Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #5

Ben Neredeyim?

Küre şeklinde bir cismin üzerinde kalemimi hep aynı yöne doğru ilerletiyorum. Bir tam tur sonrasında başladığım noktaya dönmem gerekir değil mi? Hatta bu turu bitirince sadece konumum değil, doğrultum da başlangıçla aynı olur.

Bu, cismin üzerinde başlayacağınız konum veya yönün değiştiremeyeceği bariz bir gerçektir.

Yön Değiştirilebilirlik: Bu kavramın matematiksel tanımı gerçekten kafa karıştırıcıdır. O yüzden tanımı bir örnek üzerinden yapacağım: Malatya’dan zeplin ile yola çıkıp hep doğuya doğru ilerlediğinizde, eğer başınıza bir şey gelmezse eninde sonunda yine Malatya’ya hem de yönünüz doğuya bakar vaziyette varmış olursunuz. İşte bu yüzden örnekte kullandığımı Dünya’nın şekli yön değiştirilebilirlik özelliğine sahiptir deriz.

Eğer yolumuz (ya da düzlem) yön değiştirilebilirlik özelliğine sahip olmasaydı, Malatya’ya vardığımızda (örneğin) yönümüz ayna görüntüsü gibi olurdu. {Yani batıya doğru (doğunun ayna görüntüsü batı olur) bakar şekilde başladığımız noktaya varmış olurduk.}

Ayna görüntüsünden kastım tabi ki soldaki.

Peki başlangıç noktasına ayna görüntüsü olarak varmak için nasıl bir şekil üzerinde olmak gerekir?

Möbius Şeridi

Dikdörtgen şeklinde bir kağıt parçası kesin. Kağıdın iki tane yüzü vardır.

Bu yüzler arasında geçiş yoktur. Yani ön yüzde ilerlerken bir anda kendinizi arka yüzde bulmazsınız. (Kağıdın iki yüzü iki ayrı yol anlamına da gelir.)

Eğer kağıdın uçlarını birbiriyle birleştirirseniz karşınıza bir silindir çıkar. Bu silindirin de iki yüzü, yani dolayısıyla iki ayrı yolu vardır. Dış yüzde ilerlerken bir anda kendinizi iç yüzde bulma ihtimaliniz yoktur.

Kağıtta I’den II’ye geçecek bir yol yoktur.

Şeffaf bir kağıdı silindire çeviriyorum. Silindir üzerinde bir başlangıç noktası belirleyip kağıda parmağım üzerinde tam bir tur attırıyorum. Başlangıç noktasına vardığımda yönüm değişmemiştir. O halde silindir şekli yön değiştirilebilirlik özelliğine sahiptir.

Başa dönelim: Dikdörtgen kağıt parçasının uçlarını birleştirirken uçlardan birini 180 derece döndürelim. Oluşan şekil matematikçiler arasında “Möbius Şeridi” olarak adlandırılır.

Möbius ile silindir arasındaki tek fark bir ucun 180 derece çevrilmesidir. Fakat bu kadar basit bir işlem insanı hayrete düşüren sonuçlara neden olur. Silindirde iki yüz, yani iki yol varken, Möbius şeridinde tek yüz yani tek bir yol vardır.

Bir başka garip özelliği daha açık göstermek için Möbius şeridini şeffaf kağıtla oluşturup bir başlangıç noktası belirliyorum. Daha sonra kağıdı parmağım üzerinde çevirip bir tam tur atıyorum. Tur bitince başlangıç noktasına ayna görüntüsü olarak dönmüş olurum.

Yukarı ve sağa olan yönümüz bir tur tamamlanınca yukarı ve sola dönmüş. Sanki aralarında bir ayna varmış gibi.

O halde Möbius şeridinde yön değiştirilebilirlik özelliği yoktur. Fakat şerit üzerinde bir tur daha atarsam yönüm ilk durumdaki haline döner.

Biraz Tarih

Möbius şeridinin ne kadar kolay bir şekilde oluşturulduğundan bahsetmiştim. Fakat Möbius şeridi sadece 150 yıldan çok az bir süre önce keşfedilmişti.

August Möbius (solda) ve Johann Listing (sağda).

İsmini Alman bir matematikçi olan August Möbius’dan alan bu gizemli şekil hakkında ilk yayım yapan kişi bir başka Alman matematikçi Johann Listing idi. Möbius ve Listing neredeyse aynı zamanda ve birbirlerinden bağımsız olarak aynı keşfi yapmıştı. Kişisel notları incelenince August Möbius’un Listing’den 2 ay önce keşfini yapmış olduğu ortaya çıkmıştı.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. İki adet Möbius şeridi yapın. Şeritlerden birinde 180 derecelik çevirmeyi sağa doğru, diğerindeyse sola doğru yapın. Ne gibi farklılıklar görüyorsunuz?
  2. Bir silindir yapın. Silindiri uzun kenarına paralel olacak şekilde kesin. Elinizde orijinal silindirin küçük versiyonları olacak.
    Aynı şeyi Möbius şeridinde deneyin. Sonuçta neyle karşılaştınız? Sizce neden öyle oldu?

M. Serkan Kalaycıoğlu

 

 

 

1 Comment

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s