Matematik Atölyesi – Oyun #5

Bana Karşı Hepiniz

Bu yazıda seninle bir oyun oynayacağım. Evet, sana diyorum doğru bildin. Yazının sonunda nerede durursan onu kazanacaksın.

Kurallar:

  • Oyuna sol üst köşeden başlanır.
  • Her hamlede gidilebilecek sadece dört yön var: Aşağı, yukarı, sağ ve sol.

    hepsis
    1000 Euro’dan bir adım atılacaksa bu ya sağındaki 1000 dolara, ya da aşağısındaki Iphone’a doğru olur. Çapraz gitmek serbest olmadığı için 1000 Euro’dan bir adım atarak kahveye geçilemez.
  • İkinci kural izlendiği takdirde istenildiği gibi hareket edilebilir. Yani aynı yere geri dönmek, istenilen yere istenildiği kadar gitmek serbest.
  • Her hamlede adım atmaya en son kaldığınız kutudan devam edilecek.
  • Benim görevim attığın adımlar sonrasında bazı kare/kareler seçip elemek. Eğer elediğim karelerden birinde isen oyunu kazanmış olacaksın.
  • Tekrar ediyorum, çapraz ve benzeri hareket yok. Sadece aşağı-yukarı ve sağ-sol yapılabilir.

Hazır olduğunda başlıyoruz. İyi şanslar.

Oyun

1. Aşağıdaki dokuz kare arasında hareket edeceksin. Başlangıç sol üst köşeden, yani 1000 Euro’nun olduğu yerden olacak şekilde 5 adım at.

hepsi

2. Hareketinden sonra 1000 euro’nun bulunduğu karede olamazsın. Şimdi bulunduğun yerden başlayarak tam 7 adım atacaksın. Attın mı? O halde bir sonraki maddeye geçebilirsin.

hepsi2

3. Adımlardan sonra 1000 doların üzerinde durmuyorsun; değil mi? Bu yüzden 1000 doları da oyundan çıkarıyorum. Oyunu biraz daha hızlandırıyor ve 11 adım atmanı istiyorum.

hepsi3

4. Bu sefer daha iddialı olacağım ve iki kutu seçeceğim: Durduğun yer araba anahtarı ve bir çanta dolusu paranın olduğu kutuların her ikisi de değil. Haklı olduğumu biliyorum ve aşağıdaki şekil üzerinde nerede duruyorsan oradan başlayıp 5 adım atmanı istirham ediyorum.

hepsi4

5. Adımların bittikten sonra Iphone ve 100 doları da eleyebilirim, çünkü biliyorum ki oralarda değilsin. Şimdi bulunduğun yerden sadece 1 adım atmanı istiyorum.

hepsi5

Sonuç: Kahve ve 500 doları eliyorum çünkü biliyorum ki şu an sıfırın üzerindesin. Üzgünüm ama kocaman bir sıfır kazandın.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bu oyunu kim oynarsa oynasın, adımları nasıl atarsa atsın, her zaman sonuç bu olacak. Peki ama neden? Nasıl kendimden bu kadar eminim?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #8

Pastayı Kesmenin Doğru Yolu

Bir pasta diliminden bahsederken hemen herkesin aklına tek bir şekil gelir:

Halbuki bir pastayı kesmenin doğru yolu bu değildir. 20 Aralık 1906 tarihinde yayınlanan Nature dergisinin 173. sayfasında ünlü İngiliz bilim insanı Francis Galton’un gönderdiği kısa bir bilgi yer alır. Galton’a göre yuvarlak bir pastanın bayatlamasını engellemek için pastayı “doğru bilimsel yöntemlere” başvurarak kesmek gerekir.

keks
Francis Galton’un yazısı.

Bir yaş pastayı geleneksel şekilde kesince, kesilen kısımlar açıkta kalır ve anında bayatlamaya başlar. Bunu engellemek isteyen İngiliz bilim insanı, doğru kesim yöntemini geometrik olarak açıklamıştı.

Bay Galton’a göre yuvarlak pastayı kesmek için (tabi ki bıçak dışında) bir tek elastik banda ihtiyacımız vardır.

IMG_5755

İlk Kan: İlk bıçak darbeleri, pastanın çapına aynı uzaklıkta bulunan, çapa ve dolayısıyla birbirlerine paralel olan iki hayali doğruya vurulur.

Uzun parça yenilmek üzere pastadan çıkarılırken, kalan parçalar elle birleştirilir. Kesilen kısımlar birbirlerine olabildiğince bağlı olsun diye pastanın etrafına bir lastik bant takılır.

İkinci Kesik: İlk kesiğe dik bir şekilde atılır. Kalan pasta dört parçadan oluşur. Parçalar el yardımıyla birleştirilir ve ayrılmaması için yine etrafına lastik bant takılır. Böylece pasta sürekli taze tutulmuş olur.

Galton’un yaptığını denemek için illa pasta kullanmanıza gerek yok. Kağıda çizeceğiniz bir çemberle de yöntem gösterilebilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Arkadaşlarınızla bir Pazar kahvaltısında berabersiniz. Masaya kişi sayısının bir fazlası kadar gözleme geldiğini fark ettiniz. Son gözlemeye herkes talip olunca oy birliğiyle bir oyun oynamaya karar verildi.

Önündeki gözlemeyi üç düz çizgi halinde bıçak darbesiyle en çok parçaya ayıran kişi, son gözlemeye sahip olacak. (Gözlemenin parçalarını hareket ettirmeniz yasaktır.)

Kazanmak için nasıl bir strateji izlemeniz gerekir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Geometri #7

Bir önceki yazıda antik Yunan bilim insanlarının sadece pergel ve cetvel ile çözemediği üç problem olduğundan bahsetmiştim. Bu yazıda Öklid’inkinden daha basit yöntemler olduğundan bahsedeceğim.

Öklid’in Elementler’inde gösterilen yöntemler sayesinde pergel ve cetvel ile rastgele verilen bir doğruyu ve bir açıyı iki eşit parçaya bölmeyi biliyoruz. Peki Öklid’e göre bir doğruyu üç eşit parçaya nasıl böleriz? (Unutmayın; cetvellerde ölçü olmadığını farz ediyoruz.)

Doğruyu Eşit Parçalara Bölmek

Önce bir doğru parçasını üç eşit parçaya ayırmaktan başlayalım. Öklid’in Elementler’inde altıncı kitabın dokuzuncu önermesi bunun nasıl yapılacağını gösterir.

AB doğru parçası üç eşit parçaya bölünecek olsun. Rastgele bir C noktası seç ve AC doğrusunu çiz.

AC üzerinde üç tane eş çember çiz. Bu sayede AC doğrusu üzerinde üç eşit parçaya ulaşmış oluruz.

IMG_5069

F noktasını B noktasıyla birleştir. D ve E noktalarından DF’ye paralel doğrular çiz.

AB doğru parçası üç eşit parçaya ayrılmış oldu. Hatta bu yöntemi kullanarak AB doğru parçasını istenilen sayıda eşit parçaya bölebiliriz.

IMG_5074

Yöntemin içinde bazı şeyleri nasıl yapacağımız Elementler’de saklı. Öklid’in yöntemi için verilen bir doğruya paralel bir başka doğru çizmeyi (Elementler Kitap I, Önerme 31), onu yapabilmek için de verilen bir açıya eşit bir açı çizmeyi (Elementler Kitap I, Önerme 23) bilmek gerekir. İşin fenası eşit açı çizebilmek için eşit üçgen çizmeyi, yani birinci kitaptaki 22. önermeyi bilmek gerekir.

Müslüman Etkisi

2400 yıldan fazla bir süre önce yazılmış olan Elementler günümüze dek kalmışsa, bunu büyük ölçüde Müslüman bilim insanlarına borçluyuz.

Elementler’i okuyup yorumlayan ilk matematikçilerden biri Al-Nayrizi (865-922) idi. Günümüze kadar kalan yorumunu amazon.com’da (hem de 200 doların üzerinde bir fiyatla) bulabilirsiniz.

Al-Nayrizi verilen rastgele bir doğru parçasını istenilen sayıda eşit parçaya bölmek için harika bir yöntem bulmuştu.

AB doğru parçasının A ve B noktalarına birer dik çizin.

Eğer AB n tane eşit parçaya ayrılmak isteniyorsa, bu dik doğrular üzerinde (n-1)’er tane eşit parçalar işaretleyelim. Bunu yaparken istediğiniz yarıçap uzunluğuna sahip bir çemberden yan yana çizmeniz yeterli. (Bir başka deyişle pergelinizi kullanabilirsiniz.)

IMG_5078

Dik doğrular üzerindeki noktaları şekildeki gibi birleştirelim.

Bu doğruların AB’yi kestiği yerler, AB’yi eşit parçalara ayırmış olur.

IMG_5084

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Algoritma #2

Algoritma kelimesi 9. yüzyılın ortalarına dek yaşamış olan İran asıllı bilim insanı El Harezmi’nin isminin Latince’deki karşılığıdır. Fakat matematikte algoritmanın (ya da yöntemin) bilinen en eski örneklerinden biri Harezmi’den yaklaşık 1300 önce yazılmış bir eserde bulunur.

Neredeyse her yazıda bahsettiğim Öklid’in Elementleri tarihin en önemli geometri eserlerinden biri olarak bilinir. Fakat Elementler bir geometri eseri olarak adlandırılamayacak kadar geniş kapsamlı 13 kitaptan oluşur. Bu kitapların içinde yedinci kitabın ikinci önermesi ilkokuldan itibaren aşina olduğumuz bir soru tipinden bahseder.

Ortak Bölen

Elementler’in yedinci kitabının ikinci önermesine bugün Öklid’in Algoritması denilir. Algoritma kitapta “Aralarında asal olmayan iki sayı verildiğinde, bunların en büyük ortak ölçüsünü bulmanın yolu.” olarak tanımlanmıştır. Gelin bir örnek üzerinden Öklid’in ne demek istediğine bakalım. (Aralarında asal olmayan iki sayı: Kabaca aynı sayıya bölünemeyen sayılardır.)

Örnek: 10 ve 6 sayılarının en büyük ortak ölçüsünü Öklid’in yöntemiyle bulmak.

Hatırlatmakta yarar var, Öklid sayı yerine uzunluk kullanıyordu. O yüzden algoritması da uzunluklarla işlem yapmayı içerir. En basit haliyle Öklid’in algoritması şu şekilde ilerler: Kalan iki sayı birbirinin eşiti olana dek büyük olandan küçüğü çıkar.

Adım 1 => Büyük sayıdan küçüğü çıkar.

öa1

 

AB uzunluğu 10, CD uzunluğuysa 6 birimdir. Büyük uzunluktan küçüğü çıkarırsak geriye 4 birimlik başka bir uzunluk kalır.

 

 

Adım 2 => Kalan ile CD uzunluklarından hangisi büyükse, ondan küçük olanı çıkar.

öa2

 

CD 6, kalan uzunluk olan EF ise 4 birimdir. Birbirlerinin farkı 2 birimdir.

 

Adım 3 => Yeni kalan ile EF uzunluklarından hangisi büyükse, ondan küçük olanı çıkar.öa3

EF 4, kalan uzunluk olan GH ise 2 birimdir. Birbirlerinin farkı yine 2 birim yapar.

 

Adım 4 => Yeni kalan ile GH uzunluklarından hangisi büyükse, ondan küçük olanı çıkar.

öa4GH ile IJ uzunlukları birbirine eşittir. O halde sonuç 2 birimdir.

 

Yani 10 birimlik bir uzunlukla 6 birimlik bir uzunluğun en büyük ortak ölçüsü 2 birimdir.

EBOB

İlkokuldan beri “en büyük ortak bölen” (kısaca EBOB) kavramı bir çok defa karşınıza çıkmıştır. Belki de yüzlerce adet soru çözdüğünüz bu konunun tarihi aslında milattan önce 400’lere dek uzanır. Okulda iki sayının EBOB’unu bulurken sayıları asal çarpanlarına ayırmak en çok kullanılan yöntemdir. Sayıların sahip olduğu asal çarpanlardan ortak olanlar en büyük ortan böleni verir. Aynı soruyu bir de bu yöntemle çözelim.

10=2.5 ve 6=2.3 olur. Bu yüzden cevap 2‘dir.

Karşılaştırma: 60 ve 40 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?

  • Öklid’in Algoritması:
    60-40=20
    40-20=20
    20-20=0
    Cevap 20.
  • Çarpanlara Ayırmak:
    60=2.2.3.5
    40=2.2.2.5
    Ortak olanlar => 2.2.5=20.

Taş Ustasının Problemi

En büyük ortak bölen bulmak için bir yöntem daha var: Yer döşemek.

Antik zamanlarda Ege’de yaşayan bir döşeme ustası yapılacak yeni tapınağın inşaatında çalışmak üzere tutulur. Ustadan tapınağın girişinde 40 metreye 60 metrelik bir dikdörtgen alanı kare şeklinde taşlarla döşemesi istenir. Bu işi yaparken ustanın en az kaç adet taşa ihtiyacı vardır? (Aslında bu soru ile “40 ile 60 sayılarının en büyük ortak böleni kaçtır?” sorusu aynıdır.)

kare1

Usta, Öklid’den haberdardır. Onun algoritmasını temel mantık olarak düşünerek yeni bir yöntem yaratır. Taş ustası dikdörtgen şeklindeki alan tamamen dolana dek içine dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğuna sahip kareler çizer. En son çizilen karelerin bir kenarı cevabı verir.

 

Adım 1 => Dikdörtgenin içini kısa kenarın boyutlarına sahip karelerle doldur.

kare2

 

 

Kısa kenar 40 metre uzunluğundadır. Bu yüzden dikdörtgenin içine kenarları 40 metre olan karelerden sadece bir tane sığar.

 

 

Adım 2 => Şimdi elinizde 40’a 20’lik bir dikdörtgen vardır. Aynı şeye devam edilir; kısa kenarın boyutlarına sahip kareler çizilir.

kare3

 

 

Kısa kenar 20 metre olduğu için, çizilen kareler 20’ye 20’liktir. Büyük dikdörtgen tamamen dolunca cevabı en son karenin boyutları verir: 20.

 

India_Goa_Cathedral_Floor
Kötü usta…

M. Serkan Kalaycıoğlu