Matematik Atölyesi: Sayılar #1

Öncelikle bir konuda anlaşmamız gerekiyor; matematikle felsefe birbirinden ayrı düşünülemez! Bu savımı tarihi bir gerçekle destekleyebilirim. Bugün bilimle uğraşanlara verdiğimiz bilim insanı(scientist) unvanı yakın bir zamanda türetilmiştir. Örneğin 17. yüzyılda yaptığı çalışmalarla modern fiziğin yaratıcısı olarak gösterilen Isaac Newton için bilim insanı değil de doğal filozof(natural philosopher) unvanı kullanılmıştı. Günümüzde unutulan ya da bilinmeyen bu gerçek gösteriyor ki, bilimle uğraşırken felsefeden yararlanmamak imkansızdır.

Matematik Eğitimi – “Bu budur, ve cevap da şu olmalıdır.”

Maalesef okullardaki geleneksel matematik eğitiminde düşünmeye neredeyse hiç zaman bırakmıyoruz. Bu “geleneksel matematik eğitimi” lafının tam olarak neyi ifade ettiğini küçük bir örnekle açıklayalım. Bir öğrenme ortamında matematik öğretmeninin sayılar konusunu işlediğini düşünelim. Geleneksel matematik eğitimi gereği öğretmen, çocukların seviyesine uygun sayı türlerinin tanımlarını yapar.

Sayma Sayıları: 1’den başlayarak sürekli artan ve sonsuza dek devam eden sayıların oluşturduğu kümeye denir.

1, 2, 3, 4, 5, …

Doğal Sayılar: 0‘dan başlayarak sürekli artan ve sonsuza dek devam eden sayıların oluşturduğu kümeye denir. Sayma sayılarından tek farkı 0 sayısıdır.

0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Tek Doğal Sayılar: 2’ye bölündüğünde 1 kalanını veren doğal sayılara, tek doğal sayılar denir. Tek doğal sayılar 1’den başlar ve 2’şer artarak sonsuza dek devam eder.

1, 3, 5, 7, 9, …

Çift Doğal Sayılar: Tek olmayan doğal sayılardır. Bu yüzden 0’dan başlayıp 2’şer artarak sonsuza dek devam eden sayılar çift doğal sayılardır.

0, 2, 4, 6, 8, …

Tam Sayılar: Doğal sayılar kümesiyle sayma sayılar kümesinin negatifinin birleşmesiyle oluşan sayılardır. Bir diğer deyişle eksi sonsuzdan artı sonsuza dek uzanan sayıların oluşturduğu kümedir.

… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Asal Sayılar: Sadece 1 ve kendisine kalansız bölünebilen, 1’den büyük pozitif tam sayılardır.

2, 3, 5, 7, 11, …

Geleneksel matematik eğitiminin hatası tanım vermek değil. Sorun, tanımları bu şekilde verdikten sonra derhal soru çözdürülmeye geçilmesiyle başlıyor. Öğrenci sadece tahtaya yazılanı alıp, tanımın çerçevesinden çıkmadan problemleri çözmeye odaklanıyor. Bu süreç içerisinde öğrencinin düşünmeye vakti olmadığı gibi matematiğin sadece sonuç odaklı olduğu kanısı yerleşiyor.

Peki ne yapmak gerekir?

Yukarıdaki tanımlarda sonsuzluk, sıfır ve eksi gibi kavramların geçtiğini fark etmenizi istedim. Altlarında derin düşünceler yatmakla birlikte, üç kavram da insanlık tarihine kıyasla çok yenidir. Örneğin sıfırın sayı sisteminde anlam kazanması sadece 1350 yıl önce gerçekleşmiştir. Fakat bu, sıfırın dünyanın her yerinde hemen kullanılmaya başlandığı anlamına gelmez. Avrupa’da sıfırın ilk kullanımı 12. yüzyıl civarındaydı. Yani Hindistan’da ortaya çıkışından yaklaşık 500 yıl sonra! (Bu konuya daha sonra tekrar değineceğim.)

Eksi sayılar, sıfırın tanımlanmasından çok önce kullanılıyor olmasına rağmen, 16. yüzyılda büyük matematikçilerin “yanlış sayılar” diye tanımladığı sayılardı. Eksi sayı kavramıyla insanlığın tam olarak barışması son iki yüz senede gerçekleşmiştir. Bugün çocukların eksi sayıları anında anlayıp işlemlerde kullanmaya başlamasını bekleyerek onlara ne büyük bir yanlış yaptığımızı görüyorsunuz.

Üç kavram arasında sonsuzluk daha zor görünebilir. Fakat onun için de çok popüler bir tanımımız var: Bitmeyen, zamanın sonuna dek devam eden, ebedi. Oysa matematikte sonsuzluğun çok daha derin manaları vardır. (Sayılabilir sonsuzluk, birbirinden farklı büyüklükte sonsuzluklar gibi.)

Hilbert’in Sonsuzluk Oteli

20. yüzyılın en etkili matematikçilerinden biri olan David Hilbert’in ortaya attığı bu problem sonsuzluk paradoksu olarak da bilinir. Hilbert’in otelinde sonsuz sayıda oda vardır ve işlerin harika gittiği bir günün sonunda otelindeki tüm odalar dolmuştur. Otelin müdürü olduğunuzu ve her yeni müşterinin sizin için komisyon anlamına geldiğini düşünün.

  1. Otele yeni bir müşteri gelirse, bu müşteriyi geri çevirir misiniz? Eğer müşteriyi kabul ederseniz, hangi odayı nasıl bir yöntem izleyerek boşaltıp müşteriye verebilirsiniz?
  2. Bir kaç saat sonra sonsuz sayıda müşterinin otelin kapısına yığıldığını gördünüz. Müşterileri kabul etmek için ne yapmanız gerekir?
  3. Bu problemleri çözüp rahatladığınızı düşündüğünüz sırada bu sefer otele her birinde sonsuz sayıda müşteri taşıyan sonsuz tane otobüs geldiğini gördünüz. Tanrı aşkına, oteliniz o kadar büyük mü?

hilbert

Bu üç soru üzerine düşünmek, sayı çeşitlerini anlarken öğrencilere çok büyük yardımda bulunur. Eğer bu soruyu daha önce hiç görmediyseniz, internetten uzak durun ve çocuğunuzla düşünmeye başlayın. Zamanınız kısıtlı olsa bile, en azından 1-2 saat düşünün. Sonucu bulmanız değil, ne kadar süre düşündüğünüz önemli. Bu yüzden yorum kısmına sonucu değil düşünceleriniz yazmanız dileğiyle.

M. Serkan KALAYCIOĞLU

Leave a Comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s