Real Mathematics – Numbers #4

In schools we start learning mathematics with learning what numbers are. Unfortunately numbers are taken for granted and being overlooked just because it starts in the elementary school. The truth is this part of mathematics is a joint work of countless civilizations that lasted thousands of years. Although, categorizing and defining all those information were done only in the near past. This means that things we learn in the first few years of school have so much more depth than we think they have.

Especially fractions (or rational numbers) weren’t used in Europe in the sense we understand them today until the 17th century. In fact for a long time people thought of fractions not as numbers but as two numbers being divided to one another.

Rhind

Ancient Egyptians were one of the first known civilizations that used fractions. They created one of the most important and oldest documents in the history of civilizations using papyrus trees. Around 4000 years ago they started writing valuable information on papyrus leafs. Rhind papyrus is one of those documents. It is believed to be written around 1800 BC. Thanks to Rhind, we can understand how ancient Egyptians used fractions.

440px-rhind_mathematical_papyr

It is uncanny how commonly they used fractions in Rhind. Although they were obsessed with unit fractions as they found ways to describe every fraction with them.

Unit Fraction: Fractions that have 1 on their numerators.

mc4b1sc4b1rke

In the ancient Egypt they used a shaped that looks like an open mouth (or an eye). This shape was the notation for the unit fraction. Denominator of the fraction would be placed under the mouth.

Table of 2/n

Inside Rhind there is a method for describing fractions in the form of 2/n (when n is odd) with two unit fractions. Table starts with 2/3 and ends with 2/101. In the papyrus it says that 2/3 is equal to ½ + 1/6. For the rest of the papyrus a formula was given in order to describe fractions in the form of 2/3k: It is 1/2k + 1/6k.

Let’s try it for 2/9. 9 is 3k, hence k=3. This gives 2/9 = 1/6 + 1/18. Ingenious, isn’t it?

Next number on the table is 2/5 = 1/3 + 1/15. This is also a general formula just like the previous one. Any fraction in the form of 2/5k can be shown as 1/3k + 1/15k.

Fraction Line

Besides ancient Egyptians, Babylonians used fractions too. But their choice of symbols was so confusing, it is impossible to understand which number is written. You could only check the rest of the calculation (if there is any) and guess which number is being used.

babilke121

In the Babylon civilization number system has base 60. The one on the left is 12, other one is 15. But they can also mean 12+(15/60) too. Lack of symbol for fractions caused a lot of problems in this civilization.

Around 1500 years ago Indian mathematicians were shining. They found the number system we use today and even the number zero was invented (or discovered). Their brilliance was key for fractions too as they showed fractions one under the other. Muslims were the ones who thought of putting the fraction line between numbers.

In the end we owe our modern notation to Indian and Muslim mathematicians.

hintk

The way 7/15 was shown in the old Indian symbols.

One wonders…

Try to find answers to following questions about the Rhind:

  1. Why did they only consider odd numbers in the denominator of the fractions?
  2. Find 2/7 and 2/11 using their methods.
  3. What happens after 11?
  4. Try to come up with a general formula for 3, 5, 7 and 11.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Hayat-Matematik İlişkisi #1

Çember-Kibrit İlişkisi (1)

Matematik doğada meydana gelen olayları açıklamak için kullandığımız bir dildir. Matematikçiler ise (iyi olanları tabi ki) bu dilin bir nevi ustalarıdır. Kimsenin görmediğini görmek, alakasız olduğu düşünülen olaylar arasında bağlantı bulmak ve bunu matematiğin evrensel diliyle tüm dünyaya anlatmak (iyi) matematikçilerin ortak özellikleri arasındadır.

Yani sanılanın aksine “matematikten anlamak” iyi hesap yapmak veya sayılarla arası iyi olmak demek değildir. Matematikçi ilişki gösterir, simetriyi işaret eder, örüntüyü açıklar… Hem de en olmayacak yerlerde!

Örneğin bir çember ile yüzlerce kibritin ortak bir noktası olduğunu ancak matematikle keşfedip açıklayabiliriz.

Çember

Önce çemberle başlayalım. Çemberin merkezinden geçen ve sınırlarına kadar uzanan düz çizgiye çap denir. Yarıçap ise merkezle çemberin sınırı arasındaki mesafedir.

Pergel yardımıyla bir çember çizerken pergelin açıklığı bize çemberin yarıçapını verir. Mesela pergeli 3 cm kadar açarsak, çizilen çemberin yarıçapı 3, çapı 6 cm olur.

Şekildeki çemberde çevre uzunluğu yaklaşık olarak 18,85 cm’dir. Gelin çap ile çemberin çevresi arasında nasıl bir ilişki olduğuna bakalım.

IMG_4642
18,85/6 = 3,1416666…

Şimdi de belirlediğimiz ölçüde bir çember oluşturalım. Bunun için kahve kupamı kullanacağım. Kupanın ağız kısmı yaklaşık 25,8 cm uzunluğunda bir çember şeklindedir.

Bu çemberin çapı ise yaklaşık 8,2 cm’dir. Çemberin çevresini çapına bölelim.

IMG_4639
25,8/8,2 = 3,14634146…

İki örnekte de bir çemberin çapına oranı 3,14 sayısına yakınsıyor. Bu sonuç tabi ki tesadüf değil. İnsanlığın çember ve çap arasındaki bu bağlantıyı fark etmesi en az 4000 yıllık bir olay.

Gizemli Sayının Kısa Bir Tarihçesi

M.Ö. 2000: En başta bu sayı 3 olarak düşünülmüş. Antik Mısır’dan günümüze kalan yaklaşık 4000 yaşındaki Rhind Papirüsü’ne göreyse sayı 3,16045 alınmış.

M.Ö. 250: Antik Yunan Arşimet’in hesabına göre sayının ortalama değeri 3,1418 idi.

M.S. 800: El Harezmi’nin hesabı ise günümüzde bilinen değere Arşimet’in bulduğundan daha yakındı: 3,1416.

İnsanoğlu zaman ilerledikçe bu sayının kesin değerini bulmak için uğraşmaya devam etmişti. 1874’e gelindiğinde İngiliz William Shanks bu sabit sayının ilk 707 basamağını hesaplamıştı. Ne yazık ki Shanks 528. basamakta bir hata yapmıştı. Yine de sayının ilk 527 basamağını doğru olarak hesaplamak harikulade bir işti ve Shanks’in tarihe geçmesine yetmişti.

1949’a gelindiğindeyse bu sayıyı hesaplama görevi bilgisayarlara geçmişti. Sayının ilk 2000 basamağı bulunmuştu.

pi2000
Bir Fenerli olarak denedim ve bu 2000 basamak içinde sadece 1907’nin bulunduğunu gördüm. Tesadüf değil!

18. yüzyılda, açık ara en çok sevdiğim matematik figürü olan Leonhard Euler bu sayıya sembolünü vermişti: π.

Pi sayısı olarak adlandırdığımız ve π sembolüyle gösterdiğimiz bu gizemli sayı 17-18. yüzyıl civarında çember dışında da bilim insanlarının karşısına çıkmaya başlamıştı. Bu ilişkilere daha sonraki yazılarda göz atacağız.

Deneyüstü π

1882 yılında Ferdinand von Lindemann ismindeki bir Alman, π sayısının transandantal yani deneyüstü bir sayı olduğunu ispatlamıştı.

Bir başka deyişle, π sayısı iki rasyonel sayının bölümü şeklinde gösterilemezdi.

Bir başka deyişe göreyse π sayısı sonsuza dek rastgele bir şekilde devam eden bir sayıydı.

Bir başka deyişle π sayısının içinde her şey bulunabilirdi… T.C. kimlik numaranızdan, doğum tarihinize, banka kartı şifrenizden, aklınızdan geçirdiğiniz herhangi bir sayıya dek her şey π sayının içindeydi.

Durmadan hesaplanmaya devam edildiği takdirde evrende var olmuş, olan ve olacak her sayı hali hazırda π sayısının içinde bulunabilir.

Kendi π Gününü Bul

Wolfram tarafından yapılan bu site doğum tarihinizin π’nin kaçıncı basamağında yer aldığını gösteriyor.

Ben de Leonhard Euler’in doğum tarihini denedim ve aşağıdaki sonuca ulaştım.

eulerpi
Euler’in doğum günü π’nin 1.435.697.ci basamağında ortaya çıktı.

Durmayın, deneyin ve kendi gözlerinizle görün. π sayısının içinde sizin de doğum tarihiniz var.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Sayılar #4

Sayılarla ilgili önceki yazılarda bahsettiğim bir şeyi tekrarlamak istiyorum: Sayılar maalesef hafife alınıyor. Halbuki çok kolay olduğu düşünülen sayılar konusuyla ilgili bilinenler binlerce yıllık çalışmanın ürünüdür ve bu bilgiler insanlık tarihiyle karşılaştırılınca çok yakın zamanda tamamlanmıştır.

Örneğin kesirli (konu başlıklarında rasyonel diye geçse de ben kesirli demeyi tercih ediyorum) sayılar bugün kullandığımız şekliyle 17. yüzyıl dek Avrupa’da kullanılmamıştı. Aslında insanlar çok uzun bir zaman boyunca kesirli sayıları sayı olarak değil, iki tam sayının birbirine oranı olarak düşünmüştü.

Rhind

Kesirli sayıları ilk kullanan uygarlıklardan biri antik Mısırlılardı. Yaklaşık 4000 yıl önce papirüs ağacından elde edilen kağıtlara bazı kayıtlar yapan antik Mısırlılar, tarihin en eski belgelerinden bazılarına imza atmıştı. Günümüze dek ulaşan en eski matematik belgelerden biri de milattan önce 1800 civarında yazıldığı düşünülen Rhind Papirüsü’dür. İçinde kesirli sayılarla ilgili harikulade bilgiler barındıran Rhind papirüsü sayesinde antik zamanlarda insanların nasıl düşündüklerini anlayabiliyoruz.

440px-Rhind_Mathematical_Papyrus
Rhind’den bir parça.

Rhind papirüsünün bize bahsettiği çok ilginç şeyler vardır. Bunlardan en popüler olanı antik Mısırlıların kesirleri bolca kullandığıdır. Fakat bunu yaparken birim kesir kavramına neredeyse takıntılı seviyede önem vermiş olan Mısırlılar, bu sayede binlerce yıl boyunca matematikçileri uğraştırmıştı.

mısırke

Antik Mısırlılar ağza benzer bir sembolle kesirleri gösteriyordu. Ağzın altında kalan sayı ise kesrin payda kısmıydı.

Birim Kesir: Payı 1 olan, yani 1/n şeklinde gösterilen kesirlerdir.

Rhind papirüsünde yer alan bir tablo, antik Mısırlıların kesirleri 1/n şeklinde yazabilmek için ne kadar çok uğraştığını gösteriyor.

2/n Tablosu

Rhind’deki tablo n’nin tek sayı olduğu durumlar için 2/n sayısını iki tane farklı birim kesirle yazmayı öğretiyor. Tablonun başlangıcı 2/3, bitişi ise 2/101’dir. Papirüse göre 2/3 kesri (1/2) + (1/6) toplamına eşittir. Tablonun geri kalanında 2/3k şeklindeki (yani paydası 3’ün katı olan) kesirlerin açılımları için (1/2k) + (1/6k) formülü uygulanmış.

Formülü 2/9 için denersek, 9=3k yani k=3 olur. Böylece 2/9 = (1/6) + (1/18) eşitliğine ulaşılır.

Rhind’deki tabloda sonraki sayı 2/5 = (1/3) + (1/15) olarak gösterilmiş. Bir önceki sayı gibi genelleştirildiğinde 2/5k şeklindeki sayıların açılımı (1/3k) + (1/15k) olmuş.

Kesir Çizgisi

Antik Mısır dışında Babilliler de kesirleri kullanmıştı. Fakat sembolleri o kadar karışıktı ki, hangi sayı tam hangi sayı kesirli ilk bakışta ayırt etmek imkansızdı.

babilke1215

Babil’de 60 tabanlı sayı sisteminde soldaki 12, sağdaki 15 sayısının sembolüdür. Fakat bu şekil aynı zamanda 12+(15/60) ve 720+15 anlamına da gelebilir. Babillilerin ondalık ve kesirli sayıları gösterirken sembol kullanmaması bu sorunlara neden olmuştu.

Milattan sonra 500’lere gelindiğindeyse Hint matematikçiler kesirli sayıları alt alta yazarak göstermeye başlamıştı. Kesir çizgisini çeken ise Müslüman matematikçiler olmuştu. Yani günümüzde kullandığımı kesirli sayı gösterimini Hint ve Müslüman bilim insanlarına borçluyuz.

hintke

Hintlerin 7/15 sayısını gösterişi.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rhind papirüsünde bulunan bilgilere ek olarak şu soruları yanıtlamaya çalışın.

  1. Neden kesirlerin paydalarında çift sayılar dikkate alınmamış?
  2. 2/7 ve 2/11 için açılımları bulun.
  3. 11’den sonra ne oluyor?
  4. 3,5,7 ve 11 için kullanılan genel formülü bulun.

M. Serkan Kalaycıoğlu