katil sayılar

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #6

Sokrates’in Dersi

Tarihin en önemli filozoflarından biri olarak görülen Platon’un matematiğe yaptığı katkılardan önceki yazılarda bahsetmiştim. Bu yazıda Platon’un MÖ 380’de yazdığı kitap olan Menon’u inceleyip irrasyonel sayıların varlığını başka bir yöntemle göstereceğim.

Kitap, Menon’un Sokrates’e erdemin öğretilebilir olup olmadığını sormasıyla başlar ve sonuna dek bu ikisi arasındaki diyalogdan oluşur. Platon bu kitapta herhangi bir konuyu felsefi olarak nasıl ele almamız gerektiğini Sokrates’in ağzından anlatmaya çalışmış.

Bunu yaparken önemli bir matematik probleminden de bahsedilmiş. Şahsen kitabın özellikle bu bölümünün sadece öğrenciler değil, öğretmenlerce de okunması gerektiğini düşünüyorum.

Problem

Kitabın ortalarına doğru Sokrates Menon’un öğrencilerinden (öğrenciyi çocuk diye adlandıracağım) birine bazı sorular yöneltir. Sorular kare şeklinin neye benzediği, ne gibi özellikleri olduğu ve alanının nasıl bulunduğu üzerine başladıktan sonra sıra Sokrates’in asıl sormak istediğine gelir: Bir karenin alanının iki katı alana sahip karenin bir kenarının uzunluğu nedir?

Kareyi karelemek diye bilinen bu sorudan daha önce de bahsetmiştim. Sokrates sorusunda karenin bir kenar uzunluğunu 2 birim olarak belirler ve karenin alanının 4 olduğunu çocuğa buldurtur. Sonra bu karenin alanının iki katı alana sahip bir karenin var olup olmadığını sorar. Çocuk Sokrates’e böyle bir karenin var olduğunu ve alanının 8 birim kare olduğunu söyler.

Sokrates bu karenin bir kenar uzunluğunu sorduğundaysa çocuk alan hesabında olduğu gibi ilk karenin bir kenarı uzunluğunun iki katını alır ve 4 cevabını verir. Fakat Sokrates 4 birimlik bir karenin alanını sorduğunda çocuk 16 birim kare der ve yanlışını fark eder.

Klasik Yunan Matematiği

Sokrates 8 birim karelik alanı olan bir kareyi çizdirmek için çocuğa sorularına devam eder. Bunu yaparken soruları çocuğa bir şekil çizdirtir. Problemin başındaki 2 birimlik kareden önce bir tane çizdiren Sokrates, sonra bu karenin sağına ve altına aynı kareden koydurur. Şekildeki sağ alt kısmı da doldurtan Sokrates bu dört karenin her birinin 4 birim karelik alana sahip olduğunu çocuğa buldurtur.

Sokrates’in bir sonraki sorusu şudur: “Bir karede çapraz köşeleri birleştirmek, karenin alanını iki eşit parçaya bölmek demek değil midir?”

Çocuğun evet cevabından sonra şekildeki dört karenin de köşegenlerini çizdiren Sokrates, bulunan şeklin alanının kaç olduğunu sorar:

8 birim kare cevabını veren çocuk, 4 birim karelik karenin iki katı alana sahip kareyi elde etmiş olur.

Pisagor teoremine göre bu karenin bir uzunluğu aşağıdaki gibi irrasyoneldir:

Sonuç

Sokrates çocuğa irrasyonel bir uzunluğu çizdirmesine rağmen uzunluğun ne kadar olduğunu dert etmez. Çünkü antik Yunanistan’da sayılar uzunluklarla gösterilirdi ve uzunluk bilindiği sürece onun ne anlama geldiği önemsenmezdi. Bu sonuç klasik Yunan matematiğine verilebilecek en güzel örneklerden biridir.

Pisagor ve onun öğrencileri tüm sayıların rasyonel olduğunu iddia ederken Sokrates gibi Yunan filozoflar irrasyonel sayıların varlığını bu tip yollarla gösteriyordu.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #5

Eşkenar Üçgen ve İrrasyonel Sayı

Bir önceki yazıda kafes noktalar sisteminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgenin çizmenin mümkün olup olmadığını sormuştum. Bu soruya vereceğiniz cevabı ispatlamanızı istemiştim.

İspat

Elimizde aşağıdaki gibi kenarları ikişer birim olan bir eşkenar üçgen olsun:

akuie2

Üçgenin köşelerinin kafes noktalar olduğunu kabul edelim. Bu demektir ki eşkenar üçgenin kenarları ve alanı rasyoneldir. Neden?

Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalar sistemindeki bir çokgenin alanıyla nokta sayısı arasında direk bir ilişki vardır. Nokta sayısı hiçbir zaman irrasyonel olamayacağına göre (√3 tane nokta olamaz, değil mi?!) bu sistemdeki çokgenlerin alanları da rasyonel olmak zorundadır.

Bir üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. O halde eşkenar üçgende tabana ait olan yükseliği indirelim ve üçgenin iç açılarını belirtelim:

euake3

Artık elimizde iki tane birbirine eş dik üçgen var. Bu dik üçgenlerin hipotenüsleri 2, tabanları 1 birimdir. Yüksekliği Pisagor teoreminden çıkarabiliriz:

h² + 1² = 2²

h² = 4 – 1

h² = 3

h = √3.

Yükseklik irrasyonel çıktığı için üçgenin alanı da irrasyonel olacaktır:

1/2(2*√3) = √3.

ÇELİŞKİ

Bu sonuç bir çelişkiyi gösterir. Çünkü Pick’in teoremine göre kafes noktalarda bulunan bir çokgenin alanı her zaman rasyonel olmalıdır. O halde bu eşkenar üçgen kafes noktalarda yer alamaz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Eşkenar üçgen dışında kafes noktalar sisteminde çizilemeyecek başka çokgenler bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Katil Sayılar #4

Kafes Noktalar

Kareli defterden bir sayfa hayal edin. Bu sayfada kenarları kaldırıp sadece köşeleri bırakalım. Yatay ve dikey yönde bulunan her iki nokta arasının tam olarak bir birim olduğunu varsaydığımızda elimizdeki şey noktalardan oluşan bir sisteme dönüşür. Bu sisteme kafes noktalar diyelim.

Kafes noktalar sistemindeki her nokta tam sayıdan oluşan bir sayı ikilisiyle ifade edilir:

Pick’in Teoremi: Çokgen alanı bulmak için alternatif bir yöntemdir.

Sistemdeki noktalar birleştirilerek çokgenler oluşturulabilir. Bu çokgenlerin alanlarını bulmak için Pick’in teoremi bize büyük kolaylık sağlar.

Teoreme göre çokgenin alanını bulabilmek için sadece iki bilgiye ihtiyacımız vardır: Çokgendeki kenarların üzerinde bulunan nokta sayısı ve eğer varsa çokgenin iç tarafında kalan nokta sayısı.

Kenarlardaki nokta sayısı k ile, iç tarafta kalan nokta sayısını ise i ile gösterirsek Pick’in teoremine göre çokgenin alanı şöyle bulunur:

Alan = i + (k/2) – 1

Örnek 1: Üçgen.

Eğer şekildeki gibi bir üçgene sahipsek, kenardaki nokta sayısı k=4 olur. Üçgenin iç kısmında hiç nokta olmadığı için i=0’dır. Pick’in formülünü uygularsak üçgenin alanını buluruz:

Alan = 0 + (4/2) – 1

= 0 + 2 – 1

= 1 birim kare.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban 1, yükseklik 2 birim olduğu için üçgenin alanı (2*1)/2 = 1 birim kare olur.

Örnek 2: Kare.

Şekilde k=12, i=4’tür. O halde çokgenin alanı;

4 + (12/2) – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 birim kare.

Karenin alanı bir kenarının karesidir. Bir kenar 3 birim olduğu için karenin alanı 3*3 = 9 birim karedir.

Kare ve üçgen örneklerine bakınca teoremin gereksiz olduğunu düşünebilirsiniz. O halde gelin çokgenlerimizi biraz daha karmaşık şekilde çizelim.

Örnek 3: Çokgen.

Şimdi Pick’in teoreminin gücünü görebiliriz. Eğer teoremi bilmiyorsak mecburen bu çokgeni başka çokgenlere parçalayıp onların alanlarını tek tek bulmamız gerekir. Fakat Pick’in teoremiyle sadece nokta sayarak alanı bulabiliriz.

Çokgende k=12, i=72 olduğuna göre alan:

Alan = 72 + (12/2) – 1 = 72 + 6 – 1 = 77 birim kare olur.

Eşkenar Üçgen

Şu ana dek yaptıklarımızın sayılar değil geometriyle ilişkisi olduğu görülüyor. Fakat tek bir soruyla bunu değiştireceğim.

Soru: Kafes noktalar düzleminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgen çizmek mümkün müdür?

Örneğin tabanı iki birim olan bir eşkenar üçgen çizmeye çalışalım:

Şekilde görüldüğü üzere bunu yaptığımda üçgenin iki köşesi noktalar üzerinde kalmasına rağmen üçüncü köşe boşluktadır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Peki bunun çizilebilecek her eşkenar üçgen için böyle olup olmadığını ispatıyla açıklayabilir misiniz?

İspatı bir sonraki yazıda açıklayacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #3

Kirene’li Teodorus

Günümüzün Libya’sında kalan antik Kirene kenti MÖ. 5. yüzyıl civarında Yunanların kontrolü altındaydı. Burada doğan Teodorus (MÖ 465 – MÖ 398) hakkında bildiklerimiz Platon’un hocası olduğuyla Sokrates ile tanışıp bir süre için Atina’ya gitmiş olduğundan ibaret.

Platon’a göre Teodorus irrasyonel sayılarla önemli harikulade çalışmalar yapmıştı. Daha önce antik Yunan bilim insanlarının sayıları uzunluk olarak düşünmüş olduğundan bahsetmiştim. Pisagorcular tüm sayıların rasyonel (mantıklı/iki tam sayının birbirine bölümü) olduğunu iddia etmişti. Fakat ne ilginçtir ki Pisagor teoremi diye adlandırdığımız geometrik bilgi, Pisagorcuların iddiasını çürütmüş ve rasyonel olmayan sayıların da var olduğunu göstermişti.

Teodorus da bir Pisagorcu idi ve doğal olarak sayı teoremi ile ilgilenmişti. Yine Platon sayesinde biliyoruz ki Teodorus 2, 3, 5, … gibi sayıların kare köklerinin rasyonel olmadığını ispat etmişti.

Bu yazının konusu Teodorus’un Spirali diye bilinen ve içinde inanılmaz bilgiler barındıran basit ama bir o kadar da gizemli bir geometrik şekildir.

Teodorus’un Spirali

Aynı zamanda “Einstein Spirali”, “Pi Spirali”, “Kare Kök Spirali” isimleriyle bilinen spiral, Pisagor teoremini bilen herkes tarafından oluşturulabilir.

Öncelikle dik kenarları 1’er birim uzunlukta olan bir ikizkenar dik üçgen çizin. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun Pisagor teoremi sayesinde √2 birim olduğunu biliyoruz.

Daha sonra bir önceki üçgenin hipotenüsü olan √2 birimlik kenara dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilerek yeni bir dik üçgen oluşturulur. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu (yine Pisagor teoreminden) √3 birim olur.

Bu sefer √3 birim uzunluğuna dik ve 1 birim uzunlukta bir doğru parçası çizilir ve yeni bir dik üçgen daha yaratılmış olur. Bu dik üçgenin hipotenüsü √4 birimdir.

Teodorus bu yöntemi √17 birim uzunluğunda bir doğru parçası bulana dek devam ettirmiştir. Oluşan şekil görüldüğü üzere bir spiraldir.

Teodorus’un neden √17’de durduğunu kesin olarak bilemiyoruz. Oluşan şeklin √17’den sonra üst üste bindiğini gördüğü için durmuş olması en kuvvetli ihtimal.

Spiral Gibisi Yok

Peki Teodorus’un spiralinin ne özelliği var?

Hipotenüs uzunluklarına bakıldığında tam kare olanlar hariç kalan uzunlukların tamamı irrasyoneldir. Tam kare olanlar √1, √4, √16, √25 … diye devam eder.
Spiral sonsuza dek uzatıldığında dahi (yani sürekli yeni üçgenler eklendiğinde) herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.
Çok yakın olanlar varsa da herhangi iki hipotenüs birbiriyle çakışmaz.
Yeni üçgenler ekleyip spiral büyütüldüğünde, spiral kolları arasındaki boşluğun uzunluğu π sayısına yakınsar.
30 tane üçgenle 3,1 cm’ye geldim. Eğer sabırla üçgen eklemeye devam etseydim π’ye daha da yakın olurdum.
Peşi sıra gelen iki tam kare uzunluklu hipotenüs arasındaki açı 360/π dereceye yakınsar. 360/π = 114,591559026… yapar. Benim çizimim henüz ilk üç tam kare sayıdayken bile gerçekten bu değere çok yakın çıktı. Şanslıydım.

Katil Eğri

Sıra Teodorus’un spiraliyle ilgili en sevdiğim özelliğe geldi. Spirali oluşturan üçgenleri kesip çıkaralım ve koordinat düzleminde yan yana dizelim.

Üçgenlerin uç noktalarını birleştirince karşımıza y=√x eğrisi çıkar. Eğer irrasyonel sayılara katil sayılar diyorsam, bu eğriye de katil eğri demem gerekir.

Bir de GeoGebra isimli programla çizmeyi denedim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

İlk üçgeni şekildeki gibi alıp Teodorus’un yöntemini aynen uygulayın.

Teodorus’un spiraline göre neler daha farklı? Ne gibi yenilikler görüyorsunuz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #2

Bir önceki yazıda Hippasus’un sonunu getiren sayılardan bahsetmiştik. Bu sayılar ne ölçülebiliyor, ne de iki sayının oranı şeklinde gösterilebiliyordu.

İrrasyonel, yani mantıksız diye adlandırılması da bu nedenledir: Uzunluk elimizin altında ama ölçemiyoruz, sayı karşımızda ama belirtemiyoruz.

√2: En ünlü irrasyonel sayılardan biri.

Farkında olalım ya da olmayalım; bahsettiğim uzunluğa kare şeklinde olan her şeyde rastlıyoruz. Eğer bir kareyi çapraz köşelerinden ikiye bölersek karşımıza bir ikizkenar dik üçgen çıkar.

Diyelim ki elimizde dik kenarları 12’şer cm uzunlukta olan bir dik üçgen var. Pisagor teoremine göre dik üçgenin uzun kenarının karesi, dik kenarların karelerinin toplamıdır. O halde:

olur. Yani uzun kenar irrasyonel bir sayı çıkmıştır.

Bu kenarı ölçmeye çalıştığımızda ise 16,97056… sayısıyla karşılaşırız.

Eğer 16,97056… yerine 17 dersek ne olur?

√2 Sonunda Mantıklı

12√2=17 dersek;

sonucuna ulaşırız. √2 iki sayının oranı şeklinde yazılabildiği için artık rasyoneldir! Bundan sonra √2 gördüğümüz her yere 17/12 yazabiliriz.

Fakat, dik üçgen üzerinde biraz oynadığımızda hemen bulduğumuz sonucun ne kadar sıkıntılı olduğunu görebiliriz.

Çelişki İle İspat

12 cm uzunluğundaki dik kenarlardan altta kalanını 5 ve 7 cm olacak şekilde ayıralım ve tam bu noktadan uzun kenara bir çizgi indirelim.

Bu durumda uzun kenara inen çizgi diktir ve uzunluğu 5 cm’dir. (Bunun doğru olup olmadığını görmek için kendi üçgeninizi çizip yapılan işlemi tekrarlayın. Cetvel uzunluğu, açıölçer ise dikliği doğrulayacaktır.)

Elimizdeki ikizkenar dik üçgenin içinde üç adet dik üçgen elde etmiş olduk: A, B ve C. A ve B dik üçgenleri birbiriyle özdeştir, bu yüzden de büyük üçgenin uzun kenarı 12 ve 5 cm olarak ikiye ayrılmıştır. C ise ikizkenar dik üçgendir. Gelin C’yi daha yakından inceleyelim.

Dik kenarları 5 cm, uzun kenarı ise 7 cm uzunluğunda olan bir ikizkenar dik üçgenimiz var. Öğrendiğimiz üzere böyle bir durumda Pisagor teoremi bize uzun kenarın uzunluğunun dik kenarın √2 katı olduğunu söyler. O halde uzun kenar 5√2 cm olmalıdır.

Fakat az önce √2 yerine 17/12 yazabileceğimizi söylemiştik. Yani uzun kenar

5*(17/12) cm

85/12 cm

olur. Fakat fotoğrafta görüldüğü üzere uzun kenar 7 cm‘dir.

7 = 85/12 sonucu bir çelişkidir.

Bu yüzden bizim en başta yaptığımız kabul yanlıştır. √2 rasyonel değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aynı işlemi C üçgeni için tekrarlayıp √2’nin rasyonel olmadığını gösterin.
İkizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğu 12 yerine 10 cm olsaydı ne olurdu?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi: Katil Sayılar #1

Tarikat Kurbanı Hippasus

Pisagor matematikte en çok bilinen isimlerden biridir. İsmiyle anılan teorem ile üne kavuşmuşsa da, basit bir teoremden çok daha fazlasını yapmış biriydi. Ayrıca o, tarihte bilinen ilk bilim tarikatının başıydı.

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, dik olmayan kenarın uzunluğunun karesine eşittir.

Milattan önce 6. yüzyılda Kuşadası’nın karşısında bulunan Sisam adasında dünyaya gelen Pisagor, saf bir matematikçi olarak antik Yunanistan’da önemli bir üne sahipti. Onu takip edenler (Pisagorcular), tıpkı liderleri gibi yaşamayı seçmişti. Pisagorcular birbirlerine sıkıca bağlı, kapalı bir gruptu. Et ve fasulye yemeyen bu grup, mal ve mülk sahibi olmaktan kendilerini soyutlamıştı.

Pisagor’a göre evren sayılar üzerine kurulmuştu. Her sayının bir karakteri vardı ve evrendeki tüm oluşlar sayıların birbirine oranlarıyla açıklanabilirdi. Sayılar güzel, çirkin, maskülen, feminen, harika ya da eksik olarak gruplara ayrılmıştı. Örneğin 10 en iyi sayıydı; çünkü ilk dört sayıyı içinde barındırıyordu (1+2+3+4=10).

Pisagorcular tüm sayıların başka herhangi iki sayının birbirine oranı şeklinde gösterilebileceğini iddia etmişti. (Örneğin 5=10/2) Hatta temel felsefeleri bu düşünceye dayanıyordu. Bu tür sayılar “rasyonel” yani “mantıklı” sayılardı.

Günün birinde Pisagor’un bir müridi yeminini bozmuş ve sorulması yasak olanı sormuştu: Dik kenarları birbirine eşit ve bir birim uzunluğunda olan dik üçgenin (yani ikizkenar diz üçgenin) dik olmayan kenar uzunluğu kaç birimdir?

diküç1 — Şekildeki üçgende uzun kenarın 1,41 birim olduğu gösteriliyor. Fakat bu **tam değil**, **yaklaşık** değerdir. Bu kenarın uzunluğu bir cetvel ile **ölçülemez**.

Hippasus ismindeki mürit, Pisagorcu kardeşleriyle denize açılmıştı. Yolculuk sırasında matematik üzerine çalışan Hippasus rasyonel (mantıklı) olmayan sayılar bulduğunu iddia etmişti. Pisagor’a karşı gelmenin cezası büyüktü. Pisagorcuların anayasasına aykırı davranan Hippasus suya atılarak idam edilmişti. Pisagorcular ise mantıklı olmayan sayıların varlığını sır olarak saklamaya devam etmişti.

Ölçülemeyen Sayı Var mı?

Pisagor teoremine göre dik kenarları birer birim olan üçgenin uzun kenarının uzunluğu.

Eğer Hippasus yanıldıysa, √2 mantıklı bir sayıydı. Yani √2, iki sayının oranı şeklinde yazılabilirdi. Bunu doğru kabul edelim ve √2’nin a/b olduğunu kabul ederek işe başlayalım.

Not: a ve b sayıları birbirine asal olur. Yani a/b oranı sadeleşemez durumdadır. Bu yüzden de sonuca varınca a/b’den daha küçük bir orana ulaşılmaması gerekir.

Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak, sol tarafı karekökten kurtarırız.

Paydayı eşitliğin sol tarafına atarsak;

olur. Bu da aslında bir karenin alanının iki katının, başka bir karenin alanı ettiğini gösterir.

Yani bir kenar uzunluğu b birim olan karelerden iki tanesi, a kenarlı bir kare yapmalı. O halde iki özdeş karenin alanları toplamı, başka bir karenin alanı etmeli. Bir diğer deyişle, bir karenin alanının iki katı büyüklükte alana sahip olan başka bir kareye ihtiyacımız var.

Sağdaki özdeş karelerin alanları toplamı soldaki kare yapıyorsa bu iki küçük kareyi büyük olanın içine yerleştirmeye çalışalım.

Küçük karelerden birini büyük karenin sol alt köşesine, diğerini ise sağ üst köşeye sabitlersek, ortada kesişen bölge iki defa sayılmış olur. Eğer özdeş kareler, büyük kareyi tam olarak kaplamak zorundaysa kesişen bölgenin alanı kenarlarda boş kalan bölgelerin alanların toplamı kadardır.

Şekilde görüldüğü üzere A alanına sahip iki özdeş kare, ortada kalmış taralı alanlı kare yapmalı. Eğer küçük karelerin bir kenar uzunluğu c birim, taralı karenin bir kenar uzunluğu d birim olursa

sonucu elde edilir. Yani problemin başındaki duruma dönmüş olduk: İki özdeş karenin alanları toplamı bir başka kare etmeli! (Bu da a/b’den daha küçük bir orana erişildiği anlamına gelir.) Bu sonuç hem sadeleşemez a/b oranından daha küçük bir oran verir, hem de sonsuz bir döngünün içinde bulunduğumuzu gösterir.

O halde baştaki kabulümüz yanlıştır. √2 sayısı a/b şeklinde yazılamaz. Yani √2 mantıklı bir sayı değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

√2’nin irrasyonel (mantıklı olmayan) bir sayı olduğunu kağıt-kalem-cetvel kullanarak ispatlayın.
√3’ün rasyonel mi yoksa irrasyonel mi olduğunu nasıl anlarız? (İpucu: İspatı geometrik şekilde yapmaya çalışın.)

M. Serkan Kalaycıoğlu