Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #6

Şimiotaksi

Akıllı telefonlar için taksi uygulaması gibi bir ismi olsa da şimiotaksi kimya göçümü anlamına gelir. Canlılar kendilerini (iyi ya da kötü yönde) etkileyen kimyasal maddeler yüzünden yanlı rastgele harekette bulunurlar. İşte bu harekete şimiotaksi denir.

Eğer ortamdaki madde o canlının yaşamı için gerekliyse canlı o maddeye doğru ilerlerken tersi durumda canlı maddenin bulunduğu yerden uzaklaşır:

Resme göre kırmızı madde canlı için zararlı, mavi maddeyse canlının sevdiği ortam anlamına gelir.

Rastgele Güzergah

Bir önceki yazıda bir boyutta yanlı rastgele yürüyüşten bahsetmiştim. Şimdi bildiklerimizden yola çıkarak iki boyutta yanlı rastgele yürüyüş yaratmaya çalışalım.

İki boyutta rastgele yürüyüş için dört olası sonuç vardı: Aşağı, yukarı, sağ ve sol. Bu dört sonucun her biri eşit (1/4) ihtimale sahipti. İki boyutta yanlı bir rastgele yürüyüş için yine ihtimalleri aynı bırakalım fakat aşağı ve sola giderken birer, yukarı ve sağa giderken ise ikişer adım atılması kuralını getirelim. Böylece N tane rastgele adım sonrasında başlangıç noktasının yukarı ve sağ tarafında olma ihtimali daha yüksek olacaktır:

İki boyutta rastgele yürüyüş için kullandığımız 12 yüzlü zarı 10 defa attıktan sonra (1-2-3 yukarı, 4-5-6 aşağı, 7-8-9 sağa, 10-11-12 sola) rastgele adımlar resimdeki gibi oldu.

Resimde de görülebileceği üzere iki boyutta yanlı yürüyüş ile şimiotaksi özünde aynı şeylerdir. Eğer bir koordinat düzleminde yukarı ve sağ tarafta bir canlının besin kaynağı yer alıyorsa, canlı rastgele yürüyüşünü o tarafa doğru yapar.

Gelin bir de şu resimlere bir göz atalım:

Solda bir canlının herhangi bir etki altında kalmadan yaptığı rastgele hareketileri görebilirsiniz. Sağdaki örnekteyse mavi noktalar madde için besin kaynağını gösteriyor olsun. Besin kaynağının yoğunluğu yukarı ve sağ tarafta daha çoktur. Bu yüzden de canlı o bölgeye doğru hareket eder. Yani canlının rastgele hareketleri yanlıdır ve besin yoğunluğuna doğrudur.

Dalış ve Dönüş

Koli basili (çoğu zaman uysal olmasına rağmen) bazı durumlarda ölüme kadar varan hastalıklara yol açabilen bir bakteri türüdür. Koli basili bakterisi için besin kaynaklarından biri şekerdir. Bu yüzden bakteri şeker yoğunluğunun yüksek olduğu yerlere doğru hareket eder.

Koli basilinin üzerinde bakterinin hareket etmesini sağlayan iplik benzeri organeller/kamçılar vardır. Bu kamçılar saat yönünün tersinde iken yüzer gibi ilerlemesini (suya dalışı hayal edebilirsiniz), saat yönü istikametindeyken ise farklı bir yöne doğru dönmesini sağlar. Yani koli basili bakterisinin hareketleri dalış ve dönüş diye adlandırılabilir.

shutterstock_487315975.jpg

Bakterinin hayatta kalmak için kullandığı dalış ve dönüş aslında bir tür yanlı rastgele yürüyüştür.

Besin etrafında bulunan koli basili bakterileri rastgele hareketlerini besinin olduğu yere doğru yapar.

Sonuç

Beyni olmayan tek hücreli canlılar dahi matematiği kullanarak yaşıyor.

Peki bilinen en akıllı canlı olan insanların önemli bir kısmı nasıl oluyor da matematikten hiç anlamadığını iddia ediyor?

İnsanoğlu etrafında olan bitenleri anlamak için matematiği kullanmak zorundadır. Çünkü matematik bu olan bitenleri açıklayan dilin ta kendisidir.

Artık bunu bildiğinize göre size hep garip gelen olayların ardındaki matematiği araştırmaya başlayabilirsiniz. Sorularınızı bana da gönderebilirsiniz. Cevaplamaktan büyük memnuniyet duyacağım.

Rastgele Hareketle İlgilenenler İçin: Doğada Rastgele Hareket

Brown Hareketi: Akışkan içerisindeki bir parçacığın gözle görülemeyen atom ve/veya moleküllerle çarpışarak yaptığı rastgele harekettir.

Hareket, ismini botanist Robert Brown’dan alır. 1827’de yaptığı bir deneyde polen taneciklerinin su içerisinde sürekli hareket ettiğini gözlemleyen Brown, hareketin suyun akımından kaynaklanmadığını fark etmesine rağmen neden meydana geldiğini açıklayamamıştı. Brown hareketini açıklayan ilk kişi 1905 yılında yazdığı makaleyle Albert Einstein olmuştu. (Brown hareketini görmek için tıkla.)

dust-particles-air-conditioner-depth-footage-011895151_prevstill

Brown hareketine verilebilecek en güzel örnek toz parçacıklarının güneş ışığında görülebilen hareketidir. Toz parçacıkları çıplak gözle görülemeyen hava molekülleriyle çarpıştığı için rastgele hareketler yapar. Bunu hayal ederken toz parçacıklarını pinpon topu, hava moleküllerini ise raket olarak düşünebilirsiniz. Anlaşılacağı üzere Brown hareketi hem sıvı hem de gaz içerisinde meydana gelebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #5

Sarhoşun Güzergahı

Sonunda sıra muhasebeci Ali’nin problemine geldi. Bir sarhoşun rastgele seçimler yaparak evine ulaşıp ulaşamayacağını belirlemek için bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmemiz gerektiğini söylemiştim. Fakat biz yeryüzünde yaptığımız yürüyüşlerde sağ ve soldan başka seçeneklere de sahibiz.

Gelin sarhoşun güzergahını iki boyutta rastgele yürüyüş olarak düşünelim.

İki boyutta rastgele yürüyüş için dört farklı ihtimal vardır: Aşağı, yukarı, sağ ve sol. Bu dört yön bize geometrinin tanıdık bir kısmı olan koordinat düzlemini hatırlatır. Koordinat düzleminde orijini sarhoşun başlangıç noktası olarak belirlediğimizde ilk adım için aşağıdaki ihtimaller belirir:

İki boyutta rastgele bir yürüyüşü test etmek için 12 yüzlü zar kullanılabilir. Zar atıldığında:

1-2-3 gelirse yukarı bir adım,

4-5-6 gelirse aşağı bir adım,

7-8-9 gelirse sağa bir adım,

10-11-12 gelirse sola bir adım atılır.

IMG_6524

Soru: İki boyutta N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına kaç adım uzakta olunur?

Bu sorunun cevabı tıpkı bir boyutta olduğu gibi adım sayısının kareköküdür. Yani cevap N tane rastgele adım için √N olur. Fakat bu sefer orijini merkez, yarıçapı ise √N olan bir çemberi hayal etmemiz gerekir. Yürüyüşün tamamlanma ihtimalinin en yüksek olduğu alan bu çemberdir.

çember.jpg
20 tane adım için √20=4,47. Buna 5 dersek, 20 rastgele adım sonunda taralı alan içinde bir yerde olma ihtimalimiz yüksektir.

Bir boyutta rastgele yürüyüş sonrası üç çıkarımdan bahsetmiştim. Bu çıkarımlardan üçüncüsüne göre bir boyutta atılan rastgele adım sayısı ne kadar çok olursa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar fazladır.

Aynısı iki boyuttaki rastgele yürüyüşler için de geçerlidir; adım sayısı ne kadar fazlaysa adımı atan kişinin başlangıç noktasına dönme veya ona çok yakın olma ihtimali de o derece yüksek olur.

“Sarhoş bir insan muhakkak evinin yolunu bulur, fakat sarhoş bir kuş sonsuza dek kaybolabilir.”
Shizuo Kakutani

Bu sonuç sarhoş Ali’nin sürekli başladığı yere gelme ihtimalinin evine varma ihtimalinden daha yüksek olduğunu söyler. Fakat Ali rastgele tercihler yapmasına rağmen er ya da geç evine ulaşır.

Hatta bunu bir adım daha öteye götürelim: Eğer muhasebeci Ali yeterince uzun süre boyunca yürümeye devam ederse, mahallesinde bulunan tüm sokakları ziyaret etmiş olur. Bu yüzden iki boyutta rastgele yürüyüş tekrar eden bir yürüyüştür. Fakat işler üç ve üstü boyutta değiştir. İkiden büyük boyutlarda rastgele hareket geçicidir. Shizuo Kakutani bu nedenle sarhoş bir kuşun sonsuza dek kaybolabileceğini söylemiştir.

güzergah
Eğer Ali yürüyüşünü yeterince uzun tutarsa mahallesinin tüm sokaklarını gezmiş olur.

Yanlı Rastgele Yürüyüş

Bir boyutta rastgele yürüyüş için iki sonucun (sağa ve sola bir adım atmak) eşit ağırlıkta (1/2) olasılığa sahip olduğunu artık adımız gibi biliyoruz.

Gelin başka bir rastgele yürüyüş tipi bulmaya çalışalım. Fakat bunu yaparken ihtimalleri aynı, adım sayılarını ise farklı tutalım. Yani sağ veya sol tercihi ½ olasılıkla gerçekleşecek, ama sağa iki adım atılırken sola bir adım atılacak.

İşte bu, bir yanlı rastgele yürüyüş örneğidir. Normal rastgele yürüyüşte bir adım +1 veya -1 değerini alabilirken, yarattığım yanlı rastgele yürüyüşte bir adım +2 veya -1 olur.

Rastgele yürüyüşün yanlılığı N adım atıldıktan sonra başlangıç noktasının sağında bulunma ihtimalinin çok yüksek olmasından gelir. Önceki yazılarda bir boyutta yürüyüşü havaya para atarak (yazı-tura ile) göstermiştim. Yazı sağa, tura ise sola doğru adım atmak anlamına geliyordu. Yanlı rastgele yürüyüşe göre havaya atılan bir paranın yazı gelmesi sağa iki adım, tura gelmesiyse sola bir adım demektir.

Parayı 10 defa havaya attıktan sonra durduğum nokta:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir madeni parayla aynı deneyi siz de yapın ve sonuçlarınızı karşılaştırın.

Not: Bitmedi. Devamı yarın ki yazıda.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #4

Neredeyim Ben?

Matematikçiler genelleme yapmaya bayılır. Bazen benim de hoşuma gitmemesine rağmen genel durumları kullanmak matematikte sihir yapmamıza olanak verir. Sihirden daha güzel bir şey var mı?!

Diyelim ki (genelleme geliyor) bir boyutta N tane rastgele adım attık. Düşük bir ihtimal olsa da N tane adımın hepsi sağa (veya sola) doğru atılabilir. Bu, başlangıç noktasının sağında +N noktasında (veya solunda -N noktasında) durduğumuz anlamına gelir. Yani başlangıç noktasına N adımda en fazla N kadar uzakta olunabilir.

Eğer N adımın yarısını sağa, diğer yarısını ise sola doğru atarsak tam olarak başlangıç noktasında dururuz. Bu da başlangıç noktasına en az 0 adım uzakta olabileceğimiz ihtimaldir.

IMG_6504

O halde N tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına 0 ile N birim kadar uzakta oluruz.

Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun cevabı N tane rastgele adım için N’in kare köküdür. Örneğin 100 rastgele adım sonrasında başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta oluruz.

Nedenini öğrenmek için tıklayın.

Peki bu bilgiyi ne zaman ve nasıl kullanabiliriz?

Basketbol Takımının Sırası

Avrupa’nın en büyük basketbol organizasyonu olan Euroleague’de 16 takım sezona başlar. Lig usulü oynanan normal sezonda takımlar birbiriyle ikişer defa karşılaşır. Normal sezon sonunda ilk 8 sırada yer alan takımlar aralarında playoff oynar ve şampiyonu belirler.

yuro.jpg
23 Aralık 2018 itibariyle Euroleague puan tablosu.

Diyelim ki bu ligde orta sıraları hedefleyen bir takımın taraftarısınız. Yani takımınız playoff’a 8. sıradan da olsa kalmak istiyor. Sene başında maç takvimine bakıp takımınızın playoff mücadelesi verebilmesi için kaç galibiyet alması gerektiğini tahmin etmeye çalışıyorsunuz: “Barselona’yı evimizde yensek, Daçka’yı her iki maçta da yeneriz herhalde…”

Aslında bunu yapmaya mecbur değilsiniz. Gayet tabi ki takımınızın kaç maç kazanabileceğini matematikten yararlanarak tahmin edebilirsiniz.

Bir basketbol mücadelesinin iki tane sonucu vardır: Kazanmak veya kaybetmek. Her ne kadar takımların güçleri arasındaki fark olasılığı etkilese de bir basketbol maçında sadece iki ihtimal olduğu gerçeği değişmez.

Rastgele Yürüyüşle Benzerlikler

Bir boyutta rastgele yürüyüş yaparken sağ ve sol olmak üzere sadece iki olası sonuç vardı. Basketbol maçlarında da tıpkı bir boyutta rastgele yürüyüş gibi iki olası sonuç vardır.

Bir basketbol takımı normal sezonda 15×2 = 30 maç yapar. Bu, bir boyutta 30 tane rastgele adım atmakla aynı şeye tekabül eder.

O halde bu basketbol takımının 30 maç sonunda kazandığı maç sayısının kaybettiği maç sayısından farkı 30’un karekökü olur.

√30 = 5,47…

Biz buna 6 maç diyelim. Bu 6 maçın sonucu şansa bağlıdır. Takımınız hepsini kazanmış veya kaybetmiş olabilir. Bu, 30 maç sonunda takımınızın en iyi durumda kaybettiğinden 6 maç daha fazla maç kazanabileceği anlamına gelir. En kötü durumdaysa kazandığından 6 maç fazlasını kaybedebilir:

IMG_6506

Sonuç

Rastgele yürüyüşten elde ettiğimiz bilgi bize Euroleague’de 18 ile 12 arasında maç kazanan bir takımın playoff mücadelesi vereceğini söyler.

Önceki iki sezonun Euroleague sıralaması bu şekildeydi. Görüldüğü üzere 18 ile 12 galibiyet arasında kalmak ilk 8’e girmek için mücadele etmek anlamına geliyor.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir boyutta rastgele yürüyüşten öğrendiklerimizi 18 takımlı ligde mücadele eden bir futbol takımı için kullanmayı deneyin. Buradaki fark bir futbol müsabakasının üç ihtimalle bitecek olmasıdır.

Öğrendiklerinizi bu duruma nasıl uygulayabilirsiniz? Ortalama bir takım bu ligde kaç puan aralığında sezonu bitirmelidir?

Not: Sarhoş Ali’yi unutmadım. Cevaba yavaş yavaş ilerliyoruz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #4(Ekstra)

Soru: Bir boyutta belli sayıda rastgele adım attıktan sonra başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta olabileceğimizi adımları atmadan önce nasıl tahmin edebiliriz?

Diyelim ki bir boyutta N tane rastgele adım attık. Bu noktada adımlara kısa isimler vermem gerekiyor, yoksa hepsini tek tek yazmak hem karışıklık yaratır hem de beni boşa yormuş olur. Adım kelimesinin baş harfini ele alıyorum ve örneğin birinci adımı a1 olarak tanımlıyorum. Bu durumda

ikinci adım: a2,

üçüncü adım: a3,

dördüncü adım: a4,

N’inci adım: aN

olur.

Her adımın iki olası değeri olduğundan bahsetmiştim: +1 veya -1. Ayrıca bu iki sayının gelme olasılığının da aynı ve ½ olduğunu söylemiştim. Elimdeki bilgiler ışığında herhangi bir rastgele adımın alabileceği ortalama değeri bulabilirim.

Bu değer sayıların olasılıkları aynı olduğu için aritmetik ortalama ile bulunur: Yani sayıları topla ve toplamı ikiye böl. a1’in ortalama değerini <a1> ile gösterirsek:

IMG_6511

Böylece her adımın ortalama değeri 0 (sıfır) çıkar.

<a1> = 0

<a2> = 0

<a3> = 0

<aN> = 0

olur.

Tüm ortalama değerlerin toplamı rastgele N tane adım sonrası başlangıç noktasından ne kadar uzakta olduğumuzu gösterir. Başlangıç noktasına uzaklığı da u ile gösterelim. Yani;

u = <a1> + <a2> + <a3> + … + <aN> = 0 + 0 + 0 + … + 0 = 0.

Bulunan sonuca göre başlangıç noktası olarak 0’dan başlanıp N tane rastgele adım atıldığında başlangıca 0 (sıfır) uzaklıkta olmayı beklemeliyiz. Halbuki N tane adımın tamamı (örneğin) +1 olabilir. Öyle bir durumda cevap N adım uzaklık olur. Fakat matematik bize diyor ki N tane adımı birçok defa denerseniz sonuç eninde sonunda 0 (sıfır) olacaktır.

Daha Güzel Matematik Kullanalım

Sıfır sonucu ne sizi, ne beni ne de bunlarla uğraşan matematikçileri memnun etmez, çünkü bu sonuç tüm gerçeği yansıtmıyor. Evet, rastgele atılan N adım sonrasında başlangıç noktasına dönmemiz mümkün olsa da bunun tek sonuç olmadığını hepimizi biliyoruz.

Aslında sonuç olarak bir aralıkla karşılaşmak daha uygun olurdu. Bunu başarabilmek için matematiksel manipülasyonlara başvurmamız gerekir.

Biz bir adımın +1 veya -1 sonucunu alabileceğini biliyoruz. Peki her adımın karesini alsak, adımların karelerinin alabileceği tek sonuç +1 olmaz mı? Evet olur, çünkü +1’in de -1’in de karesi +1 yapar.

a12 = 1

a22 = 1

a32 = 1

aN2 = 1

Başlangıç noktasına uzaklığa u demiştim. O zaman u’nun karesini alalım. Karşımıza uzun bir denklem çıkar:

u2 = (<a12> + <a22> + <a32> + … + <aN2>) + 2 (<a1a2> + <a1a3> + <a1a3> + … + <a1aN> + <a2a3> + … + <a2aN> + … )

Denklemin ilk kısmı N tane 1’in toplamı yapar: N.

Denklemin ikinci kısmında tüm çarpımlar birbirine eşittir. Bu sebeple çarpımlardan sadece birini hesaplamamız yeterlidir.

<a1a2> için a1a2 değerini hesaplayalım:

Resimde de görüldüğü üzere denklemin ikinci kısmı 0 (sıfır) toplamını verir. O halde başlangıç noktasına uzaklığın karesi

u2 = N

olur. Burada her iki tarafın karekökü alınırsa Başlangıç noktası için iki değer ortaya çıkar: +√N ve -√N.

Bulduğumuz sonuca göre örneğin bir boyutta 100 tane rastgele adım atıldıktan sonra başlangıç noktasına √100 = +/- 10 adım uzaklıkta olunur.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Hayat-Matematik İlişkisi #3

Evine Dönen Sarhoş

Muhasebeci Ali bir haftayı daha bitirmişti. Genelde hafta sonlarını sakin geçiren Ali bu cuma akşamında mezun olduğundan beri görmediği üniversite arkadaşlarıyla buluşacaktı. Neredeyse sabaha dek eskiyi yad eden grup muhabbeti bol alkolle karıştırmış, alkole pek dayanıklı olmayan Ali gecenin sonunda körkütük sarhoş olmuştu.

cemill

Buluştukları yer Ali’nin evine yürüme mesafesindeydi. Zaten bu yüzden kendini tutmadan içen Ali, her halükarda evini bulabileceğini düşünüyordu.

Fakat Ali gözünün önünü göremeyecek durumdaydı. Bu yüzden evine dönerken rastgele bir yol izliyordu.

“Bu sokak tanıdık geliyor, ben burada yaşıyorum sanırsam.”

Soru: Bir sarhoş izlediği rastgele güzergaha rağmen evine ulaşabilir mi?

Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş

Ali’nin problemine dönmeden önce bir boyutta rastgele yürüyüşten bahsetmem gerekir. Bir boyutlu bir yol küçüklüğümüzden aşina olduğumuz sayı doğrusunu ifade eder.

Sayı doğrusu üzerinde gidilebilecek iki yön vardır: Sağ ve sol.

Kurallar:

  • Bir boyutta sağa doğru atılan 1 adım +1, sola doğru atılan bir adımsa -1 değerinde olsun.
  • Sağ ve sol tercihi eşit olasılığa sahip olsun.
  • Bu yüzden hem sağa hem de sola doğru bir adım atılması ihtimali 1/2 olur.

IMG_6486

Bir sayı doğrusu çizip sıfırı başlangıç noktası kabul edelim. İlk adım ya sağa ya da sola atılır. Ya +1, ya da -1. İhtimaller ise 1/2’dir.

İkinci adım ilkine bağlı olacağı için biraz daha karmaşık olacaktır. İlk adım için sıfırdan +1’e ya da -1’e gidilebiliyordu. Yani iki ihtimal vardı. İkinci adımda ihtimal sayısı dörde çıkar:

+1 -> 0,

+1 -> +2,

-1 -> 0,

-1 -> -2.

Bunların hepsi eşit olasılıkta olduğu için dört ihtimal de 1/4 olur.

IMG_6488

İkinci adımın:

+2’ye atılma ihtimali 1/4,

-2’ye atılma ihtimali 1/4,

0’a atılma ihtimali 1/4+1/4=2/4’tür.

Peki ya üçüncü adım?

Üçüncü adım +2, -2 ya da 0 noktalarından birinden başlanarak atılır:

  1. +2’deyse +3 veya +1’e adım atılabilir. +2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman +3 ve +1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
  2. -2’deyse -3 veya -1’e adım atılabilir. -2’ye gelme olasılığı 1/4 idi. O zaman -3 ve -1 için ihtimaller bunun yarısı olur: 1/8’er.
  3. 0’daysa +1 veya -1’e adım atılabilir. 0’a gelme olasılığı 2/4 idi. O zaman +1 ve -1 için olasılıklar bunun yarısı olur: 2/8’er.

IMG_6489

Üçüncü adım için ihtimaller:

+3: 1/8.

-3: 1/8.

-1: 1/8+2/8=3/8.

+1: 1/8+2/8=3/8.

Aynı yöntemleri kullanarak dördüncü ve beşinci adımlara ulaşınca aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkar:

100 adım atıldıktan sonra durulan nokta ve onun olasılığı aşağıdaki gibidir:

image002
En yüksek ihtimal başlangıç noktasına (yani sıfıra) geri dönüştedir.

Bir boyutta rastgele yürüyüşle ilgili aşağıdaki sonuçlara varabiliriz:

  1. Çift sayıda adım atıldığında çift sayıların, tek sayıda adım atıldığında ise tek sayıların üzerinde olunur.
  2. Adım sayısını arttırdıkça olasılığın 0 (sıfır), yani başlangıç noktasında en yüksek olduğu görülür.
  3. İkinci maddeden anlaşılacağı üzere ne kadar çok adım atılırsa başlangıç noktasına dönme ihtimali o kadar çok artar.

Bir Boyutta Rastgele Yürüyüş Oyunu

Eşit şanslarla iki ihtimalin olduğu akla gelen en basit örnek havaya para atmaktır. Para atarken ihtimaller sadece yazı ve tura iken her ikisinin de gelme ihtimali 1/2’dir.

O halde bir boyutta rastgele yürüyüşü yaparken yazı gelirse sağ, tura gelirse sol diyebilirim. Yani paranın yazı tarafı gelirse +1 adım, tura tarafı gelirse -1 adım atılmış olur.

502907-3-4-24aa2

  1. Parayı havaya 10 defa atın. Rastgele yürüyüşünüz nerede bitti?
  2. Aynı şeyi bu sefer 30 para atışıyla yapın. Sonuçların arasında nasıl bir fark gördünüz?

“Ali’ye ne oldu?” diye sorduğunuzu duyar gibiyim. Birazcık sabır lütfen. Cevaba emin adımlarla ilerleyeceğiz.

M. Serkan Kalaycıoğlu