Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

20190130_231840

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

20190130_231741

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

20190130_231751

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

çembeee

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

289294-1338211643

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

20190130_232053

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

20190130_232030

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

20190130_232017

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

18mlevdqtxdsbjpg
Reuleaux üçgeni şeklinde tekeri olan bir bisiklet.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
  2. Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
  3. Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Örüntü #2

Karelerden Örüntü Oluşturma

Bir kare çizelim. Bu karenin çevresine birer kare daha çizelim. Toplam dört kenarı olduğu için dört kare çizilmiş olur. (4)

Şimdi elde edilen şeklin çerçevesine yeni kareler çizelim. Yani sekiz yeni kare çizilir. (8)

İşlem aynen devam ettirilirse bu sefer on iki tane yeni kare çizilir. (12)

pat5

Karenin etrafına çizilen kareler bir tür örüntü oluşturur. Örüntüye göre her yeni şekle bir öncekinden dört fazla kare eklenir. Toplam kare sayısı: 1, 5, 13, 25, 41… diye devam eder.

Üçgen Örüntü

Aynı şeyi bir de eşkenar üçgenle deneyelim.

patüç1

Bir eşkenar üçgenin etrafına üç tane yeni eşkenar üçgen çizilebilir. (3)

patüç

Bu yeni şeklin etrafına ise altı tane yeni eşkenar üçgen çizilebilir. (6)

patüç2

Görüldüğü üzere her seferinde üçgen sayısını üçer üçer artırıyoruz. O halde eşkenar üçgenlerle de bir örüntü kurmak mümkündür. Bu örüntüde üçgen sayıları 1, 4, 10, 19… diye devam eder.

Örüntü ve Cebir

Peki geometrik örüntüyü cebire indirgediğimizde karşımıza nasıl bir durum çıkar?

Aşağıdaki örnek bir örüntü çeşidini verir.

  • Bir kağıda istediğin sayıyı yaz.
  • Sayıyı 3 ile çarp.
  • Çıkana 6 ekle.
  • En baştaki sayıyı çıkar.
  • Sonucu 2’ye böl.
  • Bölümün sonucundan en baştaki sayıyı çıkar.
  • Sonuç 3.

Her zaman için bu işlemler 3 cevabını verir. Peki ama neden?

Bir sayıyı 3 ile çarpmak aslında bir sayıyı 3 defa toplamak demektir. 3x=x+x+x eşitliğinde görüldüğü gibi.

Sonraki iki adımda bu sayıya 6 eklenip, sayının kendisinin çıkarılması isteniyor. Yani elimizde x+x+x+6-x -> x+x+6 kalır. Bunu x+x+3+3 diye yazabiliriz.

O halde bir sonraki adımda sayıyı 2’ye bölünce elde (2 tane x ve 2 tane 3’ün yarısı 1 tane x ve 1 tane 3’tür) x+3 kalacağı görülebilir.

Son adımda ise baştaki sayıyı çıkarmamız isteniyor. Yani x+3-x. Bu da 3 sonucunu verir.

Yani x yerine hangi sayıyı yazarsak yazalım, sonuç x’e bağlı olmadığı için değişen bir şey olmaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Düzgün beşgenlerle örüntü elde etmek mümkün müdür? Deneyin.
  2. Örüntü ve cebirde gösterilen örneği hikayeleştirmeye çalışın. Hatta örüntüyü de değiştirebilirsiniz. İpucu: Sayı yerine para demek en kolay hikaye yazma tarzıdır. Yine de siz sıkıcı bir bakkal hikayesi yazmaktan kaçının.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #2

Bir önceki yazıda Hippasus’un sonunu getiren sayılardan bahsetmiştik. Bu sayılar ne ölçülebiliyor, ne de iki sayının oranı şeklinde gösterilebiliyordu.

İrrasyonel, yani mantıksız diye adlandırılması da bu nedenledir: Uzunluk elimizin altında ama ölçemiyoruz, sayı karşımızda ama belirtemiyoruz.

√2: En ünlü irrasyonel sayılardan biri. 

Farkında olalım ya da olmayalım; bahsettiğim uzunluğa kare şeklinde olan her şeyde rastlıyoruz. Eğer bir kareyi çapraz köşelerinden ikiye bölersek karşımıza bir ikizkenar dik üçgen çıkar.

IMG_4552

Diyelim ki elimizde dik kenarları 12’şer cm uzunlukta olan bir dik üçgen var. Pisagor teoremine göre dik üçgenin uzun kenarının karesi, dik kenarların karelerinin toplamıdır. O halde:

olur. Yani uzun kenar irrasyonel bir sayı çıkmıştır.

Bu kenarı ölçmeye çalıştığımızda ise 16,97056… sayısıyla karşılaşırız.

Eğer 16,97056… yerine 17 dersek ne olur?

√2 Sonunda Mantıklı

12√2=17 dersek;

pisag5

sonucuna ulaşırız. √2 iki sayının oranı şeklinde yazılabildiği için artık rasyoneldir! Bundan sonra √2 gördüğümüz her yere 17/12 yazabiliriz.

Fakat, dik üçgen üzerinde biraz oynadığımızda hemen bulduğumuz sonucun ne kadar sıkıntılı olduğunu görebiliriz.

Çelişki İle İspat

12 cm uzunluğundaki dik kenarlardan altta kalanını 5 ve 7 cm olacak şekilde ayıralım ve tam bu noktadan uzun kenara bir çizgi indirelim.

IMG_4553

 

 

Bu durumda uzun kenara inen çizgi diktir ve uzunluğu 5 cm’dir. (Bunun doğru olup olmadığını görmek için kendi üçgeninizi çizip yapılan işlemi tekrarlayın. Cetvel uzunluğu, açıölçer ise dikliği doğrulayacaktır.)

 

IMG_4554

 

Elimizdeki ikizkenar dik üçgenin içinde üç adet dik üçgen elde etmiş olduk: A, B ve C. A ve B dik üçgenleri birbiriyle özdeştir, bu yüzden de büyük üçgenin uzun kenarı 12 ve 5 cm olarak ikiye ayrılmıştır. C ise ikizkenar dik üçgendir. Gelin C’yi daha yakından inceleyelim.

 

 

IMG_4554Dik kenarları 5 cm, uzun kenarı ise 7 cm uzunluğunda olan bir ikizkenar dik üçgenimiz var. Öğrendiğimiz üzere böyle bir durumda Pisagor teoremi bize uzun kenarın uzunluğunun dik kenarın √2 katı olduğunu söyler. O halde uzun kenar 5√2 cm olmalıdır.

 

Fakat az önce √2 yerine 17/12 yazabileceğimizi söylemiştik. Yani uzun kenar

5*(17/12) cm

85/12 cm

olur. Fakat fotoğrafta görüldüğü üzere uzun kenar 7 cm‘dir.

7 = 85/12 sonucu bir çelişkidir.

Bu yüzden bizim en başta yaptığımız kabul yanlıştır. √2 rasyonel değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Aynı işlemi C üçgeni için tekrarlayıp √2’nin rasyonel olmadığını gösterin.
  2. İkizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğu 12 yerine 10 cm olsaydı ne olurdu?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #1

Tarikat Kurbanı Hippasus

Pisagor matematikte en çok bilinen isimlerden biridir. İsmiyle anılan teorem ile üne kavuşmuşsa da, basit bir teoremden çok daha fazlasını yapmış biriydi. Ayrıca o, tarihte bilinen ilk bilim tarikatının başıydı.

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, dik olmayan kenarın uzunluğunun karesine eşittir.

Milattan önce 6. yüzyılda Kuşadası’nın karşısında bulunan Sisam adasında dünyaya gelen Pisagor, saf bir matematikçi olarak antik Yunanistan’da önemli bir üne sahipti. Onu takip edenler (Pisagorcular), tıpkı liderleri gibi yaşamayı seçmişti. Pisagorcular birbirlerine sıkıca bağlı, kapalı bir gruptu. Et ve fasulye yemeyen bu grup, mal ve mülk sahibi olmaktan kendilerini soyutlamıştı.

Pisagor’a göre evren sayılar üzerine kurulmuştu. Her sayının bir karakteri vardı ve evrendeki tüm oluşlar sayıların birbirine oranlarıyla açıklanabilirdi. Sayılar güzel, çirkin, maskülen, feminen, harika ya da eksik olarak gruplara ayrılmıştı. Örneğin 10 en iyi sayıydı; çünkü ilk dört sayıyı içinde barındırıyordu (1+2+3+4=10).

Pisagorcular tüm sayıların başka herhangi iki sayının birbirine oranı şeklinde gösterilebileceğini iddia etmişti. (Örneğin 5=10/2) Hatta temel felsefeleri bu düşünceye dayanıyordu. Bu tür sayılar “rasyonel” yani “mantıklı” sayılardı.

Günün birinde Pisagor’un bir müridi yeminini bozmuş ve sorulması yasak olanı sormuştu: Dik kenarları birbirine eşit ve bir birim uzunluğunda olan dik üçgenin (yani ikizkenar diz üçgenin) dik olmayan kenar uzunluğu kaç birimdir?

diküç1
Şekildeki üçgende uzun kenarın 1,41 birim olduğu gösteriliyor. Fakat bu tam değil, yaklaşık değerdir. Bu kenarın uzunluğu bir cetvel ile ölçülemez.

Hippasus ismindeki mürit, Pisagorcu kardeşleriyle denize açılmıştı. Yolculuk sırasında matematik üzerine çalışan Hippasus rasyonel (mantıklı) olmayan sayılar bulduğunu iddia etmişti. Pisagor’a karşı gelmenin cezası büyüktü. Pisagorcuların anayasasına aykırı davranan Hippasus suya atılarak idam edilmişti. Pisagorcular ise mantıklı olmayan sayıların varlığını sır olarak saklamaya devam etmişti.

Ölçülemeyen Sayı Var mı?

kök2

Pisagor teoremine göre dik kenarları birer birim olan üçgenin uzun kenarının uzunluğu.

Eğer Hippasus yanıldıysa, √2 mantıklı bir sayıydı. Yani √2, iki sayının oranı şeklinde yazılabilirdi. Bunu doğru kabul edelim ve √2’nin a/b olduğunu kabul ederek işe başlayalım.

Not: a ve b sayıları birbirine asal olur. Yani a/b oranı sadeleşemez durumdadır. Bu yüzden de sonuca varınca a/b’den daha küçük bir orana ulaşılmaması gerekir.

kök21

Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak, sol tarafı karekökten kurtarırız.

kök22

Paydayı eşitliğin sol tarafına atarsak;

kök23

olur. Bu da aslında bir karenin alanının iki katının, başka bir karenin alanı ettiğini gösterir.

kök24

Yani bir kenar uzunluğu b birim olan karelerden iki tanesi, a kenarlı bir kare yapmalı. O halde iki özdeş karenin alanları toplamı, başka bir karenin alanı etmeli. Bir diğer deyişle, bir karenin alanının iki katı büyüklükte alana sahip olan başka bir kareye ihtiyacımız var.

karekök1

Sağdaki özdeş karelerin alanları toplamı soldaki kare yapıyorsa bu iki küçük kareyi büyük olanın içine yerleştirmeye çalışalım.

karekök2

Küçük karelerden birini büyük karenin sol alt köşesine, diğerini ise sağ üst köşeye sabitlersek, ortada kesişen bölge iki defa sayılmış olur. Eğer özdeş kareler, büyük kareyi tam olarak kaplamak zorundaysa kesişen bölgenin alanı kenarlarda boş kalan bölgelerin alanların toplamı kadardır.

Şekilde görüldüğü üzere A alanına sahip iki özdeş kare, ortada kalmış taralı alanlı kare yapmalı. Eğer küçük karelerin bir kenar uzunluğu c birim, taralı karenin bir kenar uzunluğu d birim olursa

kök25

sonucu elde edilir. Yani problemin başındaki duruma dönmüş olduk: İki özdeş karenin alanları toplamı bir başka kare etmeli! (Bu da a/b’den daha küçük bir orana erişildiği anlamına gelir.) Bu sonuç hem sadeleşemez a/b oranından daha küçük bir oran verir, hem de sonsuz bir döngünün içinde bulunduğumuzu gösterir.

O halde baştaki kabulümüz yanlıştır√2 sayısı a/b şeklinde yazılamaz. Yani √2 mantıklı bir sayı değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. √2’nin irrasyonel (mantıklı olmayan) bir sayı olduğunu kağıt-kalem-cetvel kullanarak ispatlayın.
  2. √3’ün rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu nasıl anlarız? (İpucu: İspatı geometrik şekilde yapmaya çalışın.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Geometri #3

“Sizin için bile olsa, krallara özgü bir geometri öğrenme yolu yoktur.” – Kendisine geometriyi kolay yoldan öğretmesini isteyen krala Öklid’in verdiği söylenen cevap.

Şu ana dek Öklid’den ve onun yazdığı Elementler’den bir kaç defa bahsettim. 13 kitaptan oluşan bu eser binlerce yıl boyunca geometrinin tek kaynağı olarak görülmüştü. Hatta uzun bir süre boyunca (Newton, Leibniz, Ömer Hayyam vb. dahil olmak üzere) tüm bilim insanları, matematiği Öklid’in Elementler’inden öğrenmişti.

Elementler’in birinci kitabı ilk bakışta çok basit görünen 23 adet tanımla başlar. Bunlardan bir kaçı aşağıdaki gibidir.

Elementler Kitap 1

Tanım 1: Nokta, büyüklüğü olmayandır.

Tanım 2: Çizgi, eni olmayan uzunluktur.

Tanım 3: Bir çizginin uçları noktalardır.

Tanım 4: Doğru, üzerindeki noktalara göre eşit olarak yatan çizgidir.

Tanım 8: Düzlem açısı, aynı doğru üzerinde olmayan ve birbirine dokunan çizgilerin birbirine göre eğimidir.

Tanım 15: İçindeki bir noktadan, üzerindeki her noktaya çizilen doğruların birbirine eşit olduğu düzlem şekline çember denir.

Bu tanımlar için bazı sorularım var.

Birinci tanıma göre nokta, büyüklüğü olmayandır. Peki bir noktayı nasıl göstermemiz gerekir?

Büyüklüğü olmayan bir şey gösterilebilir mi?

Noktayı hangisi gösterir? Sağdaki daha küçük diye daha makul olan mıdır? Tabi ki her ikisi de nokta belirtir ve her ikisi de gerçek nokta değildir.

Bu bağlamda ikinci tanımın da birinciden pek farkı yok. Eni olmayan bir uzunluk çizmemiz mümkün müdür?

çizgi
A’dan B’ye çizilen çizginin eni olmamalı. Yani kalınlığı olmaması gerekir. Bu da maalesef mümkün değil.

Sekizinci tanım, açıdan bahseder. Bir açıyı gösterebilmek için çizgilere, çizgiler için doğruya, bu ikisini gösterebilmek için de noktalara ihtiyacımız var. O halde bir açıyı göstermek mümkün müdür?

açı
Çizilecek açı için gereken nokta ve doğru parçaları tanıma uygun değildir. Yani bir açıyı göstermek de imkan dahilinde değil.

Bir mimar olduğunuzu varsayın. Evin planını çizerken noktalar, çizgiler, doğru parçaları ve açılar kullanmanız kaçınılmaz değil mi? Ama biraz önce verdiğimiz tanımlara göre bu kavramları çizerek göstermemiz imkansız.

Matematiğin soyut ve somut kısımları olduğu söylenir. Özellikle öğretmenlerden istenen somut örneklerdir. Ne zaman bir konuda zorlanılsa, hemen işin kolayını gösteren bir yol istenilir. Halbuki matematiğin en basit kavramlarını dahi tam olarak göstermek mümkün değildir.

Elementler’deki Sihir

Öklid’in Elementler’inde ilk kitabın birinci önermesi şunu söyler: Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar üçgen çizmenin yolu.

Yani Öklid bize, rastgele bir doğru parçası verildiğinde bir kenarı o parçanın uzunluğunda olan bir eşkenar üçgeni sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizebileceğimizi gösteriyor.

Yazının devamına bakmadan önce kendinize biraz süre verin ve bunu nasıl yapabileceğinizi düşünün. Unutmayın, Öklid’in kullanabileceği herhangi bir uzunluk aygıtı (açı ölçer ve ölçülü cetvel gibi) yoktu.

  1. Uzunluğumuz A noktasında B noktasına çizilen bir doğru parçası olsun.
    çem
  2. A noktası merkez olmak üzere, AB uzunluğunda yarıçapa sahip olan bir çember çizilsin.
    çem1
  3. B noktası merkez olmak üzere, BA uzunluğunda yarıçapa sahip bir çember çizilsin.
    çem2
  4. İki çemberin kesiştiği noktalardan biri C noktası olsun.
    çem3
  5. A merkezli çemberde AB ve AC doğruları yarıçap olur. Yani AB ile AC aynı uzunluktadır.
    çem4
  6. B merkezli çemberde BA ile BC yarıçap olur. Yani BA ile BC uzunlukları birbirine eşittir.
    çem5
  7. AB ile AC, BA ile de BC eşittir. AB ile BA aynı doğru parçası olduğu için AC ile BC de birbirine eşittir. Yani AB, AC ve BC doğruları birbirine eşittir.
    çem6
  8. Bu üç doğru bir eşkenar üçgeni oluşturur. Böylece verilen rastgele bir AB doğrusunun üzerine eşkenar üçgeni çizmiş oluruz.
    çem7

Oturduğumuz Yerden

Eşkenar üçgeni elde etmek için kullandığım adımların tamamı Öklid’in direktifleridir. Yapılan işin en güzel tarafı ise şu: Biz bir noktayı dahi göstermekten aciz olmamıza rağmen hayal gücümüz bugün matematik dilinin gücünü kullanarak uzaya uydular fırlatıyor ve hatta evrenin sırlarını ortaya çıkarmaya çalışıyor. Hem de oturduğumuz yerden!

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Rastgele verilmiş bir doğrunun eşitini sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizersiniz? İpucu: Öklid’in Elementleri, Kitap 1’deki ikinci önermeyi inceleyin.

M. Serkan Kalaycıoğlu