Kafamızdaki Topoloji
Sürekli olaylara bakış açımızı değiştirmekten bahsediyorum. Örneğin bir bebekle karşılaştığınızda aklınıza öncelikle bebeği sevmek ve onu güldürmeye çalışmak gelir. Halbuki bebeğin saçlarına dikkat ederseniz, burada çok önemli bir matematik bilgisinin saklı olduğunu görebilirsiniz:
Her bebeğin kafasında yukarıdaki gibi bir nokta vardır. Görüldüğü üzere bu noktanın dışında kalan saçlar, bebeğin kafasının hemen her yönüne doğru uzuyor. Peki noktanın bulunduğu yerde çıkan saçların yönü neresidir?
Bunun açıklaması topolojide saçlı top teoremi ile yapılmıştır.
Saçlı Top Teoremi
Saçlı top teoremine göre tüylü (veya bulabilirseniz saçlı) bir topu herhangi bir yöne doğru taramaya çalışın. Topun en az bir noktasında bulunan bir tüyün (veya saçın) istenilen yöne doğru taranması mümkün değildir.
Bunu yapmaya çalıştığınızda en az bir tüy (veya saç) taranmak istenen yönde olmaz. Bu tüyün bulunduğu noktada bir tür tekillik bulunur; tüy istenilen tarafa yatmayıp dik durmakta ısrar eder.
Bebeğin kafası da bir nevi saçlı top teoremi örneğidir. (Bir nevi dememin sebebi, saçlı top teoremine göre topun yüzeyinin tamamının tüyle kaplı olmasıdır. Halbuki bir insanın kafasının her yeri saçla kaplı değildir.) Bu sebeple yukarıdaki resimde gösterdiğimiz noktada bir tekillik vardır; o noktada saç dik kalır. O saç bir türlü tarakla yatırılamaz.
Torus
İçi boş (bir diğer deyişle; delikli) bir cisim olan torusta saçlı top teoremi işlemez. Yani tüylü bir torusun tamamını tek bir yöne taramak mümkündür.
Hiç Rüzgar Yok
Saçlı top teoreminin kullanım alanlarından biri meteorolojidir. Teoreme göre herhangi bir anda dünyanın herhangi bir noktasında hiç rüzgar yoktur.
Bunu ispatlamak için tüylü topu tarama yöntemini düşünmeniz yeterli. Diyelim ki dünyanın her yerinde doğudan batıya doğru rüzgar esiyor olsun.
Bu durumda kuzey ve güney kutup noktalarında rüzgar olmaz. Yani saçlı top teoremi haklıdır.
Haritadayım
Saçlı top teoremi Brouwer’in sabit nokta teoreminin bir başka türüdür. Hatta bu teorem de L.E.J. Brouwer tarafından 1912 yılında ispat edilmiştir.
Sabit nokta teoremi için verilebilecek örneklerden biri de haritalarla ilgilidir. Örneğin bulunduğunuz ülkenin haritasının çıktısını alın ve sınıf içerisinde yere koyun:
Harita üzerinde öyle bir nokta vardır ki, haritanın bulunduğu coğrafi konumla aynıdır.
Bi’ Göz Atmakta Fayda Var
Aşağıdakilerin tüylü olduğunu varsayın. Hangisi /hangileri aynı yöne doğru taranabilir? Neden?
M. Serkan Kalaycıoğlu
kmatematikatolyesi.com 