Real Mathematics – Geometry #5

pythagoras1

I was wondering; if there was a list of hall of fame for famous ancient Greeks Pythagoras would find himself in the top ten for sure. What is striking about his fame is that it comes directly from a geometry property. Although mathematicians know that so called Pythagorean Theorem was known to other cultures at least 1000 years before he “discovered” it.

Pythagorean Theorem: In a right-angled triangle sum of the squares of the perpendicular sides gives the square of the hypotenuse that is the longest side of the triangle.

It is being told that there are 367 different proofs for this theorem. Some of them are so similar, even mathematicians have trouble seeing the difference among these proofs.

Let’s check a few of the proofs.

Proof 1

Elisha Loomis talks about a proof for the Pythagorean Theorem in his book “The Pythagorean Proposition”. This proof is special because it came from a high school student named Maurice Laisnez.

I decided to use cutting papers for the explanation. First of all I cut a random right-angled triangle and then made 3 more copies of it.

I lined these four triangles up such that it gave me a square inside a square:

pissa2

Since sides of the inner square are c, it has area c2.

Now let’s line the triangle as follows:

pissa3

Marked areas 1 and 2 are squares and their area is equal to the area of the inner square from the previous alignment. Now let’s find the areas of 1 and 2: They make a2 and b2.

Their addition will make c2. Hence:

a2 + b2 = c2

Proof 2

For the second proof I decided to go to the ancient China.

Zhoubi Suanjing is believed to be written around 500 BC to 200 BC. In the Loomis’ book you can find this proof in the page 253.

c59fekil-3

Pythagorean Theorem’s proof in the Suanjing.

Again I will cut four right-angled triangles for the explanation of the proof. But this time I will cut the triangles such that their perpendicular sides will have length 3 and 4 units. Chinese mathematicians tried to find the third side of the triangle as follows.

pisasaads

In order to start the proof I lined the triangles up like below and a tiny square formed in the middle:

pisasa

Tiny square A has sides that have 1 unit each. This is why area of A is 1 unit as well.

We know that the area of one triangle is (3*4)/2 = 6 units. There are four of such triangles and that gives us 6*4 = 24 units of area. When I add the area of A to this result, I can find area of the whole square as 25 units.

If area of a square is 25 units, its one side is square root of the area: √25 = 5 units.

From here we found length of the third side from the triangles:

pasdpfsdf

This proof shows us that 3-4-5 triangle and Pythagorean Theorem were both known in ancient China.

One wonders…

A farmer dad wants to retire. He would like to divide three of his lands to his two sons equally. But he wants to do that without dividing the lands from each other. What should he do?

pppp

X-Y-Z are squares as DCG is a right triangle.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Geometri #5

En çok bilinen antik Yunan isimlerden bir liste yapılsa, Pisagor muhakkak ilk 10’da kendine yer bulurdu. (Ünlü Pisagor ve onun tarikatından bahsettiğim yazı için tıklayın.) Pisagor’un ünü ismiyle anılan bir geometri özelliğinden gelir. İşin garibi bugün bu özelliğin ondan en az 1000 yıl önce kullanılmış olduğu bilinmesine rağmen hala özelliğe Pisagor’un adını veriyoruz.

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, dikliğin karşısında bulunan uzun kenarın karesine eşittir.

Peki bunun ispatı nedir?

Pisagor teoreminin 367 tane farklı ispatı olduğu söylenir. Fakat bunlardan bazıları birbirine o kadar benzer ki, bir matematikçi dahi ispatlar arasındaki fark/farkları görmekte zorlanır.

Gelin bunlardan birkaçına göz atalım.

İspat 1

Elisha Loomis “The Pythagorean Proposition” isimli kitabının 49-50. sayfalarında bir lise öğrencisi olan Maurice Laisnez’in bulduğu ispattan bahseder.

Bu ispatı kontrol ederken çizim yapmak yerine kağıtları kesmeyi seçtim.

Öncelikle ihtiyacımız olan dört tane dik üçgen ve bir kenar uzunluğu bu üçgenlerden birinin dik kenarlarının toplamı kadar olan bir karedir.

Üçgenleri fotoğraftaki gibi yerleştirince karşımıza bir kenar uzunluğu dik üçgenlerin uzun kenarı kadar olan bir kare çıkıyor.

pissa2
Ortada kalan beyaz alan bir karedir.

Bu karenin bir kenarı c olsun. O halde alanı cyapar.

Şimdi üçgenleri büyük karenin içinde fotoğraftaki gibi dizelim.

pissa3
1 ve 2 ile işaretlenen alanlar birer karedir ve toplamda bir önceki fotoğrafta ortada kalan kare kadar alanları vardır.

Karşımıza bu sefer iki kare çıktı. Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla üçgenin dik kenarları olan a ve b’dir.

Karelerin alanları a2 ve b2 olur. Toplamları ise bir önceki şekilde gördüğümüz üzere c2 olmalıdır. Yani sonuç

a2+b2=c2

olur.

İspat 2

İkinci ispat için antik Çin’e gideceğim.

Zhoubi Suanjing tahminen 2500-2200 yıl önce antik Çin’de yazılmış bir kitaptır. Loomis’in kitabında 253. ispat da bu kitaptan alınmıştır.

Şekil 3
Suanjing’de bulunan Pisagor teoremi ispatı.

İspatı yaparken yine kağıt parçalarından yararlanacağım.

Öncelikle dik kenarları sırasıyla 3 ve 4 birim uzunluğunda olan dik üçgenlere ihtiyacım var.

pisasaads

Bu dik üçgenleri fotoğraftaki gibi dizdiğimde karşıma içinde ufak bir kare boşluk olan bir kare çıkıyor.

pisasa

Ortada kalan ufak kareye A diyelim. A’nın bir kenar uzunluğu 1 birimdir. Bu yüzden de A alanı 1 br2 olur.

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı alınarak bulunur. O halde üçgenlerden biri (3×4)/2 = 6 br2 olur. Toplam 4 üçgen 4×6=24 br2 yapar. Ortadaki A karesiyle toplanınca tüm şeklin alanı 25 br2 eder.

Tüm şekil bir kareyi ifade eder. Alanı 25 yapan karenin bir kenar uzunluğu ise 5 birimdir. Yani üçgenin uzun kenarının uzunluğunu bulmuş olduk:

pasdpfsdf

Böylece antik Çin’de hem 3-4-5 dik üçgeninin hem de Pisagor teoreminin bilindiğini öğrenmiş olduk.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Emekliliğe ayrılmak isteyen çiftçi bir baba, evininin arazisine bitişik olan üç tarlasını iki oğluna eşit olarak paylaştırmak istiyor. Tarlaları bozmak istemeyen baba, nasıl bir yöntem izlemelidir?

pppp

Geometrik şekillere bağımlılığı olan baba, evini bir dik üçgen şeklinde arsaya yaparken üç tarlayı da kareler olacak şekilde ayarlamıştı.

Adil bir dağıtım olması için çocuklar tarlaları hangi şekilde almalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu