Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #14

Kulaklıklar Artık Düğüm Olmasın

12-13 yaşlarındayken kasetçalarım olmadan dışarı çıkmazdım. Kasetçalarımla ilgili iki büyük düğümlenme sorunum vardı. Bunlardan ilki kasetin bandının düğümlenmesiydi. Şanslıysam kalem yardımıyla bu düğümü kolayca çözebilirdim. Şansımın yaver gitmediği durumlarda ise kaset çöpe giderdi.

person holding black cassette tape

Diğer düğüm problemi kulaklığımla alakalıydı. Kimi zamanlar kulaklığım öyle düğümlenirdi ki düğümü çözene kadar muhakkak bir arkadaşıma denk gelirdim. Bu da karışık kasedimi bir sonraki güne kadar dinleyemeyeceğim demekti.

20190730_143315.jpg

İşin komik tarafı yaşadığım sinir harbi nedeniyle kulaklığı çantama rastgele fırlatarak aynı sorunu ertesi gün de yaşayacağımı garantiye alıyordum.

Çantada birbirine dolanan kulaklık olayının bir benzeri vücudumuzu oluşturan hücrelerde her an yaşanmaktadır.

DNA, tüm organizmalar ve bazı virüslerin canlılık işlevleri ve biyolojik gelişmeleri için gerekli olan genetik talimatları taşıyan bir nükleik asittir. DNA’nın başlıca rolü bilginin uzun süreli saklanmasıdır.

dna_main_001

DNA, “helix” adıyla bilinen bir sarmal eğri şeklindedir. Bir hücrenin içinde bulunan DNA sarmalının uzunluğu 2 metreyi bulur. Boyutlar arasındaki ilişkiyi tamamen anlamanız için bir örnek vereceğim: Eğer bir hücrenin çekirdeği basketbol topu büyüklüğünde olsaydı, o hücrede bulunan DNA 200 km uzunluğunda olurdu.

Bir metrelik kulaklığı kocaman bir çantaya atınca neler olduğunu biliyorsunuz. Bir basketbol topunun içine 200 km uzunluğunda sarmal eğri sığdırmaya çalışmak mı?! Tanrım; her yer düğüm!

Düğüm Teorisi

İşte bu keşmekeş matematikçilerin düğümlerle ilgilenmesine neden olmuştu. Fakat matematik ile düğümün ilişkisi DNA çalışmalarından çok daha eskiye dayanıyor. 19. yüzyılda İskoç bilim insanı William Thomson (nam-ı diğer Lord Kelvin) atomların farklı düğümler şeklinde olduğunu öne sürmüştü. Kısa süre içinde Lord Kelvin’in fikri matematikçileri düğümleri incelemeye itse de Lord Kelvin’in yanıldığının ortaya çıkması düğüm teoresini neredeyse 100 yıl boyunca kendi haline bırakmıştı. (20. yüzyılın başlarında Kurt Reidermeister’ın çalışmaları neredeyse 1980’lere dek tekti. Reidermeister’dan bir sonraki yazıda bahsedeceğim.)

Peki matematiksel düğümün diğer düğümlerden farkı var mı?

maxresdefault (4)

Örneğin ayakkabı bağcıklarını bağlarken atılan düğüm, matematikte düğüm olarak karşılık görmez. Çünkü bağcığın iki ucu açıktır. Halbuki matematikte bir düğümün iki ucu birbirine bağlı olmalıdır.

180px-Example_of_Knots.svg

Soldaki düğüm olsa da matematikte düğüm ifade etmez. Sağdaki ise matematiksel bir düğümdür.

Unknot* ve Trefoil*

Düğüm teorisinde düğümlere farklı isimler verilir. Bu yapılırken düğümün en sade halinin sahip olduğu kesişim sayısı dikkate alınır. Hiç kesişimi olmayan bir düğüm (unknot veya kesişimsiz düğüm) aslında bir çemberdir:

20190730_135245.jpg
Lastik bant bir kesişimsiz düğümü ifade eder. (unknot)

Aşağıdaki iki düğüme bir göz atın:

 

 

Bu düğümler birbirlerinden farklı görünüyor değil mi? Soldakinde 1, sağdakindeyse 2 kesişim vardır.

lanaa.jpg

Fakat bu düğümlerden birini kesip-biçmeden, yalnızca iple oynayarak (bir tarafa yatırmak ve/veya ters çevirmek gibi) diğerine benzetebiliriz!

Yani aslında bu iki düğüm birbirinin aynısıdır. Hatta bu iki düğüm, yukarıda gösterilmiş olan kesişimsiz düğümün ta kendisidir. Örneğin soldaki düğümün sol kısmı yukarı itilirse kesişimsiz düğüme dönülür:

 

 

1 kesişimi olan ama kesişimsiz düğüme döndürülemeyen bir düğüm var mıdır?

Hemen yanıtı veriyorum: 1, ve hatta 2, kesişimi olup da kesişimsiz düğüme döndürülemeyecek bir düğüm yoktur.

Peki ya 3 kesişim?

3 kesişimi olup, kesişimsiz düğüme çevrilemeyen düğüme trefoil denilir.

Blue_Trefoil_Knot.png
Trefoil düğüm.

Trefoil, ilk bakışta kesişimsiz düğüme çevrilebilecekmiş gibi görünse de düğüm teorisi kuralları çerçevesinde (yani kesip-biçmeden) bunu yapmak imkansızdır. Trefoil özel bir düğümdür, çünkü (unknot dışında) kesişim sayısı en düşük (3) olan düğümdür. Bu yüzden de trefoil düğüm teorisi için temel kabul edilir.

trefoilandmirror.jpg

Trefoil düğümün önemli özelliklerinden biri ayna simetrisiyle alakalıdır: Birbirinin simetrisi olan a ve b trefoilleri birbirinden farklıdır! Yani birinden diğerini elde etmek düğüm teorisi kuralları içinde mümkün değildir.

Möbius Şeridi ve Trefoil

Daha önce Möbius şeridi ve özelliklerinden bahsetmiştim. Kısaca hatırlatmak gerekirse bir kağıt şeridinin iki ucu birbirine bağlanırsa çember elde edilirken, uçlardan biri 180 derece çevrilip uçlar bağlanırsa karşınıza Möbius şeridi çıkar.

Gelin Möbius şeridini yaparken uçlardan birini üç defa 180 derece çevirelim:

 

 

Daha sonra oluşan şekli ortasından (boyuna paralel olarak) keselim:

20190730_131333.jpg

Karşımıza aşağıdaki gibi bir şekil çıkar:

20190730_134158-1.jpg

Şekli bir kurcaladığımızda aslında bir trefoil düğümü elde ettiğimizi görürüz:

 

 

Devam edecek…

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

  1. Kağıt şeridinden trefoil düğümü yaparken şeridin ucunu 3 defa 180 derece döndürüyoruz. Bu döndürmeyi içe veya dışa yapmanın bir farkı var mıdır? Neyle karşılaştınız?
  2. Şeridin ucunu 3 değil de 5 defa döndürürseniz ne olur? (Cevabı bir sonraki yazıda.)

M. Serkan Kalaycıoğlu

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s