öklid geometrisi

Matematik Atölyesi – Geometri #20

Alcatraz’dan Kaçış

Bir sınıf içerisinde bir duvardan diğerine uzaklık 5 metredir. Bu iki duvar arasına 6 metrelik bir ip bağlanır. İp yerden 2 cm yükseklikte olacak şekilde gerildikten sonra fazla gelen 1 metrelik kısmı bir uçtan sarkar durumda bırakılır.

Amaç; ipe değmeden altından geçip sınıftan kaçmaktır.

Kurallar

Kaçış iki duvarın orta noktasından yapılmalıdır.
İpi genişletmek için fazla kısım kullanılmalıdır.
İpe değmemeniz için bir kişi sıradaki öğrenci yerine ipi germe işini yapar.
Kaçış denemesi için herkesin tek bir hakkı vardır.

Kazanma Şartı: En az uzunlukta ip kullanarak ipin altından geçmek.

Futbol Sahası

Bir futbol sahasında iki kale arasında kalan mesafe 90 ile 120 metre arasındadır. Diyelim ki uzunluğun 100 metre olduğu bir sahadaki kalelerin orta noktaları arasına bir ip gerdik. Bu ip 100 metre uzunluğundadır ve saha yüzeyinin tam üstündedir. (Yani ip yere yapışık şekilde duruyor.)

İpin tam ortası, başlangıç noktası diye adlandırılmış olan noktaya denk gelir. Burası sahanın orta noktasıdır.

İpe 1 metre daha ekleyelim. İp, iki kale arasındaki mesafeden daha uzun olacağı için artık gergin değildir.

Soru: Son durumda sahanın başlangıç noktasından ipi kaç metre havaya kaldırabiliriz?

Çözüm

Soru bir bakıma şu anlama da gelir:

“Birbirine 100 metre mesafede bulunan iki nokta arasına biri 100, diğeri 101 metre olan iki ip bağlanmıştır. 101 metre uzunluğundaki ip tam orta noktasında yukarı doğru çekildiğinde, iki ipin orta noktaları arasında mesafe (diğer bir deyişle ikinci ipin yerden yüksekliği) kaç metredir?”

Yukarıdaki çizim incelendiğinde aslında iki tane birbirine eş dik üçgen olduğu görülür:

Dik üçgenlerin birinde Pisagor teoremi uygulanarak h kenarı, dolayısıyla aradığımız cevap bulunabilir:

Pisagor teoremi der ki: “Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.”

O halde:

(50,5)² = 50² + h²

h ≈ 7,089 m olur.

Sonuç

100 metrelik ipe sadece 1 metre eklemek, ipin orta noktasının yerden 7 metre yükseğe çıkabilmesini sağlar. Yani sadece 1 metre ekleyerek ipin ortasında bir tır geçirilebilir.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #19

Ne Kadar Çikolata?

Karnım acıktı. Gecenin bir yarısı evde yiyecek bir şeyler bulma umudundayım. Mutfakta hiç açmadığım bir çikolata buldum:

Derhal kendime kahve yaptım. Kahvenin yanında götürmek için çikolatadan ufak bir parça kopardım:

Parçayı hunharca katlettikten sonra pişmanlık çöktü: Acaba çok mu çikolata yedim?

Kalan parçayı kareli defter üzerine koydum. Böylece çikolatanın hem ilk hem de son halinin kareli defterde (veya koordinat düzleminde) hangi noktalarda kaldığını bulmuş oldum:

Kopardığım parça bir basit çokgen şeklindedir. Amacım bu parçanın alanını bulmak. Bir basit çokgen alanı bulunurken birçok yolu deneyebilirim. Aklıma ilk gelen yol “Gauss’un ayakkabı bağcığı” ismiyle bilinen bir teoremdir.

Gauss’un Ayakkabı Bağcığı Teoremi

Koordinat düzleminde bulunan bir basit çokgenin alanını bulmak için kullanılan ayakkabı bağcığı teoremini uygulamak için çokgenin köşelerinin koordinat düzlemindeki yerlerini belirlemek gerekir:

Bu noktalar için teorem tıpkı ayakkabı bağcığı gibi ilerler. Yönteme geçmeden önce alanı bulunması gereken parçada bulunan tüm köşeleri sırala:

İlk noktayı listenin sonuna tekrar ekleyin.

Daha sonra listedeki sayılar çapraz olarak çarpılır. Soldan sağa olanların toplamı sağdan sola olanların toplamından çıkarılır:

This slideshow requires JavaScript.

{(0*0) + (5*1) + (4*3) + (5*3) + (0*0)} – {(0*5) + (0*4) + (1*5) + (3*0) + (3*0)}

{32} – {5}

Çokgenin alanı; çıkan sayının yarısıdır:

27/2

13,5

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #18

Pastayı Koru

Bugün okula kutsal pasta geliyor. Pasta okuldaki odalardan birinde ziyaret edilebilecek. Siz kutsal pastanın korunması için organizasyonu sağlamakla görevlisiniz. Amacınız en az sayıda koruma ile pastanın sürekli göz altında tutulabilmesi.

Korumalarla ilgili bir bilgi: Bir müze koruması belli bir noktada durur ve bulunduğu odayı o noktadan inceler. Tabii ki koruma kendi etrafında 360 derece dönebilir.

Kutsal pastanın sergileneceği odanın krokisi aşağıdaki gibidir:

Bu odaya en az kaç koruma gerekir?

Çokgen Şeklinde Odalar

Bu sorunun çözümüne en basit çokgen olan üçgenden başlayarak ulaşmaya çalışacağız.

Örnek 1: Üçgen oda.

İlk örnekte oda üçgen şeklinde olsun. Böyle bir odada kutsal pasta nereye konulursa konsun tek bir koruma onu her an gözleyebilir:

Örnek 2: Dörtgen oda.

Burada da yine tek bir koruma yeterli gelir:

Soru: Tüm çokgen şeklinde odalarda bir koruma yeterli gelir mi?

İçbükey-Dışbükey Farkı: Bir çokgende iç açıların tamamı 180 derecenin altındaysa o çokgen dışbükeydir. Açılardan herhangi biri dahi 180 derecenin üzerindeyse çokgen içbükey olur.

Dışbükey çokgenlerin tamamı tek bir korumayla korunabilir. Aynı şey her içbükey çokgen için söylenemez.

Kutsal pastanın bulunduğu oda içbükey bir çokgendir. Önce basit bir içbükey çokgen inceleyelim:

İçbükey çokgenliğe yol açan noktada duran bir koruma, odanın her yerine hakim olur:

Peki çokgen aşağıdaki gibiyse:

Bu tür bir odada tek koruma yeterli gelmez:

Sanat Galerisi Problemi

Daha karmaşık oda krokilerine geçmeden önce, koruma sayısıyla ilgili bir algoritma olup olmadığına bakmamız gerekir. İlk kez 1973 yılında Victor Klee ismindeki bir matematikçi tarafından ortaya atılan sanat galerisi problemini çözmek için üçgenleme olarak bilinen bir yöntem kullanılır.

Üçgenleme: Bir çokgeni üçgenlere bölme işlemidir.

Önce verilen planı üçgenlere ayıralım:

Daha sonra üçgenlerdeki köşelere renkler verelim. Aynı üçgendeki köşeler birbirinden farklı renkte olmak zorundadır:

En az sayıda kullanılan renk, en az koruma sayısını verir. Korumalar bu renklerin bulunduğu köşelerde durduğu sürece odada görünmeyen bir yer kalmaz:

Çözüm

O halde kutsal pastanın bulunduğu odaya en az kaç koruma gerektiğini ve bu korumaların nerede durmak zorunda olduğunu bulabiliriz. Önce pastanın bulunduğu odanın krokisini üçgenlere ayıralım:

Daha sonra üçgenlerin köşelerini boyayalım:

Sonuçta üç renk aşağıdaki kadar kullanılmıştır:

En az kullanılan renkler 1 ve 3’tür. Bu da bize odayı korumak için gereken sayıyı verir: 6. Bu noktalarda konuşlandırılan korumalar kutsal pastayı sürekli göz önünde bulundurur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Kutsal pastanın bulunduğu odada aşağıdaki gibi sütunlar bulunsaydı çözüm nasıl olurdu?
Çokgenlerin köşe koruma sayısı arasında nasıl bir ilişki var?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #17

Neden araba ve bisikletlerde kullanılan tekerlekler yuvarlaktır?

Kare Tekerler

Deneme-yanılma ile neden bu şekilden taşıtlara tekerlek yapılamayacağını görelim. Diyelim ki tekerlekler aşağıdaki gibi kare şekilde olsun:

Karelerin 45 derece döndükten sonraki hali sağdaki gibidir:

İlk duruma göre karenin yüksekliği değişmiştir. Bir 45 derece sonraysa yükseklik ilk duruma gelir.

Kare tekerleğin zaafı büyüktür. Tekerler döndükçe taşıtın yüksekliği sürekli olarak değişir (yükselip-alçalır).

Üçgen Tekerler

Üçgen çeşitleri için tüm kenarları birbirine eşit olanı (yani eşkenar üçgen) tekerlek yapmak için en uygun şekil olarak görülür.

Elimizde aşağıdaki gibi bir eşkenar üçgen tekerlek olsun:

Sola doğru 60 derece çevirince eşkenar üçgen tekerleğin durumu:

Görüldüğü üzere tekerleğin yüksekliği değişmemiştir. Yoksa eşkenar üçgenden tekerlek elde edilebilir mi? Gelin bir de ilk durumdan 30 derece sola çevirdikten sonraki durumu inceleyelim:

Görüldüğü üzere yükseklik ilk duruma göre artıyor. Yani eşkenar üçgenden de tekerlek yapmak uygun olmaz. Bu tür tekerlekler üzerinde yapılan yolculuklar sonrasında sakatlanmanız olasıdır.

Çemberin Gücü

Çember şeklinde tekerleğin kullanılma nedeni çemberin yüksekliğinin dönerken hiç değişmemesinden gelir. Bu yönden çemberin şekli kare ve üçgen gibi çokgenlerden farklıdır.

Yuvarlak dışında bir şekilden tekerlek yapılamaz mı?

Reuleaux Üçgeni

Rönesans denilince akla gelen ilk isimlerden biri Leonardo da Vinci’dir. Bu muhteşem şahsiyetin Reuleaux üçgeni ile ilişkisi ise da Vinci’nin öğrencisi Francesco Melzi’nin notlarının arasında bulunan bir dünya haritasından gelir:

1514 civarında yapıldığı düşünülen bu dünya haritası Amerika kıtasını barındıran ilk haritalardan biri olarak bilinir. Bu haritanın Leonardo da Vinci tarafından çizildiği düşünülür. Eğer bu doğruysa da Vinci’nin Reuleaux üçgenini kullanan ilk kişi olduğu varsayımı haksız bir varsayım olmaz.

Reuleaux üçgenini ilk kez keşfeden ve onun matematiksel özelliklerini açıklayan kişiyse Euler’di. Artık yazılardan şunu anlamış olmanız gerekiyor: “Ya Euler’dir ya da Gauss.”

Reuleaux üçgeni ismini Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. 1861’de yazdığı kitapla meşhur olan, daha sonra yaptığı çalışmalarla “kinematiğin babası” unvanını hak etmiştir.

Reuleaux Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Şahsen en sevdiğim yöntem üç tane çemberin kesişimiyle oluşturmaktır. Öncelikle r yarıçaplı bir çember çizelim:

Daha sonra merkezi bu çemberin üzerinde olan bir başka r yarıçaplı çember çizelim:

En son olarak iki çemberin kesişim noktalarından birini seçip onu merkez kabul ederek r yarıçaplı üçüncü bir çember daha çizelim:

Bu üç çemberin kesişerek ortada oluşturduğu şekil Reuleaux üçgenidir:

Reuleaux üçgeni döndürüldüğünde tıpkı çemberde olduğu gibi yüksekliği hep aynı kalır:

18mlevdqtxdsbjpg — Reuleaux üçgeni şeklinde tekeri olan bir bisiklet.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Öklid’in aletlerini (sadece pergel ve ölçüsüz cetvel) kullanarak eşkenar üçgen çizin.
Çizdiğiniz eşkenar üçgenden Reuleaux üçgeni elde etmeye çalışın.
Üçten fazla kenarı olan Reuleaux şekli çizilebilir mi?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #16

Pasta Kokusu Alıyorum

İçeriden harika kokular geliyor. Hemen mutfağa kendinizi ışınlayıp tezgahın üzerindeki pastayı fark ettiniz. Tam yumulmak üzereyken pastanın hem yaratıcısı hem de koruyucusu annenize yakalandınız.

Anne artık tecrübeli; duygu sömürüsü bir işe yaramıyor. Fakat yine de bir şans beliriyor. Eğer pastadan üç eşit parça çıkarabilirseniz parçalardan biri sizin olacak.

Annenin şartları:

Pastayı nereden keseceğinizi belirlemek için ölçü aletleri arasından sadece pergeli kullanabilirsiniz.
Amaç pastadan üç eşit alanlı parça çıkarmak. Pastanın ne kadarını (yani tamamını mı yoksa bir kısmını mı) üçe böleceğiniz sizin maharetinize kalmış.
Kesim yaparken ufak tefek (örneğin bir parça alan 3,04 iken diğerinin 3,09 olması gibi) fazlalıklar anne tarafından göz ardı edilecek. Fakat yöntem teoride tam alanı vermeli.
En önemlisi bu madde: Kesilecek parçalar halka şeklinde olmalı.
Kesme denemesi için tek hakkınız var. Bıçak vurulduktan sonra dönüş yok.

Pasta Kesme Sanatı

Annenin istediğini yerine getirmeden önce kağıt üzerinde sadece pergel kullanarak sonuca ulaşmaya çalışalım.

Merkezi O noktası olan rastgele bir çember çizelim:

Çemberin yarıçapı kadar uzunlukta bir kiriş yapalım:

Kirişi çemberin muhtelif yerlerine koyalım ve kirişin orta noktasının bulunduğu yeri işaretleyelim:

İşaretlenen noktalardan herhangi birini seçip O merkezinden pergel yardımıyla yeni bir çember çizelim:

Yeni çemberin içinde kirişi tekrar gezdirip bir başka çember daha çizelim:

Aynı işlemleri üçüncü defa tekrarlayalım:

Renkli kalemle işaretlediğim alanlar birbirine eşittir:

20190129_224139 — Büyük çemberin yarıçapı=5 cm.
İkinci çemberin yarıçapı=4,34 cm.
Üçüncü çemberin yarıçapı= 3,56 cm.
Dördüncü (en içteki) çemberi yarıçapı=2,55 cm.

Merak edenler çemberlerin alanlarını hesaplayarak halkaların yaklaşık değerlerini bulabilir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

O halde annenin istekleri doğrultusunda pastanın içinden eşit halkalar çıkarmak mümkündür.

Peki en fazla pasta parçasını alabilmek için kirişin uzunluğu kaç olmalıdır?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #15

Kare Çizmek

Geometriyle uğraşırken kendimi hep bir antik Yunan gibi düşünüyorum: Kocaman sütunların arasında bir mermerin üzerinde geometrik şekiller çiziyorum. Bunu yaparken sadece pergel ve ölçüsüz cetvelim var.

Önce A noktası merkez olacak şekilde r yarıçaplı bir çember çiziyorum:

Sonra B noktası merkez olacak şekilde yine r yarıçaplı bir çember daha çiziyorum:

A ve B noktaları arasında kalan AB doğru parçasının her iki ucundan da E ve F noktalarına birer dik doğru parçası çiziyorum:

E ve F noktalarını da birleştiriyorum. Böylece karşıma bir kenar uzunluğu r olan ABEF karesi çıkıyor:

Bu karenin içine çizilebilecek en büyük çemberin çapı r uzunluğunda olur:

Alan

Karenin alanını bulmak için bir kenarının karesini almak yeterlidir. O halde ABEF karesinin alanı r²olur.

Çemberin alanıysa yarıçapın karesinin π ile çarpılmasıyla bulunur. Yani G merkezli çemberin alanı πr²/4 olur.

Çemberin alanının karenin alanına oranı π/4’tür.

Ağırlık

Hassas terazi kullanarak kare şeklindeki bir kartonun ağırlığını buldum:

Sonra bu karenin içine karenin bir kenarı uzunluğunda çapı olan bir çember çizdim. Daha sonra kartonun içinden çemberi kesip çıkardım ve bunu hassas terazide tarttım:

Çemberin ağırlının karenin ağırlığına oranı bize çemberle karenin alanları oranını verir. Buradan π sayısının yakınsak bir değeri bulunabilir:

0,76/0,97 = π/4

3,134… = π

Yakınsak değer bulmamızın nedenlerinden biri kullandığım kartonun tam olarak homojen olmaması olabilir. Yani karton her yerinde aynı ağırlıkta olmayabilir. Miligramlık bir sapma dahi yakınsak değer yol açar.

Ayrıca çember tam olarak kesememek de yakınsak değer bulunmasına neden olur.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Bir çember çizin ve bu çemberin içine çizilebilecek en büyük kareyi inşa edin. Daha sonra çember ve karenin alanları oranını, ağırları oranlarına eşitleyin. Bakalım karşınıza ne çıkacak?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #14

Pazarda Matematik

Çocukluğuma dair hatıralarımın önemli bir kısmı pazar maceralarından oluşuyor. Evin en küçük çocuğu olduğumun için pazara gidip anne-babama yardımcı olmak asli görevlerim arasındaydı. Pazar alışverişini gerçekten hiç sevmiyordum. Fakat bir şey vardı ki pazarda zamanın biraz da olsa hızlı geçmesini sağlıyordu: Meyve-sebze reyonları.

Küçüklüğümden beri meyve-sebze reyonlarına büyük hayranlıkla bakarım. Pazarcı veya manav tüm reyonları dizen her kimse harikulade geometrik şekiller kullanır. Bir itirafım olacak: Küçükken meyvelerin nasıl dizilmesi gerektiğine karar veren bir kural olduğunu sanıyordum. Çok sonradan öğrendim ki gerçekten böyle bir kural var.

Farklı Paket

Pazarda bulunan harikulade reyonların yanında göz zevkimi bozan bir şey vardı: Yumurta kasası. Pazara gelen meyve-sebzelerin kasaları aşağıdaki şekildeydi:

Fakat nedense yumurta kasası pazardaki geleneksel geometrik dizilişin karşısındaydı:

Neden yumurtalar meyve-sebzelerden farklı bir dizilişteydi? Yoksa bunun farkına varan tek kişi ben miydim?!

Oreolarım Var

Diyelim ki Starbucks’ta yan masada hoşunuza giden birini gördünüz ve oreolarınızdan teklif ederek çocuğu/kızı tavlamaya çalışacaksınız. Ne kadar çok oreo, o kadar çok büyük şans diye düşünüyorsunuz. Bu yüzden de peçeteye en fazla sayıda oreo koyup yan masaya takdim etme peşindesiniz.

20190109_134258 — Kullanılmış peçete şansınızı etkilemez. Çünkü oreonuzu paylaşmak üzeresiniz.

Eğer oreoları peçeteye yumurta kasası şeklinde dizerseniz altta kalan 3 oreonun sığmadığını görürsünüz:

20190109_134158 — Alt sıradaki oreolar sığmıyor. Bu yüzden sadece 6 adet oreo ile yan masaya gitmek zorundasınız.

Halbuki meyve-sebze kasası gibi oreolar dizilirse peçeteye 6 yerine 8 oreo sığabiliyor:

20190109_134228 — Şansınız daha yüksek olamaz!

Arı Peteği

Bir önceki yazıda bal arılarının en uygun geometrik şekli bulduğundan bahsetmiştik. Bal arıları gibi pazarcılar da en uygun geometrik şekli bulduklarının farkında mı bilmiyorum. Peki neden yumurtalar arı peteği şekilde değil de normal dizilir?

Çünkü sınırlı boyutlarda diziliş yapılacak kasanın (veya oreodaki peçetenin) boyutu yumurta kasasıyla elma kasası arasındaki farkı yaratır:

Aynı peçeteye bu sefer normal dizilimle 9 oreo sığarken bal peteğiyle sadece 8 tane orea sığdı.

Yani yumurta kasasının boyutu aynı kaldığı sürece en uygun geometrik şekil normal dizilim olur. Yumurta kasası üreten şirketi tebrik ederim.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Soru: Elimizde 20 adet yumurta olsun. Bir yumurta 4 cm çapındaki boşluğa yerleştirilebiliyor. Hangi dizilimi kullanırsak yumurta kasasının kapladığı alan en az olur?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #13

Kurabiye Pişirmek

Canınız çikolata parçacıklı kurabiye istedi ve bolca pişirmesi için annenizi ikna etmeye çalışıyorsunuz. Sonunda bir anlaşmaya vardınız: Sadece bir tepsi kurabiye yapılacak fakat kurabiyeleri tepsiye siz dizeceksiniz. Kurabiyeler üst üste gelmemeli ve düzgün geometrik şekle sahip olmalı. Yani tüm kurabiyeler aynı şekle sahip olmalı ve her bir kurabiye tam olmalı. Yarım kurabiyeye yer yok!

Sonuçta ne kadar çok kurabiye dizerseniz yemek için o kadar çok kurabiyeniz olacak.

Fırın tepsisinin boyutları 46,5’e 37,5 cm. Bir kurabiyenin çapı ise 5 cm.

Soru: Bu tepsiye düzgün şekilde kaç tane kurabiye sığdırabilirsiniz?

Bal Peteği

Kurabiye sorusunun cevabına bakmadan önce biraz bal yapımından bahsetmeliyim. Bal arıları matematiği muhteşem bir şekilde kullanır. Bal petekleri de onların geometrik şaheseridir.

Peki bal arıları neden bal peteklerini tam olarak bu şekilde (yani altıgen şeklinde) inşa eder?

Bal arıları bal biriktirmek için ufak depolara ihtiyaç duyar. Bu depoları şimdilik iki boyutlu gibi düşünün. Böylece bal arılarının problemi düz bir kağıdın hangi geometrik şekille döşenmesi gerektiğine döner.

Arının Sorumluluğu: “Düz bir kağıdı tek bir düzgün geometrik şekille kaplayacağım fakat bunu yaparken en az çizgiyle en büyük alanı yaratmam gerekiyor.”

Üç Düzgün Şekil

Sadece üç düzgün geometrik şekil bir kağıdı boşluksuz döşeyebilir: Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen.

bad tessellates — Yedigen, sekizgen ve dokuzgen için durum böyledir. Diğer çokgenleri kontrol edebilirsiniz. Hiçbiri boşluksuz döşeme yapamayacaktır.

Biz kareden başlayalım. Diyelim ki bal arısı kağıdın tamamını bir kenarı 2 birim olan karelerle dolduracak. Böyle bir karenin alanı 4 birim kare iken çevresi 8 birimdir.

Aynı alana sahip eşkenar üçgenin bir kenarı 3 birimden biraz fazladır. Bu da üçgenin çevresinin 9 birimden fazla olduğu anlamına gelir. Yani bir kağıda kare döşemek üçgen döşemekten çok daha iyidir.

Sırada altıgen var. Alanı 4 birim kare olan düzgün altıgenin çevresi 7,45 birim yapar ki bu sonuç hem eşkenar üçgenin hem de karenin çevresinden daha küçüktür. Bu nedenle bal arısı düz kağıda döşeme işlemini düzgün altıgen ile yapar.

Çemberden Altıgene

Bilim insanları günümüzde hala bal peteğinin yapımını inceliyor. Bal arılarının bu muazzam yapıları oluştururken iki şekilden birini tercih ettiği düşünülüyor: Çember veya düzgün altıgen. Bir teoriye göre bal arıları çevre uzunluğu düzgün altıgenden çok daha az olan çemberi kullanıyor ve zamanla bu çemberler bizim gördüğümüz peteklerdeki düzgün altıgenlere dönüşüyor.

Çemberlerden düzgün altıgenlere aşağıdaki şekilde ulaşılabilir:

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Kurabiye sorusunun çözümü çember-düzgün altıgen ilişkisinde saklıdır. Bu bilgi ışığında kaç tane kurabiye yapılabileceğini bulabilir misiniz?

M. Serkan Kalaycıoğlu

Matematik Atölyesi – Geometri #12

Cogito Ergo Sum*

*Düşünüyorum, öyleyse varım. Bu sözün sahibi olan Rene Descartes, birçoklarınca modern felsefenin kurucusu olarak gösterilir. Halbuki Descartes aynı zamanda devrim yaratıcı bir matematikçiydi.

200px-Frans_Hals_-_Portret_van_René_Descartes — Rene Descartes (1596 – 1650)

Hikayenin doğruluğu ispatlanamamış olsa da Descartes’in matematik buluşlarının belki de en önemlisi şöyle ortaya çıkmıştı:

Küçüklüğü sürekli hastalıklarla geçen Descartes yatağından geç saatte çıkmayı bir alışkanlık haline getirmişti. Öyle ki hayatının son birkaç ayına dek öğlen vaktine kadar yatağında uzanıp derin düşüncelere dalardı. Yine bir sabah yatağında düşüncelere dalmışken bir yandan odasına giren bir sineği gözleriyle takip ediyordu. Bir an için tavanda duran sinek Descartes’in gözlerini açmıştı: “Acaba odada bulunmayan birine sineğin tavandaki yerini nasıl açıklayabilirim?”

Descartes için sorunun cevabı şuydu: Tavanın bir köşesini başlangıç noktası olarak kabul edilirse, tavanın enine ve boyuna belli mesafeler gidilerek sineğe ulaşılır.

İşte bu, kartezyen koordinat sisteminin ilk ortaya çıkış hikayesidir.

Descartes’in buluşunu yayımlaması ile analitik geometri ismi verilen yeni bir geometri alanı ortaya çıkmış oldu.

Analitik geometri = Kartezyen geometri = Koordinat geometrisi

Kartezyen Koordinat Sistemi

Descartes’in tavanının sol alt köşesi başlangıç olsun. Tavanın başlangıç noktasından iki yöne doğru gidilebilir: Yukarı veya sağa.

Descartes’e göre tavanın herhangi bir yerinde bulunan nokta veya cisme iki adımda ulaşılabilir: X kadar sağa, Y kadar yukarı şeklinde.

O halde noktanın (veya cismin) pozisyonu iki ayrı sayıyla ifade edilebilir. Bunu gösterirken parantez içinde önce sağa sonra yukarı ne kadar gidildiği yazılır.

Örnek: Birim santimetre, sineğin bulunduğu yer ise şekildeki gibi olsun.

Sineğe ulaşmak için sağa 4 cm, yukarı 3 cm gidilmesi gerekiyorsa, sinek (4,3) konumunda bulunuyor denilir.

Hırsızı Yakala

Oyun için gerekenler:

6×6’lık bir kartezyen koordinat sistemi.
Zar.
Kağıt ve kalem.

İki kişilik bir oyun olan “hırsızı yakala”da oyuncular sırayla hırsız ve polis olur. Hırsızın görevi koordinat sisteminde saklanmak iken polisin göreviyse hırsızı en kısa sürede (yani en az tahminle) bulmaktır.

Hırsızı yakala oyunu için gereken koordinat düzlemi.

Hırsız iki defa zar atarak yerini belirler: (İlk zar, İkinci zar).

Polis ilk tahminini yapar. Eğer tahmin doğruysa sorun yok. Turnayı gözünden vurmuş oldunuz.

Eğer tahmin yanlışsa hırsız polise bir mesaj gönderir. Mesajda bir sayı yer alır. Bu sayı hırsızın konumuyla polisin konumlarını belirten sayı ikilileri arasındaki farkı belirtir.

Örneğin hırsız (2,2) konumundayken polis (4,1) tahminini yaparsa hırsız konumlar arasındaki farkları toplar. Konumlar arası farklar: 4-2=2 ve 2-1=1 olur. O halde örnekte hırsızın polise attığı mesajda 3 yazar.

Polis ikinci tahminini bu sayıyı göz önünde bulundurarak yapar ve bu döngü polis hırsızı yakalayana dek sürdürülür.

Örnek

Hırsız zarları atar. İlkinde 3, ikincisinde 4 gelmiştir. O halde hırsızın konumu (3,4) noktasıdır.

Polis ilk tahminini (2,2) diye yapar ve ıskalar.

Konumlar arası farklar 3 – 2 = 1, 4 – 2 = 2’dir. Bu yüzden hırsız polise 3 mesajını gönderir.

Polis zor bir durumdadır çünkü 3 cevabı içerisinde çok fazla ihtimal bulunduran bir cevaptır.

İhtimal 1: Polis x’e 3 ekler. Tahmin: (5,2).

İhtimal 2: Polis x’e 2, y’ye 1 ekler. Tahmin: (4,3).

İhtimal 3: Polis x’e 1, y’ye 2 ekler. Tahmin: (3,4).

İhtimal 4: Polis y’ye 3 ekler. Tahmin: (2,5).

İhtimal 5: Polis x’den 2, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (0,1).

İhtimal 6: Polis x’den 1, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (1,0).

İhtimal 7: Polis x’den 2 çıkarır, y’ye 1 ekler. Tahmin: (0,3).

İhtimal 8: Polis x’den 1 çıkarır, y’ye 2 ekler. Tahmin: (1,4).

İhtimal 9: Polis x’e 2 ekler, y’den 1 çıkarır. Tahmin: (4,1).

İhtimal 10: Polis x’e 1 ekler, y’den 2 çıkarır. Tahmin: (3,0).

Polis ikinci hamlesinden itibaren aynı stratejiyi kullanarak hırsızı yakalamaya çalışır.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Eğer polis onuncu ihtimali seçerse bir sonraki hamlesini kaç tane ihtimal arasından yapar?
Ben hırsızım, siz de polis. İlk tahmininiz (3,3), size gönderdiğim mesaj 2 olsun. Nerede saklanıyorum? Yorumlara cevabınızı yazabilirsiniz.

Matematik Atölyesi – Geometri #10&11

Soru: Kaç tane düzgün çokgen vardır?

Öklid’in yöntemleriyle (yani sadece pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak) nasıl eşkenar üçgen çizilebileceğini göstermiştim. Eşkenar üçgen tüm kenarları ve iç açıları eşit olan bir düzgün çokgendir. Hatta eşkenar üçgene en az kenarlı düzgün çokgen de denilebilir.

O halde buradan başlayalım: Üç kenarlı düzgün çokgen yapılabilir ki buna eşkenar üçgen denir. Kenar sayısını bir artıralım. Dört kenarlı düzgün çokgen, yani dört kenarı ve dört iç açısı da birbirinin aynısı olan şekil… Hmmm… Kare!

Beş kenarlı düzgün çokgen: Beşgen.

Altı kenarlı düzgün çokgen: Altıgen.

…

Elli kenarlı düzgün çokgen: Elligen. (Pentacontagon diye bilinir.)

…

Düzgün çokgenlerin kenar sayısının limiti yoktur. Fakat belli bir kenar sayısından sonra kenar uzunlukları o kadar küçük olur ki çokgeni çemberden ayırt etmek neredeyse imkansızlaşır.

50-gen (solda) ve 50-gen ile 200-gen’in karşılaştırılması (sağda).

Düzgün çokgenler iki boyutlu geometride var olan şekillerdir. Peki olayı üç boyuta taşırsak ne olur?

Soru: Kaç tane farklı düzgün katı cisim vardır?

Üç boyutlu olan düzgün katı cisimlerin iki belirgin özelliği vardır: Tüm yüzleri düzgün çokgenlerden oluşur ve her köşesi eşit sayıda düzgün çokgene bağlıdır.

Cevabı hemen verelim: Tamı tamına beş farklı düzgün katı cisim vardır. Ne bir fazla, ne de bir az.

Düzgün çokgen sayısı sonsuz taneyken düzgün katıların sayısının sadece beş tane olması ilk başta inanılmaz gibi gelir. Bunu ispatlamadan önce düzgün katılardan biraz bahsetmem gerekir.

Geniş Omuzlunun Okulu

Milattan önce 427’de Atina’da dünyaya gelen Aristocles geniş omuzlara sahip olduğu için Yunanca’da geniş anlamına gelen “Platon” lakabını almıştı. (Bu iddia C.J. Rowe’un 1984’de yazdığı kitapta geçer.)

Çoğu kişi matematikle herhangi bir ilişkisi olduğunu düşünmese de Platon matematiğe çok önemli katkılarda bulunmuştu. Özellikle ispat, açıklama ve hipotezlerin en açık şekilde yazılması gerektiğinde ısrar etmesi matematiğin gelişimi için hayatiydi. Platon’un sadece matematik değil tüm bilim dalları için yaptığı en büyük iş ise kurucusu olduğu okuldu.

Milattan önce 387’de Atina’da bir okul kurmak isteyen Platon arazisini bulmuştu. Okulun inşa edildiği arsanın sahibi Academas olduğu için okulun ismi “Akademi” olarak kaldı. 900 yıl boyunca en önemli bilim insanları hayatlarının bir kısmını Platon’un Akademisinde geçirmişti. (Bir karşılaştırma yapalım: Avrupa’daki en eski üniversite olarak bilinen Bologna Üniversitesi Platon’un Akademi’sinden yaklaşık 1400 yıl sonra kurulmuştu.)

geometri-bilmeyen-giremez — Akademi’nin girişinde asılı olan yazı: “Geometri Bilmeyen Giremez”

Platonik Cisimler

Düzgün katı cisimlere Platonik cisimler de denir, çünkü onların sadece beş adet olduğunu kağıda döken ilk kişinin Platon olduğuna inanılır.

Dört Yüzlü – Tetrahedron: Dört tane eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
Altı Yüzlü – Küp: Altı adet karenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
Sekiz Yüzlü – Octahedron: Sekiz adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
On iki Yüzlü – Dodecahedron: On iki adet beşgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
Yirmi Yüzlü – Icosahedron: Yirmi adet eşkenar üçgenin bir araya gelmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.

Neden Sadece Beş Adet?

Düzgün katı cisimlerin bazı özellikleri var ki bu özellikler neden beş tane düzgün katı olduğunu hem açıklar hem de ispatlar.

Düzgün katı cisimler üç boyutlu olduğu için bir köşesinde en az üç tane yüz (yani en az üç tane düzgün çokgen) olmalıdır. Gelin en az sayıda yüzü olan düzgün katı cisim olan dört yüzlüyü inceleyelim.

Dört yüzlü düzgün katı cismin herhangi bir köşesinde hep üç tane eşkenar üçgen bulunur. (Bunu bir noktanın etrafına çizilmiş üç eşkenar üçgen gibi düşünebilirsiniz.) Bu üçgenleri iki boyuta indirgediğimizde karşımıza şu şekil çıkar:

Eşkenar üçgenlerin buluştuğu noktanın etrafının 360 derece olduğunu biliyoruz. Eşkenar üçgende bir iç açı da 60 derecedir. O halde noktanın etrafında

360 – (60+60+60) = 180

derecelik boşluk vardır. Bu boşluk sayesinde kağıt kıvrılıp düzgün katı cisim oluşturulabilir.

Eğer 360 derece ve üstü tam olarak kaplanmış ise, kıvrılmak için yer olmayacağı için şekil iki boyutlu kağıt üzerinde kalır.

O halde düzgün katı cisim yapmak için gerekenleri bulmuş olduk:

Bir kağıdın üzerine nokta koy.
Noktaya bağlı olacak şekilde üç tane düzgün çokgen çiz.
Eğer düzgün çokgenler 360 dereceyi tamamlamadıysa şekil üç boyuta çevrilebilir. Böylece düzgün katı cisim elde edilmiş olur.
Kalan kısma aynı çokgenden eklenmeye 360 dereceye ulaşılana dek devam edilir.
Eğer düzgün çokgenler 360 derece ve üzerinde yer kaplıyorsa şekil üç boyuta çevrilemez demektir. Bu durumda çizilen çokgenlerden düzgün katı cisim yapılamaz sonucuna varılır.

Örnek 1: Dört Yüzlü

Nokta koyulur ve noktanın ortak olduğu üç adet eşkenar üçgen çizilir. Bu eşkenar üçgenlerin iç açıları toplamı 360’dan küçük olduğu için katlanıp düzgün katı cisim oluşturabilirler: Dört yüzlü.

Örnek 2: Dört Yüzlü + 1 Eşkenar Üçgen

Eğer dört yüzlüyü oluşturan eşkenar üçgenlere bir yenisi daha eklenirse seçtiğimiz nokta üzerinde iç açıların toplamı 240 derece olur ki bu 360’dan küçüktür. Üçgenlerle aşağıdaki gibi sekiz yüzlünün üst kısmı yapılabilir.

Örnek 3: Dört Yüzlü + 2 Eşkenar Üçgen

Bu sefer eşkenar üçgen sayısını beşe çıkaralım. Nokta üzerindeki iç açıların toplamı 300 yapar ki bu da 360 derecenin altındadır. O halde bu beş üçgenle bir Platonik cisim yapılabilir. (On iki yüzlü)

Örnek 4: Dört Yüzlü + 3 Eşkenar Üçgen

Eşkenar üçgen sayısı altı olunca iç açıların toplamı 360 derece yapar. Bu da elimizdekilerle Platonik bir cismin oluşturulamayacağı anlamına gelir.

Örnek 5: Küp ve Küp + 1 Kare

Küp şeklinde herhangi bir köşeye üç adet kare bağlıdır. Bu köşe ve kare aşağıdaki gibi iki boyuta indirgenebilir:

Noktanın etrafında üç karenin iç açısı kullanılmıştır: 90*3=270 derece. Eğer şekle bir kare daha eklenirse noktanın etrafında 270+90=360 derecelik alan dolmuş olur. Bu, dört kare ile bir düzgün katı cisim yapılamaz demektir.

Örnek 6: On iki yüzlü + 1 Düzgün beşgen

Düzgün beşgenlerden oluşan on iki yüzlünün bir köşesine bağlı olan üç tane düzgün beşgen vardır. Yani bir noktanın etrafında bir iç açısı 108 derece olan beşgenden üç tane var: 108*3=324 derece, 360 dereceden az olduğu için bu düzgün katı cisim oluşturulabiliyor.

Noktanın etrafına dördüncü bir düzgün beşgen eklendiğinde, beşgenler birbirinin üzerine biner. Bu şekilden bir düzgün katı cisim oluşturulması mümkün değildir.

Bi’ Göz Atmakta Fayda Var

Düzgün altıgenlerle bir düzgün katı cisim yapılabilir mi? Nedeninizi belirtin.

M. Serkan Kalaycıoğlu