettikten sonra vereceğim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Buffon’un İğne Problemi’ni kendiniz beş defa deneyin ve bulduğunuz sonuçların aritmetik ortalamasını alın. π’ye ne kadar yakınsadınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Hayat-Matematik İlişkisi #1

Çember-Kibrit İlişkisi (1)

Matematik doğada meydana gelen olayları açıklamak için kullandığımız bir dildir. Matematikçiler ise (iyi olanları tabi ki) bu dilin bir nevi ustalarıdır. Kimsenin görmediğini görmek, alakasız olduğu düşünülen olaylar arasında bağlantı bulmak ve bunu matematiğin evrensel diliyle tüm dünyaya anlatmak (iyi) matematikçilerin ortak özellikleri arasındadır.

Yani sanılanın aksine “matematikten anlamak” iyi hesap yapmak veya sayılarla arası iyi olmak demek değildir. Matematikçi ilişki gösterir, simetriyi işaret eder, örüntüyü açıklar… Hem de en olmayacak yerlerde!

Örneğin bir çember ile yüzlerce kibritin ortak bir noktası olduğunu ancak matematikle keşfedip açıklayabiliriz.

Çember

Önce çemberle başlayalım. Çemberin merkezinden geçen ve sınırlarına kadar uzanan düz çizgiye çap denir. Yarıçap ise merkezle çemberin sınırı arasındaki mesafedir.

Pergel yardımıyla bir çember çizerken pergelin açıklığı bize çemberin yarıçapını verir. Mesela pergeli 3 cm kadar açarsak, çizilen çemberin yarıçapı 3, çapı 6 cm olur.

Şekildeki çemberde çevre uzunluğu yaklaşık olarak 18,85 cm’dir. Gelin çap ile çemberin çevresi arasında nasıl bir ilişki olduğuna bakalım.

IMG_4642
18,85/6 = 3,1416666…

Şimdi de belirlediğimiz ölçüde bir çember oluşturalım. Bunun için kahve kupamı kullanacağım. Kupanın ağız kısmı yaklaşık 25,8 cm uzunluğunda bir çember şeklindedir.

Bu çemberin çapı ise yaklaşık 8,2 cm’dir. Çemberin çevresini çapına bölelim.

IMG_4639
25,8/8,2 = 3,14634146…

İki örnekte de bir çemberin çapına oranı 3,14 sayısına yakınsıyor. Bu sonuç tabi ki tesadüf değil. İnsanlığın çember ve çap arasındaki bu bağlantıyı fark etmesi en az 4000 yıllık bir olay.

Gizemli Sayının Kısa Bir Tarihçesi

M.Ö. 2000: En başta bu sayı 3 olarak düşünülmüş. Antik Mısır’dan günümüze kalan yaklaşık 4000 yaşındaki Rhind Papirüsü’ne göreyse sayı 3,16045 alınmış.

M.Ö. 250: Antik Yunan Arşimet’in hesabına göre sayının ortalama değeri 3,1418 idi.

M.S. 800: El Harezmi’nin hesabı ise günümüzde bilinen değere Arşimet’in bulduğundan daha yakındı: 3,1416.

İnsanoğlu zaman ilerledikçe bu sayının kesin değerini bulmak için uğraşmaya devam etmişti. 1874’e gelindiğinde İngiliz William Shanks bu sabit sayının ilk 707 basamağını hesaplamıştı. Ne yazık ki Shanks 528. basamakta bir hata yapmıştı. Yine de sayının ilk 527 basamağını doğru olarak hesaplamak harikulade bir işti ve Shanks’in tarihe geçmesine yetmişti.

1949’a gelindiğindeyse bu sayıyı hesaplama görevi bilgisayarlara geçmişti. Sayının ilk 2000 basamağı bulunmuştu.

pi2000
Bir Fenerli olarak denedim ve bu 2000 basamak içinde sadece 1907’nin bulunduğunu gördüm. Tesadüf değil!

18. yüzyılda, açık ara en çok sevdiğim matematik figürü olan Leonhard Euler bu sayıya sembolünü vermişti: π.

Pi sayısı olarak adlandırdığımız ve π sembolüyle gösterdiğimiz bu gizemli sayı 17-18. yüzyıl civarında çember dışında da bilim insanlarının karşısına çıkmaya başlamıştı. Bu ilişkilere daha sonraki yazılarda göz atacağız.

Deneyüstü π

1882 yılında Ferdinand von Lindemann ismindeki bir Alman, π sayısının transandantal yani deneyüstü bir sayı olduğunu ispatlamıştı.

Bir başka deyişle, π sayısı iki rasyonel sayının bölümü şeklinde gösterilemezdi.

Bir başka deyişe göreyse π sayısı sonsuza dek rastgele bir şekilde devam eden bir sayıydı.

Bir başka deyişle π sayısının içinde her şey bulunabilirdi… T.C. kimlik numaranızdan, doğum tarihinize, banka kartı şifrenizden, aklınızdan geçirdiğiniz herhangi bir sayıya dek her şey π sayının içindeydi.

Durmadan hesaplanmaya devam edildiği takdirde evrende var olmuş, olan ve olacak her sayı hali hazırda π sayısının içinde bulunabilir.

Kendi π Gününü Bul

Wolfram tarafından yapılan bu site doğum tarihinizin π’nin kaçıncı basamağında yer aldığını gösteriyor.

Ben de Leonhard Euler’in doğum tarihini denedim ve aşağıdaki sonuca ulaştım.

eulerpi
Euler’in doğum günü π’nin 1.435.697.ci basamağında ortaya çıktı.

Durmayın, deneyin ve kendi gözlerinizle görün. π sayısının içinde sizin de doğum tarihiniz var.

M. Serkan Kalaycıoğlu