Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #18

Her sene Aralık ayı gelip çattığında şehirlerin görüntüsü bir anda değişir. Etraf yeni yılın gelişini müjdeleyen süslemelerle donatılırken alışveriş merkezlerinde, ofislerde ve hatta evlerde aşağıdaki gibi süslere rastlanır:

Ali hoca da her sene olduğu gibi sınıflarını süslemeye başlar. Fakat hoca, bu seneki süslemelerinde matematiği de kullanmayı aklına koymuştur.

Yeni Yıl Süsü Oyunu (Y.Y.S.O.)

Ali hocanın yarattığı Y.Y.S.O. iki kişilik bir oyundur. Bu yüzden sınıftaki öğrenciler ikişerli gruplara ayrılır ve her grubun kazananı bir sonraki tura yükselir. Oyunu kazanan öğrenci yeni yıl süslerinin sahibi olur ve sınıfı istediği gibi süsleyebilir.

Oyunun İçeriği

  • Her grupta aşağıdaki gibi 4 adet süs vardır:
  • Oyuncular sırayla bu süsleri birbirine dolar.
  • Dolama işlemi rakipten gizli yapılır.
  • Süsleri dolarken her oyuncunun en fazla dört hamle şansı vardır. Hamleden kast edilenin ne olduğu şöyle bir örnekle gösterilebilir:

İlk hamlede kırmızı süs aşağıdaki gibi dolandırılıyor olsun:

Bu, bir hamle sayılır. Kırmızı süs, mavi ve yeşil süsün altından geçirilmiştir. Sonraki iki hamle sırasıyla sarı ve mavi süsten gelsin:

Sarı süs, yapılan hamleyle yeşil ve kırmızının altından geçirilmişken; mavi süs, yeşil ve sarının üstünden geçirilmiştir. Böylece üç hamle sonucunda süsler yukarıda (sağda) görüldüğü gibi birbirine dolandırılmış olur.

Süslerin bu birbirine dolandırılmış hali aslında bir örgüdür.

Oyunun Amacı

Bir turdan galip ayrılmanız için rakibinizin yaptığı örgüyü ondan daha kısa sürede çözmeniz gerekir. (Not: Örgü çözüldüğünde ilk durumdaki gibi sıralanmış olmalıdır. Yani, yukarıdaki örnek için örgünün çözümünde süslerin renkleri soldan sağa sırasıyla sarı-yeşil-mavi-kırmızı olmalıdır.)

Örgüler

Hayatın içinde önemli bir yere sahip olan örgüler sadece yıl başı süslerinde değil, her an yanı başımızda kendini gösterir. Bazen bir peynirde, bazen saç şeklinde, bazen de bir sepette:

Kimi zaman da bir bileklikte:

Matematikte örgünün ne manaya geldiğini anlamak için Avusturyalı matematikçi Emil Artin’in 1920’lerde yaptığı çalışmalara göz atılabilir.

Gelin aşağıdaki örgüye birim örgü diyelim:

Ali hocanın oyununda amaç herhangi bir örgüden birim örgüye dönmekti. Bunu yapabilmek için Artin’in açığa çıkardığı bazı örgü özelliklerinden yararlanabiliriz.

Birinci örnek: İki ip ile örgünün çözülmesi.

Diyelim ki aşağıdaki gibi iki ipimiz olsun:

Soldaki, sağdakinin altından geçiyor.

Bu ipin tersi aşağıdaki gibi olur:

Bu sefer sağdaki, soldakinin altından geçiyor.

Eğer bu ikisi birleştirilirse ipler (uçlarından tutularak gerdirildiği takdirde) birim örgü haline döner:

İkinci örnek: Üç ip ile örgünün çözülmesi.

Üç ip alın ve aşağıdaki gibi örgü haline getirin:

Bu örgüde (yukarıdan aşağıya doğru) 3 kesişen yer vardır:

1: Yeşil, mavinin üstünden.

2: Kırmızı, yeşilin üstünden.

3: Mavi, kırmızının üstünden.

Yapmanız gereken şey, bu işlemleri sondan başlayarak tekrarlamaktır. O halde hamleler şu sırayla yapılır:

Birinci hamle: Mavi, kırmızının üstünden.

İkinci hamle: Kırmızı, yeşilin üstünden.

Üçüncü hamle: Yeşil, mavinin üstünden.

Bu ikisi birleştirilip her örgü iki ucundan çekilirse, sonuç birim örgü olur. Deneyin ve sonucu kendi gözlerinizle görün.

Kağıt ve Örgü

Bir A4 kağıdını alın ve kağıda falçata yardımıyla aşağıdaki gibi kesikler atın:

Şimdi kağıdı iki ucundan tutup yan çevirin. Karşınıza bir tür örgü çıkacaktır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  • Ali hocanın oyununda Emil Artin’in özelliklerinden nasıl yararlanabilirsiniz?
  • İkinci örnekte ipleri 90 derece sola yatırın. Soldan başlayarak iplerin kesişimlerini inceleyin. Ne görüyorsunuz?
  • Ali hocanın oyununu A4 kağıdı ile oluşturacağınız örgü ile oynayın. (Bunun için kağıda 3 veya 4 kesik atmanız yeterlidir.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #7

Serkan Hocanın Sistemi

Serkan hoca öğrencilerine her hafta belli sayıda soru verir. Bu sorulardan bir veya daha fazlasını çözen öğrenciler, çözdükleri soruların karşılığında bir ödül alır. Ödülü belirlemek için her dönem başında Serkan hoca ile sınıfları arasında bir anlaşma yapılır. Bu dönem için yapılan anlaşmaya göre ödül olarak oreo dağıtılacaktır:

10 soru verilirse:

  • 10, 9 ve 8’ini yapanlar 10 oreo,
  • 7, 6 ve 5’ini yapanlar 5 oreo,
  • 4, 3 ve 2’sinin yapanlar 2 oreo,
  • 1’ini yapanlar 1 oreo,
  • Hiç soru yapmayanlar ise oreo almayacaktır.

Dikkat edenler Serkan hocanın oreo ödüllerinin bir mantığı olduğunu anlamıştır: 10, 5, 2 ve 1.

Bunlar, soru sayısını (yani 10’u) kalansız bölen doğal sayılardır.

Ödül Dağıtım Makinesi (Ö.D.M.)

1 ay sonra…

Ödül sistemi başlayalı 4 hafta geçmişken Serkan hoca önemli bir sorunla karşı karşıya kalmıştı. Toplam 10 sınıfı olan Serkan hoca, her hafta birkaç saatini ödül dağıtmakla geçirmişti.

Neredeyse okuldaki tüm boş vaktini oreo dağıtmakla geçiren Serkan hoca, ödül dağıtımını kolayca halletmek için bir makine tasarlamayı düşünür:

  • Ö.D.M. 4 hazneden oluşacak. (10, 5, 2, ve 1’den dolayı.)
  • Haznelerin sırasıyla 10, 5, 2 ve 1 oreoluk kapasitesi olacak.
  • Makineye oreo girişi 10’luk hazneden olacak. Kurulan bağlantılarla diğer haznelere buradan oreo aktarılacak.
  • Altın Kural: Herhangi iki hazne arasında bağlantı olması için bu iki haznenin kapasiteleri birbirine kalansız bölünebiliyor olmalı.

10 soru için Ö.D.M. bağlantıları:

  • 10’luk hazne ile 5, 2 ve 1’likler arasında.
  • 5’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 2’lik hazne ile 10 ve 1’likler arasında.
  • 1’lik hazne ile 10, 5 ve 2’likler arasında.

O halde Ö.D.M.’nin krokisi aşağıdaki gibi olur:

Yine mi graf?!

Graf teorisiyle tanışıklığınız varsa (veya blogda yer alan graf yazılarını okuduysanız), Serkan hocanın yarattığı sistemin aslında bir tür düzlemsel graf olduğunu fark etmişsinizdir:

10 soruluk Ö.D.M.’nin graf olarak gösterimi.

Birbirine kalansız bölünebilen sayılar (yani noktalar) arasında düzlemselliği bozmayacak şekilde (yani birbirini kesmeyecek şekilde) bağlantılar (yani çizgiler) çekilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki Serkan hoca soru sayısını değiştirip 12 yaparsa ne olur?

12 soru için ödüller 12’yi kalansız bölen doğal sayılardır: 12, 6, 4, 3, 2 ve 1.

Bu durumda Serkan hoca makinesini kurabilir mi? Bir diğer değişle 12’lik Ö.D.M. için bağlantılar (birbirini kesmeyecek şekilde) yerleştirilebilir mi?

Örnek dizilim.

İpucu: Önce hangi noktalar arasında çizgi çekilmeli ona bakın. Ayrıca noktalar istenilen şekilde dizilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #17

Kafamızdaki Topoloji

Sürekli olaylara bakış açımızı değiştirmekten bahsediyorum. Örneğin bir bebekle karşılaştığınızda aklınıza öncelikle bebeği sevmek ve onu güldürmeye çalışmak gelir. Halbuki bebeğin saçlarına dikkat ederseniz, burada çok önemli bir matematik bilgisinin saklı olduğunu görebilirsiniz:

Her bebeğin kafasında yukarıdaki gibi bir nokta vardır. Görüldüğü üzere bu noktanın dışında kalan saçlar, bebeğin kafasının hemen her yönüne doğru uzuyor. Peki noktanın bulunduğu yerde çıkan saçların yönü neresidir?

Bunun açıklaması topolojide saçlı top teoremi ile yapılmıştır.

Saçlı Top Teoremi

Saçlı top teoremine göre tüylü (veya bulabilirseniz saçlı) bir topu herhangi bir yöne doğru taramaya çalışın. Topun en az bir noktasında bulunan bir tüyün (veya saçın) istenilen yöne doğru taranması mümkün değildir.

Bunu yapmaya çalıştığınızda en az bir tüy (veya saç) taranmak istenen yönde olmaz. Bu tüyün bulunduğu noktada bir tür tekillik bulunur; tüy istenilen tarafa yatmayıp dik durmakta ısrar eder.

Bebeğin kafası da bir nevi saçlı top teoremi örneğidir. (Bir nevi dememin sebebi, saçlı top teoremine göre topun yüzeyinin tamamının tüyle kaplı olmasıdır. Halbuki bir insanın kafasının her yeri saçla kaplı değildir.) Bu sebeple yukarıdaki resimde gösterdiğimiz noktada bir tekillik vardır; o noktada saç dik kalır. O saç bir türlü tarakla yatırılamaz.

Torus

İçi boş (bir diğer deyişle; delikli) bir cisim olan torusta saçlı top teoremi işlemez. Yani tüylü bir torusun tamamını tek bir yöne taramak mümkündür.

Hiç Rüzgar Yok

Saçlı top teoreminin kullanım alanlarından biri meteorolojidir. Teoreme göre herhangi bir anda dünyanın herhangi bir noktasında hiç rüzgar yoktur.

Bunu ispatlamak için tüylü topu tarama yöntemini düşünmeniz yeterli. Diyelim ki dünyanın her yerinde doğudan batıya doğru rüzgar esiyor olsun.

Bu durumda kuzey ve güney kutup noktalarında rüzgar olmaz. Yani saçlı top teoremi haklıdır.

Haritadayım

Saçlı top teoremi Brouwer’in sabit nokta teoreminin bir başka türüdür. Hatta bu teorem de L.E.J. Brouwer tarafından 1912 yılında ispat edilmiştir.

Sabit nokta teoremi için verilebilecek örneklerden biri de haritalarla ilgilidir. Örneğin bulunduğunuz ülkenin haritasının çıktısını alın ve sınıf içerisinde yere koyun:

Daha küçük bir harita da olur.

Harita üzerinde öyle bir nokta vardır ki, haritanın bulunduğu coğrafi konumla aynıdır.

Avm veya otobüs duraklarındaki “buradasın” haritaları buna örnek olarak gösterilebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdakilerin tüylü olduğunu varsayın. Hangisi /hangileri aynı yöne doğru taranabilir? Neden?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #16

Yürüyüş

  • Sınıfın içerisinde iki nokta belirlenir.
  • Bu iki nokta arasına bir çizgi (örneğin bir ip serilerek) çizilir.
  • Noktalardan birine öğrencilerden biri gönderilir.
  • Öğrenci harekete başladıktan 10 saniye sonra ipin diğer ucuna varmak zorundadır.
  • Öğrenciye yardımcı olmak için harekete başladıktan sonra hep bir ağızdan 10’a kadar sayılır.
  • Öğrenciden yürüyüşü iki defa yapması istenir ve her iki seferin de videosu çekilir.

Deneyin Amacı

Deney sonunda şu sorunun cevaplanması istenilir:

“Bu iki yürüyüşte öğrencinin ip üzerinde aynı zamanda bulunduğu bir nokta var mıdır?”

Özetle; öğrenci aynı yolu farklı hızlarda ama aynı sürede tamamlamaktadır. Öğrenilmek istenen şeyse yürüyüşler sırasında öğrencinin aynı konumda olduğu bir an olup olmadığıdır.

Öncelikle öğrencilere soru üzerinde düşünmesi ve akıl yürütmesi için zaman verilir. Daha sonra bu sorunun cevabı videoların yardımıyla verilir.

En önemli soru ise sona saklanır: Neden?

Yine bir neden sorusu… Gel de ayıkla pirincin taşını!

Ayıkla Pirincin Taşını

Küçüklüğümde bana verilenler işler arasında bir tepsi üzerine dökülmüş pirinç dağı içindeki taşları ayıklama işi gelirdi. Aslında bunu yaparken keyif alırdım. Çünkü pirinç taneleriyle garip şekiller yapmayı seviyordum.

Yıllar sonra matematik okurken öğrendiğim bir teorem bana taş ayıkladığım zamanları düşündürttü. Bu teoreme göre ayıklama işi bittiğinde en az bir pirinç tanesi, ayıklama işlemi başlamadan önce bulunduğu konumda olurdu. (Pirinç tanelerinin tepsinin yüzeyini komple kapladığını varsaydığımız durumda.) Bir diğer deyişle pirinç tanelerini ne kadar karıştırırsam karıştırayım, en az bir pirinç tanesi karıştırmadan önce neredeyse yine o noktada olurdu.

Bu inanması güç durumu açıklayan kişi Hollandalı matematikçi L.E.J. Brouwer’di. Brouwer’in sabit nokta teoremi topoloji ile alakalıdır ve matematiğin en önemli teoremleri arasında gelir.

Yürüyüşün Cevabı

Yürüyüş deneyi de bir tür Brouwer’in sabit nokta teoremi örneği olduğu için cevap “evet”tir: Öğrencinin yürüyüşleri nasıl olursa olsun yürüyüşler sırasında öyle bir an vardır ki, tam o anda öğrenci her iki yürüyüşte de aynı noktadadır.

Brouwer’in sabit noktasından bahsetmeye bir sonraki yazıda devam edeceğim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir adam sabah 08:00’da evinden yola çıkıyor ve 14:00’te başka bir şehirde yaşayan arkadaşını ziyaret ediyor. Ertesi sabah yine saat 08:00’de yola çıkıyor ve 14:00’te evine varıyor.

Koşullar

  • Değişmeyen şeyler başlangıç ve bitiş noktalarıyla yolculuğun süresidir.
  • Yani adam yolculukları süresince aynı ve/veya farklı hızlarda hareket ediyor olabilir.

Adam bu iki gün içerisinde aynı saatte yolun aynı noktasında olma ihtimali var mıdır?

İpucu: Mesafenin 600 km olduğu ve öğrencinin bu mesafeyi 6 saatte alacak şekilde hızlarda gittiği varsayılabilir. Örneğin gidişte saatte 100 km sabit hızı varken dönüşte ilk 2 saat 80 km/sa, sonraki 2 saat 100 km/sa ve son 2 saat 120 km/sa hızla yol aldığı düşünülebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #15

İnsan Düğümü Oyunu

Sınıftaki öğrenciler en az 5’erli gruplara ayrılır. Her grup ayakta çember şeklinde durur ve aşağıdaki talimatları izler:

  1. Gruptaki öğrencilerin sayısı çift ise:
    20190812_153400.jpg
    -Her öğrenci sağ eliyle komşusu olmayan birinin sağ elini tutar.
    20190812_153408.jpg
    -Öğrenci aynı şeyi sol elleri için yapar.
    20190812_153415.jpg
  2. Gruptaki öğrencilerin sayısı tek ise:
    20190812_153325.jpg
    -Biri hariç her öğrenci sağ eliyle komşusu olmayan (yani yanında olmayan) birinin sağ elini tutar.
    20190812_153338.jpg
    -Boşta kalan öğrenci sağ eliyle kendisine komşu olmayan birinin sol elini tutar.
    20190812_153345.jpg
    -Sol eli boşta kalan öğrenciler boşta kalan elleriyle birbirlerine komşu olmayanların sol elini tutar.
    20190812_153353.jpg

Talimatlar sonucunda öğrenciler düğümlenmiş olur.

The-Human-Knot-Game-e1447920419118-663x375

Öğrencilerin amacı ellerini bırakmadan düğümü çözmektir. Bunu yaparken öğrenciler Reidemeister hamlelerini kullanabilir.

Reidemeister Hamleleri

1926’da Kurt Reidemeister düğüm teorisi için harikulade bir şey keşfetmişti. Ona göre herhangi bir düğüm üzerinde Riedemeister hamleleri olarak adlandırdığımız üç hamle yapılabilirdi. Bu hamleler sayesinde bir düğümün farklı gösterimleri ve/veya herhangi düğümün birbiriyle aynı olup olmadığı bulunabilirdi.

Örneğin bir düğümün kesişimsiz düğüm (unknot) olup olmadığını, diğer bir deyişle bir düğümün çözülüp çözülemeyeceğini Reidemeister hamleleri kullanarak anlayabiliriz.

Peki bu hamleler nelerdir?

  1. Kıvırmak

    Reidemeister hamlelerinden biri kıvırma hareketidir. Bir düğüm üzerinde kıvırma hareketi yapmak serbesttir.

  2. Dürtmek

    İkinci hamle dürtmektir. Bir düğüm üzerinde dürtme hareketi yapmak serbesttir.
  3. Kaydırmak


    Son Reidemeister hamlesi kaydırma hareketidir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İnsan düğümünü çözerken hangi hamlede hangi Reidemeister hamlesini kullandınız?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #14

Kulaklıklar Artık Düğüm Olmasın

12-13 yaşlarındayken kasetçalarım olmadan dışarı çıkmazdım. Kasetçalarımla ilgili iki büyük düğümlenme sorunum vardı. Bunlardan ilki kasetin bandının düğümlenmesiydi. Şanslıysam kalem yardımıyla bu düğümü kolayca çözebilirdim. Şansımın yaver gitmediği durumlarda ise kaset çöpe giderdi.

person holding black cassette tape

Diğer düğüm problemi kulaklığımla alakalıydı. Kimi zamanlar kulaklığım öyle düğümlenirdi ki düğümü çözene kadar muhakkak bir arkadaşıma denk gelirdim. Bu da karışık kasedimi bir sonraki güne kadar dinleyemeyeceğim demekti.

20190730_143315.jpg

İşin komik tarafı yaşadığım sinir harbi nedeniyle kulaklığı çantama rastgele fırlatarak aynı sorunu ertesi gün de yaşayacağımı garantiye alıyordum.

Çantada birbirine dolanan kulaklık olayının bir benzeri vücudumuzu oluşturan hücrelerde her an yaşanmaktadır.

DNA, tüm organizmalar ve bazı virüslerin canlılık işlevleri ve biyolojik gelişmeleri için gerekli olan genetik talimatları taşıyan bir nükleik asittir. DNA’nın başlıca rolü bilginin uzun süreli saklanmasıdır.

dna_main_001

DNA, “helix” adıyla bilinen bir sarmal eğri şeklindedir. Bir hücrenin içinde bulunan DNA sarmalının uzunluğu 2 metreyi bulur. Boyutlar arasındaki ilişkiyi tamamen anlamanız için bir örnek vereceğim: Eğer bir hücrenin çekirdeği basketbol topu büyüklüğünde olsaydı, o hücrede bulunan DNA 200 km uzunluğunda olurdu.

Bir metrelik kulaklığı kocaman bir çantaya atınca neler olduğunu biliyorsunuz. Bir basketbol topunun içine 200 km uzunluğunda sarmal eğri sığdırmaya çalışmak mı?! Tanrım; her yer düğüm!

Düğüm Teorisi

İşte bu keşmekeş matematikçilerin düğümlerle ilgilenmesine neden olmuştu. Fakat matematik ile düğümün ilişkisi DNA çalışmalarından çok daha eskiye dayanıyor. 19. yüzyılda İskoç bilim insanı William Thomson (nam-ı diğer Lord Kelvin) atomların farklı düğümler şeklinde olduğunu öne sürmüştü. Kısa süre içinde Lord Kelvin’in fikri matematikçileri düğümleri incelemeye itse de Lord Kelvin’in yanıldığının ortaya çıkması düğüm teoresini neredeyse 100 yıl boyunca kendi haline bırakmıştı. (20. yüzyılın başlarında Kurt Reidermeister’ın çalışmaları neredeyse 1980’lere dek tekti. Reidermeister’dan bir sonraki yazıda bahsedeceğim.)

Peki matematiksel düğümün diğer düğümlerden farkı var mı?

maxresdefault (4)

Örneğin ayakkabı bağcıklarını bağlarken atılan düğüm, matematikte düğüm olarak karşılık görmez. Çünkü bağcığın iki ucu açıktır. Halbuki matematikte bir düğümün iki ucu birbirine bağlı olmalıdır.

180px-Example_of_Knots.svg

Soldaki düğüm olsa da matematikte düğüm ifade etmez. Sağdaki ise matematiksel bir düğümdür.

Unknot* ve Trefoil*

Düğüm teorisinde düğümlere farklı isimler verilir. Bu yapılırken düğümün en sade halinin sahip olduğu kesişim sayısı dikkate alınır. Hiç kesişimi olmayan bir düğüm (unknot veya kesişimsiz düğüm) aslında bir çemberdir:

20190730_135245.jpg
Lastik bant bir kesişimsiz düğümü ifade eder. (unknot)

Aşağıdaki iki düğüme bir göz atın:

 

 

Bu düğümler birbirlerinden farklı görünüyor değil mi? Soldakinde 1, sağdakindeyse 2 kesişim vardır.

lanaa.jpg

Fakat bu düğümlerden birini kesip-biçmeden, yalnızca iple oynayarak (bir tarafa yatırmak ve/veya ters çevirmek gibi) diğerine benzetebiliriz!

Yani aslında bu iki düğüm birbirinin aynısıdır. Hatta bu iki düğüm, yukarıda gösterilmiş olan kesişimsiz düğümün ta kendisidir. Örneğin soldaki düğümün sol kısmı yukarı itilirse kesişimsiz düğüme dönülür:

 

 

1 kesişimi olan ama kesişimsiz düğüme döndürülemeyen bir düğüm var mıdır?

Hemen yanıtı veriyorum: 1, ve hatta 2, kesişimi olup da kesişimsiz düğüme döndürülemeyecek bir düğüm yoktur.

Peki ya 3 kesişim?

3 kesişimi olup, kesişimsiz düğüme çevrilemeyen düğüme trefoil denilir.

Blue_Trefoil_Knot.png
Trefoil düğüm.

Trefoil, ilk bakışta kesişimsiz düğüme çevrilebilecekmiş gibi görünse de düğüm teorisi kuralları çerçevesinde (yani kesip-biçmeden) bunu yapmak imkansızdır. Trefoil özel bir düğümdür, çünkü (unknot dışında) kesişim sayısı en düşük (3) olan düğümdür. Bu yüzden de trefoil düğüm teorisi için temel kabul edilir.

trefoilandmirror.jpg

Trefoil düğümün önemli özelliklerinden biri ayna simetrisiyle alakalıdır: Birbirinin simetrisi olan a ve b trefoilleri birbirinden farklıdır! Yani birinden diğerini elde etmek düğüm teorisi kuralları içinde mümkün değildir.

Möbius Şeridi ve Trefoil

Daha önce Möbius şeridi ve özelliklerinden bahsetmiştim. Kısaca hatırlatmak gerekirse bir kağıt şeridinin iki ucu birbirine bağlanırsa çember elde edilirken, uçlardan biri 180 derece çevrilip uçlar bağlanırsa karşınıza Möbius şeridi çıkar.

Gelin Möbius şeridini yaparken uçlardan birini üç defa 180 derece çevirelim:

 

 

Daha sonra oluşan şekli ortasından (boyuna paralel olarak) keselim:

20190730_131333.jpg

Karşımıza aşağıdaki gibi bir şekil çıkar:

20190730_134158-1.jpg

Şekli bir kurcaladığımızda aslında bir trefoil düğümü elde ettiğimizi görürüz:

 

 

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kağıt şeridinden trefoil düğümü yaparken şeridin ucunu 3 defa 180 derece döndürüyoruz. Bu döndürmeyi içe veya dışa yapmanın bir farkı var mıdır? Neyle karşılaştınız?
  2. Şeridin ucunu 3 değil de 5 defa döndürürseniz ne olur? (Cevabı bir sonraki yazıda.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #6

Miras Problemi

Kral Serkan I ölüm döşeğindeyken sahip olduğu arsaları çocuklarına dağıtmaya karar verir. Doğal olarak Serkan I’in bazı koşulları vardır:

  • Her çocuk en az bir arsa alacak.
  • Birbirine komşu arsalar aynı çocuğun olmayacak.
  • Yukarıdaki koşullar sağlanmadığı takdirde mirasın tamamı “Fener Ol” kampanyası vasıtasıyla Frey’in bonservisine harcanacak.

Problem: Serkan I’in en az kaç çocuğu olmalı ki herhangi bir arsa paylaşımında sorun yaşanmasın?

Harita #1

Basit bir haritadan başlayalım:

20190423_000256.jpg

Bu durumda Serkan I’in iki çocuğunun olması yeterlidir:

20190423_000310.jpg

Bir önceki yazıdan hatırlayacağınız üzere harita ile graf birbirlerine dönüşebilir. Eğer arsalar noktaları ve iki arsanın komşu olması bu iki noktanın arasında çizgi olduğunu ifade ederse, haritamız aşağıdaki gibi graf olarak gösterilebilir:

20190423_000334.jpg

Bu haritaya bir arsa daha ekleyelim:

20190423_000402.jpg

Eklenen arsa graf için yeni nokta ve çizgi(ler) anlamına gelir:

20190423_000507.jpg

Harita #2

Yeni haritada üç arsa bulunsun:

20190423_000523.jpg

Bu haritayı graf haline getirelim:

20190423_000537.jpg

Grafta da görüldüğü üzere mirasın dağıtılabilmesi için Serkan I’in üç çocuğu olmalıdır:

20190423_000553.jpg

Harita #3

Üçüncü harita aşağıdaki gibidir:

20190423_000627.jpg

Bu dört arsanın kurallara uygun dağıtılması için miras dört çocuğa dağıtılmalıdır:

20190423_000642.jpg

Harita #3’teki durum graf olarak aşağıdaki gibidir:

20190423_000728.jpg

Harita #4

Serkan I’in bıraktığı arsaların aslında ABD haritasıyla aynı olduğunu varsayalım:

480271690e1e0485f71988e273730559

Bu haritayı paylaştırmak için Serkan I’in sadece dört çocuğunun olması yeterlidir:

amarikaaa

Ne Oluyor?

Dikkat ederseniz harita #2’nin grafından harita #3’ün grafına tek bir hareketle (yeni bir nokta koyarak) geçmek mümkündür. Hatta harita #1’den harita #2’ye geçiş de graf üzerine yeni bir nokta eklenip (3 numaralı olan) diğer iki noktaya bağlanarak gerçekleşmiştir:

O halde bir haritaya yeni bir mirasçı eklemek demek grafa yeni bir nokta eklemek demektir.

Peki en az beş çocuğun gerektiği bir harita yaratılabilir mi?

Bu soru aslında grafa (hiçbir çizgiyle kesişmeden) tüm noktalarla bağlantısı olan beşinci bir nokta eklenip eklenemeyeceği anlamına da gelir.

Yani tek yapmamız gereken dört noktalı grafa beşincisini ekleyip bu yeni noktayı diğerleriyle birleştirmektir. Fakat deneyince bunun mümkün olmadığı görülür. Örneğin beşinci noktayı en dışarı koyarsak:

1 ile 5’in arasında diğerleriyle kesişmeyen bir çizgi çizmek mümkün değildir. Ne yaparsak yapalım aynı sonuçta karşılaşırız:

Dört Renk Teoremi

Yaklaşık 160 yıl önce Francis Guthrie harita boyamak üzerine düşünüyordu:

“Düzlemde çizilmiş olan herhangi bir haritayı komşu ülkeler farklı renkte olacak şekilde boyamak için kaç renk yeterlidir?”

İnanılmaz bir şekilde cevap sadece dörttür.

Matematikle ilgili olan/olmayan hemen herkesin anlayabileceği basitlikteki bu soru ilk defa 1852’de Francis Guthrie tarafından ortaya atılmıştı. Ancak 120 yıl sonra (1976’da) dört rengin yeterli olduğu bilgisayarda 1936 farklı senaryo incelenerek ispatlanmıştı. Bu ispat çok önemlidir çünkü tarihte ilk kez bir matematik teoremi bilgisayar kullanılarak ispat edilmişti.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

20190423_003916.jpg

Yukarıdaki grafa dördüncü noktayı ekleyin ve diğerlerine çizgilerle bağlayın. (Bunu yaparken dördüncü noktayı istediğiniz yere koymakta serbestsiniz.)

Şimdi elinizdeki grafa bakın: Dört noktadan herhangi biri çizgilerin içinde kalmış değil mi?

Bunu engellemenin yolu var mı?

Neden var/yok?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi – Graf #5

Zalim Trafik Işığı

Hemen her gün aynı dört yol ağzından geçiyorum. Tabii olarak en uzun süre kırmızı yanan ışığın bulunduğu tarafı kullanmak zorundayım. Bir bakıma beklemek iyi geliyor: Hayatla ilgili bazı şeyleri düşünmeme olanak sağlıyor. Fakat düşüncelere matematik eğitiminin girmesi çok fazla zaman almıyor.

Bu kısa düşünce seanslarında aklıma takılanlardan biri matematiğin trafik ışıklarıyla ne tür bir ilgisi olabileceğiydi. Kısa bir araştırmadan sonra karşıma matematiğin en sevdiğim kısımlarından biri olan çizge teorisi çıktı.

Işık #1

Tek yön araç akışı olan ve yayaların karşıdan karşıya geçebildiği bir yol düşünün.Araçlar için olan ışığa A, yaya için olanaysa B diyelim:

20190419_014641.jpg

Bu durumda kaza olmaması için A’da yeşil renk yanarken B’de kırmızı, B’de yeşil yanarken ise A’da kırmızı yanmalı. Her iki ışığın da kırmızı yanması kaza yok demekse de anlamsızdır; çünkü öyle bir durumda kimse yerinden kıpırdayamamış olur:

20190419_014707.jpg

Bu durumu çizge teorisinde nokta ve çizgi olarak da gösterebiliriz. A ve B noktalar olurken, aralarında çizgi bulunması noktaların farklı renklerde olduğunu gösterir:

20190419_014721.jpg

Aynı şeyi alan boyama ile de göstermek mümkündür: A ile B komşu iki ülke gibi düşünülebilir. Komşu ülkeler birbirleriyle karışmasın diye farklı renklerde boyanır:

20190419_014817.jpg

Işık #2

İkinci örnekte gidiş-geliş bir yol ve yayalar için konan trafik ışıkları olsun. Araçlar için olan trafik ışıkları A ve B, yayalar için olansa C harfiyle gösterilsin:

20190419_014838.jpg

Bu yolda C kırmızıyken A ile B’nin her ikisi veya herhangi biri yeşil yanabilir. C yeşilken ise A ile B’nin her ikisi de kırmızı olmalıdır:

20190419_014858.jpg

Hepsinin kırmızı olduğunda kaza olmayacaksa da kimse bir yere gidemediği için bu durumu es geçeriz.

İkinci trafik ışığını çizge teorisinde ve harita boyamayla aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

20190419_014930.jpg

Kurallar belirlendikten sonra çizge teorisinin trafik ışıklarının yanış şeklini ne kadar daha sade açıkladığını görebiliyoruz.

Işık #3

İki yönlü bir yolda sağa dönüş ve yayalar için iki ışık koyulmuş bir durumu ele alalım:

20190419_014947.jpg

Bu sefer öncekilere kıyasla görünürde çok daha karmaşık bir durumla karşı karşıyayız:

20190419_015005.jpg

Fakat çizge teorisi ve harita boyamayla karmaşa çözülür:

Kaç Renk Yeter

İki nokta arasında bir çizgi varsa bu noktaların farklı renkte olması gerektiğini düşünerek aşağıdaki grafleri boyayalım.

Kromatik Sayı: Herhangi bir grafte renklendirme/boyama yaparken amaç en az sayıda renk kullanmaktır. İşte bu sayıya bir grafin kromatik sayısı denir.

Burada en az 3 renk gerekir. Yani grafin kromatik sayısı 3’tür. Grafe bir nokta ve çizgi daha ekleyelim:

Nokta ve çizgi sayısı artmasına rağmen kromatik sayı 2’ye düşer. Bir nokta ve çizgi daha eklersek:

Kromatik sayı yine 3 olur. Son bir defa daha nokta ve çizgi ekleyelim:

Kromatik sayı tekrar 2’ye düştü.

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Burada gerçekleşen şey ne? Ne fark ettiniz? Neden öyle oluyor?

Kromatik sayıyı nasıl artırabilirsiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #12

Göründüğü Gibi Değil

Sahil şeridi paradoksuna Mandelbrot’un yaptığı açıklamayı gerçek bir örnek üzerinden giderek göstereceğim.

ABD ile Norveç’in yüz ölçümleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

Görünürde ABD lehine bariz bir fark olmasına rağmen Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin toplam kıyı şeridinden çok daha uzundur:

ABD: 19.924 km

Norveç: 25.148 km

Bu, Norveç kıyılarının aşırı derecede girintili-çıkıntılı olmasından kaynaklanır. Yani Norveç’in kıyı şeridi ABD’nin kıyı şeridine göre çok daha pürüzlüdür. Mandelbrot bunu fraktal geometrisinde şöyle ifade eder: Norveç kıyı şeridinin fraktal boyutu ABD’ninkinden daha büyüktür.

Fakat bu, fraktal boyutu büyük olan şeklin daha uzun olduğu anlamına gelmez. Uzunluk ile fraktal boyut arasında bir karşılaştırma yapılamaz.

Ölçü Aleti

Sahil şeridi paradoksuna göre biz ne kadar küçük bir ölçü aleti seçersek, ölçülen uzunluk o derecede büyük çıkar. Peki ABD ve Norveç’in kıyı şeritleri hesaplanırken ölçü aletinin uzunluğu nasıl belirlendi?

İşte fraktal boyut burada işe yarar: Ölçü aletinin büyüklüğünü seçmede.

O halde Norveç ile ABD’nin kıyı uzunluklarını kıyaslamak için bunların fraktal boyutlarını hesaplamamız gerekir. Fraktal boyutları da bize seçilecek ölçü aletinin büyüklüğünü verir ki bu sayede iki kıyı arasında kıyas yapılabilir.

Soru: İyi ama bir sahil şeridinin tam uzunluğu nasıl ölçülür?

Maalesef ölçülemez. Bugün kıyı ve ülke sınırları için bilinen rakamların hiçbiri %100 doğru değildir. Ama emin olduğumuz bir şey var ki o da fraktal boyutu sayesinde kıyaslama yapabiliyor oluşumuzdur. Yani tam olarak uzunluğu bilemediğimiz halde herhangi iki kıyı veya sınırın hangisinin daha uzun olduğunu bilebiliyoruz.

Kutu Sayma Yöntemi

Fraktal boyut hesabı yapmak için sadece kutu sayma ismiyle bilinen basit bir yönteme ve hesap makinesine ihtiyacınız var.

Diyelim ki aşağıda gösterilen şeklin fraktal boyutunu bulacağız:

20190226_152316

Şekil 1×1 birimlik bir karenin içinde olsun. Öncelikle şeklin tamamını kenarı 1/4 birim olan karelere bölelim ve şeklin sınırının geçtiği kareleri sayalım:

Şeklin sınırı 14 tane karenin içinden geçer.

Daha sonra şekli bir kenarı 1/8 birim olan karelere bölelim ve yine sınırın geçtiği kareleri sayalım:

Bu sefer şeklin sınırı 32 tane karenin içinden geçer.

Hesap makinesi kullanarak sınırın geçtiği kare sayılarının birbirine bölümünün logaritmasını (yani 32/14’ün logaritmasını), kare boyutlarının birbirine bölümünün logaritmasına (yani {1/8}/{1/4}’ün logaritmasına) bölüp sonucu eksiyle çarparsak şeklin fraktal boyutunu buluruz:

loga.jpg

Rastgele çizdiğim şeklin fraktal boyutu yaklaşık olarak 1,19’dur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki şeklin fraktal boyutunu hesaplayın:

20190228_005941.jpg

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #11

Kesirli Boyut

Bir sahil şeridinin uzunluğu hesaplanırken kullanılan ölçü aleti ne kadar küçülürse hesaplanan uzunluk o derecede büyür. Bu da sahil şeritlerinin farklı (hatta sonsuza yakın) uzunlukta bulunabileceğini gösterir.

Mandelbrot sahil şeridi uzunluğunun büyümesi ile ölçü aletinin küçülmesi arasındaki orana “fraktal boyutu” ismini vermişti.

Öklid geometrisinde nokta 0, çizgi 1, kağıt 2, küp ise 3 boyutludur. Fakat doğada her şey Öklid geometrisinde gösterildiği gibi düzgün değildir. 20. yüzyılın başında Felix Hausdorff ismindeki bir matematikçi bazı şekillerin kesirli boyutlara sahip olduğunu göstermişti. Daha sonra Hausdorff-Besicovitch ismini alan kesirli boyut fikrini ele alan Mandelbrot fraktal geometrinin temellerini atmıştı.

Bir önceki yazıda Öklid geometrisinde boyut hesabından bahsetmiştim. Fraktal geometrisinde de şekillerin boyut derecesi hesaplanırken aynı formül kullanılır. Formülü test etmek için önce birkaç özel fraktaldan bahsetmem gerekiyor.

Kar Tanesi

İsveçli matematikçi Helge von Koch’dan ismini alan Koch kar tanesi diye de bilinen şekil, fraktal geometrinin en ünlü şekillerinden biridir.

Koch kar tanesini yapmak için işe düz bir çizgiyle başlanır. Çizgi üç parçaya ayrılır ve ortadaki parça silinir:

Ortadaki boşluğa silinen parçayla aynı uzunlukta iki çizgi koyulur (bir eşkenar üçgen yapılırmış gibi):

20190224_150711

Bundan sonraki her adımda şekilde düz çizgi bulunan her yere aynı işlemler yapılır. Önce her çizgi üç parçaya ayrılıp orta kısımlar çıkarılır:

20190224_161832

Daha sonra bu boşluklara silinen parçayla eşit uzunlukta iki yeni çizgi eklenir:

Koch kar tanesinin aşamaları ve kar tanesi görünümü:

El yapımı bir fraktal olan Koch kar tanesinin boyutunu bulmak için formülü uygulayalım. Bilmemiz gereken şeyler fraktaldaki parçaların boyutları ve sayılarıdır.

Koch kar tanesini yaratmak için çizdiğimiz ilk çizgi toplamları 1 birim yapan üç eşit parçadan oluşur:

20190224_161758

İkinci durumda bu parçalardan 4 tane vardır:

Adsızmbm.jpg

O halde Koch kar tanesinde parça uzunlukları 1/3, parça sayısı ise 4 olarak devam eder. Buradan Koch kar tanesinin fraktal boyutu (buna d diyelim) hesaplanabilir:

(1/3)d = 4

d ≈ 1,26.

Koch Eğrisi

Koch kar tanesini oluştururken bir düz çizgiyi üç parçaya ayırıp orta parça yerine eşkenar üçgen koymuştuk. Gelin bunu değiştirelim ve ortaya kare koyalım:

Sadece üç adımda şeklin ne kadar karmaşıklaştığını görebilirsiniz:

Bu özel Koch eğrisinde her bir düz çizgi bir öncekinin 1/3’ü uzunluğunda iken her seferde fraktalda 5 parça düz çizgi oluşur:

555.jpg

Boyut formülü uygulanınca fraktalın boyutu aşağıdaki gibi hesaplanır:

(1/3)d = 5

d ≈ 1,4649.

Peki boyutlar arasındaki fark neyi ifade ediyor?

Eğrinin Koch kar tanesinden daha yüksek boyuta sahip olması, eğrinin kar tanesinden hem daha fazla alan kapladığını hem de daha pürüzlü olduğunu gösterir.

Çıplak gözle de bunu fark etmek mümkündür:

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir başka el yapımı ünlü fraktal Waclaw Sierpinski’den adını alan Sierpinski üçgenidir.

Sierpinski üçgeni oluşturulurken önce büyük bir eşkenar üçgen çizilir ve bu üçgenin kenarları orta noktalarından işaretlenir:

İşaretli noktalar birleştirilerek dört yeni eşkenar üçgen ortaya çıkar. Yeni eşkenar üçgenlerden ortada olanı kesilirse şekil aşağıdaki gibi olur:

  1. Sierpinski üçgeninin fraktal olduğunu gösterin.
  2. Sierpinski üçgeninin fraktal boyutunu hesaplayın ve Koch kar tanesinin boyutuyla karşılaştırın.

M. Serkan Kalaycıoğlu