Sayılar #12

Subitizing/altlandırma: Küçük bir gruptaki obje sayısını saymadan bilme yeteneğidir.

(Subitizing: Türkçe karşılığı “ani” olan Latince’deki “subitus” kelimesinden türetilmiştir.)

Gündelik hayatta altlandırmayı kullandığımız birçok durum vardır. 6’lı pakette soda aldığımızı farz edelim. Soda şişelerini buzdolabına nasıl dizersek dizelim şişe sayısının 6 olduğunu biliriz. Aslında bu bilgiye soda şişelerini saymamıza gerek kalmadan ulaşırız. Eğer soğuyan sodalardan birini içmeye karar verirsek, geriye 5 adet soda kaldığını bilgisine de yine sodaları saymadan ulaşabiliriz.

Hangi zarın kaç olduğunu üzerindeki noktaları saymadan biliyorsunuz.

Altlandırma için bir başka örneği tavla oyunundan verebiliriz. Diyelim ki attığımız zarlar 2 ile 5 geldi. Bu bilgiye ulaşırken harcadığımız süre neredeyse saniyenin onda birleri kadardır. Hatta, gelen zarların kaç olduğuna karar verirken harcanan süre tavla oyununu oynadıkça kısalabilir. Yani altlandırma, zamanla ve üzerine çalışıldığında gelişebilen bir yetenektir.

Kimi bilim insanlarının araştırmalarına göre 6 aylık bebekler 1, 2 ve hatta 3 kavramına görsel(3 defa zıplayan top) ve işitsel(3 defa alkışlamak) olarak sahiptir. Bir diğer deyişle insan doğduktan sonra sayı kavramını hızla geliştirmeye başlar.

Kebab Truck ve Altlandırma

Kebab Truck oyununda altlandırma; gelen müşteri gruplarının sayısında gizlenmiştir. Oyun oynandıkça daha yüksek skorlara ulaşılır. Bunun nedeni zamanla altlandırmanın gelişiyor olmasıdır.

Kebab Truck’ta müşterilerin aşağıdaki gibi geldiğini düşünelim:

Oyunda tecrübe kazandıkça bu durumda yapacağınız hamle, oyuna acemi iken yapacağınız hamlelerden çok daha farklı olur. Bunun en önemli nedeni, zamanla altlandırma yeteneğinizin gelişmiş olmasıdır.

Kebab Truck oyununun geliştirdiği bir başka yetenek ise basit aritmetik becerileridir. Bu beceriler sadece müşteri sayılarını toplama ve çıkarma ile sınır değildir. Skor sisteminin nasıl formüle edildiği çözülünce (gelen müşteri gruplarından maksimum skoru elde edebilmek için) çarpma işleminin de oyunun bir parçası olduğu anlaşılır.

Matematik Atölyesi – Sayılar #11

Çok uzun yıllar önce Mezopotamya…

Yerleşik hayata geçen birkaç yüz kişilik bir topluluk Badaklar köyünde tarımla uğraşarak yaşamını sürdürüyordu. Badaklar çok çalışkan insanlardan oluşuyordu. Bu köyde yaşayanların en çok güvendikleri iki şey tarlaları ve sahip oldukları koyunlardı.

Badaklar köyünde pazartesi sendromu…

Badaklar’da bir sürü koyun vardı. Yünleri sayesinde kışın soğuktan korunur, sütleri ve etleri sayesinde de karınları doyardı. Bu yüzden Badaklar köyünde koyunlarla ilgilenecek kişinin hem güvenilir hem de bilge olması gerekirdi.

Köyün önde gelenlerinden olan Zaylin, koyunlardan sorumluydu.

Zaylin ve koyunları.

Zaylin’in görevi koyunları her gün doğumunda Badaklar köyünün yakınındaki harikulade tepelerde otlamaya çıkarıp, güneş batmadan önce onların sağ salim geri dönmelerini sağlamaktı.

Tanrım! Bu kadar mı koyunum vardı?!

Badaklar, yaşadıkları zaman için ileri bir topluluk olmasına rağmen insanlığın geri kalanı gibi henüz sayıları keşfetmemişti.

Bu noktada Zaylin için büyük bir sorun çıkıyordu: Her güne belli sayıda koyunla başlayan Zaylin, gün sonunda aynı sayıda koyunla köye dönüp dönmediğini nereden bilebilirdi? Yanlış anlamayın, Zaylin bilge biriydi. Fakat o da, yer yüzündeki herkes gibi saymayı bilmiyordu.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu noktada kendinizi Zaylin’in yerine koyun: Saymayı bilmediğiniz halde koyun kaybetmeden günü bitirdiğinizi nasıl bilebilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sayılar #10

Genç yaşta on tabanlı sistem, sayılar ve dört işlemle haşır neşir olmak için bir oyun:

Avrupa Şampiyonası

  • Oyun için gerekli olan materyaller 12 yüzlü zar, kağıt ve kalemden ibaret.
    IMG_6524
  • Oyun sürekli iki kişinin karşı karşıya gelmesiyle ilerler.
  • Oyuncular sırayla dörder defa 12 yüzlü zarı atar.
  • Gelen bir zarın rakam karşılığı şöyledir:
    20190129_135510
  • Oyuncular attıkları zarların karşılığı olan rakamlarla yazabilecekleri en büyük dört basamaklı sayıyı yazar.
  • Yazılan sayıların farkı sonucu belirler.

Puanlama

Büyük sayıyı yazan oyuncu:

  • Sayıların farkı dört basamaklı ise dört puan,
  • Sayıların farkı üç basamaklı ise üç puan,
  • Sayıların farkı iki basamaklı ise iki puan,
  • Sayıların farkı bir basamaklı ise bir puan

alır.

Eğer sayılar birbirine eşitse, her iki oyuncu da sıfır puan alır.

İki kişilik oyunda yedi puana ulaşan galip gelir.

Lig Düzeneği

Eğer ikiden fazla oyuncu varsa oyun lig usulü oynanabilir. Örneğin 20 kişilik bir sınıfta çekilişle 4’erli 5 grup ayarlanır. Gruplarda herkes birbiriyle birer maç yapar. Fakat bu maçlar ikili oyundaki gibi yedi puana ulaşana dek devam etmez; her maç tek denemeden sonra biter. Gruplarını ilk sırada bitirenlerden en yüksek puanı alan dördü yarı final ve final oynayarak şampiyonu belirler.

Dünya Kupası

İki oyuncu yine karşılıklı olarak 12 yüzlü zar atar. Fakat bu sefer zarları üçer defa atarlar.

Her oyuncu kendisine gelen üç sayıdan en büyük ve en küçük olanı birbirinden çıkarır.

Sonuç çiftse bu iki sayı çarpılır, tekse toplanır.

En büyük sayıya ulaşan oyuncu üç, diğeri sıfır puan alır..

Sayılar aynıysa her iki oyuncu da birer puan alır.

Avrupa şampiyonası oyununda olduğu gibi burada da oyun lig usulüne getirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #5

Eşkenar Üçgen ve İrrasyonel Sayı

Bir önceki yazıda kafes noktalar sisteminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgenin çizmenin mümkün olup olmadığını sormuştum. Bu soruya vereceğiniz cevabı ispatlamanızı istemiştim.

İspat

Elimizde aşağıdaki gibi kenarları ikişer birim olan bir eşkenar üçgen olsun:

akuie2

Üçgenin köşelerinin kafes noktalar olduğunu kabul edelim. Bu demektir ki eşkenar üçgenin kenarları ve alanı rasyoneldir. Neden?

Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalar sistemindeki bir çokgenin alanıyla nokta sayısı arasında direk bir ilişki vardır. Nokta sayısı hiçbir zaman irrasyonel olamayacağına göre (√3 tane nokta olamaz, değil mi?!) bu sistemdeki çokgenlerin alanları da rasyonel olmak zorundadır.

Bir üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. O halde eşkenar üçgende tabana ait olan yükseliği indirelim ve üçgenin iç açılarını belirtelim:

euake3

Artık elimizde iki tane birbirine eş dik üçgen var. Bu dik üçgenlerin hipotenüsleri 2, tabanları 1 birimdir. Yüksekliği Pisagor teoreminden çıkarabiliriz:

h2 + 12 = 22

h2 = 4 – 1

h2 = 3

h = √3.

Yükseklik irrasyonel çıktığı için üçgenin alanı da irrasyonel olacaktır:

1/2(2*√3) = √3.

ÇELİŞKİ

Bu sonuç bir çelişkiyi gösterir. Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalarda bulunan bir çokgenin alanı her zaman rasyonel olmalıdır. O halde bu eşkenar üçgen kafes noktalarda yer alamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Eşkenar üçgen dışında kafes noktalar sisteminde çizilemeyecek başka çokgenler bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #4

Kafes Noktalar

Kareli defterden bir sayfa hayal edin. Bu sayfada kenarları kaldırıp sadece köşeleri bırakalım. Yatay ve dikey yönde bulunan her iki nokta arasının tam olarak bir birim olduğunu varsaydığımızda elimizdeki şey noktalardan oluşan bir sisteme dönüşür. Bu sisteme kafes noktalar diyelim.

Kafes noktalar sistemindeki her nokta tam sayıdan oluşan bir sayı ikilisiyle ifade edilir:

latis3

Pick’in Teoremi: Çokgen alanı bulmak için alternatif bir yöntemdir.

Sistemdeki noktalar birleştirilerek çokgenler oluşturulabilir. Bu çokgenlerin alanlarını bulmak için Pick’in teoremi bize büyük kolaylık sağlar.

Teoreme göre çokgenin alanını bulabilmek için sadece iki bilgiye ihtiyacımız vardır: Çokgendeki kenarların üzerinde bulunan nokta sayısı ve eğer varsa çokgenin iç tarafında kalan nokta sayısı.

Kenarlardaki nokta sayısı k ile, iç tarafta kalan nokta sayısını ise i ile gösterirsek Pick’in teoremine göre çokgenin alanı şöyle bulunur:

Alan = i + (k/2) – 1

Örnek 1: Üçgen.

üçge

Eğer şekildeki gibi bir üçgene sahipsek, kenardaki nokta sayısı k=4 olur. Üçgenin iç kısmında hiç nokta olmadığı için i=0’dır. Pick’in formülünü uygularsak üçgenin alanını buluruz:

Alan = 0 + (4/2) – 1

= 0 + 2 – 1

= 1 birim kare.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban 1, yükseklik 2 birim olduğu için üçgenin alanı (2*1)/2 = 1 birim kare olur.

Örnek 2: Kare.

karre

Şekilde k=12, i=4’tür. O halde çokgenin alanı;

4 + (12/2) – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 birim kare.

Karenin alanı bir kenarının karesidir. Bir kenar 3 birim olduğu için karenin alanı 3*3 = 9 birim karedir.

Kare ve üçgen örneklerine bakınca teoremin gereksiz olduğunu düşünebilirsiniz. O halde gelin çokgenlerimizi biraz daha karmaşık şekilde çizelim.

Örnek 3: Çokgen.

3788_1

Şimdi Pick’in teoreminin gücünü görebiliriz. Eğer teoremi bilmiyorsak mecburen bu çokgeni başka çokgenlere parçalayıp onların alanlarını tek tek bulmamız gerekir. Fakat Pick’in teoremiyle sadece nokta sayarak alanı bulabiliriz.

Çokgende k=12, i=72 olduğuna göre alan:

Alan = 72 + (12/2) – 1 = 72 + 6 – 1 = 77 birim kare olur.

Eşkenar Üçgen

Şu ana dek yaptıklarımızın sayılar değil geometriyle ilişkisi olduğu görülüyor. Fakat tek bir soruyla bunu değiştireceğim.

Soru: Kafes noktalar düzleminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgen çizmek mümkün müdür?

Örneğin tabanı iki birim olan bir eşkenar üçgen çizmeye çalışalım:

ekui

Şekilde görüldüğü üzere bunu yaptığımda üçgenin iki köşesi noktalar üzerinde kalmasına rağmen üçüncü köşe boşluktadır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki bunun çizilebilecek her eşkenar üçgen için böyle olup olmadığını ispatıyla açıklayabilir misiniz?

İspatı bir sonraki yazıda açıklayacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Sayılar #9

Sihir

Matematiğin sayılar kısmında daha iyi olmak için kimine gereksiz görülen sorularla uğraşmak büyük fayda sağlar. Aslında bu tür soruların gereksiz diye tanımlanması kişinin sorudan korkmasından kaynaklanır.

Kişinin hissettiği şey bilmediğiniz bir sokak, cadde, şehir veya ülkede bulunmak gibidir. Konfor alanından uzaktır ve denemediği sürece kendi evi, sokağı, şehri, ülkesindeki kadar rahat hissedemeyecektir. Karşısına gelen bir soruyu gereksiz diye adlandırmak kişinin yaşadığı matematik korkusunun farklı bir şekilde dışa vurumudur.

O halde matematikte daha iyi olabilmek için şartlardan biri denemek/uğraşmaktır. Böylece kendi yönteminizi bulabilir, insanların şaşıracağı şeyleri başarabilirsiniz. Üzerinde durmam gereken bir nokta daha var: Eğer bir sihirbazın ne yaptığı çok açıksa o şovu bir daha kimse izlemek istemez. Sihir; başkaları yaptığınızı anlamadığında güzeldir.

Eşit Toplamlar

Elimizde 1 ile 50 arasında bulunan ve birbirinden farklı on sayı olsun. Bu sayıları beşerli öyle iki gruba ayıralım ki, grupların toplamı birbirine eşit olsun.

Örnek 1: Rastgele sayılarım: 2, 12, 23, 24, 30, 33, 39, 41, 44, 48.

Bu sayıları toplamları birbirine eşit olan iki gruba ayırmam lazım. Her grupta da beş sayı olmalı.

Kısa süre sonra bunu becerebildim. Evet bu rastgele sayılardan iki grup çıkardım ve bu grupların toplamları birbirine eşit oldu:

48+41+33+24+2 = 148 = 44+39+30+23+12

Belki de bu sayıları bilerek seçtiğimi düşündünüz. Bu yüzden arkadaşlarımdan 1-50 arasında on tane sayı seçip bana yazmalarını istedim.

Örnek 2: İlk arkadaşımdan gelen rastgele sayılar: 34, 21, 7, 42, 22, 33, 13, 27, 20, 19.

IMG_6607

Bu sayıları da iki eşit gruba ayırabildim. Sonuç aşağıdaki gibi oldu:

34+33+13+20+19 = 119 = 21+22+27+42+7

Örnek 3: Bir başka arkadaşımdan şu sayıları aldım:

3, 9, 13, 19, 21, 27, 36, 33, 39, 45.

IMG_6609

Örnek 4: Son örneğimi bir üniversite arkadaşımdan aldığım on sayı oluşturuyor:

7, 10, 11, 14, 21, 23, 30, 33, 43, 49.

IMG_6608

Henüz ilk bakışta üçüncü ve dördüncü örnekteki istenilenin yapılamayacağını anladım. Yani bu sayılar toplamları birbirine eşit olan beşerli iki gruba ayrılamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. İlk iki örneği nasıl yaptığımı bilerek açıklamadım. Sizce nasıl bir yöntem izlemiş olabilirim?
  2. Peki ama nasıl oldu da üçüncü ve dördüncü örnekteki sayılarla ilgili sonucumu sadece saniyeler içerisinde verebildim?

İpucu: Sayıların kaç tanesinin tek veya çift olduğuna dikkat edin.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Algoritma #3

Kağıt Oyunları

Küçüklüğümde matematik notlarım bana büyük bir sorumluluk vermişti. Haftada ortalama bir gün aile ziyaretlerinde babalar hoşkin isimli kağıt oyununu oynardı. Maalesef matematiğimin iyi olduğu yönündeki iddialar yüzünden dünyanın en garip puanlama sistemine sahip olan bu kağıt oyununda puanları tutma görevi bana düşerdi: “300 yaz, 4200 bize, 640 yaz, 20 yazdın mı bize?”

maxresdefault (1)

Üniversitede kampüs hayatı yaşayanlar çok iyi bilir: Yurt hem büyük sefalet hem de inanılmaz eğlence demekti. Şahsen yurtta en çok eğlendiğim zamanlar dört kişi masaya kurulup saatlerce batak ve/veya king oynadığım zamanlardı. Küçüklüğümde zerre hazzetmediğimi kağıt oyunlarına dört yıl sonunda bağımlı olmuştum.

Dolaylı olsa da kağıt oyunlarında rekabet etmek dışında beni en çok çeken şey kullanılan algoritmalardır. Her oyuncunun kafasında oluşturduğu bir algoritması vardır ve birbirini tanıyan oyuncular algoritmalarında ufak değişiklikler yaparak oyunda avantaj sağlamaya çalışır.

Pico

Algoritma kurup onu uygulamak için yaratılan bir Alman oyunu olan Pico, matematikle kağıt oyunları arasındaki ilişkiyi gösteren en güzel örnektir. Pico’nun özelliği çok basit kurallara sahip olmasına rağmen oyunun arkasında harikulade matematik bilgileri barındırmasından gelir.

pic1144912

  • İki oyunculu olan Pico’da üzerinde 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 ve 16 sayıları yazan on bir tane kağıt vardır.
    pic170001
  • Oyunculardan biri kağıtları karıştırır ve her oyuncuya beşer tane kağıt verilir.
  • Kalan tek kağıt açık şekilde ortaya konur. Böylece oyuncular birbirlerinde hangi kağıtların olduğunu bilir.
  • Oyunda her el oyuncuların ortaya attığı birer kağıtla devam eder.
  • Elin kazananı büyük kağıda sahip olandır.
  • Fakat büyük kağıttaki sayı küçük kağıttakinin iki katından fazlaysa, kazanan küçük kağıt olur.
  • Eli kazanan kağıt kazanan oyuncunun önüne açık şekilde konur. Kağıtta yazan sayı kazanılan puandır.
  • Kaybeden kağıt sahibine geri döner.
  • Oyun herhangi bir oyuncunun elinde tek kağıt kalana dek devam eder.

    pic1873967
    13 yerine K, 16 yerineyse Joker(J) kullanarak evde bulduğunuz herhangi bir desteyle Pico’yu oynayabilirsiniz.

Seko

Pico’dan feyiz alıp Seko adını verdiğim bir oyun yazdım:

  • Oyuncular 2-50 arasındaki sayılardan sırayla altışar tane seçer. Seçime ilk başlayanı belirlemek için havaya para atılır.
    IMG_6628
  • Bu sayılar boş bir kağıdın üzerinde sıralanır.
  • Oyuncular teker teker sayıları seçer. Yine seçime ilk başlayanı belirlemek için para kullanılır.
  • Her oyuncu altışar sayıya sahipken oyun başlar. Her elde oyuncular birer sayı seçer.
  • Sayılar arasındaki fark tek ise büyük sayıyı seçen, çift ise eğer fark 20’den az ise küçük sayıyı seçen eli kazanır.
    IMG_6632
  • Eli kazanan sayı puan olarak kazananın hanesine yazılır, kaybeden sayı sahibine geri döner.
  • Oyun oyunculardan birinde tek bir sayı kalana dek devam eder.
  • Oyunun bitiminde en çok sayıya sahip olan oyunu kazanır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Seko’da farklarını almak yerine sayıları toplayın. Eğer toplam tek ise büyük sayı, çift ise toplam 50’dan küçük olduğu takdirde küçük sayı kazansın.

Seko oyunlarında her zaman uygulayabileceğiniz bir algoritma bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Sosyal Durumlar #2

Tek Kural Var: Kural Yok!

Eğer hayatınızın herhangi bir zaman dilimde İstanbul’da araba kullandıysanız burada trafik kurallarının pek işlemediğini biliyorsunuzdur. Bilmeyenler için birkaç örnek verelim: Bu şehirde yaya geçidinde yol veren araba değil yayadır. Sola dönecek araba sağ şeritte durur, kimi zaman sola işaret veren bir anda sağa döner. Bu şehirde trafik kurallarının çok azı işler.

Bu cesur muhabir yaya geçidini kullanmak için otomobil sürücülerini ikaz ediyor. İkinci fotoğraftaki durumu her şeyi anlatıyor. Merak etmeyin, karşıya sağ salim geçmeyi başarıyor.

Bunu bildiğiniz halde İstanbul’da yaşayıp araba kullanma zorunluluğunda kalıyorsanız, trafikte karşınıza her an her tür garipliğin çıkabileceğini aklınızın bir kenarında bulundurmalısınız. Mesela trafik ışığı size yeşil diğer yöne kırmızı olsa da kontrollü geçmenizde bir yarar var.

İşte bu ve benzeri bir sürü örnekten de anlayabileceğiniz üzere ehliyet alırken öğrendiğiniz geçiş üstünlüğü kurallarının neredeyse hiç işlememesi şaşırtıcı değil.

Kim Kaybedecek?

Diyelim ki aşağıdaki gibi bir yolda ilerleyen 1 numaralı araç siz olun. Trafik kurallarına göre aynı değerde yollar olduğunda geçiş üstünlüğü sağdan gelen araçta, yani sizdedir. Fakat İstanbul’da bu kural çoğu zaman uygulanmadığı için 2 numaralı aracın size yol verip vermeyeceğini bilmiyorsunuz.

IMG_6413

Bu durumda verilecek iki farklı karar var: Yol ver ya da yol verme.

Durum 1: Her ikiniz de yol vermeyi seçtiniz. Bu, iki arabanın yolun ortasında öylece durması anlamına gelir. Kazananın olmadığı bir durumdur.

Durum 2: Her ikiniz de yol vermemeyi seçtiniz. Bu seçenek trafik kazası anlamına gelir. Kazanan olmadığı gibi her ikiniz de masrafa girmiş oldunuz.

Durum 3: Siz yol verdiniz, 2 numaralı araç yol vermedi. Böylece 2 numaralı araç geçip gitmiş olur. Kısa süreli kazanan o olur.

Durum 4: Siz yol vermediniz, 2 numaralı araç yol verdi. Böylece siz yolunuza devam ettiniz ve kısa süreli de olsa kazanan oldunuz.

Nash Dengesi

Gelin bu durumu oyun teorisini kullanarak analiz edelim. Arabanız duruyorsa (yol verdiyseniz) 0, arabalar çarpışmışsa (kaza olduysa) -1, arabanız ilk geçen olduysa (biri yol verip, diğeri yol vermediyse) 1 puan alınsın.

O halde matris aşağıdaki gibi olur:

IMG_6414

Eğer şoförlerden birbirlerinden habersiz tercih yapar ve tercihlerinde sadece kendilerini düşünürse, her iki şoför de en yüksek getiri olan 1 puanı almaya çalışır. Bu, her iki şoförün de yol vermemesi anlamına gelir. Yani sonuç kaza olur.

Fakat oyunun Nash dengesi çok ilginç sonuçlar verir.

  1. Diyelim ki ilk şoför ikinci şoförün yol vereceğini biliyor. Bu durumda ilk şoför yoluna devam eder. Aynı şekilde eğer ikinci şoför ilk şoförün yol vereceğini bilirse, bu sefer ikinci şoför yol vermemeyi seçerdi. Yani tercihler hep zıt olur.
  2. Diyelim ki ilk şoför ikinci şoförün yol vermeyeceğini biliyor. Bu durumda ilk şoför yol verir. Aksi takdirde trafik kazasına sebebiyet verir. Aynı durumda ikinci şoför de yol vermek zorundadır. Yani tercihler yine zıt yönde olur.

O halde oyunun iki tane Nash dengesi vardır: (1,0) veya (0,1).

Oyun teorisinde bu tür oyunlarda herkes birbirine muhtaçtır. Kimi durumlarda şoförler için asıl amaç kavşağı ilk geçen olmak değil arabasının hasar almasını önlemektir.

İnsanların birbirine muhtaç olması adil ve düzenli bir sosyal yaşamın gereklerindendir. Eğer bir toplumda insanlar sürekli kendini düşünür ve hep kendi yararı için tercihler yaparsa, o toplumda işler normalde olduğundan daha yavaş yürür. Bugün İstanbul’da trafiğin insanlara sirayet ettirdiği stresin tek sebebi sürücülerin çoğunluğunun kurallara uymamasıdır.

1209198_620x410
Emniyet şeridinden gidenlerin hepsi şeridinde bekleyenlerin zamanını çalıyor. Çalmanın günah olduğu biliniyor, değil mi?

Örnek mi istiyorsunuz? On dakikalık yolu elli dakikada alan kişi artık sabırsızlanır. Bu yüzden evine beş dakika erken gidecek diye tek şeritlik yolu iki hatta üç şerit yaparak aslında binlerce kişinin evlerine bir saat daha geç gitmesine yol açar. İşin fenası on dakikalık yolu elli dakikada almasının sebebi o şoför gibi yapan kişilerdir…

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #3

Vaşak – Kar Ayakkabılı Tavşan Savaşı

Kuzey Amerika’da vaşakların temel besin kaynağı bu coğrafyaya özgü olan kar ayakkabılı tavşanlardır. İki yaşam türü arasında av-avcı ilişkisi varsa, o türlerin nüfusları arasında bir ilişki bulunur. Örneğin bir bölgede vaşak sayısı fazla ise vaşakların temel besin kaynağı oldukları için o bölgede kar ayakkabılı tavşan sayısının da (en azından bir zamanlar) fazla olması gerekir. Eğer aynı bölgede vaşak sayısı azalıyorsa bunun nedenlerinden birini bölgede bulunan kar ayakkabılı tavşan sayısının azlığına bağlamak mantıklıdır.

Vaşak ve kar ayakkabılı tavşan nüfusları arasında direk bir ilişki olup olmadığını araştıran bilim insanları harikulade sonuçlarla karşılaşmıştı:

  • Vaşak nüfusunun en yüksek olduğu durumda kar ayakkabılı tavşan nüfusu dibi görür.
  • Zamanla besin kaynağı azalan vaşak nüfusu da düşmeye başlar.
  • Vaşak nüfusunun azalması kar ayakkabılı tavşanların çoğalmasına yol açar.
  • Kar ayakkabılı tavşan nüfusu zirve noktasına ulaşıncaya dek artarken, vaşak nüfusu en düşük seviyesine dek ilerler.
  • Artık yeterince tavşan bulabilen vaşak nüfusu tekrar artmaya başladığında kar ayakkabılı tavşan nüfusu da azalma eğilimine geçer.

Figure_45_06_01
1845-1935 yılları arasında kar ayakkabılı tavşan (kırmızı) ve vaşak (mavi) nüfusu.

Bu bir döngüdür. Bilim insanlarının vardığı sonuca göre vaşak ve kar ayakkabılı tavşan sayılarının döngüsü 8 ile 11 yıl arasındadır. Bu ve benzeri döngüler çevrebilimin hala çözemediği sırlarla doludur. Av-avcı ilişkisinin yanı sıra çevrenin (sıcaklık, diğer yırtıcı hayvanlar vb.) etkisi olduğu bilinse de vaşak ve kar ayakkabılı tavşan döngülerinin neden tam olarak bu zaman aralığında gerçekleştiği sorusu henüz kesinkes cevaplanmış değil.

Periyodik Canlılar

Nüfusta yaşanan döngüler canlı türlerinin varlıklarını sürdürmeleri için çok önemlidir. Örneğin kimi canlı türleri fiziksel dezavantajlarını ortadan kaldırmak için evrilmiştir. Sadece belirli zaman aralıklarında ortaya çıkıp yeni yavrular üretirler. Yani periyodik şekilde avcılarıyla karşı karşıya gelirler. Gelin bu tür canlılara periyodik canlılar diyelim.

Diyelim ki A canlısı her 10 yılda bir çiftleşmek için ortaya çıkıyor olsun.

Soru: A’nın avcılarından olan periyodik B canlısı kaç yılda bir ortaya çıkarsa A’ya denk gelir?

A her 10 yılda bir ortaya çıkıyorsa, avcı 10’u kalansız bölen bir sayı kadar döngüye sahip olduğunda A ile aynı döneme denk gelir.

10 sayısını kalansız bölen sayılar 1, 2, 5 ve 10’dur.

  • Eğer avcı 1 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/1 = 10) onuncu döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 2 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/2 = 5) beşinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 5 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/5 = 2) ikinci döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.
  • Eğer avcı 10 yıllık bir döngüye sahipse, avcının (10/10 = 1) ilk döngüsü A’nın ortaya çıktığı döneme denk gelir.

A için kötü haberler burada bitmiyor. Bir canlının A ile aynı zamana denk gelmesi için illa 10’a tam bölünmesi gerekmez. 10 ile ortak kata sahip olması da yeterlidir. Örneğin 6 ile 10 yıllık döngüler (6 ile 10’a bölünen en küçük sayı 30’dur) 30 senede bir aynı döneme denk gelir.

Sonuçta 10 yıl, av olan A canlısının varoluşu için en uygun döngü değildir.

Peki doğada periyodik diyebileceğimiz canlılardan bulmak mümkün müdür?

Ağustos Böceği

Ağustos böceklerinin kimi türlerinin 7, 13 ve 17 yılda bir toprak üstüne çıkıp çiftleştiği bilinir. Yani bu tür ağustos böcekleri periyodik canlılardır. Döngüleri ise 7, 13 ve 17 yıldır.

indir (10)

7, 13 ve 17 özel sayılardır. Çünkü asaldırlar. Sadece kendilerine ve 1’e tam bölünürler.

Ağustos böceğinin döngüsünün bu asal sayılara nasıl evrildiğini bilmiyoruz. Fakat bildiğimiz bir şey var ki o da asal sayı döngülerinin varlıklarına yaptığı katkıdır.

Örnek: Periyodik bir canlının besin kaynaklarından biri 13 yıl döngülü ağustos böcekleri olsun. Eğer bu canlının kendi döngüsü 5 yıl ise ağustos böceğiyle karşılaşması ancak (13*5 = 65) 65 yılda bir olur. 13 asal bir sayı olduğu için herhangi bir canlının ağustos böceğiyle karşılaşması için 13’ün katlarından biri kadar yaşaması gerekir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Özel Sayılar #2

Eratosthenes Kalburu

Eratosthenes (kabul etmeliyim ki ismini her andığımda “tost” yapmak istiyorum) Dünya’nın çevresini ölçerken bir yandan da matematikle uğraşmıştı. Aslında antik Yunan bilim insanları matematiğin en köklü dalı olan sayı teorisiyle tahmin edildiğinden daha fazla uğraşmıştı. Örneğin geometri konularında sürekli adını zikrettiğim Öklid’in yazdığı Elementler aslında içerisinde sayı teorisiyle ilgili çok önemli bilgiler barındırır.

Eratosthenes, sanki yaptıkları yetmezmiş gibi, asal sayıları belirlemek için bir yöntem icat etmişti. Eratosthenes Kalburu ismi verilen bu yöntemi öğrenmek çok basittir. Fakat yöntem biraz ağır ilerler ve uygulaması sabır gerektirir.

IMG_6051

2’den 100’e kadar olan sayılardan hangilerinin asal olduğunu Eratosthenes’in yöntemiyle gösterelim. (Neden 1’i hesaba katmadığımız başka bir yazının konusu.)

Sayı listesinin en başından başlanır. 2, en küçük asal sayıdır. Yöntem şöyle ilerler:

  1. Bir asal sayı bulana dek listede ilerle.
  2. Bir asal sayıyla karşılaşınca dur ve onun karesini al.
  3. Listede asal sayının karesine git ve oradan itibaren asal sayının katı olan sayıları listeden ele.

2’den sonra gelen sayılardan 2’nin karesi 4 yapar. 4 sayısından başlayarak listede 2’nin katı olan tüm sayıları eliyorum. Geriye kalan liste şudur:

Şimdi sıradaki sayı 3. Bu da bir asal sayıdır. O halde 3’ün karesi olan 9’dan itibaren 3’ün katı olan diğer tüm sayılar listeden elenir.

Bir sonraki sayı olan 4 elenmiştir. (2’nin katı olduğu için) 4 atlanır ve elenmeyen sayılardan ilk gelene bakılır: 5. 5’in karesi 25’den itibaren 5’in katları listeden elenir.

Sonraki asal 7’dir. 7*7=49. O halde 49’dan itibaren 7’nin katları listeden elenir.

Bir sonraki asal sayı 11’dir. 11’in karesi 121 yapar ki bu sayı listenin dışında kalır. O halde listede elenmemiş olan sayıların hepsi asaldır.

IMG_6061

Olimpiyatlarda Yeni Bir Oyun: Çemberde Yürüyüş

Oyun 1:

  • Bir çember çizin ve çemberin üzerine eşit aralıklarla 8 tane nokta koyun.
  • Tepeden başlayarak noktalar arasında adım atacaksınız. Önce bir noktalık adımlarla başlayın. Yani her adımınız sizi komşu noktaya götürsün.
  • Bu yöntemle tüm noktalara uğramış oldunuz.

Oyun 2:

  • Çemberin üzerinde yine 8 nokta ile başlayın.
  • Bu sefer başlangıçtan itibaren birer nokta atlayarak yürüyün. Yanı adım büyüklüğünüz 2 olsun.
  • Bu yöntemle noktaların sadece yarısına ulaşılabildiğini görebilirsiniz.

Oyun 3-4-5-6-7:

Aynı çemberde adım sayısını sırayla 3, 4, 5, 6 ve 7 yapın.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kaç adımlık yürüyüşlerde tüm noktaları gezmiş oldunuz? Bu adım sayıları neye benziyor?
  2. Buradan genel bir kanıya varabilir misiniz?
  3. Nokta sayısını 9, 10, 11 yapınca karşınıza ne çıkıyor?

M. Serkan Kalaycıoğlu