Euler

Matematik Atölyesi – Oyun #11

Lahana

1967’de M. S. Paterson ile J. H. Conway’ın yarattığı iki kişilik bir oyun olan lahanayı oynamak için kağıt ve kalemden başka bir şeye ihtiyacınız yoktur.

Oyuna başlarken kağıt üzerine rastgele üç adet nokta koyulur:
Oyuncular sırayla bir noktadan diğerine (veya bir noktadan yine kendisine) giden bir eğri çizer. Çizilen eğrinin üzerine bir de nokta konur:
Çizilen eğriler birbirini kesemez.
Çizgilerin kesişmesi yasaktır.
Bir noktaya bağlı üç tane eğri varsa, o nokta artık ölüdür: Yani o noktaya başka bir eğri bağlanamaz:

Soldaki resim ihlal içerirken sağdaki resimde A, B ve E noktaları “ölü”dür. Çünkü bu noktaların her biri üç çizgiye sahiptir.
Son eğriyi çizen oyunu kazanır.

Brüksel Lahanası

Lahananın bir başka versiyonu olan Brüksel Lahanası’nda başlangıçta konulan noktaların ufak çizgileri vardır. Bu noktalar ve üzerinde bulunan çizgiler istenilen sayıda seçilebilir. Örneğin birinde 3, diğerinde 4 çizgi olan iki noktayla oyuna başlayalım:

Brüksel Lahanası’nda da oyuncular sırayla birer eğri çizer (her çizilen eğrinin üzerine yeni bir nokta ve iki küçük çizgi konur). Bu sefer eğriler noktalarda bulunan ufak çizgiler arasındadır:

Yine bir önceki oyunda olduğu gibi çizilen eğriler birbirini kesemez ve yine en son eğriyi çizen oyunu kazanır:

En sağdakinde çizgiler kesiştiği için ihlal vardır.

Euler ve Lahana

Euler ile bu basit görünümlü oyunların ne alakası var diyebilirsiniz. Euler karakteristiğinden daha önceki yazılarımda bahsetmiştim.

Euler der ki:

Bir düzlemde (kağıt üzerinde) V tane nokta ve bu noktalar arasında birbirini kesmeyen E tane çizgi olsun. Bu nokta ve çizgilerin çerçevelediği yüzlerin sayısı da F olsun (tüm kağıdın da bir yüz olduğunu unutmayın). O halde:

V – E + F = 2 olur.

Yani nokta sayısıyla yüz sayısını toplayıp bundan çizgi sayısını çıkarırsan cevap her zaman 2 olur.

Bitmiş bir Brüksel Lahanası oyununu ele alın. Nokta, çizgi ve yüz sayılarını belirleyin:

Euler’in formülüne sayıları yerleştirin:

Euler her defasında haklı çıkacak!

Dört Renk

Yine bitmiş bir Brüksel Lahanası’nı ele alın. Bu sefer dört farklı renkte kaleme ihtiyacınız olacak:

Bitmiş oyun üzerindeki alanları komşu olanlar farklı renkte olacak şekilde boyarsanız dört rengin yeterli olacağını göreceksiniz.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Lahana oyununu 3 nokta ile en fazla kaç el oynayabilirsiniz?
Lahanayı kazanmak için bir strateji bulabilir misiniz?
Brüksel lahanasında üçer dikeni olan iki nokta ile en fazla kaç el oyun sürdürülebilir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real MATHEMATICS – Game #11

Sprouts

Sprouts is a multiplayer game which was created by M. S. Paterson and brilliant J. H. Conway back in 1967. All you need for playing sprouts are just a piece of paper and a pen/pencil.

Game starts with 3 dots on a paper:
Players take turns and draw lines from one dot to another (a line can be drawn to the same dot as well). Lines don’t have to be straight and a new dot must be placed on each line:
Lines can’t cross one another:
A dot is called “dead” if it has 3 lines coming out of it. In other words any dot can be connected to at most 3 lines:

On right: A, B and E have 3 dots. This means A, B and E are all “dead”.
Player who draws the last possible line is the winner.

Brussels’ Sprouts

Brussels’ sprouts is a different kind of sprouts game. It is a multiplayer game just like regular sprouts and all it needs are a paper and a pen/pencil as well. But this time game starts with dots that have thorns. Assume that we will start a Brussels’ with two dots with 3 and 4 thorns on them:

Players take turn to draw lines between thorns. When a player draws a line, he/she should mark a new dot that has two thorns on it:

Just like regular sprouts, lines can’t cross in Brussels’ sprouts. And the player who draws the last line wins the game:

Euler and Sprouts

You might wonder how on Earth I get to mention Euler in a game that was created about 200 years after he passed away. I recommend you to check Euler characteristics article.

Euler says:

Let’s imagine that V dots and E lines (which don’t cross one another) are sitting on a plane. If the number of faces on this shape is F (don’t ever forget to count the whole plane as one face), then the equation

V – E + F = 2

will always be satisfied.

Take a finished Brussels’ sprouts game on hand:

Find the numbers of the dots, lines and faces:

Apply Euler’s formula:

Euler will always be right!

Four Colors

Now take any Brussels’ sprouts sheet and color the faces on it. (Neighboring faces have different colors.)

You will see that four different colors will be enough to color any Brussels’ sheet:

One wonders…

At most how many turns can there be in a regular sprouts game that starts with 3 dots?
Is there a winning strategy for sprouts?
Start a Brussels’ sprouts with 3 dots. If each of them has 3 thorns, at most how many turns can there be?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real MATHEMATICS – Graphs #4

I visited the world famous Hermitage museum in Saint Petersburg (Russia) back in 2014. Hermitage is so huge that it has 1057 rooms and one would have to walk around 22 km to see all the rooms. And numbers of artistic & historical items are not that shallow either: It is believe that it would take a little over 11 years if one would spare 1 minute for each piece of art.

hermitage-map-st-petersburg — Map of Hermitage.

Now you can relate why I had trouble when I wanted to visit Hermitage for a few hours. I didn’t have enough time and I wanted to see important art works such as the Dessert: Harmony in Red by Henri Matisse. Eventually I realized that this is a problem I had faced before.

Actually, each and every one of you must have faced such problems in your daily lives. Most common one: “Which route you should take between home and work during rush hour traffic?”

Postman’s Path

Facing such problem in Saint Petersburg is a pleasing coincidence as this magnificent city once was home to one of the giants of mathematics: Leonhard Euler. If you take a look at the first article of graphs you can see that Euler is the person who initiated the discovery of Graph Theory with his solution to the famous Seven Bridges of Königsberg problem.

In 1960 (almost 230 years after the solution of Königsberg) a Chinese mathematician named Mei-Ko Kwan took a similar problem into his hands:

A postman has to deliver letters to a given neighborhood. He needs to walk through all the streets in the neighborhood and back to the post-office. How can he design his route so that he walks the shortest distance?

This problem is given the name Chinese Postman Problem as an appreciation to Kwan. There are a few things you should know about the postman problem:

Postman must walk each street once.
Start and finish point must be at the post-office.
Postman must fulfill these two conditions in the shortest possible time.

Power of Graphs

Mei-Ko Kwan turned to Euler’s Königsberg solution in order to solve the postman problem. According to Kwan postman problem could have been shown as a graph: Lines represent the streets and letters represent the houses.

Example Graph:

20190324_210039 — A, B, C, D and E are the houses as the lines are the streets. The numbers above the lines show how much time it takes to walk from one house to another.

Reminder (You can read the first three articles of Graphs and learn the detail of the following.)

What is an Euler circuit?

Euler circuit is a walk through a graph which uses every edge (line) exactly once. In an Euler circuit walk must start and finish at the same vertex (point).

How do we spot an Euler circuit?

A graph has an Euler circuit if and only if the degree of every vertex is even. In other words, for each vertex (point) count the number of edges (lines) it has. If that number is even for each vertex, then it is safe to say that our graph has an Euler circuit.

Solution

As you can see above, if the degree of every vertex in a graph is even, then we can conclude that the graph has an Euler circuit. Let’s assume that the following is our graph:

The numbers above each line represents the distances (e.g. in km) between the points.

First of all we must determine the degree of each vertex:

As seen above all the vertices have even degrees. This is how we can conclude that the graph has an Euler circuit even without trying to find the path itself. Hence the postman can use the existent roads and finish his route in the shortest time:

When a graph has vertices with odd degrees, then we must add new line(s) to the graph in order to create an Euler circuit. These are the steps you can follow:

Find the vertices that have odd degrees.
Split these vertices into pairs.
Find the distance for each pair and compare them. The shortest pair(s) shows where to add new line(s).
Add the line(s) to the graph.

Let’s use an example and test Kwan’s algorithm for the solution. Assume that A is the starting point. First we must check the degrees of the vertices:

Unfortunately A and D have odd degrees which is why the postman can’t finish his walk:

Here we have only one pair that is A-D. There are three routes between A-D. If we find the shortest one and add that to our graph, we will have an Euler circuit:

The shortest one is the line between A-D as seen above. If we add that line, we will have the shortest route for the postman:

One wonders…

If the post office is at A, what is the route for the postman to take so that he will finish his day in the shortest way?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Graf #4

2014 yılının Kasım ayında Rusya’nın St. Petersburg şehrinde bulunan dünyaca ünlü Hermitage müzesini ziyaret etmiştim. İçinde 1057 tane oda olan Hermitage’ı baştan sona yürüyen biri 22 km mesafe kat etmiş olur. Müzede bulunan eserlerin tamamına bakmak istiyorsanız, her esere sadece 1 dakika ayırsanız bile bu işi 11 yıldan önce bitirmenin mümkün olmadığını bilmeniz gerekir.

Bu yüzden Hermitage’ı sadece birkaç saatliğine ziyaret etmeye çalıştığımda nerede ne kadar süre geçirmem gerektiğini iyi ayarlamalıydım. Çünkü devasa müzeyi kısa sürede gezmem, ama bunu yaparken ilgimi çeken eserleri görmem gerekiyordu.

Aslında bu, çok orijinal bir problem değil. Hemen herkes günlük yaşamında bu tür problemlerle karşılaşır: “Ev-iş arasında hangi saatte hangi yolu kullanmalı?” gibi.

Postacının Yolu

St. Petersburg’da bu problemle karşılaşmam çok hoş bir tesadüftü. Çünkü Petersburg 18. yüzyılda ünlü matematikçi Leonhard Euler’e ev sahipliği yapmıştı. İlk graf yazısından hatırlayacağınız üzere Euler Königsberg’in yedi köprüsü problemiyle birlikte çizge teorisinin ortaya çıkmasına önayak olmuştu.

Königsberg probleminden 230 yıl sonra 1960’da Çinli bir matematikçi olan Mei-Ko Kwan soruyu biraz daha farklı şekilde ele almıştı:

Bir postacı rotasındaki evlere elindeki mektupları dağıtmak üzere posta ofisinden ayrılır. Postacının en kısa sürede tüm evlere uğrayıp tekrar posta ofisine dönmesi için nasıl bir rota izlemesi gerekir?

Kwan’a ithafen Çinli Postacı Problemi olarak bilinen bu problemde önemli olan detaylar şunlardır:

Postacı rotası üzerindeki tüm sokakları kullanmalıdır. Fakat her sokak sadece ama sadece bir defa kullanılmalıdır.
Postacının rotasında başlangıç ve bitiş posta ofisinde olmalıdır.
Postacının amacı en kısa sürede yukarıdaki iki şartı yerine getirmektir.

Çizge Teorisinin Gücü

Mei-Ko Kwan Çinli Postacı Probleminin çözümünde Euler’in Königsberg’in yedi köprüsü için ortaya keşfettiklerinden yararlanmıştı. Kwan’a göre problem Euler’in yaptığı gibi graf haline getirebilirdi. Postacının gitmesi gereken mahalleler noktalarla, mahalleler arasındaki mesafeler (yani sokaklar) ise çizgilerle gösterilebilir.

Örnek Graf:

Hatırlatma

Euler döngüsü nedir?

Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa o grafta bulunan tüm çizgiler bir ama sadece bir defa kullanılarak tam bir tur atılabilir demektir. Ayrıca Euler döngüsünde başlangıç ve bitiş aynı noktadadır.

Euler döngüsü ne zaman vardır?

Bir graftaki bir noktanın sahip olduğu çizgi sayısı, o noktanın derecesini verir. Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa, o graftaki tüm noktalar çift derecelidir.

Çözüm

Anlaşıldığı üzere Çinli Postacı Probleminin çözümü için postacının rotasında Euler döngüsü olmalıdır. Örneğin postacının güzergahı aşağıdaki gibi olsun:

Çizgilerin üzerindeki sayılar harfler mesafeleri (km cinsinden olsun) gösteriyor.

İlk yapılması gereken şey tüm noktaların (harflerin) sahip olduğu çizgi sayısını bulmak:

Yukarı görüldüğü üzere graftaki tüm noktalar çift derecelidir. Bu sayede hiç denememize bile gerek kalmadan bu rotada Euler döngüsü olduğunu söyleyebiliriz. O halde postacının en kısa sürede görevini tamamlaması için graftaki yolları kullanması yeterlidir:

Tek dereceli noktalar varsa grafa yeni çizgiler eklenerek (yani postacı yeni yollar üretmek zorundadır) tüm noktalar çift dereceye çevrilmelidir. Peki bu nasıl yapılır?

Tek dereceli noktaları bul.
Bu noktaları ikili gruplara ayır.
İkili gruplar arası mesafeleri bul. En düşük mesafeliler eklenmesi gereken çizgileri belirtir.
Çizgileri grafa ekle.

Yukarıda verdiğim mahalle örneği üzerinden giderek açıklamaya çalışalım. Sorun postacının A mahallesinden başlayıp yine A’da bitecek gününü en kısa sürede tamamlamak istemesidir.

Önce her mahallenin (yani noktanın) sahip olduğu yol sayısına (yani çizgi sayısına) bakalım:

Her nokta çift sayıda çizgiye sahip olsaydı burada bir Euler yolu olurdu ve postacının en kısa turu direk mesafelerin toplanmasıyla bulunabilirdi. Fakat A ve D noktalarının tek sayıda çizgiye sahip olması bunu engelliyor:

Bu durumda yapılması gereken şey, tek çizgiye sahip noktalar arasında yeni yol veya yollar yapmaktır. A ve D mahalleri arasında üç farklı yol vardır. Bunlardan en kısasını bulup grafa eklersek sorumuz çözülmüş olur:

A-D mahalleri arasındaki yollar yukarıdaki gibidir. Görüldüğü üzere en kısa süre direk A-D arasındaki yoldadır. O halde A-D arasına yeni bir yol eklersek postacının sorunu çözülmüş olur:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Aşağıdaki rotada A’dan başlayıp A’ya dönmesi gereken postacının en kısa yolu ne kadar süre alır? Bunu yapabilmek için kullanması gereken rota nedir?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Geometry #17

Why do we have round wheels in cars and bicycles?

Square Wheels

Let’s construct a square wheel like the following and test if it can be used as an efficient wheel:

After turning the squared-wheel 45 degrees the square will look like the one on the right:

At this position it is clear even to the naked eye that the height of the wheel is taller comparing to its original state. If we continue turning the wheel for another 45 degrees it goes back to its original position.

Squared-wheel has big disadvantages. A car or a bicycle with squared-wheels will be doomed as height of the vehicle constantly changes.

Triangle Wheels

Among the triangles equilateral is the best one for constructing a wheel as all of its sides have equal length:

After turning the triangular-wheel 60 degrees to the left, it will have the same height:

Although let’s go 30 degrees back and examine the height of the wheel:

Here height of the wheel is clearly taller than the height of the original state. This proves that it is not appropriate to construct a triangular-wheel on a vehicle. Otherwise you might have problems with your spine.

Power of the Circle

The reason why circle is the most powerful and convenient shape for our vehicles is that neither of its height nor width changes while rotating. This separates circle from all the other polygons and makes it the best shape for wheels.

Nonetheless, one wonders if circle is the only possible shape for wheels.

Reuleaux Triangle

Leonardo da Vinci is one of those names that appear in your mind when someone mentions Renaissance. The relationship between this magnificent figure and Reuleaux triangle comes from a world map that was found inside his pupil Francesco Melzi’s notes:

This is known as one of the very first maps that included America. It is believe that this 1514-dated drawing was due to Leonardo da Vinci. If this is true, then it is safe to assume that da Vinci was the first person ever who used the Reuleaux triangle.

It was Leonhard Euler whom discovered the shape and explained it mathematically almost 200 years after da Vinci’s map. You probably realized this from my articles: “It is either Euler or Gauss.”

How come it is called Reuleaux? Because a century after Euler, a German engineer named Franz Reuleaux discovered a machine using Reuleaux triangle. In 1861 Franz Reuleaux wrote a book that made him famous and today he is known as the father of kinematics.

How to Construct Reuleaux Triangle?

I will show you my favorite method for its construction using three identical circles. First draw a circle that has radius r:

Then pick a point on that circle as a center and draw a second circle again with radius r:

At last, pick one of the crossings of the circles as center and draw a third circle with radius r:

The central area of these three circles is a Reuleaux triangle:

When a Reuleaux triangle is rotating, it will have the same height at all times just like the circle:

18mlevdqtxdsbjpg — A bike that has a Reuleaux-triangled wheel.

One wonders…

Using Euclid’s tools (a compass and an unmarked ruler) draw an equilateral triangle.
Try to construct Reuleaux triangle with on the equilateral triangle.
Can you contruct Reuleaux polygon(s) other than the triangle?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Life vs. Maths #1

Circle-Match Relationship

Mathematics is a language we use to explain the event that occur in nature. Mathematicians (good ones though) are in a way masters of this language. They possess crucial abilities such as seeing things others can’t see and finding connections between things that seem unrelated with one another.

Contrary to popular belief “knowing mathematics” doesn’t only mean knowing how to make calculations or being good with numbers. A mathematician ought to point out and explain the relationship, symmetry and pattern… In places you wouldn’t even imagine mathematics could exist!

For instance it is possible to use mathematics and find a connection between a circle and a match.

Circle

Let me start with circle. Any straight line segment that passes through the center of the circle with its endpoints lie on the circle is called a diameter of the circle. And in any circle the shortest distance between its center and boundary is called a radius of the circle. A radius is half the length of a diameter.

To draw a circle with a compass is not that hard. Distance of the openness of the compass gives the radius. If one opens a compass with 3 cm, he/she will draw a center that has radius 3.

Circumference of the circle above is roughly 18,85 cm. Let’s use a calculator to find the relationship between the diameter and circumference of this circle.

18,85/6=3,141666666…

Now let me use a cup. This cup’s mouth is in a circle shape and its circumference is about 25,8 cm.

Its diameter is about 8,2 cm. Now let’s divide the circumference with its diameter:

25,8/8,2=3,14634146…

In both examples ratio of circumference of a circle to its diameter is roughly 3,14. This is not a coincidence; humans realized this connection more than 4000 years ago.

Brief History of the Mysterious Number

2000 BC: Humans thought that this ratio as 3. According to the Rhind papyrus from ancient Egypt it was 3,16045.

250 BC: Ancient Greek Archimedes calculated this ratio’s average as 3,1418.

800 BC: Al-Khwarizmi calculated the ratio as 3,1416 which was a better approximation than Archimedes’.

Mathematicians didn’t stop attempts for thousands of years. In 1874 William Shanks found the first 707 digits of this ratio. Unfortunately he made a mistake on the 528^th digit. Nevertheless it was a huge accomplishment to find this ratio’s first 527 digits correctly.

In 1949 computers took over the mission. A computer found this ratio’s first 2000 digits correctly.

I tried it find if I could find the number “1907” (the year when my favorite team was founded) inside those 2000 digits. It was a success.

In the 18^th century Leonhard Euler who is known as one of the greatest mathematicians of all times gave this ratio its name and symbol: π.

Transcendental

In 1882 a German scientist named Ferdinand von Lindemann proved that the number π is transcendental.

According to great German philosopher Immanuel Kant a transcendental knowledge is not real; it exists only in our minds. Majority of the mathematicians agree that this word defines the number π perfectly.

In other words the number π can’t be shown as the ratio of any two rational numbers.

Also in the decimal presentation of the number π continues without any repetition… Forever!

This means that every number combination can be found inside the number π. From your birthday to your elementary school number, everything is inside the number π. All you need to do is to continue calculating its digits.

Find Your π Day

This website is created by Wolfram. Using its searching engine you can find at what digit your birthday sits inside the number π.

I checked Leonhard Euler’s birthday and found the following:

Try and see yourself. It is astonishing to see your birthday inside the number π.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Strange Worlds #2

What shape is it?

I’ve been waiting for this day: I am finally abducted by some space aliens.

I am getting back to my senses now. Oh, they speak Turkish. That’s odd. And their favorite drink is black tea from Rize. It helped me a lot when they offered me some tea. I am relaxed now and their leader wants to have a word with me:

-Earthling! We kidnapped you so that we can conduct some experiments on you and learn about human body. But we are fair, so you’ll have a chance to prove your intelligence first. If you solve this problem, we’ll take you back to your home. Here is the problem: We’ll blindfold and leave you to a random asteroid. Your quest is to find what kind of shape that asteroid has.

Christopher Columbus-Like

I am all alone on a strange asteroid now. Space ship is watching over me. Think Serkan, thiiiink… Oh, I think I got it! I will move in same direction just like Columbus did. If I get back to where I started, it means this asteroid is curved, like a ball.

I asked for a spray from the aliens so that I can leave a trail mark and understand when and if I get back to my starting point. I walk and walk… Finally I reach my starting point. I got my ticket back home: This asteroid is curved like a sphere, probably like Earth.

When I am talking about a sphere, it doesn’t have to be a perfect one. It could be looking like this as well.

I am getting ready to talk with the leader of the aliens. But suddenly an idea pops in my head: What if the shape has a hole in it, like a bagel or a donut?!

Because, if I walked on the right direction, I could very well reach my starting point even though I am on a bagel/donut shaped asteroid.

What am I supposed to do now?

Am I on a ball? Or am I on a bagel?

A New Kind of Mathematics For You

This problem is actually one of the most classical problems of topology. Okay but what is topology?

Until now I’ve told you about two important discoveries of Euler: Euler’s solution to the Königsberg bridge problem and Euler’s polyhedron formula.

Euler’s Königsberg solution directly affected (more than 150 years after his solution) the birth of a new mathematics branch named graph theory. His polyhedron formula also helped mathematicians to define what topology is. I must mention that graph theory is just a sub-branch of topology.

Topology:

Two Greek words: Topos (space) + Lopos (science).
Also known as rubber sheet geometry.

Euclidean Geometry vs. Topology

In Euclidean geometry; it is allowed to move things around and flip them over. But you can’t stretch or bend objects without changing their properties.
In topology; you can bend, twist and even stretch objects without affecting their properties. But you can’t cut, add or punch a hole in topology.
In Euclidean geometry; angles and lengths are important.
In topology; they don’t matter.
This is why in Euclidean geometry a square and a triangle has different properties even though they are the same thing in topology.

The Most Popular Example

You might find it strange that a mathematics branch does not care about lengths and angles. Actually topology is involved in our daily lives. More than you could ever imagine.

In transportation, especially in metro and tramway systems, maps are great examples for topology. Distances and directions are distorted in the interests of simplicity which is a use of topology. Also it is neglected how big the stops are. They are all represented with dots and they are connected with lines. In short, metro maps are actually graphs.

In the following picture it is clear to see that all stops (which are shown with dots) are divided with same distance even though they are not equal in reality.

M2_Hattı — This picture shows some of the stops of Istanbul metro.

Hint: What shape is it?

You probably noticed it: That problem is actually about the topological property of the asteroid. Using something elastic (like Play-Doh) would help you to solve it.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Garip Dünyalar #2

Bu Hangi Şekil?

Uzun süredir bu günü bekliyordum: Uzaylılar tarafından kaçırıldım! Evet, tarafından!

Neyse ki uzaylılar Türkçe biliyor. En sevdikleri içecek Rize çayı. İnce belli bardakta açık bir çay verdiler. Sakinleşmeye başladığımı gördüklerinde liderleri bana seslendi:

-Dünyalı! Üzerinde deneyler yapmak için seni kaçırdık ama sana karşı adil olmak istiyoruz. Çayını bitirdikten sonra gözlerini bağlayacağız ve seni rastgele bir gök cismine bırakacağız. Eğer üzerinde olacağın bu gök cisminin hangi şekilde olduğunu bilirsen seni evine geri götüreceğiz.

Kristof Kolomb Yöntemi

Gök cismine bırakıldım. Uzay gemisi üzerimde; beni izliyorlar. Düşün Serkan, düşüün! A, evet buldum galiba. Eğer Kolomb gibi yapıp sürekli aynı yöne doğru ilerlersem, yuvarlak bir gezegende isem, başladığım yere dönmem gerekir.

Uzaylılardan sprey istedim. Böylece yolumu işaretleyip başladığım yere varıp varmadığımı görebileceğim. Günler, haftalar geçti ve sonunda başladığım yere vardım!

Demek ki bu gezegen tıpkı evim Dünya gibi küreye veya topa benzer bir şekilde. Cevabımı hazırladım ve uzaylılarla konuşmaya gidiyorum. Fakat… Aklıma bir şüphe düştü. Ya bu gezegen bir simit şeklindeyse?! Sonuçta simit de yuvarlak bir şekle sahip.

Çünkü eğer simit şeklindeyse ve ben de simidin bir tarafında düz ilerledi isem, başladığım yere dönmem normal. İzlediğim yol yuvarlaklığı gösteriyor ama ya simit gibi ortası boş bir şeklin üzerinde isem?!

Ne yapacağım şimdi?

Topun mu üzerindeyim? Yoksa simidin mi?

Top şekli derken illa pürüzsüz yüzeyi olan harika bir şekilden bahsetmiyorum. Resimdeki gibi de olabilir.

Sizin İçin Yeni Bir Matematik

Aslında bu soru, topolojinin klasik sorularından biridir. Peki topoloji nedir?

Size şu ana dek Euler’in iki önemli buluşundan bahsettim: Euler’in çokyüzlüler formülü ve Euler’in Königsberg köprüsü problemi çözümü.

Euler’in Königsberg çözümü, 150 yıl sonra çizge teorisi isminde yeni bir matematik alanının ortaya çıkmasına neden olmuştu. Euler’in çokyüzlüler formülü ise çizge teorisinin alt dalı olduğu topoloji isimli matematik branşının çıkışına önemli bir etkide bulunmuştu.

Topoloji:

Yunanca’dan türetilmiştir. Topos (Yer/Yüzey/Uzay) + Lopos (Bilim).
Lastik levha geometrisi olarak bilinir.

Öklid Geometrisi vs. Topoloji

Öklid geometrisinde objeleri döndürebilir ve ters çevirebiliriz. Fakat germek, uzatmak veya bükmek gibi şeyleri yapamayız. Bunları yaptığımız anda uğraştığımız objenin özellikleri değişir.
Topolojide ise bir obje gerilip büküldüğünde objenin özelliklerinde bir değişme olmaz. Fakat kesmek, delmek veya ekleme yapmak topolojide objelerin özelliklerini değiştirir.
Öklid geometrisinde uzunluk ve açılar önemlidir.
Topolojideyse bunların bir önemi yoktur.
Bu yüzden Öklid geometrisinde bir kare ile bir üçgen farklı özelliklere sahipken, topolojide her iki şekil de aynı kabul edilir.

En Popüler Örnek

Uzunluk ve açıların önemli olmaması ilk başta anlamsız gelebilir. Halbuki günlük yaşamımızda önemli yer kaplayan bir örnek topolojiyi zaten hepimizin bilip kullandığını gösteriyor.

Toplu taşıma araçlarında, özellikle metro ve tramvaylarda durakları gösteren haritalar bulunur. Bu haritalara bakarken duraklar arasındaki mesafeleri veya hangi durağın daha büyük olduğunu bilemeyiz. Çünkü tüm duraklar noktalarla gösterilip birbirlerine çizgilerle bağlanmıştır.

İstanbul’da Taksim metro durağındasınız ve Levent yönüne doğru vagona bindiniz. Kaç durak sonra ineceğinizi öğrenmek için kapının üzerine doğru baktınız:

Görüldüğü üzere tüm durak isimleri noktalarla gösterilirken duraklar arası mesafeler de aynı bırakılmış. Gerçekteyse örneğin Taksim-Osmanbey arasıyla Levent-4.Levent arası mesafe aynı değildir.

İpucu: Bu Hangi Şekil?

Fark etmiş olmalısınız: Soru aslında gezegenin topolojik özelliğiyle ilgili. O halde oyun hamuru gibi bir materyal ile soruyu çözebilirsiniz.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Real Mathematics – Strange Worlds #1

Euler Characteristic

Take a piece of paper and draw dots on it.
Draw as many lines as you want between those dots.
Lines may not cross.
Every dot must be connected with a path of lines.
Closed lines make a “face”.
Every plane has at least one face. It is the area of the plane and it lies on outside of the dots and lines.
In each time the formula
Number of Dots – Number of Lines + Number of Faces = 2
will justify itself. It is called Euler’s Polyhedron Formula.

Example 1: Three Dots

Put three dots on a paper and draw lines between them like following.

There are two faces as shown in the following photo.

Apply Euler’s formula and you will get two!

Example 2: Four Dots

Put down four dots on a paper and draw lines as following.

In total there are three face, four dots and five lines. Euler’s formula gives us the same result which is two!

Example 3: Five Dots

Five dots, seven lines and four faces are shown in the following photo which justifies Euler’s formula.

How about if you add a new dot?

Newly added dot F could give us three new lines and two new faces. At first it looks like Euler’s formula won’t add up this time.

However it works out just fine. Euler’s formula gives us the same result under these conditions.

Example 4: Five Dots and No Faces

You might be wondering what would happen if we don’t enclose the lines and create a face. We all know from the initial conditions that every plane has at least one face that is outside of the dots and lines.

Therefore we’ll draw four lines between our five dots. We can travel from one dot to another and no lines are crossed. Hence all conditions are justified.

In the end we realize that five dots, four lines and a face give us the result two when we apply them into the Euler’s formula. Euler is always right!

For Those Who Love History

Until now, Euclid and Euler’s names appeared in my articles frequently.

Euclid is the author of a book called Elements which has all the information that you learn in your geometry lessons until you graduate from high school. This is the reason why the geometry that is being taught in schools is called Euclidean Geometry.

On the other hand, Euler is known as one of the most productive scientists of all times with his archive of over 800 works.

Elements, what consists of 13 books about the foundations of mathematics, was written BC. 200s. For thousands of years countless scientists and philosophers learned mathematics with this magnificent work. Isaac Newton is known as the person who started modern science (and also labelled as the father of modern physics) had started learning mathematics with Euclid’s Elements.

Even 2000 years after it was written, Elements were known as the only source of geometry. In fact Immanuel Kant, who is one of the most influential philosophers of all time, claimed that it was illogical to think of geometry besides Euclid’s. This is one of the many reasons why geometry was believed to be completed and there was nothing else to be found in it. Kant had such a powerful influence over scientists even Gauss, who is called as the prince of mathematics and often cited as the greatest mathematician of all time, was afraid to express his thoughts about a new kind of geometry. I’ll be talking about Gauss and new geometry in another article.

Euler had a rare gift and an unprecedented will for solving problems which were thought as “impossible to solve”. His name is given to so many formulas thanks to his outstanding works. But there is a formula he found, most of the mathematicians in the world agree that it gives the most elegant result of mathematics. It is a formula that works for Euclidean geometry too. It is called Euler’s Characteristic.

One wonders…

How about three dimensions: Would Euler’s formula work for it too? For example, would it work for a sphere? Take a sphere, put random two dots on it and connect those dots. What do you see?

Take a third dot and connect it to the other two dots. What do you see now?

M. Serkan Kalaycıoğlu

En sağdakinde çizgiler kesiştiği için ihlal vardır.

Reminder (You can read the first three articles of Graphs and learn the detail of the following.)

What is an Euler circuit?

Euler circuit is a walk through a graph which uses every edge (line) exactly once. In an Euler circuit walk must start and finish at the same vertex (point).

How do we spot an Euler circuit?

A graph has an Euler circuit if and only if the degree of every vertex is even. In other words, for each vertex (point) count the number of edges (lines) it has. If that number is even for each vertex, then it is safe to say that our graph has an Euler circuit.

Hatırlatma

Euler döngüsü nedir?

Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa o grafta bulunan tüm çizgiler bir ama sadece bir defa kullanılarak tam bir tur atılabilir demektir. Ayrıca Euler döngüsünde başlangıç ve bitiş aynı noktadadır.

Euler döngüsü ne zaman vardır?

Bir graftaki bir noktanın sahip olduğu çizgi sayısı, o noktanın derecesini verir. Eğer bir grafta Euler döngüsü varsa, o graftaki tüm noktalar çift derecelidir.

In the 18th century Leonhard Euler who is known as one of the greatest mathematicians of all times gave this ratio its name and symbol: π.

In the 18^th century Leonhard Euler who is known as one of the greatest mathematicians of all times gave this ratio its name and symbol: π.